Este documento describe tres métodos para calcular la incertidumbre en mediciones indirectas. Explica que cuando se obtiene un resultado a partir de mediciones directas con incertidumbres, el resultado indirecto también tendrá una incertidumbre debido a la propagación de errores. Luego, detalla los tres métodos - diferencias finitas, cálculo diferencial y uso de logaritmos - y los ilustra con un ejemplo de calcular el área de un cuadrado.

1. CÁLCULO DE INCERTIDUMBRE EN LAS MEDICIONES OBJETIVOS Reportar correctamente resultados, a partir del procesamiento de datos obtenidos a través de mediciones directas. INTRODUCCION En el capítulo de medición se analizó lo que es la incertidumbre absoluta y la incertidumbre relativa, de este criterio se puede observar que toda medición caerá dentro de un respectivo intervalo de confianza el cual brindará la certeza de contener el valor real. Sin embargo este intervalo de confianza en una medición directa es relativamente sencillo de calcular o estimar. Un problema más complejo es ¿cómo proceder? cuando se tiene que reportar o expresar correctamente un resultado, partiendo de varias mediciones directas (datos), resulta que se puede inferir, que si las mediciones directas tienen sus incertidumbres, los resultados obtenidos del procesamiento de datos (mediciones directas) también lo tendrán, como consecuencia de la propagación de las incertidumbres de las mediciones directas. En este capítulo se analizará el problema de cómo expresar correctamente los resultados partiendo de varias mediciones directas (datos); para esto se considerará el primer caso: Incertidumbre en resultados obtenidos de una función de una sola variable: Considere una magnitud X, al realizar varias mediciones de esta misma magnitud, se observa que los valores difieren entre ellos (aunque entre ellos exista una mínima diferencia, por lo tanto, el resultado se debe expresar incluyendo un intervalo de confianza, considerando la misma forma de expresar una medición directa (X ± δX). Supongamos que Z es una magnitud que depende de X esto se escribe así Z= f (X); como Z depende de X es fácil ver que si existe una incertidumbre δX, entonces Z tendrá una incertidumbre δZ como consecuencia de la propagación de la incertidumbre de X.

2. ¿Cuánto valeδZ?,
En la figura 1, se puede apreciar que:
Zo = f (Xo); ZI = f (Xo – δX)
Zf = f (Xo + δX), en donde δZ = (Zf – ZI) (diferencia finita δZ)
Figura. 1
Ejemplo: Se requiere reportar el área Z de un cuadrado de lado X; entonces: Z = X2,
Pero si X tiene su incertidumbre δX, entonces Z tiene una incertidumbre δZ , por lo tanto;
Z = X2
Zo ± δZ = (Xo ± δX)2
Zo ± δZ = Xo2 ± 2XoδX + δX2
Como las incertidumbres de las mediciones directas son pequeñas en comparación con las
magnitudes medidas, entonces sus cuadrados y más altas potencias se pueden despreciar, por lo que
X2 se puede despreciar, obteniéndose:
Zo ± δZ = Xo2 ± 2Xo δX ;
De aquí: Zo = Xo y δZ = 2Xo δX.
Donde δZ es la incertidumbre absoluta de Z.
Ahora, si se quisiera expresar la incertidumbre relativa, (definida en el capítulo anterior como la
incertidumbre absoluta con respecto a la magnitud medida):
2
2
Xo
Xo X
Zo
Z
, lo que nos lleva a
Xo
X
Zo
Z 2

3. Con el uso del cálculo diferencial se logra una simplificación en la obtención de las incertidumbres
δZ calculada.
Método general para el cálculo de la incertidumbre en resultados
obtenidos de una función de una sola variable:
Si Z = f (X), entonces la derivada de Z con respecto a X es:
dx
d f x
dx
dz
Cuando las diferencias son muy pequeñas (tienden a cero), entonces:
x
z
dx
dz
; por lo tanto
x
dx
d f x
z
Es decir, si se quiere encontrar la incertidumbre absoluta δZ, se tiene que derivar la función a
utilizar para encontrar el resultado deseado con respecto a la variable (magnitud, dato) medida
directamente, y a ese resultado multiplicar por la incertidumbre de la magnitud medida
directamente.
Por ejemplo, para el caso anterior del cuadrado:
dX
dZ
= 2X, entonces δZ = 2XδX, que fue el resultado que anteriormente se encontró.
En general para cualquier resultado obtenido de una función de una sola variable:
Z X n
nX Z nX X
dx
dz n - 1 n - 1 ⇒
X
X
n
Z
Z
X
nX X
Z
Z
n
n
⇒
- 1
Incertidumbre en resultados obtenidos de una función de dos o más
variables:
En el caso anterior, se obtuvo una expresión general para determinar laIncertidumbre en resultados
obtenidos de una función de una variable, mediante la aplicación de la derivada; sin embargo, a
INCERTIDUMBRE
ABSOLUTA
INCERTIDUMBRE
RELATIVA

