Este documento resume varios métodos de interpolación polinómica como interpolación de Newton-Gregory, Gauss, Hermite, Lagrange y diferencias divididas. Explica cómo construir polinomios interpolantes para aproximar funciones desconocidas basadas en datos de entrada. También discute aplicaciones de estos métodos numéricos en la resolución de ecuaciones diferenciales.

1. POLINOMIOS INTERPOLANTES
“La pequeña publicación del saber, la cual te facilita tu entendimiento”
Llévala siempre con tigo. Revista Clásica del Análisis Numérico.
DEYBIS AVENDANO
18.053.663
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2. Contenidos en esta Edición.
Polinomios Interpolantes.
La introducción a la teoría de la interpolación.
Tablas de Diferencia.
Polinomios Interpolantes, Newton-Gregory, Gauss.
Interpolación de Hermite.
Polinomio interpolante de Lagrange.
Diferencias divididas y la formula general de newton.
Aplicación de los métodos numéricos y Resolución de
Problemas.
Conclusión Final.
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3. Interpolación Polinómica.
El Problema De La Interpolación consiste en construir una función que
pase por los valores conocidos (llamados polos) y utilizar ésta como
aproximación de la función primitiva.
Para calcular el valor de la función para una abscisa diferente de las
conocidas, debemos utilizar otra función que la aproxime y, naturalmente, el
valor que obtengamos será una aproximación del valor real. De igual forma
puede suceder que sepamos la expresión analítica de la función, pero puede
que sea lo suficientemente complicada como para calcular aproximaciones a
los valores de la función a partir de otros ya conocidos.
Interpolación polinómica. Es cuando se utilizan polinomios como
funciones de aproximación.
Extrapolación. Se presenta cuando en la abscisa para la que queremos
encontrar un valor aproximado de la función se encuentra fuera del mayor
intervalo definido por las abscisas de los polos.
Tabla De Diferencias.
Dados los valores de una función desconocida correspondiente a dichos
valores de x, ¿cuál es el comportamiento de la función?; el propósito es
determinar dicho comportamiento, con las muestras de los pares de datos (x,
f(x)); se encontrará un polinomio que satisfaga un conjunto de puntos
seleccionados (xi, f(xi)) donde los valores que aporten el Polinomio y la
función se comportan casi de la misma manera, en el intervalo en cuestión.
Si se desea encontrar un polinomio que pase a través de los mismos
puntos que la función desconocida se puede establecer un sistema de
ecuaciones, pero este proceso es un poco engorroso; resulta conveniente
arreglar los datos en una tabla con los valores de x en forma ascendente.
Además de las columnas para x y para f(x) se deberán tabular las diferencias
de los valores funcionales. Cada una de las columnas de la derecha de f(x),
3

4. se estima o determina calculando las diferencias entre los valores de la
columna a su izquierda. La siguiente tabla es una tabla típica de diferencias
(ejemplo):
x
f(x)
0,0
D f(x)
D 2f(x)
D 3f(x)
D 4f(x)
0,000
0,203
0,2
0,203
0,017
0,220
0,4
0,423
0,024
0,041
0,261
0,6
0,684
0,044
0,085
0,346
0,8
1,030
0,052
0,096
0,181
0,527
1,0
0,020
1,557
0,211
0,307
0,488
1,015
1,2
2,572
Polinomio Interpolante de Newton-Gregory.
Cuando la función ha sido tabulada, se comporta como un polinomio, se
le puede aproximar al polinomio que se le parece. Una forma sencilla de
escribir un polinomio que pasa por un conjunto de puntos equiespaciados, es
4

