Este documento proporciona fórmulas para calcular integrales indefinidas de funciones racionales, irracionales, trigonométricas y sus combinaciones. Incluye más de 70 fórmulas para integrar funciones que contienen términos como ax + b, √ax + b, senax, cosax, tanax y más. El documento ha sido revisado varias veces para mejorar la precisión y completitud de las fórmulas provistas.
Este documento presenta una secuencia didáctica sobre cálculo diferencial e integral. La secuencia introduce fórmulas para derivar y integrar diferentes funciones como polinómicas, trigonométricas, logarítmicas y exponenciales. Incluye ejercicios para practicar el cálculo de derivadas, diferenciales, integrales definidas e integrales indefinidas de diversas funciones.
Este documento presenta los conceptos y procedimientos para calcular el área de regiones planas utilizando la integral definida. Explica que el área de una región se puede obtener como la suma de áreas de elementos diferenciales infinitesimales, lo que equivale a evaluar una integral definida. Proporciona ejemplos detallados de cómo calcular el área entre curvas, bajo una curva, y de regiones simple-y. Concluye resumiendo los pasos a seguir para hallar el área de cualquier región plana mediante la integral.
Este documento presenta varios ejercicios y problemas relacionados con sistemas de ecuaciones. Incluye ejemplos de verificar si puntos dados son soluciones de sistemas, completar sistemas para que tengan soluciones específicas, representar sistemas gráficamente y encontrar sus soluciones, y resolver sistemas mediante sustitución, igualación y reducción.
Este documento presenta fórmulas para calcular integrales indefinidas de diferentes funciones. En la sección 1.1 se presentan fórmulas para funciones racionales e irracionales que contienen términos como ax + b, √ax + b, x2 ± a2 y ax2 + bx + c. La sección 1.2 presenta fórmulas para funciones trigonométricas como sen ax, cos ax, tan ax y sus combinaciones. Finalmente, la sección 1.3 presenta fórmulas para funciones exponenciales como eax y funciones logar
Este documento proporciona fórmulas para calcular integrales indefinidas de funciones comunes. Incluye fórmulas para integrales de funciones racionales, irracionales, trigonométricas y polinómicas. Ha sido revisado varias veces para mejorar su precisión y utilidad como recurso de cálculo integral.
Este documento presenta 36 problemas de cálculo integral y aplicaciones de integrales dobles. Los problemas cubren temas como calcular integrales dobles sobre diferentes regiones planas, encontrar áreas y volúmenes de sólidos de revolución, y aplicar el teorema de Guldin.
Este documento presenta una serie de ejercicios relacionados con ecuaciones de segundo grado. Incluye identificar coeficientes, resolver ecuaciones cuadráticas completas e incompletas, determinar la naturaleza de las raíces, y resolver problemas que involucran ecuaciones cuadráticas y conceptos geométricos como perímetros, áreas y volúmenes. El documento contiene 17 secciones con múltiples partes cada una, abarcando diversos temas y métodos para trabajar con ecuaciones de segundo grado.
El documento presenta una introducción a la resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden, segundo orden y de orden superior. Explica métodos como separables, coeficientes indeterminados y variación de parámetros para resolver diferentes tipos de ecuaciones diferenciales. También aborda la resolución de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos ordinarios usando series de Taylor.
Este documento presenta una secuencia didáctica sobre cálculo diferencial e integral. La secuencia introduce fórmulas para derivar y integrar diferentes funciones como polinómicas, trigonométricas, logarítmicas y exponenciales. Incluye ejercicios para practicar el cálculo de derivadas, diferenciales, integrales definidas e integrales indefinidas de diversas funciones.
Este documento presenta los conceptos y procedimientos para calcular el área de regiones planas utilizando la integral definida. Explica que el área de una región se puede obtener como la suma de áreas de elementos diferenciales infinitesimales, lo que equivale a evaluar una integral definida. Proporciona ejemplos detallados de cómo calcular el área entre curvas, bajo una curva, y de regiones simple-y. Concluye resumiendo los pasos a seguir para hallar el área de cualquier región plana mediante la integral.
Este documento presenta varios ejercicios y problemas relacionados con sistemas de ecuaciones. Incluye ejemplos de verificar si puntos dados son soluciones de sistemas, completar sistemas para que tengan soluciones específicas, representar sistemas gráficamente y encontrar sus soluciones, y resolver sistemas mediante sustitución, igualación y reducción.
Este documento presenta fórmulas para calcular integrales indefinidas de diferentes funciones. En la sección 1.1 se presentan fórmulas para funciones racionales e irracionales que contienen términos como ax + b, √ax + b, x2 ± a2 y ax2 + bx + c. La sección 1.2 presenta fórmulas para funciones trigonométricas como sen ax, cos ax, tan ax y sus combinaciones. Finalmente, la sección 1.3 presenta fórmulas para funciones exponenciales como eax y funciones logar
Este documento proporciona fórmulas para calcular integrales indefinidas de funciones comunes. Incluye fórmulas para integrales de funciones racionales, irracionales, trigonométricas y polinómicas. Ha sido revisado varias veces para mejorar su precisión y utilidad como recurso de cálculo integral.
Este documento presenta 36 problemas de cálculo integral y aplicaciones de integrales dobles. Los problemas cubren temas como calcular integrales dobles sobre diferentes regiones planas, encontrar áreas y volúmenes de sólidos de revolución, y aplicar el teorema de Guldin.
Este documento presenta una serie de ejercicios relacionados con ecuaciones de segundo grado. Incluye identificar coeficientes, resolver ecuaciones cuadráticas completas e incompletas, determinar la naturaleza de las raíces, y resolver problemas que involucran ecuaciones cuadráticas y conceptos geométricos como perímetros, áreas y volúmenes. El documento contiene 17 secciones con múltiples partes cada una, abarcando diversos temas y métodos para trabajar con ecuaciones de segundo grado.
El documento presenta una introducción a la resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden, segundo orden y de orden superior. Explica métodos como separables, coeficientes indeterminados y variación de parámetros para resolver diferentes tipos de ecuaciones diferenciales. También aborda la resolución de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos ordinarios usando series de Taylor.
1. El documento presenta varios ejemplos de cálculo de áreas y volúmenes utilizando la integral definida. Incluye fórmulas para calcular el área bajo curvas, entre límites y el volumen de figuras geométricas cuando giran alrededor de ejes.
2. Se proporcionan ejercicios resueltos de calcular áreas limitadas por funciones y rectas, y volúmenes de prismas, cilindros y otros sólidos.
3. El documento muestra cómo aplicar la integral definida para
Este documento presenta varios ejercicios y problemas relacionados con funciones elementales. En la primera sección, se pide hallar el dominio de definición de varias funciones racionales y radicales. Luego, se incluyen ejercicios para representar gráficamente funciones dadas por partes, funciones valor absoluto y la función parte entera. Finalmente, se plantean problemas adicionales sobre dominios de definición y representación gráfica de funciones.
Este documento proporciona una revisión de conceptos básicos sobre matrices, incluyendo definiciones de elementos, tamaños, sumas, multiplicaciones por escalares, transposición, y sistemas de ecuaciones lineales. También cubre matrices especiales como triangulares, diagonales, cero e identidad.
Ejercicios resueltos integrales dobles y triples manoleter
Este documento presenta una serie de ejercicios resueltos sobre cálculo de integrales dobles en coordenadas rectangulares cartesianas. En total se presentan 7 problemas con sus respectivas soluciones, donde se calculan áreas, volúmenes y otras integrales dobles sobre diferentes regiones delimitadas por funciones.
Este documento proporciona una revisión de conceptos básicos sobre matrices, incluyendo definiciones de elementos, tamaños, sumas, multiplicaciones por escalares, transposición, y sistemas de ecuaciones lineales. También cubre matrices especiales como triangulares, diagonales, cero e identidad.
Este documento presenta nueve problemas resueltos sobre cálculo de integrales múltiples y de línea. En el primer problema se calcula la integral de una función definida en un rectángulo sobre la región donde no es nula. En el segundo problema se calcula el volumen de un sólido limitado por una superficie y dos planos. En el tercer problema se calcula una integral doble sobre una región delimitada por hipérbolas y líneas rectas.
Este documento presenta una serie de ejercicios de álgebra lineal resueltos por un ingeniero. Incluye problemas sobre matrices, sistemas de ecuaciones y asignación de recursos. Los ejercicios cubren temas como determinar el tamaño y tipo de matrices, realizar operaciones matriciales, resolver sistemas de ecuaciones y asignar producción optimizando costos.
Este documento presenta 8 preguntas de matemáticas con sus respectivas resoluciones. Las preguntas incluyen temas como sistemas de ecuaciones, sucesiones, funciones, programación lineal e inecuaciones. Cada resolución explica detalladamente los pasos para llegar a la respuesta correcta.
Ecuaciones exponenciales y logarítmicas 1ºbach.ccssMatemolivares1
Este documento presenta una serie de ejercicios relacionados con exponentes y logaritmos. Incluye la resolución de ecuaciones, sistemas de ecuaciones y expresiones logarítmicas, así como el cálculo de logaritmos en diferentes bases.
1. El documento presenta una serie de problemas de álgebra que incluyen ecuaciones polinomiales, sistemas de ecuaciones lineales, desigualdades y expresiones algebraicas. Se pide determinar valores numéricos, sumas de soluciones y otros resultados relacionados a la resolución de estos problemas.
2. Los problemas abarcan una variedad de temas como división de polinomios, raíces de ecuaciones cuadráticas, máximos y mínimos en funciones, sistemas compatibles e incompatibles, y desarrollo de binom
Este documento presenta 5 ejercicios de cálculo de integrales dobles. En cada ejercicio se grafica la región de integración y se determinan los intervalos de integración para las variables. Luego se resuelve la integral interna y se reduce la integral doble a una integral simple que puede evaluarse numéricamente. También incluye recomendaciones para resolver integrales dobles.
Este documento resume las propiedades geométricas de las secciones cónicas (elipse, hipérbola y parábola). Explica que son curvas que se forman al cortar un cono con un plano, y define cada una mediante su construcción geométrica basada en distancias o sumas/diferencias de distancias a puntos u objetos geométricos dados. Deriva las ecuaciones algebraicas de segundo grado que representan a cada curva cónica.
Este documento presenta varios ejemplos de cálculo de integrales dobles en diferentes regiones planas. Se evalúan integrales iteradas y cambiando el orden de integración. También se aplican integrales dobles para calcular áreas, volúmenes y otros conceptos geométricos y físicos.
Este documento presenta 10 ejercicios de ecuaciones de primer grado. Los ejercicios 1-5 involucran encontrar soluciones a ecuaciones mediante prueba y error. Los ejercicios 6-9 implican resolver ecuaciones de primer grado de manera algebraica y comprobar las soluciones. El ejercicio 10 pide comprobar si cuatro ecuaciones adicionales son de primer grado y encontrar sus soluciones.
(1) (R2, ∗, R, •) es un espacio vectorial, ya que se cumplen las 10 propiedades para que (V, *, K, •) sea un espacio vectorial. Las operaciones suma y producto escalar - vector están bien definidas y cumplen con las propiedades requeridas para un espacio vectorial.
1) El documento presenta un repaso sobre factorización en álgebra, incluyendo factor común, factorización por grupos, diferencia de cuadrados, diferencia de cubos, suma de cubos, y factorización de trinomios.
2) Se proveen ejemplos detallados de cada tipo de factorización con explicaciones paso a paso.
3) El documento concluye con una sección de práctica que contiene ejercicios de factorización para que los estudiantes apliquen los conceptos aprendidos.
For integrales(calculo diferencial)[otro]JeanGumiel
Este documento proporciona fórmulas para calcular integrales indefinidas de varias funciones, incluidas funciones racionales, irracionales, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. Presenta 77 fórmulas diferentes agrupadas por tipo de función, como funciones que contienen ax + b, raíces cuadradas, funciones trigonométricas como sen ax, cos ax, etc. El documento ha sido revisado varias veces para mejorar la precisión y claridad de las fórmulas presentadas.
Este documento proporciona fórmulas para calcular integrales indefinidas de varias funciones, incluidas funciones racionales, irracionales, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. Presenta 77 fórmulas diferentes agrupadas por tipo de función, como funciones que contienen ax + b, raíces cuadradas, funciones trigonométricas como sen ax, cos ax, etc. El documento ha sido revisado varias veces para mejorar la precisión y claridad de las fórmulas presentadas.
Este documento proporciona fórmulas para calcular integrales indefinidas de varias funciones, incluidas funciones racionales, irracionales, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. Presenta 77 fórmulas diferentes agrupadas por el tipo de función, como funciones que contienen ax + b, raíces cuadradas, funciones trigonométricas como sen ax, cos ax, etc. El documento ha sido revisado varias veces para mejorar la precisión y claridad de las fórmulas presentadas.
1. El documento presenta una serie de ejercicios sobre expresiones algebraicas que involucran polinomios, divisibilidad, factores y operaciones con fracciones algebraicas.
2. Se piden hallar si ciertos polinomios son divisibles, expresar polinomios en forma de producto de factores, realizar operaciones con fracciones algebraicas, y resolver problemas que involucran la producción de una empresa.
3. Finalmente, se plantea un problema sobre la inversión de capital con parte en un fondo y parte en bolsa, expresando las cantidades en función de las
1. El documento presenta fórmulas para calcular integrales de funciones elementales como potencias, logaritmos, exponenciales y trigonométricas. También incluye métodos para integrales más complejas mediante sustitución, partes o identidades trigonométricas.