4. menudo los resultados que se desean obtener no dependen solo de una variable sino de dos, tres o
más variables medidas, y cada una de ellas aportará con su respectivaincertidumbre en la
propagación, así que, δZserá la incertidumbre calculadade la medición indirecta y esta representa el
más amplio margen de posibilidad para Z. Si bien esta apreciación es un poco pesimista nos permite
obtener cierto grado de certeza en la medición Z.
Método general para la incertidumbre de un resultado en funciones de
dos o más variables
Consideremos a Z como un resultado obtenido a partir de las magnitudes (datos) X y Y de tal
manera que están relacionadas mediante la ecuación: Z = X + Y, es decir Z = f (X, Y); en este caso
otra vez X aportará en la incertidumbre con δX , mientras que Y aportará en la incertidumbre con
δY, luego:
Z ± δZ = (X ± δX) + (Y ± δY)
Reordenando: Z ± δZ = X + Y ± δX +δY
Por lo tanto δZ = δX +δY
Ahora, si se utiliza el cálculo, como las dos variables aportan a la incertidumbre de Z, entonces se
podría obtener cada incertidumbre por separado y sumarlos. Si la función es Z = X + Y, usando
derivadas parciales (es decir derivando con respecto a cada variable asumiendo a la otra
momentáneamente constante) 1
X
Z
entonces Z X o δZ = δX pero eso es solo lo que aporta
X porque se mantuvo a Y constante, ahora si derivamos con respecto a Y obtenemos Z Y o
δZ = δY, por lo tanto δZseria igual a la suma de los aportes de X y Y, es decir δZ = δX +δY, lo que
anteriormente se obtuvo.
Generalizando podemos decir que, si F = f (W, X, Y) entonces:
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
, ,
z
z
f
y
y
f
x
x
f
F
z
z
f
y
y
f
x
x
f
dF
F f X Y Z

5. Observar que las barras indican el valor absoluto de las derivadas, por lo que las incertidumbres no
se pueden eliminar.
Por ejemplo si Z = X – Y, entonces 1
X
Z
y Z X , así , Z Y , por lo tanto se podría
pensar que δZ = δX – δY, pero eso disminuiría el margen de la propagación es más si δX = δY, se
eliminaría, obteniéndose un δZ = 0, lo cual no es posible si X y Y tienen incertidumbre. Para evitar
estos problemas se considera el más amplio margen de posibilidad para Z, y eso es cuando se
suman las incertidumbres, para eso se utiliza las barras de valor absoluto. Por lo tanto, si Z = X –
Y, entoncesδZ = δX + δY.
Ejemplo 1:
Un estudiante realizó la medición de un cuadrado obteniendo el valor de (10.8 ± 0.1) cm. Desea
encontrar el área del cuadrado con su respectiva incertidumbre. Para este caso tenemos una variable
a la que llamaremos “X” y usaremos la siguiente nomenclatura para la medida así:
(X± ) ; donde X es el valor medido y X: es la incertidumbre de la medición
Por lo tanto la medida del AREA se reportará así:
(A± A) ; donde A es el área y A es la incertidumbre del área
Sabemos que el área de un cuadradoes A=X2
X Dado X= (10,8±0.1) cm
X Área= X2 = (10,8)2 = 116,64cm2
Si tenemos en cuenta las reglas de multiplicación y división con cifras significativas nuestro
resultado necesita tener 3 cifras significativas ya que (10,8)2 es como si tuviéramos 10,8x10,8 por
lo que debemos tener siempre presente estas reglas, entonces nuestro resultado del Área de nuestro
cuadrado es:117 cm2
Existen tres métodos para calcular la incertidumbre.
Uso de las diferencias finitas
Calculo diferencial
Calculo por logaritmo neperiano

6. PRIMER MÉTODO (USO DE DIFERENCIAS FINITAS) Área mínima: Amin= (XX)2Amin= (10.8-0.1)2= (10.7)2Amin= 114.49 114Amin= 114cm2 Área máxima: Amax= (X+X)2Amax= (10.8+0.1)2 = (10.9) 2Amax= 118.81 119 Amax= 119cm2 Una vez obtenido los valores máximos y mínimos del área se procede a la siguiente operación. Incertidumbre del área () = (Amax-Amin)/2= (119-114)/2= 2.5 La respuesta quedaría: A±A= (117 ± 2.5) cm2 SEGUNDO MÉTODO (CÁLCULO DIFERENCIAL) Calculamos la incertidumbre del área usando las propiedades del cálculo diferencial Decimos que es casi igual porque son valores muy pequeños. Despejando δf. Remplazando en la fórmula despejada. Considerando nuestro ejemplo anterior en la cual A=X2 Derivando x2 con respecto a x. Remplazando los valores de x y δx. Resolviendo la multiplicación y redondeando a una cifra significativa porque esa será la única cifra que incidirá en la cifra dudosa de la medición. Reportando la medición con su respectiva incertidumbre. TERCER MÉTODO (USO DE LOGARÍTMO NATURAL) Calculamos la incertidumbre del área usando las propiedades de logaritmo natural y el diferencial total de dicha función. Luego aplicamos los siguientes pasos para el cálculo de la incertidumbre absoluta de nuestra medición indirecta utilizando el método antes mencionado: Para este ejercicio utilizamos la fórmula para calcular el área de un cuadrado.

7. Aplicamos logaritmo natural () a ambos lados. Utilizamos las propiedades de logaritmo natural para bajar nuestro exponente. Luego derivamos el respecto a A; y respecto a x. Definimos nuestra función. Derivamos nuestra función respecto a x. La derivada de nuestra función es . Como cuando las diferencias son muy pequeñas (tienden a cero), por lo tanto: Donde igualamos la incertidumbre absoluta de la función y la incertidumbre de la medición con el resultado de la derivación de nuestra función. Despejando, nos queda que la incertidumbre absoluta de la función es igual a la incertidumbre de la medición sobre el valor de la medición. Aplicando a nuestro ejercicio nos queda: donde, es la incertidumbre absoluta de nuestra medición indirecta, A es el valor del área, es la incertidumbre de nuestra medición directa y x es el valor de nuestra medición directa. Despejando y remplazando datos tenemos que: Realizando la multiplicación nos queda: El resultado de la multiplicación nos dio un número con 3cifras significativas, por lo que no es un resultado válido, ya que en nuestra multiplicación anterior debíamos tener en cuenta las reglas para la multiplicación y división con cifras significativas. Así que redondeamos nuestra cantidad hasta una cifra significativa: Por lo tanto nuestra respuesta final nos queda:A±= (117±2) cm2 Ejemplo 2: Se utilizó un calibrador Vernier para la medición del diámetro y el espesor de una moneda; con los datos obtenidos encontrar el área de la circunferencia de la moneda y el volumen de la misma con su respectiva incertidumbre. Diámetro: a a = (26,30 0,05) mm; espesor: h h = (1,90 0,05) mm Determinamos el área A que corresponde al valor medido.

8. Luego para calcular la incertidumbre absoluta derivamos la función A con respecto a la variable
debido que tiene incertidumbre a
Reemplazando los valores nos queda,
Por lo cual el área de la circunferencia de la moneda con su respectiva incertidumbre es:
Podemos apreciar que
El ejercicio nos pide calcular el volumen es V=Área h
Por lo cual el volumen que corresponde al valor medido es:
V=543.3 * 1.90V= 1032.27 =1032 =1.03 x
Calculamos la incertidumbre del volumen por el método de cálculo diferencial:
Por lo cual hacemos un breve análisis del concepto anterior se tiene la función F la misma que
depende de las variables X,Y,Z en donde la incertidumbre de F es F
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
, ,
z
z
f
y
y
f
x
x
f
F
z
z
f
y
y
f
x
x
f
dF
F f X Y Z
En nuestro caso la función corresponde al volumen V= h la misma que depende de la variable
a y h

