1) El documento presenta la definición de la integral de superficie de funciones reales sobre una superficie parametrizada. 2) Explica que la integral de superficie de una función f sobre una superficie K es igual a la integral doble de f sobre los dominios de las funciones de parámetros u y v, multiplicada por el diferencial del área. 3) Proporciona un ejemplo del cálculo de la integral de superficie sobre una esfera.

1. 2 2
(3)
Capitulo IV
Integrales de Superficie
Integrales de Superficie de Funciones Reales
Definici n. Sea una superficie simple parametrizada por la funci n .
Sea : una funci n continuadefinid
:fó ó
K ó
D

 
 
R R
R R
   
a sobre la superficie K.La integral de
superficie de la funci nsobre K, denotadopor ,se define por:
(f(u,v))
, ,
k
K K
f u v f
ó dA
u v
dudv
u
d
v
A

 
 

 

 
        
 
 
 
(2) (3)
1 2 3
1
2
3
2
Observaciones:
1. :
u,v (u,v) u, v , u, v , u, v
u, v
siendo : u, v
u, v
Además las f
(Parametrizacio
unciones
nde
: i 1, 2, 3son funcion
lasuperfici
es
e
contin s
K)
uai
f D
f f f f
x f
y f
z f
f D para
 
 





 
R R
R R
 
 
         
3
x,u òD,denominada funciones coordenadas o funciones componentes de f.
2. ρ : K
x, y, z ρ x, y, z ρ f u, v ρ o f u, v
función continua 
  
R R

2.    , ,
3. ,
.
f u v f u v
dA dudv
u v
Define el diferencial del área de la superficie K
 
  
 
     
 
 
   
4. , , 1 , , , ,
, , ,no es más que la definición deárea de la superficie . E :
, ,
, , 1
K
K K
Si x y z x y z K f D la integral
x y z dA K sto es
f u v f u v
x y z dA dA du dv Áreade
u v



   
 
  
 

 
ò
 
2 3
2 2
5. , ,
.
En efecto,si , ,:
,
I
I
K
El valor de la integral se superficie x y z dAno depende de la
parametrización concreta que se
esuna parametrizacionde K donde
tenga de K
g f o D
D D es una funcion b




  
   

R R
R R
        
 
1 2
1 2
.
, , , , ,
,
CondetermianteJacobiano
iyectiva de clase
s t s t s t s t
x
  
 
 


 5. , ,
.
K
El valor de la integral se superficie x y z dAno depende de la
parametrización concreta que se tenga de K
 

3.         
 
   
2 3
2 2
1 2
1 2
En efecto,si :
.
, , , , ,
,
Con determianteJacobiano
Setieneque:
,
, , (
,
,
u,v)
I
I
K D
g f o D
D D es una funcion biyectiva de cl
esuna parametrizacion
ase
s t
de K dond
s t s t s t
x
f
x y A f
e
z d


  
 
 
  
   
 



 
R R
R R
   
 
 
 
 
 
 
     
1 2
1 2
1 2
, ,
,
( (s, )) (s, ))
(s,t)
,
( )(s, ) ( )(s, )
(s,t)
g(s, ) (s
(
(
, )
, ,
s,t s,t ,
: (s, ) . (s, ))
(s,t)
(
I
I
I
f
D
D
D
K
f
g
g
u v f u v
du dv
u v
f t N t ds dt
f o t N f o t ds dt
t N t ds dt
x y z dA
g g
Donde N t N t
s t
 
  
 
  


 



 








  
  
  





 
      
1 2
2 2 2
2 3
3
,
.( )
(s,t)
Defini
,
ción : ,
.
, , / , , ,
:
(
,
:
g
f f
u v
Sea D una región cerrada y g Dc una funcióndeclaseC
su grafica es la superficie
K G x y z z g x y x y D
La parametrizació
dada p
n de K es
f D K or
f
   

  
  
   
  
ò ò
R R R
R
R R
   
3
22
, ,entonceslaintegraldesuperficiede
sobreK esta dada por:
, , x, , (x,
x, y,z) (x, y, g(
y) . 1
x, y))
:
K D
K una funcioncontinua
g g
x y z dA y g dx
Se
dy
x y
a

 
 
   
    
   




 
R R

4.   
     