Este documento presenta un programa de recuperación pedagógica con ejercicios de álgebra que incluyen: 1) Hallar el máximo común divisor y mínimo común múltiplo de polinomios. 2) Simplificar expresiones algebraicas. 3) Resolver ecuaciones y desigualdades. El programa contiene 10 ejercicios con el objetivo de reforzar conceptos básicos de álgebra.
1. El documento presenta varios ejemplos de cálculo de áreas y volúmenes utilizando la integral definida. Incluye fórmulas para calcular el área bajo curvas, entre límites y el volumen de figuras geométricas cuando giran alrededor de ejes.
2. Se proporcionan ejercicios resueltos de calcular áreas limitadas por funciones y rectas, y volúmenes de prismas, cilindros y otros sólidos.
3. El documento muestra cómo aplicar la integral definida para
Este documento presenta varios ejercicios y problemas relacionados con funciones elementales. En la primera sección, se pide hallar el dominio de definición de varias funciones racionales y radicales. Luego, se incluyen ejercicios para representar gráficamente funciones dadas por partes, funciones valor absoluto y la función parte entera. Finalmente, se plantean problemas adicionales sobre dominios de definición y representación gráfica de funciones.
Este documento proporciona una revisión de conceptos básicos sobre matrices, incluyendo definiciones de elementos, tamaños, sumas, multiplicaciones por escalares, transposición, y sistemas de ecuaciones lineales. También cubre matrices especiales como triangulares, diagonales, cero e identidad.
Ejercicios resueltos integrales dobles y triples manoleter
Este documento presenta una serie de ejercicios resueltos sobre cálculo de integrales dobles en coordenadas rectangulares cartesianas. En total se presentan 7 problemas con sus respectivas soluciones, donde se calculan áreas, volúmenes y otras integrales dobles sobre diferentes regiones delimitadas por funciones.
Este documento proporciona una revisión de conceptos básicos sobre matrices, incluyendo definiciones de elementos, tamaños, sumas, multiplicaciones por escalares, transposición, y sistemas de ecuaciones lineales. También cubre matrices especiales como triangulares, diagonales, cero e identidad.
Este documento presenta nueve problemas resueltos sobre cálculo de integrales múltiples y de línea. En el primer problema se calcula la integral de una función definida en un rectángulo sobre la región donde no es nula. En el segundo problema se calcula el volumen de un sólido limitado por una superficie y dos planos. En el tercer problema se calcula una integral doble sobre una región delimitada por hipérbolas y líneas rectas.
Este documento presenta una serie de ejercicios de álgebra lineal resueltos por un ingeniero. Incluye problemas sobre matrices, sistemas de ecuaciones y asignación de recursos. Los ejercicios cubren temas como determinar el tamaño y tipo de matrices, realizar operaciones matriciales, resolver sistemas de ecuaciones y asignar producción optimizando costos.
Este documento presenta 8 preguntas de matemáticas con sus respectivas resoluciones. Las preguntas incluyen temas como sistemas de ecuaciones, sucesiones, funciones, programación lineal e inecuaciones. Cada resolución explica detalladamente los pasos para llegar a la respuesta correcta.
Ecuaciones exponenciales y logarítmicas 1ºbach.ccssMatemolivares1
Este documento presenta una serie de ejercicios relacionados con exponentes y logaritmos. Incluye la resolución de ecuaciones, sistemas de ecuaciones y expresiones logarítmicas, así como el cálculo de logaritmos en diferentes bases.
1. El documento presenta una serie de problemas de álgebra que incluyen ecuaciones polinomiales, sistemas de ecuaciones lineales, desigualdades y expresiones algebraicas. Se pide determinar valores numéricos, sumas de soluciones y otros resultados relacionados a la resolución de estos problemas.
2. Los problemas abarcan una variedad de temas como división de polinomios, raíces de ecuaciones cuadráticas, máximos y mínimos en funciones, sistemas compatibles e incompatibles, y desarrollo de binom
Este documento presenta 5 ejercicios de cálculo de integrales dobles. En cada ejercicio se grafica la región de integración y se determinan los intervalos de integración para las variables. Luego se resuelve la integral interna y se reduce la integral doble a una integral simple que puede evaluarse numéricamente. También incluye recomendaciones para resolver integrales dobles.
Este documento resume las propiedades geométricas de las secciones cónicas (elipse, hipérbola y parábola). Explica que son curvas que se forman al cortar un cono con un plano, y define cada una mediante su construcción geométrica basada en distancias o sumas/diferencias de distancias a puntos u objetos geométricos dados. Deriva las ecuaciones algebraicas de segundo grado que representan a cada curva cónica.
Este documento presenta varios ejemplos de cálculo de integrales dobles en diferentes regiones planas. Se evalúan integrales iteradas y cambiando el orden de integración. También se aplican integrales dobles para calcular áreas, volúmenes y otros conceptos geométricos y físicos.
Este documento presenta 10 ejercicios de ecuaciones de primer grado. Los ejercicios 1-5 involucran encontrar soluciones a ecuaciones mediante prueba y error. Los ejercicios 6-9 implican resolver ecuaciones de primer grado de manera algebraica y comprobar las soluciones. El ejercicio 10 pide comprobar si cuatro ecuaciones adicionales son de primer grado y encontrar sus soluciones.
(1) (R2, ∗, R, •) es un espacio vectorial, ya que se cumplen las 10 propiedades para que (V, *, K, •) sea un espacio vectorial. Las operaciones suma y producto escalar - vector están bien definidas y cumplen con las propiedades requeridas para un espacio vectorial.
1) El documento presenta un repaso sobre factorización en álgebra, incluyendo factor común, factorización por grupos, diferencia de cuadrados, diferencia de cubos, suma de cubos, y factorización de trinomios.
2) Se proveen ejemplos detallados de cada tipo de factorización con explicaciones paso a paso.
3) El documento concluye con una sección de práctica que contiene ejercicios de factorización para que los estudiantes apliquen los conceptos aprendidos.
For integrales(calculo diferencial)[otro]JeanGumiel
Este documento proporciona fórmulas para calcular integrales indefinidas de varias funciones, incluidas funciones racionales, irracionales, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. Presenta 77 fórmulas diferentes agrupadas por tipo de función, como funciones que contienen ax + b, raíces cuadradas, funciones trigonométricas como sen ax, cos ax, etc. El documento ha sido revisado varias veces para mejorar la precisión y claridad de las fórmulas presentadas.
Este documento proporciona fórmulas para calcular integrales indefinidas de varias funciones, incluidas funciones racionales, irracionales, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. Presenta 77 fórmulas diferentes agrupadas por tipo de función, como funciones que contienen ax + b, raíces cuadradas, funciones trigonométricas como sen ax, cos ax, etc. El documento ha sido revisado varias veces para mejorar la precisión y claridad de las fórmulas presentadas.
Este documento proporciona fórmulas para calcular integrales indefinidas de varias funciones, incluidas funciones racionales, irracionales, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. Presenta 77 fórmulas diferentes agrupadas por el tipo de función, como funciones que contienen ax + b, raíces cuadradas, funciones trigonométricas como sen ax, cos ax, etc. El documento ha sido revisado varias veces para mejorar la precisión y claridad de las fórmulas presentadas.
1. El documento presenta una serie de ejercicios sobre expresiones algebraicas que involucran polinomios, divisibilidad, factores y operaciones con fracciones algebraicas.
2. Se piden hallar si ciertos polinomios son divisibles, expresar polinomios en forma de producto de factores, realizar operaciones con fracciones algebraicas, y resolver problemas que involucran la producción de una empresa.
3. Finalmente, se plantea un problema sobre la inversión de capital con parte en un fondo y parte en bolsa, expresando las cantidades en función de las
1. El documento presenta fórmulas para calcular integrales de funciones elementales como potencias, logaritmos, exponenciales y trigonométricas. También incluye métodos para integrales más complejas mediante sustitución, partes o identidades trigonométricas.
Este documento presenta un programa de recuperación pedagógica con ejercicios de álgebra que incluyen: 1) Hallar el máximo común divisor y mínimo común múltiplo de polinomios. 2) Simplificar expresiones algebraicas. 3) Resolver ecuaciones y desigualdades. El programa contiene 10 ejercicios con el objetivo de reforzar conceptos básicos de álgebra.
Sesión de Aprendizaje de Factorización de polinomios P(x) ccesaDemetrio Ccesa Rayme
Este documento presenta varios ejercicios de álgebra para practicar la factorización de polinomios. Se proporcionan los pasos de resolución para cada ejercicio y la respuesta correcta. El objetivo es desarrollar las habilidades necesarias para descomponer polinomios en factores primos.
1. El documento presenta 20 problemas matemáticos de diferentes temas como ecuaciones, simplificación de expresiones, división de polinomios y cocientes notables.
2. Los problemas van desde hallar valores numéricos hasta determinar el número de términos de una división notable.
3. La mayoría de los problemas requieren aplicar operaciones básicas como suma, resta, multiplicación y división, así como conceptos como grado de un monomio o términos de una sucesión.
1. El documento presenta 20 problemas matemáticos de diferentes temas como ecuaciones, simplificación de expresiones, división de polinomios y cocientes notables.
2. Los problemas van desde hallar valores numéricos, simplificar expresiones algebraicas, hasta determinar términos y propiedades de cocientes notables.
3. La variedad de problemas abarca diferentes niveles de dificultad y conocimientos matemáticos.
El documento resume varios conceptos y propiedades fundamentales del álgebra, incluyendo: 1) la multiplicación de binomios y trinomios, 2) el desarrollo de expresiones como (a+b)2, (a+b)3, y (a+b+c)3, 3) identidades como las de Legendre y Cauchy. El documento también presenta biografías breves de Euclides, Legendre y Cauchy y sus contribuciones al álgebra.
Este documento contiene una lista de 33 integrales para resolver. Algunas de las integrales involucran funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. La lista parece ser un conjunto de ejercicios para que los estudiantes practiquen la técnica de integración por partes.
Este documento contiene una lista de 33 integrales para resolver. Algunas de las integrales involucran funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. La lista parece ser un conjunto de ejercicios para que los estudiantes practiquen la técnica de integración por partes.
1) El documento introduce el concepto de integral como la operación inversa a la derivación. La integral indefinida de una función f(x) se representa mediante el símbolo ∫ f(x) dx.
2) Se presentan las reglas básicas para calcular integrales, incluyendo sumas algebraicas, funciones elevadas a exponentes constantes, funciones trigonométricas y logarítmicas.
3) Se proveen ejemplos detallados para aplicar estas reglas al cálculo de diferentes integrales indefinidas. Finalmente, se proponen ejerc
El documento explica los diferentes métodos para factorizar expresiones algebraicas: 1) Factorizar factores comunes, 2) Agrupar términos o usar fórmulas para trinomios cuadrados perfectos y diferencias/sumas de cuadrados/cubos, 3) Asegurarse de que la expresión está completamente factorizada. Se proveen ejemplos resueltos para ilustrar cada método.
Este documento describe diferentes métodos para factorizar expresiones algebraicas, incluyendo:
1) Usar un factor común monomio o polinomio.
2) Aplicar identidades como la diferencia de cuadrados o la suma/diferencia de cubos.
3) El método del aspa simple o el método de Ruffini para divisores binomios.
4) Agrupar términos para encontrar factores comunes.
Se proveen ejemplos resueltos para ilustrar cada método.
1. El apéndice presenta ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y métodos para resolverlas. Incluye ejercicios de clasificación, demostración de soluciones, determinación de constantes, y resolución de problemas de valores iniciales.
2. Se explican conceptos como ecuaciones exactas, factores integrantes, y soluciones generales y particulares. También se analizan propiedades de las ecuaciones homogéneas.
3. El documento contiene 25 ejercicios para que el lector aplique los métodos trat
El documento explica el método de integración por partes, que permite calcular integrales de productos descomponiéndolas en la suma de dos integrales. Presenta la fórmula general y resuelve varios ejemplos como x cos(x)dx, x2exdx y arctan(x)dx. También introduce métodos alternativos como la integración tabular y por fracciones parciales para integrales más complejas.
Este documento presenta una lección sobre integrales elementales. Explica que las integrales, al igual que las derivadas, tienen interpretaciones geométricas como calcular áreas o volúmenes. Luego, resuelve 6 ejemplos de integrales elementales y propone 3 ejercicios adicionales para que los estudiantes practiquen. El objetivo es que los estudiantes se familiaricen con integrales sencillas que sólo requieren transformaciones algebraicas básicas.
Este documento presenta 7 problemas resueltos de cálculo. Los problemas incluyen ecuaciones, desigualdades, funciones y raíces. La última pregunta determina el intervalo de valores para que una ecuación cuadrática tenga raíces de distinto signo.
Este documento resume los tipos básicos de ecuaciones de segundo grado, cuarto grado y ecuaciones irracionales. Explica que las ecuaciones de segundo grado completas se resuelven usando la fórmula cuadrática y que el signo del discriminante determina el número de soluciones. También resume las propiedades de las raíces de una ecuación de segundo grado y cómo resolver ecuaciones bicuadráticas y ecuaciones irracionales mediante pasos sistemáticos.
Este documento proporciona fórmulas para calcular integrales indefinidas de funciones racionales, irracionales, trigonométricas y sus combinaciones. Incluye más de 70 fórmulas para integrar funciones que contienen términos como ax + b, √ax + b, senax, cosax, tanax y más. El documento ha sido revisado varias veces para mejorar la precisión y completitud de las fórmulas provistas.
Este documento proporciona reglas para derivar funciones comunes. Incluye reglas para la suma, resta, producto y cociente de funciones, así como funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. También presenta tres métodos para derivar funciones logarítmicas.
Este documento presenta los diferentes tipos de funciones elementales (lineales, cuadráticas, de proporcionalidad inversa, radicales, exponenciales y logarítmicas) que se estudian en Matemáticas B de 4o de ESO. Explica las características y forma de representar gráficamente cada tipo de función, así como cómo resolver ecuaciones que involucren funciones exponenciales y logarítmicas.
Este documento describe diferentes métodos de muestreo para seleccionar una parte representativa de una población más grande cuando no es posible o conveniente analizar a todos los elementos. Describe métodos probabilísticos como el muestreo aleatorio simple, sistemático y estratificado, así como métodos no probabilísticos como el muestreo por cuotas o de conveniencia. Explica las ventajas e inconvenientes de cada método de muestreo.
Las pruebas paramétricas permiten realizar contrastes de hipótesis sobre la media, proporción y varianza de una o dos poblaciones utilizando distribuciones como la normal o t de Student. El documento presenta un ejemplo de contrastar si la media de la altura de una muestra difiere significativamente del valor poblacional reportado, concluyendo que sí difiere. También contrasta si la media de una variable difiere de otra utilizando datos independientes, concluyendo que no difieren.
Un bloque académico se compone de unidades de un curso que contienen recursos y actividades. Los recursos incluyen páginas de texto, fragmentos HTML, archivos, enlaces web y páginas web, mientras que las actividades son consultas, encuestas, tareas, cuestionarios, talleres, wikis y chats destinados a evaluar a los estudiantes. Un ejemplo muestra los recursos y actividades de una unidad, incluyendo exposición de información, autocrítica y construcción de conocimiento.
Este documento presenta la planificación de un programa de capacitación docente en procesos de e-learning dirigido a profesores del Instituto Tecnológico Gamma. El programa se implementará a través de la plataforma Moodle durante 3 meses y capacitará a los docentes en el uso de herramientas TIC y estrategias de la web 2.0 para facilitar procesos de aprendizaje. El equipo TRIUNFADORES, conformado por un comunicador, un tecnólogo y docentes, llevará a cabo el programa con el apoyo de té
Este documento define conceptos básicos sobre funciones, incluyendo: 1) una función es una relación entre dos magnitudes donde a cada valor de la primera corresponde un único valor de la segunda; 2) el dominio de una función es el subconjunto de números reales que tienen imagen; 3) existen diferentes clases de funciones como funciones compuestas, funciones inversas, funciones pares e impares, y funciones periódicas.
Este documento contiene una oración que pide a Dios ayuda para decir la verdad ante los poderosos y no mentir para agradar a los débiles. Luego presenta una serie de oraciones breves pidiendo a Dios fuerza, humildad, sabiduría, tolerancia y perdón. Finalmente pide a Dios que no se olvide de la persona aunque esta se olvide de Él.
C:\Documents And Settings\Administrador\Mis Documentos\ElpaquetedegalletasSilvia Haro
Una mujer en la estación compra galletas mientras espera el tren retrasado. Un joven se sienta a su lado y empieza a comerse las galletas sin permiso. Esto enfada a la mujer y comienzan a comerse las galletas uno frente al otro. Cuando queda la última galleta, el joven amablemente la parte a la mitad y se la ofrece. Para su sorpresa, la mujer encuentra después que sus propias galletas estaban intactas en su bolso.
C:\Documents And Settings\Administrador\Mis Documentos\MéTodos NuméRicos Intr...Silvia Haro
El documento describe los métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo métodos directos e iterativos. Se utilizará una matriz simétrica y definida positiva de 10x10 y un vector de términos independientes para demostrar los métodos. Los métodos directos como Cholesky se usarán para resolver el sistema de forma exacta, mientras que métodos iterativos como Jacobi y Gauss-Seidel se usarán para aproximar la solución de forma numérica.
1. Se resuelve el límite de la función f(x) = 9 - 3x cuando x se acerca a 5, obteniendo como resultado -6.
2. Se resuelve el límite de la función f(x) = (2x^2 - x - 1)/(x - 1) cuando x se acerca a 1, obteniendo como resultado 3.
3. Se evalúa el límite de la función f(x) = x^n cuando h se acerca a 0, obteniendo como resultado n·2^(n-1).
Este documento trata sobre el cálculo diferencial. Explica que estudia el cambio de variables dependientes cuando cambian las variables independientes de funciones. Se enfoca en el estudio de la derivada y su relación con la tangente a una curva. También describe cómo se definen y calculan las derivadas de orden superior y algunas aplicaciones importantes del cálculo diferencial como encontrar la recta tangente y aproximaciones locales.
El documento describe la definición formal del límite de una función en un punto entre dos espacios métricos. Explica que el límite de una función f en un punto c es un valor L si para todo ε>0 existe un δ>0 tal que si la distancia entre x e c es menor que δ, entonces la distancia entre f(x) y L es menor que ε. También menciona algunos tipos de indeterminaciones como 0/0 y ejemplos de límites que tienden a infinito o cero.
1. Formulario de integrales
c 2001-2005 Salvador Blasco Llopis
Este formulario puede ser copiado y distribuido libremente bajo la licencia
Creative Commons Atribuci´n 2.1 Espa˜a.
o n
S´ptima revisi´n: Febrero
e o 2005
Sexta revisi´n: Julio
o 2003
Quinta revisi´n: Mayo
o 2002
Cuarta revisi´n: Mayo
o 2001
Tercera revisi´n: Marzo
o 2001
1. Integrales indefinidas
1.1. Funciones racionales e irracionales
1.1.1. Contienen ax + b
1
(1) (ax + b)n dx = (ax + b)n+1 + C, n=1
a(n + 1)
dx 1
(2) = ln |ax + b| + C
ax + b a
dx 1 x
(3) = ln +C
x(ax + b) a ax + b
dx 1 1
(4) 2
=− · +C
(1 + x) 1+ x
xdx 1 2 1 1
(5) =− · − · +C
(1 + bx)3 2b (1 + bx)2 2b 1 + bx
√
1.1.2. Contienen ax + b
√ 2(3bx − 2a)(a + bx)3/2
(6) x a + bxdx = +C
15b2
√
x 2(bx − 2a) a + bx
(7) √ dx = +C
a + bx 3b2
1
2. √ √
dx √ ln
1 √a+bx−√a + C, a>0
a a+bx+ a
(8) √ =
x a + bx √2 arctan a+bx + C, a<0
−a −a
√
a + bx √ dx
(9) dx = 2 a + bx + a √ +C
x x a + bx
1.1.3. Contienen x2 ± a2
dx 1 x
(10) = arctan + C, a>0
a2 + x2 a a
xdx 1
(11) =√ +C
(x2 ±a 2 )3/2
x 2 ± a2
1.1.4. Contienen a2 − x2 , x<a
x a2 x
(12) (a2 − x2 )3/2 dx = a 2 − x2 + arc sen + C, a>0
2 2 a
dx 1 a+x 1 x
(13) = ln + C = arctanh
a2 − x2 2a a−x a a
dx x
(14) = √ +C
(a2 −x 2 )3/2
a 2 a2 − x2
√
1.1.5. Contienen x2 ± a 2
1
(15) x2 ± a2 dx = x a2 ± x2 + a2 ln x + a2 ± x2 + C =
2
1
√ a2
2 2
= 2 x√a + x + 2 arcsenhx + C (+)
2
1
2 x a2 − x2 + a arccoshx + C (−)
2
1 2
(16) x x2 ± a2 dx = (x ± a2 )3/2 + C
3
1 2
(17) x3 x2 + a2 dx = ( x2 − a2 )(a2 + x2 )3/2 + C
5 5
√
x2 − a 2 a
(18) dx = x2 − a2 − a · arc cos +C
x |x|
dx x
(19) √ = a · arcsenh + C
x2 + a 2 a
dx x
(20) √ = ln x + x2 − a2 + C = arccosh + C, (a > 0)
x2 − a2 a
dx 1 a
(21) √ = arc cos + C, (a > 0)
x x 2 − a2 a |x|
2
3. √
dx x2 ± a 2
(22) √ = +C
x 2 x2 ± a 2 a2 x
xdx
(23) = x2 ± a 2 + C
x2 ± a 2
√
x2 ± a 2 (a2 + x2 )3/2
(24) 4
dx = +C
x 3a2 x3
x2 x a2 x
(25) √ dx = x2 − a 2 − arccosh + C
x 2 − a2 2 2 a
√
1.1.6. Contienen a2 ± x2
1 a2 x
(26) a2 − x2 dx = x a2 − x2 − arc sen + C, (a > 0)
2 2 a
1
(27) x a2 ± x2 dx = ± (a2 ± x2 )3/2 + C
3
x a2 x
(28) x2 (2x2 − a2 ) a2 − x2 +
a2 − x2 dx = arc sen + C, a>0
8 8 a
√ √
a2 ± x2 a + a2 ± x2
(29) dx = a2 ± x2 − a ln +C
x x
√
dx − a2 − x2
(30) √ = +C
x2 a 2 − x 2 a2 x
dx x
(31) √ = arc sen + C, a > 0
a2
−x 2 a
√
dx 1 a + a2 − x2
(32) √ = − ln +C
x a2 − x2 a x
x
(33) √ dx = ± a 2 ± x2 + C
a2 ± x2
x2 x a2 x
(34) √ dx = ± a 2 ± x2 arc sen + C, a>0
a2 ±x 2 2 2 a
dx x
(35) √ = ln x + a2 + x2 + C = arcsenh + C, a>0
a2 + x2 a
1.1.7. Contienen ax2 + bx + c
√
√ 21 2ax+b− b2 −4ac
b −4ac ln 2ax+b+√b2 −4ac =
√ 2
dx = b2 −4ac arctanh √2ax+b + C, b2 > 4ac
(36) = b2 −4ac
ax2 + bx + c √ 2
4ac−b2 arctan √2ax+b 2 + C, b2 < 4ac
4ac−b
2
− 2ax+b + C, b2 = 4ac
3
4. x 1 b dx
(37) dx = ln ax2 + bx + c − +C
ax2 + bx + c 2a 2a ax2 + bx + c
x · dx bx + 2c
(38) = 2 +
(ax2 + bx + c) n (b − 4ac)(n − 1)(ax2 + bx + c)n−1
b(2n − 3) dx
+ 2 2 + bx + c)n−1
, n = 0, 1, b2 < 4ac
(b − 4ac)(n − 1) (ax
dx 2ax + b
(39) = +
(ax2 + bx + c)n −(b2 − 4ac)(n − 1)(ax2 + bx + c)n−1
2a(2n − 3) dx
+ , n = 0, 1, b2 < 4ac
−(b2 − 4ac)(n − 1) (ax2 + bx + c)n−1
√
1.1.8. Contienen ax2 + bx + c
(40)
2ax + b 4ac − b2 dx
ax2 + bx + cdx = ax2 + bx + c + √
4a 8a ax2 + bx + c
a 0 + a 1 x + . . . + a n xn
(41) √ dx Ver §3.5, p´g. 11: m´todo alem´n
a e a
ax2 + bx + c
dx 1 √
(42) √ = √ ln 2ax + b + a ax2 + bx + c + C =
ax2 + bx + c a
1 2ax+b
√a arcsenh √4ac−b2 + C,
∆ < 0, a > 0;
1
√ ln |2ax + b| + C, ∆ = 0, a > 0; , ∆ = b2 − 4ac
a1
√
− −a
arc sen √2ax+b + C, ∆ > 0, a < 0;
b2 −4ac
√
x ax2 + bx + c b dx
(43) √ dx = − √
ax 2 + bx + c a 2a ax 2 + bx + c
√ √ 2
dx −1 ln 2 c ax +bx+c+bx+2c + C, c > 0
√
c x
(44) √ =
x ax 2 + bx + c √1 arc sen √ 2bx+2c
+ C, c<0
−c |x| b −4ac
1.2. Funciones trigonom´tricas
e
1.2.1. Contienen sen ax
dx 1 ax
(45) = ln tan +C
sen ax a 2
1 ax − cos ax · sen ax x sen 2ax
(46) sen2 axdx = · +C = − +C
2 a 2 4a
4
5. senn−1 ax · cos ax n − 1
(47) senn axdx = − + senn−2 axdx, n = 0, −1;
a·n n
1 cos(a + b)x 1 cos(a − b)x
(48) sen ax sen bxdx = − − + C, a 2 = b2
2 a+b 2 a−b
1 n
(49) xn sen axdx = − xn cos ax + xn−1 cos axdx
a a
∞
sen ax (ax)2ν−1
(50) dx =
x ν=0
(2ν − 1) · (2ν − 1)!
dx 1 ax π
(51) = tan +C
1 ± sen ax a 2 4
1.2.2. Contienen cos ax
1 ax + cos ax · sen ax
(52) cos2 axdx = · +C
2 a
dx 1 ax π
(53) = ln tan − +C
cos ax a 2 4
∞
cos ax (ax)2ν
(54) dx = ln |ax| + (−1)ν +C
x ν=1
(2ν) · (2ν)!
cosn−1 ax · sen ax n − 1
(55) cosn axdx = + cosn−2 axdx+C, n = 0, −1;
a·n n
1 sen(a − b)x 1 sen(a + b)x
(56) cos ax cos bxdx = − + + C, a 2 = b2
2 a−b 2 a+b
1 n n
(57) xn cos axdx = x sen ax − xn−1 sen axdx + C, n = −1
a a
dx 1 ax
(58) = ± tan +C
1 ± cos ax a 2
1.2.3. Contienen tan ax o cot ax
1
(59) tan axdx = − ln cos ax + C
a
(60) tan2 xdx = tan x − x + C
tann−1 ax
(61) tann axdx = − tann−2 axdx, n = 1, 0;
a(n − 1)
1
(62) cot axdx = ln sen ax + C
a
cotn−1 ax
(63) cotn axdx = − − cotn−2 axdx + C, n = 1, 0;
a(n − 1)
5
6. 1.2.4. Contienen sec ax o csc ax
1 ax ax ax ax
(64) sec axdx = ln cos + sen − ln cos − sen +C
a 2 2 2 2
1
(65) sec2 axdx = tan ax + C
a
1 tan ax · secn−2 ax 1 n − 2 1 n−2
(66) secn xdx = + ax · dx + C, n = 1;
a n−1 a n − 1 sec
1
(67) csc2 axdx = − cot ax + C
a
1 cot ax · cscn−2 1 n − 2
(68) cscn axdx = − + · cscn−2 ax·dx+C, n = 1;
a n−1 a n−1
1.2.5. Varias funciones
(69) sec x · tan ax · dx = sec x + C
(70) csc x · cot x · dx = − csc x + C
cosm−1 x·senn+1 x m−1
+ cosm−2 x · senn x · dx
(71) cosm x · senn x · dx = m+n
cosm+1 x·senn−1 x
m+n
n−1
m+n + m+n cosm x · senn−2 x · dx
1.2.6. funciones trigonom´tricas inversas
e
x x
(72) arc sen dx = x · arc sen + a2 − x2 + C, a > 0;
a a
x x
(73) arc cos dx = x · arc cos − a2 − x2 + C, a > 0;
a a
x x 1 x2
(74) arctan dx = x · arctan − a ln 1 + 2 + C, a > 0;
a a a a
x 1 x a
(75) arccot dx = x · arccot + ln(a2 + x2 ) + C
a a a 2
(76) x · arc cos xdx = x · arc cos x + arc sen x + C
6
7. 1.3. Funciones exponenciales y/o logar´
ıtmicas
xn eax n
(77) xn eax dx = − xn−1 eax dx
a a
eax (a sen bx − b cos bx)
(78) eax sen bx · dx = +C
a2 + b 2
eax (b sen bx + a cos bx)
(79) eax cos bx · dx = +C
a2 + b 2
dx x ln(a + benx )
(80) = − +C
a + benx a an
x
(81) loga xdx = x loga x − + C, ∀a > 0;
ln a
2x2 ln x − x2
(82) x ln xdx = +C
4
ln ax 1
(83) xn ln ax · dx = xn+1 − +C
n + 1 (n + 1)2
(84)
xn+1 m
xn (ln ax)m dx = (ln ax)m − xn (ln ax)m−1 dx, n, m = −1, x > 0;
n+1 n+1
(85) ln axdx = x ln ax − x + C, x > 0;
∞
eax (ax)i
(86) dx = ln |x| + +C
x i=1
i · i!
1 ax 1 eax
(87) eax ln x · dx = e ln |x| − dx + C
a a x
∞
dx lni x
(88) = ln | ln x| + + C, x > 0;
ln x i=1
i · i!
dx
(89) = ln | ln x| + C, x > 0;
x ln x
lnn x 1
(90) dx = lnn+1 x, n = −1, x > 0;
x x+1
7
8. 1.4. Funciones hiperb´licas
o
1
(91) senh axdx = cosh ax + C
a
1 1
(92) senh2 xdx = senh 2x − x + C
4 2
1
(93) cosh axdx = senh ax + C
a
1 1
(94) cosh2 xdx = senh 2x + x + C
4 2
1
(95) tanh axdx = ln | cosh ax| + C
a
1
(96) coth axdx = ln | senh ax| + C
a
(97) sechxdx = arctan(senh x) + C
(98) sech2 xdx = tanh x + C
x 1 cosh x + 1
(99) cschxdx = ln tanh = − ln +C
2 2 cosh x − 1
(100) senh x · tanh x · dx = −sechx + C
(101) cschx · coth x · dx = −cschx + C
1.4.1. funciones hiperb´licas inversas
o
x x
(102) arcsenh dx = x arcsenh − a2 + x2 + C, a>0
a a
√
x x arccosh x − x2 − a2 + C,
a arccosh x > 0, a > 0;
a
(103) arccosh dx = √
a x arccosh x + x2 − a2 + C,
a arccosh x < 0, a > 0;
a
x x 1
(104) arctanh dx = x arctanh + a ln(a2 − x2 ) + C
a a 2
x x 1
(105) arccoth dx = x arccoth + a ln(x2 − a2 ) + C
a a 2
x x x2
(106) arcsenh dx = x arcsech − a arc sen 1− +C
a a a2
x x x2
(107) arcsech dx = x arccsch + a arccosh 1 + 2 + C
a a a
8
9. 2. Integrales definidas
∞
n!
(108) xn e−qx dx = , n > −1, q > 0;
0 q n+1
∞
2 Γ[(m + 1)/2]
(109) xm e−ax dx = , a>0
0 2a(m+1)/2
n!
= , Si m impar : m = 2n + 1
2an+1
1 · 3 · . . . · (2n − 1) π
= , Si m par : m = 2n
2n+1 a2n+1
2 2 1 π √
(110) x2 e−ax dx = − e−a + erf( a)
0 2a 4 a3
(111)
∞
n!e−at a 2 t2 a n tn
xn e−ax dx = 1 + at + +...+ , n = 0, 1, . . . , a > 0;
t an+1 2! n!