5. la fórmula del Polinomio Interpolante de Newton-Gregory (en avance y
retroceso).
Polinomio Interpolante de Gauss.
Hay una gran variedad de fórmulas de interpolación además del Método
de Newton-Gregory, difieren de la forma de las trayectorias tomadas en la
tabla de diferencias; Por ejemplo la fórmula del Polinomio Interpolante de
Gauss (en avance y retroceso), donde la trayectoria es en forma de Zig-Zag,
es decir los valores desde el punto de partida Xo serán seleccionados en
forma de zig-zag.
En el caso de la fórmula de avance los valores son tomados en forma de
zig-zag, iniciando primero hacia abajo, luego hacia arriba, luego hacia abajo,
y así sucesivamente. En fórmula de avance los valores son tomados en
forma de zig-zag, iniciando primero hacia arriba, luego hacia abajo, luego
hacia arriba, y así sucesivamente.
Interpolación De Hermite.
Aquí buscamos un polinomio por pedazos Hn(x) que sea cúbico en cada
sub intervalo, y que interpole a f(x) y f'(x) en los puntos. La función Hn(x)
queda determinada en forma única por estas condiciones y su cálculo
requiere de la solución de n sistemas lineales de tamaño 4x4 cada uno. La
desventaja de la interpolación de Hermite es que requiere de la disponibilidad
de los lo cual no es el caso en muchas en muchas aplicaciones.
Interpolación Usando Splines.
Los dos tipos de polinomios por pedazos que hemos discutidos hasta
ahora tienen la desventaja de que su segunda derivada no es continua en los
puntos de interpolación. Se ha observado que en aplicaciones gráficas, el ojo
humano es capaz de detectar discontinuidades en la segunda derivada de
una función, haciendo que los gráficos con este tipo de funciones no luzcan
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6. uniformes. Esto motiva el uso de los splines que son funciones s(x) continúas
por pedazos con las siguientes propiedades:
1. s(x) es polinomio cúbico en .
2. existen y son continuas en .
3. s(x) interpola a la función f en los datos.
4. s(x) es continua en el intervalo.
Si escribimos, entonces tenemos un total de 4n desconocidas. Las
condiciones 2) y 4) nos dan 3(n-1) ecuaciones mientras que de 3) obtenemos
n+1 para un total de 4n-3(n-1)-(n+1)=2 grados de libertad. Estos grados de
libertad se fijan imponiendo condiciones de frontera adicionales en s(x).
Polinomio Interpolante De Lagrange.
Para construir un polinomio de grado menor o igual que n que pase por
los n+1 puntos: , donde se supone que si i ¹ j. Este Polinomio Pn es la
fórmula del Polinomio Interpolante de Lagrange.
Esta fórmula si puede aplicarse independientemente del espaciamiento de
la tabla, pero tiene el inconveniente de que no se conoce el grado del
polinomio. Como no se conoce, se tiene que determinar iterativamente. Se
propone un grado, se realiza la interpolación, se propone el siguiente grado
se vuelve a interpolar y se compara con algún criterio de convergencia, si se
cumple terminamos si no, se repite el procedimiento.
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7. Diferencias Divididas Y La fórmula General De Newton.
En la aplicación del Polinomio de Interpolación por diferencias divididas de
Newton, no es necesario que los datos tabulados sean necesariamente
equiespaciados o que los valores deban estar ordenados en forma
ascendente. El valor que aporta el polinomio de Newton está sujeto a un
error.
Nota: El polinomio de Newton en diferencias divididas es entonces:
p(x)=f[x0]+(x-x0) f[x0,x1]+ (x-x0)(x-x1) f[x0,x1]+ +(x-x0)(x-x1) (x-xn-1) f[x0,x1,
... , xn].
Polinomios de interpolación de Lagrange.
Formula.
Aplicación De Los Métodos Numéricos De Interpolación En La
Resolución De Problemas.
Para datos tabulados en forma equiespaciada o no equiespaciada, a
través de una serie de técnicas que antes de la llegada de las computadoras
tenían gran utilidad para la interpolación, sin embargo, con fórmulas como las
de
Newton-Gregory,
Gauss,
Lagrange,
Hermite,
Newton,
etc.,
son
compatibles con computadoras y debido a las muchas funciones tabulares
disponibles, como subrutinas de librerías; dichas fórmulas tienen relevancia
en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias.
Una gran cantidad de problemas físicos están descritos por ecuaciones
diferenciales en las que interviene un operador Laplaciano (la ecuación de
Laplace, la ecuación de onda, la ecuación de Schrödinger, etc.).
Matemáticamente, estas ecuaciones corresponden a casos particulares del
problema de Sturm-Liouville, vale decir, ecuaciones de autovalores para un
operador diferencial autoadjunto. No entraremos en los detalles de esta
7

8. discusión. Sólo diremos que los polinomios de Hermite son un caso particular
de soluciones a un problema de Sturm-Liouville. Dichas soluciones forman
un conjunto completo y ortogonal, con cierta función de peso.
En el caso de familias de polinomios ortogonales, existen relaciones de
recurrencia que vinculan cada polinomio con los de grados inmediatamente
anterior y posterior, y típicamente poseen una función generatriz, así_ como
operadores
de
subida
y
de
bajada.
En
los
capítulos
siguientes
encontraremos nuevas familias de polinomios ortogonales.
Todos ellos provienen de sendos problemas de Sturm-Liouville, y por
tanto no será extraño encontrar las mismas características que hemos
identificado en los polinomios de Hermite.
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9. Conclusión.
Este material es de gran apoyo para el estudiante e investigador que este
conociendo los polinomios Interpolantes y con el todos los contenidos
mencionados anteriormente, Como escritor de este tema espero que el
mismo les sea de gran ayuda y utilidad.
Muchas Gracias.
El Autor.
Polinomios Interpolantes.
Segunda edición.
Febrero de 2014.
Autor: Deybis Avendano
C.I. 18.053.663
San Felipe- Edo Yaracuy.
Venezuela.
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