Este documento describe varios métodos de interpolación polinómica, incluyendo polinomios interpolantes de Newton-Gregory, Gauss, Lagrange, Hermite y Newton. Explica que estos métodos se usan comúnmente para aproximar funciones desconocidas a partir de datos tabulados, y que tienen aplicaciones importantes en la solución numérica de ecuaciones diferenciales.

1. Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”
Extensión Porlamar – Sede Genovés
Escuela de Ingeniería Electrónica
Análisis Numérico – Semestre V
Polinomios Interpolantes
Elaborado Por:
Prof. Guadalupe Malaver Fernando Carrasco CI. 20.537.235
.
Porlamar, Marzo de 2017

2. Polinomios Interpolantes
Teoría de la interpolación
Un problema que se presenta con
frecuencia en la ciencias experimentales
y en ingeniería es tratar de construir una
función , El objetivo será determinada
una función que verifique los datos
obtenidos y además sea fácil de
construir y manipular.
Tablas de Diferencias
Dado a los valores de una función desconocida correspondientes a dicho
valores de x, ¿ cual es el componente de la función? ; el propósito es determinar
dicho comportamiento, con las muestras de los pares de datos(x, f(x)) ; se
encontrara un polinomio que satisfaga un conjunto de puntos seleccionados (x¡,
f(x¡)) donde los valores que aporten el polinomio y la función se comportan casi
de la misma manera, en el intervalo en cuestión.
Si se desea encontrar un polinomio que pase atraves de los mismos puntos
que la función desconocida se puede establecer un sistema de ecuaciones, pero
este proceso es un poco engorroso; resulta conveniente arreglar los datos en una
tabla con los valores de x en forma ascendente. Ademas de las columnas para x

3. y para f(X) se deberán tabular las diferencias de los valores funcionales. Cada
una de las columnas de las derecha de f(X).
Polinomios interpolantes de Newton-Gregory
Cuando la función ha sido tabulada, se comporta como un polinomio, se
le puede aproximar al polinomio que se le parece. Una forma sencilla de
escribir un polinomio que pasa por un conjunto de puntos equiespaciados, es
la formula del polinomio interpolante de Newton– Gregory (en avance y
retroceso).
La formula usa la notación, que es el numero de combinaciones de s
cosas tomadas de n a la vez, lo que lleva a razones factoriales, x viene dada
por s, Xo viene a ser el punto de partida.
La formula usa la notación, que es el numero de combinaciones de s
cosas tomadas de n a la vez, lo que lleva a razones factoriales, x viene dada
por s, Xo viene a ser el punto de partida.

4. Polinomio interpolante de Gauss
Hay una gran variedad de formulas de interpolación además del método
de Newton– Gregory, diferencia de la forma de las trayectorias tomadas en la
tabla de diferencias; Por ejemplo la formula del polinomio interpolante de
Gauss (en avance y retroceso), donde la trayectoria es en forma de Zig-Zag, es
decir los valores desde el punto de partida Xo serán seleccionados en formas
de Zig– Zag.
Interpolacion de Hermite
Aquí buscamos un polinomio por pedazos Hn (X) que sea cubico en cada
subintervalo, y que interpole a f(x) y f’(X) en los puntos. La función Hn (X)
queda determinada en forma única por estas condiciones y su calculo requiere
de la solución de n en sistemas lineales de tamaño 4x4 cada uno.

5. La desventaja es que requiere de la disponibilidad de lo cual no es el caso
en muchas aplicaiones.
Polinomios interpolante de Logrange
Para construir un polinomio de grado menor o igual que n que pase por los
n+1 puntos; donde se supone que si j. Este polinomio Pn es la formula del
polinomio interpolante de lagrange. Esta formula si puede aplicarse
independientemente del espaciamiento de la tabla, pero tiene el inconveniente
de que no se conoce el grado del polinomio.

6. Diferencias Divididas y la formula General de Newton
Esta entre los modelos mas populares y útiles. Para un polinomio de grado
n se requiere de n+1 puntos. Se usan estos datos para determinar los
coeficientes para las diferencias divididas. Partiendo de una tabla de diferencia
divididas. Para aplicar el polinomio de interpolación por diferencias divididas
de Newton, no es necesario que los datos tabulados sean necesariamente
equiespaciados o que los valores deban estar ordenados en forma ascendente ,
El valor que aporta el polinomio de Newton esta sujeto a un error.
Aplicación de la interpolacion
Para datos tabulados en forma
equiespaciada o no esquiespaciada, a
través de una serie de técnicas que
antes de la llegada de las
computadoras tenían gran utilidad
para la interpolación, sin embargo,
con fórmulas como las de Newton-
Gregory, Gauss, Lagrange, Hermite,
Newton, etc., son compatibles con computadoras y debido a las muchas func
iones tabulares disponibles, como subrutinas de librerías; dichas fórmulas
tienen relevancia en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias. Una
gran cantidad de problemas físicos están descritos por ecuaciones diferenciales
en las que interviene un operador Laplaciano (la ecuación de Laplace, la
ecuación de onda, la ecuación de Schrödinger, etc.). Matemáticamente, estas

7. ecuaciones corresponden a casos particulares del problema de Sturm-Liouville,
vale decir, ecuaciones de autovalores para un operador diferencial autoadjunto.
No entraremos en los detalles de esta discusión.