     
   
 
 
 
2 3 2 2
3
Ejemplo..1
Calcular ,donde , , / 1,0 1
.
Sea 0,2 0,1 Parametrizacion de K
, , cos ,sen ,
Ahora como , cos ,sen , , entonces.
,
sen , cos ,0
,
0,
K
x K x y z x y z
Solución
f
u v f u v u u v
f u v u
d
u v
f u v
u u
u
f u v
A
v

    
  
 


 




 òR
R
 
   
 
   
0,1
, ,
Donde : cos ,sen ,0
, ,
1
f u v f u v
u u
u v
f u v f u v
u v





 
 
 
 
 
 
   
 
 
1 2
22
0 0
21
00
1
0
1
0
Luego. cos 1
1 1
sen 2
2 2
1
2
2
K
x u du dv
u u dv
dv
d
dA
v v






 
   



 



5.  
  
   
   
 
3 2 2 2
3
Ejemplo.. 2
Calcular (x, y,z) ,donde , , ;
, , / 1, 0 , 0
Solución:
Sea : , / 2 0 , / 2 parametrización de K
2
Donde , cos , sen ,sen sen ,cos
,
sen sen , cos c
k
dA x y z X
K x y z x y z x z
f
f u v u v v u v
f u v
u v v
u
 
  

     
   
 


 


òR
R
 
 
 
   
 
   
  
2 2
/2 /2
0
2
/2
2
0
2
/2
2
os ,0
,
cos .cos ,cos .sen , sen
, ,
sen .cos , sen .sen , sen .cos
, ,
sen
Ahora cos sen sen
cos 1
sen 2
2 2
1
2
k
u
f u v
u v v u v
v
f u v f u v
v u v u v v
u v
f u v f u v
v
u v
X dA u v v dvdu
u
v v du
 










 

 
   
 
 
 
 

 
   

  

 
 
2
2
cos
2
sen
4
1 1
4
2
u du
u







 
  

 



6. EJEMPLO 3
Calcular 2
( ) A
k
x y d ; donde k es la porción del plano 2 3 5 1x y y   en el primer
octante.
SOLUCION
Ecuación del plano: 2 3 5 1x y y  
Donde:
2 3 1
5 5 5
z x y  
Sea
2 3 1
(u,v) u,v,
5 5 5
f u v
 
   
 
; (Parametrización de k )
(u,v) 2
1,0,
5
f
u
  
  
  
(u,v) 2
0,1,
5
f
v
  
  
  
(u,v) (u,v) 2 3
, ,1
5 5
f f
u v
   
    
   
(u,v) (u,v) 38
5
f f
u v
 
 
 
Luego
1 2 (1 2u) 3
2 2
0 0
38
(x y)dA
5k
u v dvdu

  
2
1 2 (1 2u) 32 2
00
38
(x y)dA
5 2k
u
v du

    
2
1 2
2 2
0
38
(x y)dA (1 2u)
10 9k
u
du  
1 23 5
2 4
0
38
(x y)dA 4
90 3 5k
u u
u
 
   
 

2 38 1 1 1
(x y)dA
90 24 16 40k
 
    


7. 2 38
(x y)dA
21600k

EJEMPLO 4
Hallar el área de la parte del plano 1
x y z
a b c
   , donde a, b y c son números positivos,
dados, que se encuentran en el primer octante.
SOLUCION
Ecuación del plano: 1
x y z
a b c
   
c c
z c x y
a b
  
Sea (u,v) u,v, v
c c
f c u
a b
 
   
 
, (Parametrización del plano)
Donde
(u,v)
1,0,
f c
u a
  
  
  
(u,v)
0,1,
f c
v b
  
  
  
(u,v) (u,v)
, ,1
f f c c
u v a b
   
   
   
2 2 2 2 2 2(u,v) (u,v) 1f f
a b b c a c
u v ab
 
   
 
