examenes

1. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
4949494949
77777Capítulo
LA ELIPSE
Hallar la ecuación de la elipse cuya longitud de la cuerda normal (lado
recto) es 5 vértices ( )10,0± .
Solución:
1
25
y
100
x
::entantoloPor
100a10a
25b5
a
b2
CN
:enunciadodelLuego
1
b
y
a
x
::Sabemos
22
2
2
2
2
2
2
2
=+
==
===
→=+
õ
õ
!
!
!
!"
!
!

2. 5050505050
Capítulo 7. LA ELIPSE
Hallar la ecuación de la elipse, cuyo eje es coincidente con 1x = , ( )1,5C = ,
( )1,8F = ; suma de las distancias focales de un punto de la elipse es 12.
Solución:
( ) ( )
( ) ( ) 1
36
5y
27
1x
::tantoloPor
27b27936bcab:Sabemos
9c3CFc:Luego
36a6a12a2:Pero
1
a
ky
b
hx
::deducimosenunciadoDel
22
22222
2
2
2
2
2
2
=
−
+
−
==−=−=
===
===
=
−
+
−
õ
õ
!"!"
!"
!"!"

3. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
5151515151
Reducir la ecuación 021y16x6y4x 22
=++−+ a la forma ordinaria de
la ecuación de una elipse y determinar las coordenadas del centro, vértices
y focos, las longitudes de los ejes mayor y menor, y la cuerda normal; y la
excentricidad.
Solución:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
1
1
3
a
c
e:dadExcentrici
1
2
12
a
2b
NC:NormalCuerda
2122b:menorEje4222a:mayorEje
3c3cc14cba
1b1b2a4a
:También
2,1V
2,5V
2,23ka,hV
:deobtienenseelipseladevérticeslosLuego
2,3kh,C:tenemosecuaciónlaDe
1
1
2y
4
3x
:
42y43x
169214y4y49x6x
:yexparacuadradosoCompletand
021y16x6y4x
2
222222
22
2
1
22
22
22
22
<==
=
×
==
=×==×=
±==+=+=
±==±==




−=
−=
−±=±=
−==
=
+
+
−
=++−
++−=++++−
=++−+
!
!
!!
!
!!
!!!
!!
!!
õ

4. 5252525252
Capítulo 7. LA ELIPSE
Por el foco de la elipse 115y25x 22
=+ se ha trazado una perpendicular
a su eje mayor. Determinar las distancias de los puntos de intersección de
esta perpendicular con la elipse hasta los focos.
Solución:
( ) ( )
"
!
→=
±=±=
±=−±=−=−=
→=+
10x:esfocoprimerelentrazada
larperpendiculadeecuaciónLa
,010Fc,0F
:sonelipseladefocoslosLuego,
101525cbaccab:Sabemos
1
15
y
25
x
:
:elipseladeecuaciónlaTenemos
222222
22
!!
!!
! õ

5. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
5353535353
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 7301010CF
3301010CF
:tantoloPor
3,10yx,C:aquíDe
3y9y1
15
y
25
9
:yDe
22
2
22
1
2
2
=−+−−=
=−+−=
==
±===+
!
!
!!"!
Búsquese la ecuación de la elipse que tenga como centro ( )2,4C −= y
sea tangente a los dos ejes de coordenadas.
Solución:
( ) ( )
( ) ( ) 1
16
4y
4
2x
:
4b2b
YejealCdeDistancia:b
16a4a
XejealCdeDistancia:a
:casoestePara
1
a
ky
b
hx
::Sea
22
2
2
2
2
2
2
=
−
+
+
==
==
=
−
+
−
õ
õ
!
!!
!!
!
!

6. 5454545454
Capítulo 7. LA ELIPSE
Hallar la ecuación canónica de la elipse, si uno de los vértices está en
( )5,0V1 = y pasa por el punto ( )2,3P = .
Solución:
( )
( )
75y7x3:1
775
y
25
x
:
:tantoloPor
7
75
b1
b
3
25
4
2,3P:Como
1
b
y
25
x
::Luego
25a5a5,0V:queDado
1
b
y
a
x
:
22
22
2
2
2
22
2
1
2
2
2
2
=+=+
==+∈=
=+
===
=+
õõ
õ
õ
õ
!
!!
!!
!
La base de un auditorio es de forma elíptica, tiene 20 m. de longitud y 16 m
de ancho. Si cae una aguja sobre un foco el ruido que produce se escucha
claramente cerca del otro foco. ¿A qué distancia está un foco del otro
foco?
Solución:
12c22F1F:tantoloPor
6c36ccab:dondeDe
64b8b
100a10a
:enunciadodeldatoslosSegún
2222
2
2
==
±==−=
==
==
!!
!
!
!
!
Según los datos del enunciado:
Por lo tanto:

7. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
5555555555
Usando la definición de elipse, obtener la ecuación de la elipse con focos
en ( )3,4F −= y ( )5,4F2 = eje mayor 12.
Solución:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
031y72x10y9x5:
:soperacioneEfectuando
124y5x4y3x
:dondeDe
12a2PFPF
:quetieneseelipse,dedefiniciónlaPor
mueve.sequepuntoelyx,PSea
22
2222
21
=+++−
=−+−−−++
==−
=
õ
!
!

8. 5656565656
Capítulo 7. LA ELIPSE
Demostrar que para todo elipse que tenga su centro en el origen, la distancia
de cualquiera de los extremos del eje menor a cualquiera de los focos es la
mitad de la longitud del eje mayor.
Solución:
aaFB:tantoloPor
bca:quedefiniciónporsabemospero,
bcFB:figuraladeLuego,
a
2
a2
2
VV
FB
:queProbar
origen.elenvérticeconelipsela1
b
y
a
x
:Sea
2
11
222
22
11
21
11
2
2
2
2
==
+=
+=
===
=+
!
õ

9. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
5757575757
Un punto se mueve de tal modo que la suma de las distancias de los
puntos ( )2,0A −= y ( )2,6B −= es 8. Hallar la ecuación del lugar
geométrico de P .
Solución:
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) 1
16
3y
7
2x
:
015y42x64y7x16:
:tieneses,operacioneEfectuando
86y2xy2x
:dondeDe
8BPAP
:problemadelcondiciónlaPor
mueve.sequepuntoelyx,PSea
22
22
2222
=
−
+
+
∴
=+−++
=−+++++
=+
=
õ
õ
La órbita que describe la Tierra alrededor del Sol es aproximadamente una
elipse, con el Sol en uno de los focos. Si el eje mayor de la órbita elíptica
es de .km000300 y la excentricidad es de 017,0 aproximadamente.
Hallar la distancia máxima y mínima de la Tierra al Sol.
Solución:
5502c0001500,017a0,017c0,017
a
c
e
:elipseladedadexcentriciladeaproximadovalorDel
000150a0003002a
:quetenemosgráfico,elsegúnydatoslosDe
=×=×===
==
!!
!
!
!
Por la condición del problema:

10. 5858585858
Capítulo 7. LA ELIPSE
450147ca5502000150ca:Minimo
550152ca5502000150ca:Máximo
:Luego
=−−=−
=++=+
!
!
!
!
´