Este documento describe varios métodos de interpolación polinomial. La interpolación polinomial consiste en construir un polinomio que pasa por valores conocidos de una función para aproximar los valores de la función. El documento explica el polinomio interpolante de Newton-Gregory, el polinomio interpolante de Gauss, la interpolación de Hermite y el polinomio interpolante de Lagrange. También cubre el cálculo de diferencias divididas y la fórmula general de Newton para polinomios interpolantes.

1. Polinomios Interpolantes
TEORÍA DE INTERPOLACIÓN
Parra Homsieh, Victor Francisco

2. El Problema De La Interpolación
Si queremos calcular el valor de la función para una abscisa diferente de
las conocidas, debemos utilizar otra función que la aproxime y, naturalmente,
el valor que obtengamos será una aproximación del valor real. También puede
suceder que sepamos la expresión analítica de la función, pero sea lo
suficientemente complicada como para calcular aproximaciones a los valores
de la función a partir de otros ya conocidos. Existen varias formas de hacer
esto, pero la más sencilla y una de las más utilizadas es la interpolación, que
consiste en construir una función que pase por los valores conocidos (llamados
polos) y utilizar ésta como aproximación de la función primitiva. Si se utilizan
polinomios como funciones de aproximación, hablamos de interpolación
polinomial.

3. Polinomio Interpolar de Newton-Gregory
Cuando la función ha sido tabulada, se comporta como un polinomio,
se le puede aproximar al polinomio que se le parece. Una forma sencilla de
escribir un polinomio que pasa por un conjunto de puntos equiespaciados, es
la fórmula del Polinomio Interpolante de Newton-Gregory (en avance y
retroceso).

4. Polinomio Interpolante de Gauss
La fórmula del Polinomio Interpolante de Gauss (en avance y
retroceso), donde la trayectoria es en forma de Zig-Zag.
En el caso de la fórmula de avance los valores son tomados en forma
de zig-zag, iniciando primero hacia abajo, luego hacia arriba, luego hacia
abajo, y así sucesivamente. En fórmula de avance los valores son tomados
en forma de zig-zag, iniciando primero hacia arriba, luego hacia abajo, luego
hacia arriba, y así sucesivamente.
• Interpolación De Hermite
Aquí buscamos un polinomio por pedazos Hn(x) que sea cúbico en
cada subintervalo, y que interpole a f(x) y f'(x) en los puntos . La función
Hn(x) queda determinada en forma única por estas condiciones y su cálculo
requiere de la solución de n sistemas lineales de tamaño 4x4 cada uno. La
desventaja de la interpolación de Hermite es que requiere de la
disponibilidad de los lo cual no es el caso en muchas en muchas
aplicaciones.

5. Polinomio Interpolante De Lagrange
Para construir un polinomio de grado menor o igual que n que
pase por los n+1 puntos: , donde se supone que si i ¹ j. Este
Polinomio Pn es la fórmula del Polinomio Interpolante de Lagrange.
Esta fórmula si puede aplicarse independientemente del
espaciamiento de la tabla, pero tiene el inconveniente de que no se
conoce el grado del polinomio. Como no se conoce, se tiene que
determinar iterativamente. Se propone un grado, se realiza la
interpolación, se propone el siguiente grado, se vuelve a interpolar y
se compara con algún criterio de convergencia, si se cumple
terminamos si no, se repite el procedimiento.

6. Diferencias Divididas Y La
fórmula General De Newton
La forma general del polinomio interpolante de Newton para n+1
datos (x0, ƒ(x0)), (x1, ƒ(x1)), ..., (xn, ƒ(xn)) es:
Los coeficientes ai se obtienen calculando un conjunto de cantidades
denominadas diferencias divididas.
La notación para las diferencias divididas de una función ƒ(x) están
dadas por: