Este documento presenta la solución a 4 problemas relacionados con el cálculo de volúmenes y áreas de sólidos y regiones definidas por ecuaciones. En el primer problema se calcula el volumen de un sólido definido por una desigualdad, en el segundo se calcula el área de una región obtenida mediante un cambio de variables, en el tercero se calcula una integral doble sobre una región limitada por curvas, y en el cuarto se calcula el volumen de un cuerpo definido por desigualdades utilizando coordenadas pol

1. NOLAN JARA J.
1
PROBLEMA 1:
Sea el sólido definido en R³ por:
|}|;1;4/),,{( 222223
yzyxzyxRzyxS 
Calcular el volumen del solidó S
Solución:
2 2
( ) .................(*)
{( , , ) / | | 4 ;( , ) }
E
V E dV
E x y z R y z x y x y D

      


2. NOLAN JARA J.
2
2 2 2 22 2
2 2
2
2 2 2
3 2 2 2 2
4 ( ) 4 ( )1 1 1 1
1 | | 11 1
4 (
{( , ) / 1 1 ; 1 1}
{( , , ) / | | 4 ; 1 1 ; 1 1}
(*):
( ) ( ( ) ) 2 ( ( ) )
4 ( ( ) )
x y x yx x
x z y x z yy x y x
x
z y
D x y R x y x x
E x y z R y z x y x y x x
en
V E dz dy dx dz dy dx
dz dy dx
    
      
 

         
              
  

     
22 2
2
)1 1 1 1
2 2
0 0 0 0
1
2 2 2 2 2 1
0
0
4 ( ( 4 ( )) )
4 [(1/ 2)[ (4 ) (4 ) ( / ( 4 ))] / 2]|
yx x
x y x y
x
y
x
x y y dydx
y x y x arcsen y x y
 
   



    
      
    

Como la integración es muy complicada utilizaremos otro método
Otra forma: en coordenadas cilíndricas
2
3 2
2 1 4
( ) 0 0 | |
2 1 2
2 2 3/2 2 1
0
0 0 0
( ) {( , , ) / | | 4 ;0 1;0 2 }
( ) | ( , , ) | ( ( ) )
( ( [ 4 | |] ) (1/ 2)[(2 / 3)(4 ) | | ( )]|
(1/ 2) [2 3 |
r
T E r z r sen
r
r
T E r z R r sen z x r
V E J r z dv rdz dr d
r r r sen dr d r sen r d
se

 

 
   
 
   

  

  
        
 
      
  
   
  
2 /2
0 0
/2
0
| 16 / 3] 2 ((16 / 3) 2 3 )
2[(16 (6 / 3)) / 3 cos ]| 2(((8 3 3 ) / 3) 1)
n d sen d
 



   
  


   
     
 
PROBLEMA 2
Dado el cambio de variables definido por las ecuaciones x = u + v ; y = v – u2
. Calcular
el determinante jacobino de dicho cambio de variables. Sea T el triangulo del plano UV
cuyos vértices son los puntos (0,0) ;(2,0) y (0,2). sea R la imagen en el plano XY del
triangulo T . Mediante el cambio de variables dado:
Hacer un dibujo de la región R Calcular el área de la región R .
Calcular la integral doble de
 
R yx
dA
1
2
SOLUCIÓN
x = u + v ; y = v – u2
  u
u
v
y
u
y
v
x
u
x
vuJ 21
12
11
. 











Grafica en UV

3. NOLAN JARA J.
3
Las líneas que que encierran la superficie T en
el plano UV al ser proyectados sobre en el
plano XY también encierran otra superficie
entonces:
u+v=2: u=0: v=0
Grafica en XY
 
 
  XYXXRyxR
xyyxx
sonsproyectadacurvaslasEntonces
yxvcomo
uvvuvvuyx
yxucomo
uvvuyx
xvux
uu







23
2
2
2222
22
:20/,
::0:2
:
00
2
00
:
22
  2
2
0
2
2
0 3
14
2 udxxxdx
x
dydxdyS
x
R
R 






  
   
