Este documento presenta conceptos básicos sobre el cálculo integral, incluyendo: 1) La definición de integral definida, sus propiedades y cómo calcularlas usando el Teorema Fundamental del Cálculo. 2) Cómo calcular áreas bajo curvas usando integrales definidas. 3) Ejemplos de aplicación de las propiedades de linealidad, aditividad y comparación para evaluar integrales.

1. CALCULO INTEGRAL (ARQ)
Sesión 6:
•Integral definida
• Propiedades de la Integral definida.
•Cálculo de Integrales Definidas.

2. CALCULO DE ÁREAS
A2
A4
A3
A1
INTEGRAL DEFINIDA Y

4. ∑∫ =
∞→
∆=
n
1i
ii
*
n
b
a
x)x(flimdx)x(f
∫
b
a
dx)x(f
Integrando
Límite
Superior
e Inferior
No tiene
significado,
indica respecto
a que variable
se integra.

5. 2° Teorema Fundamental del Cálculo
Si f es una función integrable en [a, b]
y F una primitiva de f en [a, b], entonces:
Esta regla convierte al cálculo de integrales
definidas en un problema de búsqueda de
antiderivadas y evaluación.
∫ =−=
b
a
b
a
)x(F)a(F)b(Fdx)x(f

6. Ejemplo: Evaluar las siguientes integrales
∫ +
π
0
)1(.1 dxxsen
∫ −
1
0
23.2 dxx
∫ +
2
1 2
2
3
.3 dx
x

7. PROPIEDADES DE LA
INTEGRAL DEFINIDA
1. Si f y g son funciones integrables en [a, b] y
α y β son constantes, se tiene:
∫ ∫∫ β+α=β+α
b
a
b
a
b
a
dx)x(gdx)x(fdx))x(g)x(f(
Propiedad de linealidad

8. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL
DEFINIDA
Sea f una función contínua en [1; 5], si:
∫∫ =−=
5
1
3
1
7)(4)( dxxfydxxf
Determine el valor de:
∫
5
3
)( dxxf

9. 2. Si existen las integrales de la izquierda,
también existe la integral de la derecha:
∫ ∫∫ =+
c
a
b
a
b
c
dx)x(fdx)x(fdx)x(f
Propiedad aditiva respecto al intervalo de
integración
bac ,∈

10. La propiedad anterior es aplicada cuando la función
está definida por partes y cuando es seccionalmente
continua.
Ejemplo:
Si:
y se quiere hallar:



≤<−
≤≤
=
21;21
11-;2-x
)(
xx
x
xf
∫ ∫ ∫− −
−+−=
2
1
1
1
2
1
)21()2()( dxxdxxdxxf
( )∫−
2
1
dxxf

11. 3. Si f y g son integrables en [a, b] y g(x) ≥ f(x)
para todo x ∈ [a, b], se tendrá:
∫ ∫≥
b
a
b
a
dx)x(fdx)x(g
Teorema de comparación

12. ∫ ≥
≤≤≥
b
a
0dxf(x)entonces
b,xacuando0,f(x).4 Si
∫ =
a
a
dxxf 0)(.5
∫ ∫−=
a
b
b
a
dxxfdxxf )()(.6
Sea f una función integrable en [a, b],
entonces:

13. EJERCICIOS
• Justificando su respuesta, responda lo siguiente:
1. ¿Será correcto afirmar que:
a)
b)
1
0
1
0
2
1
1
2
)1(
2
)1(
1
2
)1(
1
−
−=
−
=
− ∫∫−
x
dx
x
dx
x
?
3
40
)41(
3
2
2
=−−∫−
dxx

14. EJERCICIOS
4. Determine el valor de “ ” tal que:
2)23(
1
2
=−∫−
dxxx
k
k

15. EJERCICIOS
• Se muestra al grafica de . Usando fórmulas
geométricas:
– Evalúe la integral:
– Calcule el área representada por la
integral:
f
∫
9
3
)( dxxf
∫
9
3
)( dxxf