Este documento trata sobre los conceptos básicos de la integral definida, incluyendo las propiedades de la suma, el área bajo la curva, la integral definida y sus propiedades, el teorema del valor medio y los teoremas fundamentales del cálculo. También explica cómo realizar sustituciones y cambios de variables para resolver integrales definidas. Contiene ejemplos y ejercicios resueltos de cada uno de estos temas.
1. Unidad I
Nombre:
José Andrés Ruiz
C.I. 19455978
Profesor: Domingo Ménde
Universidad Fermín Toro
Vicerectorado Académico
Facultad de Ingeniería
Escuela de Telecomunicaciones
2. 1. La Integral Definida
1.1 Notación Sigma
Una sumatoria indica la suma de una serie de términos que corresponden a una
expresión algebraica y que mediante alguna expresión se puede generalizar en un
tamaño de intervalo específico, incrementándose siempre en una unidad.
La sumatoria se denota mediante la letra griega sigma (å),
en cuya parte inferior y superior se especifica el tamaño del
intervalo en que se desarrollará. Estos números reciben el
nombre de índice inferior e índice superior.
Donde "n" es un entero y representa el índice superior. El índice inferior puede comenzar
en cualquier entero y el índice superior siempre será mayor o igual que el inferior. La
expresión que aparece delante del símbolo de sumatoria, siempre contendrá a la
variable, en este caso es "Xk".
El desarrollo de la expresión anterior nos queda:
Ejemplo:
3. 1.1 Propiedades
Las siguientes propiedades de la sumatoria, constituyen teoremas cuya
demostración se puede verificar en cualquiera de las literaturas citadas.
Las propiedades son muy útiles para desarrollar expresiones que nos
permiten calcular áreas limitadas por curvas planas.
2. Suma Superior e inferior
Área bajo la Curva
Si queremos calcular el área bajo la curva Y = F(x)= X2
+ 1, donde F(x) ³ 0 y
continúa en todo el intervalo cerrado x = a, x = b y el eje "x", podemos dividirla
en una serie de polígonos (rectángulos), calculamos el área de cada uno de
estos rectángulos la suma nos dará un valor aproximado del área real.
Si observamos la figura 1, el área se dividió en dos rectángulos y al calcular el
área de cada uno de ellos, se incluye una parte del rectángulo que no pertenece
al área buscada, por lo tanto esta es una aproximación.
En la figura 2, el número de
rectángulos se ha incrementado
hasta 9 y observamos que la
parte que no nos interesa es
menor que cuando tomamos 2
rectángulos, lo que nos conduce a
concluir que a mayor número de
rectángulos "n" más nos
aproximamos al área real.
Podemos finalizar que si el
número de rectángulos "n" se
hace muy grande, entonces el
área calculada será casi
exactamente el área buscada.
4. 3. La Integral Definida y sus propiedades
Integral Definida
Si a la expresión obtenida para la suma de Riemann le tomamos el
límite ya que k =1, 2, 3, 4, 5,....,..n y existe, es decir podemos definir la
integral definida de F desde a hasta b por donde "a" representa el
límite inferior y "b" el límite superior de la integral.
Observando la definición de los términos de la integral definida,
observamos que F(bk) es la altura del rectángulo que llamamos
partición y Dxk es el ancho del rectángulo de tal manera que su
producto no es más que el área del rectángulo y después de sumar
cada una de estas mismas, obtendremos dicha área bajo la curva,
siendo F(x), en el intervalo dado [a, b].
7. 4. Teorema del Valor Medio para Integrales
Dada una función "f" continúa en un intervalo cerrado [a, b], existe al
menos un valor dentro del mismo, tal que la derivada de la función evaluada en
"c", representa dicho valor promedio, conocido también como valor medio para
integrales.
Teorema del valor medio para la integral definida
La siguiente propiedad de la integral definida sirve de base para demostrar el Primer Teorema
fundamental del cálculo.
8. 5. Teorema Fundamental del Calculo
A grandes rasgos, el Teorema fundamental del Cálculo establece
que el Diferencial y la Integral son inversos, el uno del otro.
Primer teorema fundamental del cálculo:
Segundo teorema fundamental del cálculo:
9. 6. Sustitución y cambio de Variable
No siempre tendremos una integral que se resuelva directamente aplicando los teoremas de la integración.
Existen expresiones (funciones) que se deben modificar y expresarlas de otra forma, sin que cambie la
expresión integrando, para poder encontrar su antiderivada.
Los cambios de variable se realizan cuando en el integrando existe una expresión que resulta de derivar
otra parte de ella, éstos se complementan mediante aplicación de artificios matemáticos. Veamos el siguiente
ejemplo:
Sea x2
+ 2 = u, entonces du = 2xdx de donde du/2 = xdx y
reemplazando nos queda:
13. Teorema del Valor Medio para Integrales
Ejercicios Resueltos
En los ejercicios 3 a 6, utilice le Teorema del valor medio para la integral definida, PID11, para demostrar la
desigualdad dada.
16. Teorema Fundamental del Calculo
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 14, evalúe la integral definida.
En los ejercicios 15 a 21, calcule la derivada.
Nota: para resolver los ejercicios es necesario conocer algunas técnicas de integración,
por el momento sólo es indispensable aprender la integración directa y la integración
por sustitución