))3/32arctan()32(arctan(3/)32(2
|)3/)1(2arctan()2/3)(3/4(|
)1)3/)1(2(
1
)3/4(.1
)1)3/)1(2(3
4
1
)1)1(3/4(4/3
1
1
4/3)1(
1
1
1
1
1
1
1
11
2
0
2
0
2
0 2
2
0
2
0 2
2
0 2
2
0 2
2
0 2
2
0
2
0 22
2
2





















































 




   
xxdx
x
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
xx
dx
x
yx
dx
xy yx
dy
YX
dA
x
x
R
x
x
PROBLEMA 3
Sea R la porción acotada del primer cuadrante situada entre las curvas de ecuaciones: R
xy = 1 ; xy = 2 ; y = x ; y =4 x
Dibujarla y calcular la integral: dAyx
R
22

SOLUCIÓN:
Graficando la región R que es limitada por las líneas: xy = 1 ; xy = 2 ; y = x ; y =4 x

4. NOLAN JARA J.
4
R = R1  R2  R3
*En R1 *En R2 *En R3
2
2
2
1
 X 1
2
2
 X 21  x
XY
X
4
1

X
Y
X
21

x
yx
2

 dAy
22
x
=
dAy
22
x
+
dAy
22
x
+
dAy
22
x
dxdyyx
x
x
  








2
2
2
1
4
1
22
dxdyyx
x
x
  










1
2
2
2
1
22
dxdyyx
x
x
  










2
1
2
22
x
x
x
x
x
x
yxyxyx
2
2
1
32
2
1
1
2
2
32
4
1
2
2
2
1
32
333  














dx
x
dx
xx
dx
x
xx  























2
1
51
2
2
2
2
2
1
5
33
8
3
1
3
8
3
1
3
64
2
1
61
2
2
2
2
2
1
6
183
ln8
3
ln7
3
ln
9
32























 xx xxx
3
2ln7
18
1
9
4
3
2ln8
3
2ln7
3
2ln7
3
2ln
9
4
18
1



uydAx
R
22
3
2ln7

PROBLEMA 4
Calcular el volumen del cuerpo del espacio definido por las ecuaciones
 322
222 1
,0,1,1
yx
zzyxyx


SOLUCIÓN
R3R2R1R

5. NOLAN JARA J.
5
 
 
  
   
3
2 2
3 2
2
1
, / 0 1;1 1
:
cos ;
1
, / 1;0
cos 2
D
V s dA
x y
D x y R x x y x
usando transformacion de cordenadas de
cartesianas a polares donde
x r y rsen
T D r R r
sen
 

 
 


       
 
 
       
 

PROBLEMA 5
Calcular R
dAyx 33
, siendo R la región contenida en el cuadrante positivo y limitado por
las curvas 2,1,4,2 22222222
 yxyxyxyx
SOLUCIÓN
GRAFICO DE R
   
 
1
2
13 30
cos
1
2 2
0 01
cos
2 2
0 0
3
1 1
,
1
(1 cos )
cos 1 1
2 2
2
2
senT
sen
V s J r dA rdr d
r r
d sen d
r
sen
V s u

 
 
 
 
 
   
 
 



 
   
 
  
   
            
 
   
 
  
 
  
   
 
 
    
 
 
   
422
:
8
1
8
1
,
21,42/,
8
1
,
8
22
22
,
1,,
:
21,
42,
var
21,42/,
22
2222
2233
3333
2
22
22
22222
vu
yx
vu
y
vu
x
pero
dudvyxdudv
xy
yx
dudvvuJyxdAyx
vuRvuT
xy
vuJ
xy
yx
yx
y
v
x
v
y
u
x
u
yxJ
vuJyxJ
queSabemos
vyxv
uyxu
iablecambiodeHagamos
yxyxRyxRregionLa
RTRT
R T
R
R




























 

6. NOLAN JARA J.
6
GRFICA DE T(R)
 
    










 