∞ ∞
2 n−1 2
(112) xn e−ax dx = xn−2 e−ax dx
0 2a 0
∞
2 1 π
(113) e−ax dx =
0 2 a
∞
2 1
(114) xe−ax dx =
0 2a
x
dx 1
(115) = ln
0 1−x 1−x
x
dx x
(116) =
0 (1 − x)2 1−x
x
dx 1
(117) = ln(1 + x)
0 1+ x
x
1+ x 1
(118) dx = (1 + ) ln − x
0 1−x 1−x
x
1+ x (1 − )x 1
(119) 2
dx = − ln
0 (1 − x) 1−x 1−x
x
(1 + x)2 2 (1 + )2 x
(120) dx = 2 (1 + ) ln(1 − x) + x+
0 (1 − x)2 1−x
x
dx 1 ΘB − x
(121) = ln , ΘB = 1
0 (1 − x)(ΘB − x) ΘB − 1 ΘB (1 − x)
x
dx −2 2
(122) = + , b2 = 4ac
0 ax2 + bx + c 2ax + b b
(123)
9
10. x
dx 1 q x−p
= ln · , b2 > 4ac; p, q son las ra´
ıces;
0 ax2 + bx + c a(p − q) p x−q
x
a + bx bx ag − bc
(124) dx = + ln(c + gx)
0 c + gx g g2
3. M´todos de integraci´n
e o
3.1. Integraci´n por partes:
o
u · dv = u · v − v · du
3.2. Integraci´n por sustituci´n:
o o
si x = g(t) es un funci´n que admite derivada cont´
o ınua no nula y funci´n
o
inversa t = h(x) y F (t) es una primitiva de f (g(t))g (t) se tiene que:
f (x)dx = F (h(x)) + C
3.3. Integraci´n de funciones racionales:
o
F (x)
Queremos hallar Q(x) dx siendo F (x) y Q(x) polinomios de coeficientes
reales. Si el grado de F es mayor que el de Q se hace la divisi´n para obtener
o
F (x) R(x)
Q(x) dx = C(x)dx + Q(x) dx. La primera integral es inmediata. Para la
segunda se admite que Q(x) se puede descomponer de la siguiente manera:
Q(x) = a0 (x − a)p . . . (x − a)q [(x − c)2 + d2 ]r . . . [(x − e)2 + f 2 ]s y es unica. En
´
tal caso, el integrando del segundo t´rmino se puede descomponer como sigue:
e
R(x) A1 A2 Ap B1 B2 Bq
Q(x) = (x−a)p + (x−a)p−1 + . . . + x−a + . . . + (x−b)q + (x−b)q−1 + . . . + x−b +
M1 x+N1 Mr x+Nr H1 x+K Hs x+Ks
+ . . . + (x−c)2 +d2 + . . . + ((x−e)2 +f12 )s + . . . + (x−e)2 +f 2 . Todas
((x−c)2 +d2 )r−1
las constantes se obtienen identificando coeficientes. Al resolver los sumando se
obtienen integrales del siguiente tipo:
dx
1. x−a = ln |x − a| + C
dx 1
2. (x−a)p = (1−p)(x−a)p−1 +C
M x+N M M c+N
3. (x−c)2 +d2 dx = 2 ln |(x − c)2 + d2 | + d arctan x−c + C
d
M x+N M x+N dx
4. ⇒ Llamemos Ir =
[(x−c)2 +d2 ]r dx [(x−c)2 +d2 ]r dx y Jr = [(x−c)2 +d2 ]r dx
operando se obtiene
M 1
Ir = 2(1−r) · ((x−c)2 +d2 )r−1
+ (M c + N ) · Jr
1 x−c 1
Jr = d2 Jr−1 + d2 2(1−r)((x−c)2 +d2 )r−1
− d2 2(1−r) Jr −1
10
11. 3.4. M´todo de Hermite
e
Si Q(x) = (x − a)m . . . (x − b)n · (x − c)2 + d2 . . . (x − e)2 + f 2 entonces
R(x) U (x)
dx = p−1 q−1 +
Q(x) (x − a)m−1 . . . (x − b)n−1 . . . [(x − c)2 + d2 ] . . . [(x − e)2 + f 2 ]
dx dx Cx + D Ex + F
K +... +L + dx + . . . + dx
x−a x−b (x − c)2 + d2 (x − e)2 + f 2
donde U (x) es un polinomio de un grado menos que su denominador. Todas las
constantes se determinan derivando la expresi´n e identificando coeficientes.
o
3.5. Integraci´n de funciones irracionales algebraicas
o
Integrales del tipo
m1 ms
ax + b n1
ax + b ns
R x, ,..., dx | a, b, c, d ∈ R; ni , mi ∈ Z; ni = 0
cx + d cx + d
y c y d no se anulan simult´neamente. Se transforma en integral racional
a
mediante el cambio ax+b = tm siendo m el m´
cx+d ınimo com´n m´ltiplo de las
u u
ni .
√
Integrales del tipo R x, ax2 + bx + c dx se consideran los siguientes
casos:
√ √
1. a > 0 → ax2 + bx + c = ± a · x + t
√ √
2. c < 0 → ax2 + bx + c = ± c + x · t
√
3. a, c < 0 → ax2 + bx + c = t · (x − α) siendo α una de las raices del
polinomio.
√
M´todo Alem´n: √ax2 (x) dx = Q(x) · ax2 + bx + c + K √ax2dx
e a P
+bx+c +bx+c
Donde gradQ(x) = grad(P (x)) − 1 y K es una constante. Los coeficientes
se obtienen derivando la expresi´n e identificando t´rminos.
o e
Series bin´micas: xm (a + bxn )p dx | a, b ∈ R; m, n, p ∈ Q. Estas inte-
o
grales se convierten en racionales en los siguientes casos con los cambios
indicados.
1. p ∈ Z → x = tq donde q es el m.c.m. de los denominadores n y m.
m+1
2. n ∈ Z → a + bxn = tq siendo q el denominador de p.
m+1 a+bxn
3. n +p∈ Z→ xn = tq siendo q el denominador de p.
En cualquier otro caso se puede expresar como funci´n elemental.
o
3.6. Integraci´n de funciones trascendentes
o
Si R(u) es una funci´n racional y u = f (x) es una funci´n que admite funci´n
o o o
inversa con derivada racional, entonces la integral de R(f (x)) se reduce a una
integral racional mediante el cambio f (x) = t .
11
12. 3.7. Integraci´n de funciones trigonom´tricas
o e
Integraci´n de R(sen x, cos x)dx: en general se hace el cambio tan x = t
o 2
2
2dt
con lo que sen x = 1+t2 , cos x = 1−t2 , dx = 1+t2 . En elgunos casos se
1+t
2t
pueden intentar otros cambios:
1. Si R(sen x, cos x) = −R(sen x, − cos x) se hace el cambio sen x = t
2. Si R(sen x, cos x) = −R(− sen x, cos x) se hace el cambio cos x = t
3. Si R(sen x, cos x) = R(− sen x, − cos x) se hace el cambio tan x = t
Integrales del tipo Im,n = senm xn ·x·dx se puede reducir de las siguientes
formas:
senm+1 x·cosn−1 x n−1
1. Im,n = m+1 + m+1 Im+2,n−2 , m = −1
m+1 n−1
sen x·cos x n−1
2. Im,n = m+n + m+n Im,n−2 , m+n=0
m−1
x·cosn+1 x
3. Im,n = − sen m+1 + m−1
n+1 Im+2,n+2 , m = −1
m−1
x·cosn+1 x
4. Im,n = − sen m+n + m−1
m+n Im−2,n , m+n=0
m+1 n+1
5. Im,n = − sen x·cos
n+1
x
+ m+n−2
n+1 Im,n+2 , n = −1
m+1 n+1
sen x·cos x m+n−2
6. Im,n = m+1 + m+1 Im+2,n+2 , m = −1
4. Ecuaciones diferenciales ordinarias
4.1. Ecuaciones diferenciales lineales
R R
y + p(x)y = q(x) =⇒ y = e− (x)dx
q(x)e p(x)dx
+C
t
1
τ y + y = p(t) =⇒ y = e−t/τ p(t)et/τ dt + y0
τ 0
5. Soluci´n num´rica de ecuaciones diferenciales
o e
5.1. M´todo de Runge-Kutta de cuarto orden
e
1
y = f (x, y) → yi+1 = yi + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4)h
6
k1 = f (xi , yi ) k2 = f (xi + h/2, yi + k1 h/2)
k3 = f (xi + h/2, yi + k2 h/2) k4 = f (xi + h, yi + k3 h)
12