Este documento presenta información sobre métodos de interpolación polinómica, incluyendo diferencias divididas de Newton y interpolación de Lagrange. Explica que la interpolación polinómica construye un polinomio que pasa por puntos de datos conocidos. Describe cómo los métodos de Newton y Lagrange calculan coeficientes polinómicos usando tablas de diferencias divididas o funciones de Lagrange, respectivamente. También incluye ejemplos numéricos para ilustrar los métodos.

1. INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE
TIERRA BLANCA
CARRERA:
ING. MECATRÓNICA
MATERIA:
MÉTODOS NUMÉRICOS
TEMA:
POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN: DIFERENCIAS
DIVIDIDAS DE NEWTON Y DE LAGRANGE
INTEGRANTES DEL EQUIPO:
DANIEL FERREYRA SÁNCHEZ
CESAR LANDETA SÁNCHEZ
CARLOS YAIR ROMÁN OCHOA
JONATHAN VERGARA ORTEGA

3. INTERPOLACIÓN
En el subcampo matemático del análisis numérico, se
denomina interpolación a la obtención de nuevos
puntos partiendo del conocimiento de un conjunto
discreto de puntos.
 En ingeniería y algunas ciencias es frecuente disponer
de un cierto número de puntos obtenidos por muestreo
o a partir de un experimento y pretender construir una
función que los ajuste


4. POLINOMIOS
Un polinomio es una expresión hecha con constantes,
variables y exponentes, que están combinados usando sumas,
restas y multiplicaciones, … pero no divisiones.
Los exponentes sólo pueden ser 0,1,2,3,... etc.


Un polinomio es así:
Un ejemplo de polinomio
este tiene 3 términos

5. INTERPOLACIÓN POLINÓMICA

La interpolación polinómica es una técnica de
interpolación de un conjunto de datos o de una función
por un polinomio. Es decir, dado cierto número de
puntos obtenidos por muestreo o a partir de un
experimento se pretende encontrar un polinomio que
pase por todos los puntos.

6. MÉTODO DE LAS DIFERENCIAS
DIVIDIDAS DE NEWTON

Sea
una variable discreta de n elementos y sea
otra
variable discreta de n elementos los cuales corresponden,
por parejas, a la imagen u ordenada y abcisa de los datos
que se quieran interpolar, respectivamente, tales que:

Este método es muy algorítmico y resulta sumamente
cómodo en determinados casos, sobre todo cuando se
quiere calcular un polinomio interpolador de grado elevado.

7. Estos coeficientes se calculan mediante los datos que se
conocen de la función f .

queda definido, como:


Tabla con las diferencias divididas de una cierta función dada
para construir un polinomio interpolador de grado 2:

8. INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE

Este método es el más explicito para probar existencia
de solución ya que la construye. Sin embargo su utilidad
se reduce a eso: a dar una respuesta formal y razonada,
pues no es eficiente en términos de cálculo (requiere
muchas operaciones y tiene limitaciones técnicas).

9. 
El polinomio de interpolación de Lagrange
es simplemente una
reformulación del polinomio de Newton que evita el cálculo de las
diferencias divididas, y se representa de manera concisa como:

10. EJEMPLO
INTERPOLACIÓN DE
LAGRANGE

11. Se quiere hallar el valor de la función
para
usando un polinomio interpolador de Lagrange de grado 2.
 Para ello se usan los siguientes datos:


Se usa primero el método directo para calcular el polinomio
interpolador de Lagrange. Con las condiciones dadas, los
polinomios de Lagrange son:

12. 
Se calcula ahora el polinomio interpolador de grado 2:

Ahora evaluamos este polinomio en
aproximado de
:

Si se usase una calculadora para efectuar el cálculo obtenemos ,
para obtener un valor
por lo que el error cometido es el siguiente:

Se trata de un error del orden del 0.66 %.

13. EJEMPLO
DIFERENCIAS DIVIDIDAS DE
NEWTON

14. 
Se diseña una tabla de Diferencias Divididas esquemática y se
realiza los pertinentes cálculos para obtener los siguientes
coeficientes:

Ahora se debe tomar de estos coeficientes los que se necesita
son para escribir el polinomio interpolador. Hay que recordar,
según lo apuntado anteriormente, que sólo se usan aquéllos
coeficientes que involucren a
. De esta forma se obtiene
el polinomio interpolador de Lagrange de grado 2: