El documento presenta las definiciones de las razones trigonométricas para un triángulo rectángulo y explica las relaciones entre las razones de ángulos complementarios. También introduce algunos triángulos rectángulos notables y explica cómo calcular lados desconocidos usando las razones trigonométricas. Finalmente, proporciona algunos ejemplos de problemas para practicar el cálculo de razones trigonométricas.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
SenA  CO  a CscA  H  b
CEPUNS CosA 
H b
CA c

CO a
SecA  H  b
Ciclo 2013-I H b CA c
CA c
TanA  CO  a CotA  
TRIGONOMETRÍA CA c CO a
“RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO” Semana Nº 3
Razón Trigonométrica: Son aquellos números que Razones Trigonométricas Recíprocas
resultan de dividir dos lados de un triángulo Siendo  un ángulo agudo se cumple:
rectángulo. 1
csc    sen . csc   1 ;
sen
1
sec    cos  . sec   1 ;
cos 
1
ctg   tg .ctg  1
tg
Teorema de Pitágoras: “La suma de los cuadrados
de los catetos es igual al cuadrado de la
Razones Trigonométricas De Ángulos
hipotenusa”
Complementarios
. a2 + b2 = c2
Dos ángulos agudos se llaman complementarios si su
suma es un ángulo recto.
Teorema: “Los ángulos agudos de un triángulo
rectángulo son complementarios”
. A + B = 90º
Definición De Las Razones Trigonométricas Para
Un Ángulo Agudo: Dado el triángulo ABC, recto en
“C”, se establecen las siguientes definiciones:
En la figura se muestra:
 y : Son ángulos complementarios ( +  = 90º)
Cateto Opuesto a Hemos nombrado el ángulo opuesto al cateto b
Sen = =
Hi potenusa c como  y al ángulo opuesto al cateto a como  en
Cateto Adyacente consecuencia:
Cos = = b
Hipotenusa c b a
sen   cos  ; cos    sen
c c
Cateto Opuesto a
tg = = b a
Cateto Adyacente b tg    ctg  ; ctg    tg 
a b
Cateto Adyacente b c c
Ctg = = sec    csc ; csc   sec 
Cateto Opuesto a a b
Hi potenusa c Debido a estas relaciones las co-razones son::
Sec = =  seno y coseno.
Cateto Adyacente b  tangente y cotangente.
Hi potenusa c  secante y cosecante.
csc = =
Cateto Opuesto a Teorema del complemento
RTα  co  RTcomplemento de  
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Se llaman co–razones trigonométricas una de la
67º 30' 75º 71º 30'
otra. 4+ 2 2 10
1 4
6- 2 1
NOTA: 22º 30' 15º 18º 30'
Sen   Csc  1 2+1 6+ 2 3
 Si: 
Cos   Sec   1    
   Ctg  1 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Tg
* CÁLCULO DE LADOS: Es el procedimiento
 Si: RT   co  RT       90º mediante el cual se determinan los lados
faltantes de un triángulo rectángulo, en
términos de un lado que sí se conoce; y de un
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES
ángulo agudo que también se conoce.
60º Criterio:
45º
2 2 Lado desconocid o  R.T.( conocido)
1 1 Lado conocido
45º 30º
1 Casos:
3
1.
53º C
5
3 I) BC  Tan   BC 
L
37º AC   AC 
II)
4
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES
 L
A L B
30º 37º 45º 53º 60º
2.
1 3 2 4 3 C
Sen
2 5 2 5 2
I) AB  Cot   AB 
3 4 2 3 1 L
Cos L
2 5 2 5 2 AC   AC 
II)
3 3 4
 L
Tan 1 3 A B
3 4 3
Cot 3
4
1
3 3 3
3 4 3 C
I) BC  Sen   BC 
2 3 5 5
Sec 2 2 L
3 4 3 L
5 5 2 3 AB   
II)
Csc 2
3
2
4 3  L
A B
A partir de estos se determinarán otros
adicionales como: PROBLEMA DE CLASE
63º 30' 82º 74º
5 5 2 25 1) Calcular el perímetro de un triángulo
1 1 7
rectángulo ABC. Si el mayor lado mide 100cm. Y
26º 30' 8º 16º el valor de la tangente trigonométrica de uno
2 7 24 de sus ángulos agudos es : ¾
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a) 100cm. b) 180cm. c) 120cm. d)240cm. e)480cm. Si: O y O' son centro y P, Q y T son puntos de
tangencia.
2) Del grafico; calcular "tg "
a) 0,1 b) 0,3 c) 0,4 d) 0,6 e) 0,8 2
a) 1/3 b) ½ c) 2 d) 2 e) 2 2
3) Si se sabe que: csc   10 . Del grafico, 3º EXAMEN SUMATIVO 2009 III
calcular: M  ctg 2  csc2 
8) Del gráfico mostrado, R= 9 y r = 4.Calcular tg 
a)11/3 b) -11/3 c)13/7 d) -13/7 e) -5/12
a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 23 9) Si Sen   40 y 0     , hallar 
Ctg  
 
