Este documento introduce la trigonometría y las funciones trigonométricas. Explica que la trigonometría resuelve problemas en triángulos mediante el cálculo de lados y ángulos desconocidos cuando se conocen otros elementos. También define las funciones trigonométricas como relaciones entre los lados y ángulos de triángulos rectángulos y explica cómo se pueden generalizar a ángulos arbitrarios.

1. Introducción a la trigonometría
y a las funciones trigonométricas
Shirley Bromberg
Raquel Valdés

2. Un poquito de historia
Trigonometría es una palabra de etimología
griega, aunque no es una palabra griega. Se
compone de trigonon que significa triángulo
y metria que significa medición. Y se habla
de ella como matemática práctica.

3. La trigonometría resuelve el siguiente
problema: conocidos algunas de las
componentes de un triángulo, determinar las
restantes
La geometría (teórica) nos dice cuándo ciertos
datos determinan que salvo por posición un
triángulo de lados dados, la trigonometría
(práctica) nos dice cómo calcular los restantes.

4. Comencemos con triángulos rectángulos.
Si conocemos dos de los lados
del triángulo, como el Teorema
de Pitágoras afirma que
c
b
a2 + b2 = c2,
a conocemos el tercer lado.
Eso sí, debemos saber si los
lados que conocemos son catetos
o la hipotenusa.

5. Resolución de triángulos rectángulos.
Pero no tenemos ninguna información acerca de los
ángulos. A continuación comenzaremos a abordar este
problema.
Dividimos los catetos en r partes iguales, y
formamos una retícula. Los catetos de los
triángulos de las esquinas miden a/r, b/r y
su hipotenusa será, por el Teorema de
Pitágoras igual a c/r.
NOTEMOS que la hipotenusa pasa por los
puntos de la retícula. Los triángulo de las
esquinas tienen los mismos ángulos.

6. Las observaciones anteriores permiten
resolver el siguiente
Problema
¿ Cuál será la altura
del árbol que
proyecta una
sombra de 4 m si
se encuentra al
lado de Alberto
que mide 1.75 m y
proyecta una
sombra de 3.5 m ?

7. Sigamos con el problema de encontrar los
ángulos en triángulos rectángulos.
Vamos a escoger triángulos “normalizados”, que
representen a cada triángulo rectángulo.
Tomaremos triángulos con hipotenusa unitaria.

8. Construcción de triángulos de hipotenusa unitaria
c
b 1
b/c
de pasamos a 1
a a/c
a2 + b 2 = c2 (a/c)2 + (b/c)2 = 1

9. Relacionamos ángulos y longitudes
con Tablas de Cuerdas
cuerda α
α
En un comienzo, a cada ángulo se
asoció la cuerda subtendida por él
en una circunferencia de radio fijo.

10. Tablas de cuerdas
Razonando con la figura al
α/2 lado se muestra que
α/2
cuerda α α
= sen
2 2

11. Tablas de cuerdas
Para conseguir nuevos valores se
usa la identidad
sen α
α
1− cos α α
2 sen2
= 1 − cos α
2
y se obtienen tablas de cuerdas que
van de 5o en 5o.

12. Construcción de Tablas
ángulo cuerda seno coseno tangente
3 1/2
60o
1 3
2
30o 1/2 3 1
2− 3
2 3
15o
2− 3 2+ 3 1
2 2 2+ 3
2
2 2
45o ? 1
2 2

13. La figura muestra las funciones trigonométricas
asociadas a un ángulo agudo α ubicado en una
circunferencia
co
ta
ng
α en
te
sen α
coseno tan
cosecante αge
nt
e
cos α
io
seno
rad tan α
α
secante cotan α
sec α
cosec α

14. Funciones trigonométricas:
seno de un ángulo agudo
cateto opuesto a
sen α = =
hipotenusa c
c 1
a/c
α
a b/c
α
b

15. Funciones trigonométricas:
coseno de un ángulo agudo
cateto adyacente b
cos α = =
hipotenusa c
c 1
a/c
α
a b/c
α
b

16. Funciones trigonométricas: tangente
y cotangente de un ángulo agudo
cateto opuesto a cateto adyacente b
tan α = = cotan α = =
cateto adyacente b cateto opuesto a
c 1
a/c
α
a b/c
α
b

17. Funciones trigonométricas: secante
y cosecante de un ángulo agudo
hipotenusa c hipotenusa c
sec α = = cosec α = =
cateto adyacente b cateto opuesto a
c 1
a/c
α
a b/c
α
b

18. Todas las funciones trigonométricas de un
ángulo agudo pueden expresarse a partir
de una de ellas, a modo de ejemplo
tomemos sen
cos α = 1 - sen 2 α
tan α =
cotan α =
sec α =
cosec α =

19. Identidades Trigonométricas
La identidad fundamental
es consecuencia del
1 Teorema de Pitágoras
sen α
α
cos α
sen α + cos α = 1
2 2

20. Identidades Trigonométricas
Si β es el ángulo complementario
de α , hay un triángulo rectángulo
1 β que los tiene como ángulos agudos
sen α
α y se tiene que
cos α
(
sen β = cos α = cos 90 − β

)
cos β = sen α = sen ( 90 
−β)

21. Identidades Trigonométricas
En una diapositiva anterior
demostramos que
1
α α
2sen 2
= 1 − cos α
2
o bien, tomando β = 2α
cos 2 β = 1 − 2sen 2 β

22. Funciones Trigonométricas
de ángulos arbitrarios
Pα Para calcular el seno (o el
coseno) de un ángulo agudo α ,
colocamos un triángulo
α
rectángulo como en la figura.
El seno (o coseno) del ángulo es
la ordenada (o la abscisa) del
punto de intersección Pα de la
hipotenusa con el círculo.
Pero no es necesario tener todo el rectángulo, basta
con tener la recta que une Pα con el origen.

23. Funciones Trigonométricas
de ángulos arbitrarios
Pα DEFINIMOS para un ángulo α,
medido a partir de la recta l
α
contra las manecillas del reloj:
l
sen α la ordenada de Pα
cos α la abscisa de Pα

24. Funciones Trigonométricas
de ángulos arbitrarios
Pα
tan α
α
β
l
tan β
Pβ
La tangente de un ángulo α ,
medido a partir de la recta l
contra las manecillas del
reloj, es la longitud
(orientada) señalada

25. Funciones Trigonométricas
de ángulos arbitrarios
Pβ Pα
II I
Pα I II III IV
α sen α + + - -
Pγ l cos α + - - +
Pδ tan α + - + -
III VI
¿Cómo obtuvimos la última hilera de la tabla?

26. Medida absoluta de ángulos:
RADIANES
El círculo unitario
también nos permite usar
longitudes para medir
α
ángulos, aprovechando
1
que el ángulo es
proporcional al arco que
subtiende. Un ángulo de
un radián es el ángulo
que subtiende un arco de
longitud uno.

27. Medida absoluta de ángulos:
RADIANES
Como la circunferencia unitaria mide
2π, un cuarto de circunferencia mide
π/2 y como un ángulo recto sub-
tiende un cuarto de circunferencia,
el ángulo recto mide π/2 radianes.

28. Medida absoluta de ángulos:
RADIANES
Como π/2 90o
Entonces si Rad es la medida de un ángulo
en radianes y Grad la medida en grados,
Grad Rad
=
180 π

29. Medida absoluta de ángulos:
RADIANES
ángulo en radianes ángulo en grados
Grad Rad
= 1
180 π
1
π/3
45
120

30. Actividad I…
Construir un triángulo cuyos lados
sean de longitud 3, 4 y 5 .
Comparar los distintos triángulos
que se obtienen.
Nota: cada quien es libre de escoger la escala

31. …Actividad I
Con la escala proporcionada,
medir la razón entre pares de
lados del triángulo diseñado
Medir en centímetros los lados
del triángulo diseñado y obtenga
la razón entre los pares de lados

32. Actividad II…
Para cada uno de los triángulos
rectángulos proporcionados, midan las
siguientes razones, según el ángulo
marcado con el círculo rojo:
a) Cateto opuesto e hipotenusa
b) Cateto adyacente e hipotenusa
c) Cateto opuesto y cateto adyacente

33. … Actividad II

34. Problema
En una circunferencia de
centro O y radio 5 está
trazada una cuerda que mide
5
3.5 ¿cuánto mide
O
el ángulo central asociado?
En la misma circunferencia,
halle la longitud de
la cuerda subtendida por un
ángulo de 72o.

35. Problema
Una cuerda de 100m de largo
se estira un metro más
101m
C
y se sostiene del centro (ver
α la figura). ¿ A qué altura
100m se encuentra el punto C?
Dé una medida aproximada
del ángulo α .

36. Pregunta
¿ cuáles son los valores máximo
y mínimo de la función seno ?
¿ cuáles son los valores máximo
c y mínimo de la función coseno ?
a
α ¿alguno de los catetos puede ser
b mayor que la hipotenusa?
¿ cuáles son los valores máximo
y mínimo de la función tangente ?

37. Problema
Con apoyo del círculo unitario, construya
la gráfica de la función sen
(0,1)
α
(-1,0) (0,1)
α
sen(α )
(-1,-1)
···
α
15 30 45 60 75 90 105 120 135 150

38. Problema…
1. Trace los triángulos rectángulos definidos
por las siguientes ternas de puntos:
a) (0,0), (8,0), (8,6)
b) (0,0), (-4,0), (-4,3)
c) (0,0), (-3,0), (-3,-4)
d) (0,0), (8,-6), (8,0)
2. En cada uno de los triángulos trazados,
ubique el ángulo formado entre la hipotenusa y
el eje de las abscisas.
3. Calcule el seno, coseno y tangente de tal
ángulo.

39. … Problema
II I
I II III IV
sen(α) + + - -
cos(α) + - - +
tan(α) + - + -
III IV