El documento presenta el Teorema de Marion, el cual establece que la razón entre el área de un triángulo y el área del hexágono formado al unir los puntos de trisección de los lados del triángulo a los vértices opuestos es de 1 a 10. A continuación, se describen actividades en GeoGebra para dividir triángulos en partes iguales y verificar si se cumple el teorema para diferentes casos. Finalmente, se explican los pasos para dividir un triángulo en n partes iguales.

1. Introducción a GeoGebra: Teorema de Marion.
“Si los puntos de trisección de los lados de un triángulo cualquiera son unidos a los
vértices opuestos, la razón entre el área del triángulo y el área del hexágono resultante
es 1 a 10.”
Actividad n°1:
 Triangulo dividido en 3 partes iguales.
 Área del triángulo: 20.
 Área del hexágono: 2.
 En este triangulo se cumple el teorema de Marion.
..
Actividad n° 2:
 Triangulo dividido en 4 partes iguales.
 Área del triángulo: 40,08.
 Área del hexágono: 9,16.
 En este triangulo NO se cumple el teorema de Marion.

2.  Triangulo dividido en 5 partes iguales.
 Área del triángulo: 40,02.
 Área del hexágono: 1,44.
 En este triangulo NO se cumple el teorema de Marion.
 Triangulo dividido en 6 partes iguales.
 Área del triángulo: 38,35.
 Área del hexágono: 3,84.
 En este triangulo se cumple el teorema de Marion.

3. Intrucciones para dividir un triangulo en partes iguales.
1) Trazar un segmento cualquiera. Por ejemplo, AB:
2) Tomar uno de sus extremos y a partir de ahí, construir otro segmento de mayor longitud
que el primero. Por ejemplo, BC:

4. 3) Iniciando desde el punto de intersección de ambos segmentos, trazar una
circunferencia.
4) Trazar otra circunferencia manteniendo como centro el punto de intersección de
la primera circunferencia con el segmento BC.

5. 5) Con la misma herramienta continúo dividiendo mi segmento en partes iguales
hasta lograr la cantidad n que se desea.
6) Al tener el segmento dividido en las partes que se desea, tomar el último punto de
intersección entre la circunferencia y el segmento, seleccionarlo y, a partir de él,
trazar un segmento (AF) que una ese punto con el extremo del primer segmento.
(Logrando construir un triángulo).

6. 7) Seleccionar el segmento AB, y trazar paralelas a este que coincidan con cada
punto de intersección entre cada circunferencia y el segmento BC.
8) Utilizar la herramienta intersección y marcar el punto de corte entre las paralelas
y el segmento AB.

7. 9) Ahora con la tecla CRLT (sosteniendo en todo momento) seleccionar los puntos
de división y el segmento AB formado, quedando de esta manera:
10) Seleccionados los puntos y el segmento, presionar las teclas Ctrl C, para poder
copiar en otro sector lo seleccionado. Busco un espacio vacío dentro de la misma
Vista Gráfica de GeoGebra para pegar lo copiado anteriormente. (seleccionando las
teclas Ctrl V). Debe quedar pegado el segmento que ya está dividido en partes
iguales.

8. 11) Teniendo en cuenta ese nuevo segmento copiado, tomo uno de sus extremos
para graficar otro segmento que lo denominaremos BC.
12) Además, se debe graficar desde el extremo del segmento BC, otro segmento que
servirá para ir marcando las circunferencias que van a dividir mi segmento en partes
iguales.

9. 13) Para dividir el segmento BC, se repiten todos los pasos mencionados
anteriormente para lograr la división del segmento en partes iguales.
14) Una vez que se realiza todo ello, seleccionar (Ctrl C) el primer segmento
copiado más los puntos y segmento BC que ya se encontrará dividido en n partes
iguales.
15) Realizar el mismo procedimiento para lograr dividir un tercer segmento en
partes iguales, que formará parte del triángulo final.

10. 16) Verificar con la herramienta Distancia o Longitud si las divisiones de cada
segmento son congruentes.
17) Una vez logrado obtener el triángulo con sus divisiones correspondientes, trazar
segmentos partiendo de cada vértice del triángulo, hasta los puntos de división del
segmento opuesto.

11. 18) Utilizar la herramienta Intersección y graficar los puntos de corte entre los
segmentos formando los vértices de hexágono.
19) Utilizar la herramienta polígono y formar las figuras triangular y hexagonal.