Luego el área de la parte del plano en el primer octante es:
2 2 2 2 2 2
0 0
1
(k)
b
a b u
a
A a b b c a c dvdu
ab
  
   
 
 
2 2 2 2 2 2
0
1
(k)
a b
A a b b c a c b u du
ab a
 
    
 

2
2 2 2 2 2 2
0
1
(k)
2
a
b u
A a b b c a c bu
ab a
 
    
 
2 2 2 2 2 2
0
1
(k)
2
a
ab
A a b b c a c ab
ab
 
     
2 2 2 2 2 21
(k)
2
A a b b c a c  

8. EJEMPLO 5
Halle el are de la parte de la esfera 2 2 2 2
x y z a   , que se encuentra dentro del cilindro
2 2
x y ax  .
SOLUCION
Ecuación de la esfera: 2 2 2 2
x y z a    2 2 2
z a x y   
Ecuación del cilindro: 2 2
x y ax   cosr a 
Derivando “z” respecto a “x” e “y”. Tenemos.
2 2 2
dz x
dx a x y


 
2 2 2
dz y
dy a x y


 
Donde:
22
1
dz dz
dA dxdy
dx dy
  
     
   
2 2
2 2 2
1
x y
dA dxdy
a x y

 
 
2 2 2
a
dA dxdy
a x y

 
Luego el área de la parte de la esfera que se encuentra dentro del cilindro 2 2
x y ax 
es:
2 2 2
(k) 2 2
k R
adxdy
A dA
a x y
 
 
 
A coordenadas polares.
cos
2
2 20 0
(k) 2
a ardrd
A
a r

  
  
 
 
cos
2 22
0 0
(k) 4
a
A a a r d

   
 

9.  2 2
0
(k) 4 1A a sen d

   
 2 2
0
(k) 4 cosA a

  
 2
(k) 2 2A a  
EJEMPLO 6
Hallar e área de la parte del cono 2 2 2
z x y  , 0z  , que se encuentra dentro del cilindro
2 2
2x y x 
SOLUCION
Ecuación de la esfera: 2 2 2
z x y   2 2
;z x y  0z 
Ecuación del cilindro: 2 2
2x y x   2cosr 
Sea 2 2
(u,v) (u,v, )f u v  , (Parametrización del cono)
Donde
2 2
(u,v)
(1,0, )
f u
u u v


 
2 2
(u,v)
(0,1, )
f v
v u v


 
2 2 2 2
(u,v) (u,v)
( , ,1)
f f u v
u v u v u v
 
   
   
(u,v) (u,v)
2
f f
u v
 
 
 
Luego el área de la parte de cono es:
(k) 2
k R
A dA dudv  
Empleando coordenadas polares.
2cos
2
0 0
(k) 2 2A rdrd


  
2cos2
2
0
0
(k) 2 2
2
r
A d


 
  
 


10.  2
0
1 cos 2
(k) 4 2
2
A d



 
  
 

EJEMPLO 7
Determine el área de la parte de la esfera 2 2 2 2
4x y z a   interior al cilindro
2 2
2x y ay  .
SOLUCION
Ecuación de la esfera: 2 2 2 2
4x y z a    2 2 2
4z a x y   
Ecuación del cilindro: 2 2
2x y ay   2 cosr a 
Derivando “z” respecto a “x” e “y”. Tenemos.
2 2 2
4
dz x
dx a x y


 
2 2 2
4
dz y
dy a x y


 
22
1
dz dz
dA dxdy
dx dy
  
     
   
2 2
2 2 2
1
4
x y
dA dxdy
a x y

 
 
2 2 2
2
4
a
dA dxdy
a x y

 
Luego el área solicitada es:
 
2 2 2
2 2
(k) 2
4R
a dydx
A
a x y

 

Empleando coordenadas polares.
 2 cos
2
2 20 0
2
(k) 4
4
a a r drd
A
a r

 


 
2 cos
2 22
0 0
(k) 8 4
a
A a a r d

   
 