9. Observe que la función F se deriva con respecto a la variable a debido a que posee incertidumbre
y que también se deriva con respecto h por que posee incertidumbre
Derivamos V con respecto a manteniendo h como una constante
Derivamos V con respecto h manteniendo a como una constante
Reemplazando nos queda
(1.03x x
Ejemplo 3
Un péndulo simple se usa para obtener el valor de la aceleración de la gravedad (g), usando
g
l
T 2 periodo T medido fue (1.24 0.02 )s y la longitud es de (0.381 0.002)m ¿Cuál es
el valor de este resultado (g) con su incertidumbre absoluta y relativa?
2
2 4
2
l T
g
g
l
T
2
2
2
2
2
9.7823 9.78 /
1.24
4 0.381
4
g m s
T
l
g

10. Ejemplo 4:
Determinar la incertidumbre relativa porcentual del resultado obtenido del volumen de un alambre
(cuyo diámetro es d = (3.00±0.01) mm. y su longitud L = (50.0±0.2) cm
Procedimiento para la práctica.
Mida las tres dimensiones del bloque y repórtelas correctamente considerando el error instrumental
además mida también la masa del bloque, y finalmente calcule la densidad del bloque y repórtela
con su respectiva incertidumbre.
Con el calibrador de Vernier registre el diámetro y con el anillo micrométrico registre el espesor de
la arandela (considere el error instrumental). Calcule el volumen, mida también la masa y reporte
correctamente la densidad con su respectiva incertidumbre.
Complete las tablas en donde se reporten correctamente las diferentes medidas de la práctica.
Tenga en cuenta que todos los datos consignados deben tener claras las unidades correspondientes.
Revise el siguiente link.
http://www.youtube.com/watch?v=FjGV6ve-Nxg
T
T
g
l
l
g
g 2
2 4
l T
g
3
2
3
2
2 2
2 8
4
4
T
l
T
l
T
g
T
T
l
T
g
T
T
l
l
T
g 3
2
2
2 4 8
100 3.78%
100
9.78
0.37
100
9.78 0.37 / 2
x
g
g
x x
g
g
g m s
0.3669 0.37
0.02
1.24
8 0.381
0.002
1.24
4
3
2
2
2
g
g
L
d
d
L d
V
4 4
(2 ) 2
4
2 4
2
2
d L
L
d
d
Ld
V
V
L
L
d
d
V
V
2
*100
50
0.2
3
0.01
% 2
V
V
% 1.06%
V
V
4
2d L
V L
L
V
d
d
V
V

11. Preguntas para la prueba de entrada
Usando el segundo método (Cálculo Diferencial) resuelva los siguientes ejercicios.
1.-Se quiere determinar el volumen de un paralelepípedo utilizando su masa y densidad: masa=
(1204.171 ± 0.001) g; densidad del acero medida = (7.850 ± 0.001) g/cm3. Reportar el valor del
volumen del cuerpo con su respectiva incertidumbre en cm3.
2.-En una práctica de caída libre donde un objeto se suelta de una altura h y el tiempo de caída es t
.
Determine la gravedad y su incertidumbre correspondiente.
3.-Un péndulo simple se usa para obtener el valor de la aceleración de la gravedad (g), usando
g
l
T 2 periodo T medido fue (1.24 0.02 )s y la longitud es de (0.381 0.002)m ¿Cuál es
el valor de este resultado (g) con su incertidumbre absoluta y relativa?
4.-Un estudiante hace las siguientes mediciones de magnitudes, en un mismo experimento:
a = (5 1) cm, b = (18 2)cm, c =(12 1) cm,
t = (3.0 0.5) s, m = (18 1) g M= (2.23 + 0.05) kg
Usando las reglas de propagación de incertidumbres, determine las siguientes cantidades con sus
incertidumbres (absoluta y relativa):
a) a + b + c b) a + b – c c) c/td) m/(abc)e) M –mf) M/m

12. REPORTE DE DATOS Y RESULTADOS Práctica de Propagación de Incertidumbre Fecha_________ Paralelo____ P.Entrada ____ Apellidos_____________________ Nombres____________________ Desempeño en clase ____ Informe Técnico ____ P.Sálida____ Total ____ Objetivos de la práctica ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ Usando el método de cálculo diferencial, proceda a calcular la incertidumbre absoluta tanto del volumen V como de la densidad del bloque y el anillo. Anotar en el casillero correspondiente, el volumen, la masa y la densidad del bloque

13. Anotar en el casillero correspondiente, el volumen, la masa y la densidad del anillo