2
1
4
2
2
4
2
3
2
1
4
2
2222
4128
1
48
1
48
1
vv u
RT
u
vu
dvdu
vu
dudv
yu
PROBLEMA 6:
Calcular
2 2 2
................(*)x y z
S
e dv 
 donde S es el conjunto de los puntos 3
),,( Rzyx 
tales que 0,1222
 zzyx
Solución:
Graficamos 0,1222
 zzyx
}10;11;11/),,{( 22223
yxzxyxxRzyxS 
Proyeccion de la region S




















R
v
dAyx
vv
dv
v
16
7
16
7
612
56
8
1
212
56
8
1
22
2
1
32
1
2
1
2

7. NOLAN JARA J.
7
Transformando a coordenadas esféricas
x=ρcosθsenφ
y=ρsenθsenφ
z=ρcosφ
|J(ρ,θ,φ)| = ρ²senφ
Donde la variación de ρ,θ,φ es:
10
2/0
20






En la integral (*)
2
2
2 /2 1
2
0 0 0
2 /2 1 2 /2
2
0 0 0 0 0 0
.| ( , , ) |. . . . .
( . . ) ( 2) ( 2)
.| ( , , ) |. 2 ( 2)
S
S
e J dv e sen d d d
sen e d d d sen e d d e
e J dv e
 
 
  
    

 

       
       
   
  
 

   
 
   
     

PROBLEMA 7
Calcular la integral triple 2
s
y dv
Donde S es el sólido
}41
);/(10/),,/(),,{(}41,0/),,{(
22
22332223


yx
yxzRzyxRzyxzyxzRzyxS 
Entonces tenemos que S=D1 U D2 pues D1 y D2 son regiones disjuntas
2 2 2
1 2S D D
y dv y dv y dv    ...........................(*)
}22;)4()1(
)1()4(,)1()4(/),,{(
22
2222223


xxyx
xyxyxzyxRzyxS
2
1D
y dv : en coordenadas esféricas

8. NOLAN JARA J.
8
}2/,20,21/),,{()1(
}21,0cos/),,{()1(
}41,0cos/),,{()1(
3
3
23






RDT
RDT
RDT
x=ρcosθsenφ
y=ρsenθsenφ
z=ρcosφ
|J(ρ,θ,φ)| = ρ²senφ
2 2
2
2 4 2 3
1 /2 0 1
2 2
2 3 5 2 2 2
1
/2 0 0 /2
( ) . . . . . .
. . / 5| . . (31/ 5) (1 cos ) cos .
(62 /15)
D
sen sen sen d d d sen sen d d d
sen sen d d sen d d
 

   
 
             
        


  

   
   
2
2D
y dv : en coordenadas cilíndricas
}20,21,/10/),,{()2(
}41,/10/),,{()2(
23
223




rrzRzrDT
rrzRzrDT
x=rcosθ
y=rsenθ
z=z
J(r,θ,z)=r
2 2 22 2 1/ 2 2
0 1 0 0 1
2
2 2 2
1
0
( ) . . . . .
. / 2 | . (3/ 2)
r
rsen r dz dr d rsen dr d
sen r d
 

   
  


    

En (*) : )2/315/62(2
 vy
s

9. NOLAN JARA J.
9

2
3 2 2 2 2
Problema nro 8
Calcular la integral dv.SiendoSel recinto solido
definido por:
( , , ) / 1, 0 4
:
:
s
z
S x y z x y y z x y
solucion
Graficamos el volumen S
        

Hallando laregion Dsobreel plano xy

10. NOLAN JARA J.
10
 
2 22
3 2 2 2
41 1
2 2
1 0
( , , ) /0 4 , 1 1,0 1
( ( ) )
Vemosquemediantecoordenadascartesianaselcalculodelaintegralse
complica,hacemosuncambiodevariblemediantecoordenada
x yx
s x y z y
S x y z y z x y x y x
z dv z dz dy dx
 
  
            
   
 3 2
scilindricastenemos
T(s)= (r, ,z) / 4 ; 0 ;0 1rsen z r r          
2
2
( )
2
1 4
2 2
0 0
( , , ) ( , ,
: ( , , ; ( , , ) ( , , )
( ( ) )
s T s
r
s r z rsen
z d v F r z J r z dv
si J r z r f x y z F r z z
z dv z dz rd r d

 
 
 


  

  

 
   
2
41 3
2
0 0
1 3
2 2 3 32
0 0
1 13
2 2 2 3 32
0 0
1 15 4
2 2 32
0 00
( ) )
3
1
( ( 4 ) )
3
1 1
( 4 ) ( 4 ) )
3 2
1 1
( 4 )
3 2 4
r
s r rs en
s r
s r o r
s
z
z d v r d r d
z d v r r s e n r d r d
z d v r d r s e n r d r d
r
z d v r s e n d

 






 
 
 

 
 
  


 
   
 
 
     
 
 
    
 
 
  
  
   



2 5 5 3
0 0
3
2 5 5
0
1 1
( 3 4 )
6 1 2
1 1
( 3 4 ) (co s )
6 1 2 3
s
s
z d v d se n d
co s
z d v
 
 

  

 
 
   
    
  

2 5 5 31 1
( 3 4 )
6 9s
z dv u   

11. NOLAN JARA J.
11
PROBLEMA 9:
Sea Ω el recinto comprendido entre el interior de un paraboloide 22
3 yxz  y el
interior de un elipsoide 94 222
 zyx , calcular zdv


Resolución:
Grafica del paraboloide:
Corte en los ejes coordenados
2/30:
30:
30:



yzxy
xzyx
zyxz
corte en los planos coordenados
Para el plano xy
elipseyx
z
.....34
0
22


Para el plano xz
parabolaxz
xz
y
....3
3
0
2
2



Para el plano YZ
parabolayz
yz
x
...34
43
0
2
2



Para : z=k(//planoXY)
elipsesdeconjuntokyx ......34 22

Grafica de una elipsoide
94 222
 zyx
Corte en los ejes coordenados
2/30:
30:
30:



yzxy
xzyx
zyxz
Corte en los ejes coordenados
Para el plano XY
elipseyx
z
...94
0
22


Para el plano XZ
elipsezx
y
...9
0
22


22
43 yxz 

12. NOLAN JARA J.
12
Para el plano YZ
elipsezy
x
...94
0
22


Para : z=k(//planoXY)
elipsesdeconjuntokyx
yxk
.....94
94
222
222


GRAFICA DE LA INTERSECCION DEL PARABOLOIDE Y EL ELIPSOIDE
Otra vista:

13. NOLAN JARA J.
13
Grafica de la ecuación (3)
34 22
 yx
2 22
2 22
2 2 2
3 2 2 2 2 2 2
9 4( 3 )/23
3 4 3( 3 )/2
{( , ) / 3 / 2 3 / 2; 3 3}
{( , , ) / 4 3 9 4 ; 3 / 2 3 / 2; 3 3}
( )
x yx
x z x yy x
D x y R x y x x
x y z R x y z x y x y x x
V zdv zdzdydx
 
     
         
                
     
Notamos que la integración es muy operativa, por eso utilizaremos coordenadas
cilíndricas.
}),(;)49(34/),,{( 22223
DyxyxzyxRzyxz 
En coordenadas cilíndricas:
x=rcosθ
2y=rsenθ
z=z
)9(3
))4(9(34
22
2222
rzr
yxzyx


De (3):
 20;50
0;5
54
2
22



r
rr
yx
)3.......(..............................54
0)4(6)4(2
:)2.().1.(
)2.......(..........).........4(9
)1.....(..........34:21
22
22222
222
22




yx
yxyx
endoreemplazan
yxz
yxzSS

14. NOLAN JARA J.
14
Además: J(r,θ,z) = r/2
2
2
2 5 9
( ) 0 0 3
2 5 5 3
( ) 0 0
2
6 4 5
0
0
2
0
2
0
( ) ( , , ) ( / 2)
( 5 )
( ) ( , , ) (1/ 4)
( ) (1/ 4) ( / 6 (5/ 4) | )
( ) (1/ 4) (125/12)
( ) (1/ 4)(125 /12) |
r
T r z r
T r
r
V J r z zdv r zdzdrd
r r drd
V J r z zdv
V r r d
V d
V