11.  2
0
(k) 8 2 cos 2A a a a d

   
 2 2
0
(k) 16 1 senA a

 
 2
(k) 8 2A a  
EJEMPLO 8
Calcular  k
yarctg dA
x donde; 2 2
: ;1 4k z x y z   
SOLUCION
Sea  2
( ,v) cos , sen ,f u v u v u v ; Una parametrización d k.
Donde    0,2 , 1,2u v 
(u,v)
( sen , cos ,0)
f
v u v u
u

 

(u,v)
(cos ,sen ,,2 )
f
u u v
v



 2 2(u,v) (u,v)
2 cos ,2 sen ,
f f
v u v u v
u v
 
  
 
2(u,v) (u,v)
1 4
f f
v v
u v
 
  
 
Luego
  2 2
2
0 1
dA 1 4
k
vsenuyarctg arctg v v dvdu
x vconu
  
  
 
  
  2 2
2
0 1
dA 1 4
k
yarctg uv v dvdu
x

   
   
232
2 2
0
1
dA 1 4
12k
uyarctg v du
x
      
 
22
3 3
2 2
0
1
dA 17 5
12 2k
uyarctg
x

         


12.  
2
3 3
2 2
dA 17 5
6k
yarctg
x
   
  
EJEMPLO 9
Calcular    2 2 2 2
; : 2 , 0
k
x y dA k z x y z     .
SOLUCION
 2 2
: 2k z x y  
2
dz
x
dx
 
2
dz
y
dy
 
22
2 2
1 1 4 4
dz dz
x y
dx dy
  
      
   
Luego      2 2 2 2 2 2
1 4
k R
x y dA x y x y dydx     
Empleando coordenadas polares.
 
2 2
2 2 2 2
0 0
1 4
k
x y dA r r rdrd

    
 
2 2
2 2 3 2
0 0
1 4
k
x y dA r r drd

    
     
2
5 32
2 2 2 22 2
0
0
1 1
1 4 1 4
80 48k
x y dA r r d


 
      
 
     
5 3
2 2 2 2
1 1 1 1
2 9 9
80 48 80 48k
x y dA 
 
      

Simplificando
 2 2 149
30k
x y dA

 

13. EJEMPLO 10
Calcular
k
zdA ; k superficie 2 2
z x y  seccionada por 2 2
1x y  .
SOLUCION
Sea  2
( ,v) cos , sen ,f u v u v u v ; Una parametrización d k.
Donde    0,2 , 0,1u v 
(u,v)
( sen , cos ,0)
f
v u v u
u

 

(u,v)
(cos ,sen ,2 )
f
u u v
v



 2 2(u,v) (u,v)
2v cosu,2v senu,
f f
v
u v
 
  
 
2(u,v) (u,v)
1 4
f f
v v
u v
 
  
 
Luego
2 1
3 2
0 0
zdA 1 4
k
v v dvdu

   
   
1
5 32
2 22 2
0
0
1 1
1 4 1 4
80 48k
zdA v v du
  
     
 
   
2 5 3
2 2
0
1 1 1 1
5 5
80 48 80 48k
zdA du
  
     
 
   
5 3
2 2
1 1 1 1
2 5 5
80 48 80 48k
zdA 
 
     

Simplificando
10 5 2
8 3 15k
zdA
  
  
 


14. EJEMPLO 11
Calcular 2 2
k
x y dA , donde k s la superficie lateral del cono
2 2 2
2 2 2
,0
x y z
z b
a a b
   
SOLUCION
Sea  ( ,v) cos ,a ,bf u av u vsenu v ; Una parametrización d k.
Donde    0,2 , 0,1u v 
(u,v)
( sen , cos ,0)
f
av u av u
u

 

( , )
( cos , sen , )
f u v
a u a u b
v



 
( , ) ( , )
cos , sen ,
f u v f u v
abv u abv u v
u v
 
  
 
2 2( , ) ( , )f u v f u v
av a b
u v
 
  
 
Luego
  
2 1
2 2 2 2
0 0
k
x y dA av av a b dvdu

    
2 2 2
2
2 2
03k
a a b
x y dA du

  
2 2 2 2 22
3k
x y dA a a b

  