 






    
  




  
 
  
   
 
 
   
  


( ) (125 / 24)V  
PROBLEMA 10
Consideremos el recinto del primer octante de R3
  baconyxzbxyabxyaRzyx  0,,,;,, 22223
Calcular el volumen de Ω y hallar  
 dvyxxy 33
SOLUCIÓN
Hallaremos el volumen:
  
D
zdADV
Definiremos la región D
    
   
   
 
      
   
 
       

  




















b
au
b
av
b
au
b
av
DT
abdudvdudv
yx
yxV
emplazando
dudvvuJyxV
IIbabvabuaRvuDT
yx
vuJxy
yx
xy
y
v
x
v
y
u
x
u
yxJ
donde
vuJyxJxyvxyu
iabledecambiounalizando
IbabxyabxyaRyxD
2
22
22
22
2
22
22
22
222
2
1
2
1
2
1
Re
,
0,,/,
2
1
,22
22
,
1,,,
varRe
0,,/,



15. NOLAN JARA J.
15
       
   
 
    
  

 
 





b
au
b
av
DTDT
DD
abuvdudv
dudv
yx
uvyxdudvvuJuvyx
IIendefinidoestaDTyIendefinidoestaDComo
dAxyxyyxdAyxxyzdvyxxy
Hallando
222
22
2222
22223333
8
1
2
1
2
1
,
)()()(
PROBLEMA 11:
Calcular el volumen del sólido definido por las desigualdades x²+y²+z² 2
4a ,
z aa, >0, mediante coordenadas esféricas y coordenadas cilíndricas.
SOLUCIÓN:
En coordenadas esfericas:
T(s)= {(ρ,θ,φ)є R³/ 0 2
,2   2
4a , aa,cos  >0}
T(s)= {(ρ,θ,φ)є R³/ 0 ,2   sec,22  aa }
T(s)= {(ρ,θ,φ)є R³/ 0 ,2  3/0,2sec   aa }
x=ρcosθsenφ
y=ρsenθsenφ
z=ρcosφ
|J(ρ,θ,φ)| = ρ²senφ
Se tiene :
2 /3 2
2
0 0 sec
. . .
a
a
sen d d d
 

      

16. NOLAN JARA J.
16
/3
2 /3 2
3 3 3 3
sec0 0
0
/3
3 /3 3 3
0 0
/3
3 3 2
0
/3
3 3
0
. / 3 . . 2 [ (8 sec ) / 3. ]
2 [8 / 3 ( cos ) | / 3 .sec . ]
2 [(8 / 3) .( 1/ 2) / 3 tan .sec . ]
2 [(8 / 3) .( 1/ 2) / 3 tan . tan ]
2 [(4 / 3)]
|
a
a
sen d d sen a a d
a a sen d
a a d
a a d

 





       
    
   
  

 
  
  
  

  



3 3 2 /3
0
3
( / 3)tan (1/ 2) |
(5 / 3)
a a
a





En coordenadas cilíndricas:
T(s)={(r,θ,z) є R³/ })4(,30,20 22
razaar  
x= rcosθ
y= rsenθ
z= z
J(r,θ,z)=r






3
3
0
23
0
2/322
3
0
3
0
2222222
3
0
2
0
22
3
0
2
0
)4(3
0
2
0
)3/5(
]||)4(3/2[
])4([))4(()2/1(
))4((...
22
a
arra
drarraddrara
drdararddrdzr
aa
a aa
ara
a
a




 


PROBLEMA 12:
Sea S el sólido limitado, inferiormente por la parte superior del cono 222
44 zyx 
Y superiormente por la esfera zzyx 2222

Calcular la integral (1 )
s
x dv
SOLUCIÓN:
Graficamos:

17. NOLAN JARA J.
17
 
   
 
 
2 2 2
1
2 2 2
2
3 2 2 2 2
1 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
sea:
4x +4y =z .......
x +y +z =2z.....S
: , , / 2 1 ( ) 1,( , )
: S
Entoncesinterceptamosestasdos superficies:
2 1 ( ) 1
2 1 1 ( )
4 1 4 1 ( )
5 4
S
S x y z x y z x y x y D
D S
x y x y
x y x y
x y x y x y
x y x
       

    
    
      
  2 2
2 2 16 4
....
25 5
y
x y circunferencia deradio R

  
Graficando la región D:

18. NOLAN JARA J.
18
 
2
1
2
3
3 2
Transformando a coordenadas cilindricas:
cos
2 1 ........
Dela region Dsededuce:
0 2 ..........
4
0 ............
5
De α,β,δ,tenemos:
4
( ): ( , , ) / 2 1 ;0 ;0 2
5
( , , )
x r
y rsen
z z
r z r
r
T S r z r z r r
J r z r



  

  




   
  
  
       

2
2
s
4
2 15
s 0 0 2
4
2 5
1
2
0 0
4
2 5
2
0 0
4
2 5
2 2 2 2 3
0 0
(1+x)dv ( , ) ( , , )
(1+x)dv. (1 cos )
( (1 cos ) ) )
( (1 cos ) ( 1 2 ) )
( ( 1 2 cos 1 cos 2
s
r
r z r
r
r
r
r
r
f x y J r z dv
r rdzdrd
r r z dr d
r r r r dr d
r r r r r r









 
 
 
 

  

 
 
 

 
 
   
     
 
   
 
 
 
3
2 2 32 3 4
2 2 32 5
0 0
2
0
s
) )
2(1 ) 1 4 cos
cos (1 ) 2
8 8 3 3
cos arctan(1/3) 47 2
cos
4 16 250 25
4
(1+x)dv.
25
r
dr d
r r r r
arcsenr r r
d







 
 

 

 
    
    
  
      
  
 



PROBLEMA 13:
Calcular el plano tangente P a la superficie de ecuación 033
 yxzxxz en el
punto (1,3,1). Sean A,B,C los puntos en los que el plano P corta a los ejes coordenados.
Calcular mediante una integral triple el volumen del tetraedro cuyos vértices son el
origen y los puntos A,B y C.

19. NOLAN JARA J.
19
Hallando el plano tangente P(t):
Sea : 03),,( 3
 yxzxxzzyxF
Punto de tangencia: )1,3,1(),,( 000 zyx
Ecuación del plano tangente
063:)(
)1().4.().3(),2.(
)4..(..............................).........,,(
)3.....(..............................).........,,(
)2........(..........).........6,1,3()1,3,1(
)33,1,13(),,(
),,(...
)1........(0),,()(:)(
0000
23
000
000
0000







zyxtP
enydoreemplazan
zyxP
zyxP
F
xxzzzzyxF
zyxFgradienteelhallando
zyxFpptP
Hallando los puntos de corte del plano P(t) con los ejes coordenados:
En x:Hacemos y=z=0A: x=2
En y:x=z=0B:y=-6
en Z:x=y=0C:z=6
3
( )
{( , , ) / 0 3 6;( , ) }
S
V s dv
S x y z R z y x x y D

      


20. NOLAN JARA J.
20
Graficando la ecuación D
2
0
6
23
0
6
2
0
6
3/)6(
0
2
0
6
3/)6(
0
0
6
3/)6(
0
63
0
2
12)(
|)3663/)(6/1()3612()6/1()(
|)6)2/3(()63()(
}06;3/)6(0/),{(
udvsV
yyydyyysV
dyxxyxdxdyxydzdxdydvsV
yyxRyxD
S
y
y
y
y
x
y
y
xS y
y
x
xy
z






    












PROBLEMA 14:
Calcular usando coordenadas esféricas 2 2 2
( / ( ))
S
xyz x y z dv  siendo S el recinto
limitado en el primer octante por la esfera 4222
 zyx
Solución:
}40;40;20/),,{( 2223
yxzxyxRzyxS 

21. NOLAN JARA J.
21
Convirtiendo a coordenadas esféricas:
x=ρcosθsenφ
y=ρsenθsenφ
z=ρcosφ
intervalos de variación:
2/0
20
2/0






Operando
2
2 /2 /2 2 /2 /2
4 2 2 4
0 0 0 0 0 0
2
(( cos )( )( cos )( ) / )
1/ 4 ( 2 )( 2 ) 1/ 4 ( 1/ 2) 2 . . ( 2. 2 )
(( cos )( )( cos )( ) / )
1/
s
s
sen sen sen sen dv
sen sen sen d d d sen sen sen
sen sen sen sen dv
   
  
          
             
          
  

     


     

2 /2 2 /2 2
2 4 4 2 4
0 0 0 0 0
2
4
0
4 ( 1/ 2) 2 . . .( 2) 1/ 4 ( 2 . . ) 1/ 4 (1/ 2)
1/ 8( ) 32 / 40
sen sen d d sen sen d d
d
 
    

          
 
    

   
 
    


22. NOLAN JARA J.
22
PROBLEMA 15:
Calcular el volumen del sólido.
  yxyxyxR zzyxS
2222223
1;
4
1
0/,, 
Usando coordenadas esféricas y cilíndricas:
SOLUCIÓN:
S
dV
Haciendo una transformación de coordenadas a coordenadas cilíndricas:
x= rcos ; y= rsen ; z= z
Donde el jacobiano J(r,  )=r
2 2 2 2 22 2 21 1
0 ( ( 0 : 1
4 2
) cos ) cosr zrsen r sen senr r r            
 
3 21
( , , ) / 0 2 :0 : 1
2
S r z r r zR r          
     
21 1
31 32 2 22 2
2 32
0 0 0 0 0
1 21 0.75
3 3
1
r
r
dz rdr d r rdr d dr ur r
  
  
    
                      
     
En coordenadas esféricas:
x= rcosθsenф ; y= rsenθsenф ; z= rcosф
Donde el jacobiano J(r,θ, ф)=r2
senф:
   
       

 senrsensenrsenrsensenr
senrsensenr
r
2222
22
coscos
cos
1cos
4
1
0



23. NOLAN JARA J.
23
 
4
0.20:
2
1
0/),,(
3 
  rrS R
  ur ddd
sen
dddrsendV
S
3
2
0
2
0
4
0
2
0
4
0
2
1
0
2
76.0
2
2
1
122
2
1
6
1
24
44 







































    




  
PROBLEMA 16:
Siendo   363694/,, 2223
 zyxRzyxS
Calcular usando un cambio de variable adecuado, la integral
  
S
dvzyx
2
632
SOLUCIÓN
Usando coordenadas esféricas
 
    
    
    
 
    
 
  










 




























2
0 0
1
0
22
2
22
22
3
2
2
2
2
2
2
2
222
coscos216
6coscos6632
coscos6632
0,20,10/,,
.2.3,,
cos
2
cos
3
123
363694
dddrsenrsensensenr
ddrdsenrsensensenrdvzyx
sensensenrzyx
rRrST
donde
senrrJ
rz
senrsen
y
senr
x
zyx
zyx
r
S ST
   
 








4
5
216
cos2
3
2
5
216
cos22
5
216
2
0
2
0 0
3

 

 











 
dsen
sen
ddsensensensensensen
  
S
zyx 
5
864
632
2
PROBLEMA 17:

24. NOLAN JARA J.
24
Hallar el volumen del sólido situado en el exterior del paraboloide z=x2
+y2
que lo limita
el semiplano 0z y en el interior del cilindrox2
+y2
=2x
SOLUCIÓN
El volumen del sólido encerrado es:
    
 
   
   
 
 
 
3
2
0
2
0
4
2
0
cos2
0
32
2
22
222
2
3
322
4
4
4
cos2
22
22
,cos20/,
22
cos;cos2
cos2cos
,:cos
11/,
usen
sen
dddrrdrdrrV
rRrDT
tenemos
positivoserdebecomor
rrsenr
rrJrsenyrx
polaresscoordenadapasandoa
yxRyxD
dondezdAV
r
DT
D















































   