41 2 4
4) En un triángulo rectángulo ABC (C= 90º) se 41  5
a) b) 41  5 c) 41  3
cumple: SecA . SenA +SecB.SenB = 2. Calcular
4 4 4
Q = CscA . CscB
d) 41  3 e) 3
a) 2 b) 3 c) 6 d) 2 e) 3
4 4
3º EXAMEN SUMATIVO 2010 III
5) Del grafico mostrado: QRST es un cuadrado.
PR = 35u. calcular: tg  10) En un triangulo ABC el perímetro es 18cm, si sus
lados son tres números enteros consecutivos, el
valor del coseno del mayor ángulo agudo, es:
a) ¼ b) 1/3 c) 1/5 d) 1/6 e) 1/7
Examen Ordinario 2011 II
11) Si: x 2  y 2sen 20 ºxy (cos 70 º1)
E 
x 2  y 2 cos 70 ºxy (sen 20 º1)
Reducir: 1  E
1E
a) x b) y c) y d) 2x e) 3y
a) 1/7 b) 7 c) ¼ d) 9/37 e) 37/9 x 2x x
y y
6) Se sabe: tg  = ctg 2  ; Calcular: sen  cos 2
sen
12) Calcular aproximadamente el valor de:
a) 1 b) ½ c) 2 d) 3 e) 4
 37 º   53º 
2ctg 
   3ctg  4 
  
 4   
7) En el gráfico mostrado, calcular "tg ". a) b) 10  5 c) 5 d) 3 10  2 5
10
e) 2 10  3 5
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13) Del gráfico. Halle: W  sec2   tg2
127º

9 10

A)1 B) 7 C) 23 D)  7 E)  23
17 17 17 17
18) En la figura, halle el perímetro del
a)5 b)
1 c) 1 d)
7 e) 7 rectángulo OABC si se conoce “  ”, y el
5 2 3 radio del cuadrante MON es “r”.
B C

14) Si: sen2x - cos15x = 0
N
Calcular el valor de:
E = sen13x.sec4x + tg10x - ctg7x
a) -2 b)-1 c)0 d) 1 e) 2
15) Si ABCD es un cuadrado, calcular el perímetro r
del trapecio AECD en función de “L” y ”“
A M O
a) 2r  sen  cos csc  sen
b) r
c) r  sen  cos  d) 2r  csc  sec 
e) r2 sec csc
19) Si: 37xtg 30º5x sec 30º  7tg 45º5 sec 60º
2 2
a) L(1+ 2sen – cos) b) L(1+ 3sen – cos)
Calcular: P  tg 15x  ctg 10x
2 2
c) L(1+ sen – cos) d) L(1+ sen – 2cos)
e) L(1+ sen – 3cos) a) 5 b)6 c) 2 d) 3 e) 4
16) Si CD  3AD, halle: 20) En la figura mostrada ABCD es un cuadrado, O
tg (tomar:sen37º=0,6) es centro de la circunferencia, E es punto de
tangencia , Calcule: tg + 2

53º
A D C
a) 1 b) 1 c) 3 d) 3 e) 1
16 8 8 16 4
17) Del gráfico halle:
W  sen  cos  a) 2 b) 2  1 c) 2  1 d) 2  1 e) 2 2
2 2
21) En la figura mostrada, AM = MB entonces el
valor de ctg x, es:
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Calcule: Secx Tgx
Ctgx  Cscx
a) 15 b) 3 c)  15 d) 6 e) -6
2 10 2
a) 3 b) 2 3 c) 3 3 d) 4 3 e) 5 3 7) Del grafico, calcular: “sen”
PROBLEMA DE REPASO
1) Calcular el valor de “x” en
Sen (2x – 7º) = Cos (2x+29º)
a) 15º b)16º c) 17º d) 18º e) 0º
a) ½ b) ¾ c) 5/6 d) 2/3 e) 4/5
2) Del gráfico, calcular: tgen función de "a",
“b” y “”.
8) Dado el triangulo rectángulo ABC (recto en C)
en el cual se cumple que:
SenA +SenB + CosA +CosB = 3.
Calcular el valor de TgA + TgB
a) 1,2 b)1,6 c)1,5 d)1,25 e) 1,35

sen   cos    0
a) a .sen b) a .Cos  c) a .Cos  2
9) Si:
b  a . cos  b  a .sen b  a .sen
 
d) a .Sen  e) a Tg
. tg    cot  0
b  a .Cos  b  a .Ctg  3   2 
Calcular:
2
3) Si: E(x) = Tg 2x + 2Cscx + 3 Tgx, luego al    
sen    cos   tg36º .tg  
calcular E(30º) se obtiene:  22   2 
a) 1  3 b) 2  2 c) 3  2 3 d) 5 e) 8 2 3
a) 0 b ) ½ c) 1 d) 2 e) 3
4) Calcular “x”, si:
2x(Sec45º - Sen45º) Sec60º = 4 Cos60º - x 10) Calcular  a partir de la siguiente igualdad
a) 1 b) 0 c) 2 d) -2 e) -1 sabiendo que es agudo
 
Sen   Sen
 .Csc (  Cos  ) Tg
5) Calcular el valor de:  8 4
C= (Sen20º + 3Cos70º) Sec70º a)  b)  c) 3 d)  e) 5
a) 5 b)6 c) 2 d) 3 e) 4 4 8 8 16 16
6) Con ayuda de la figura mostrada.
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11) Del grafico mostrado, calcular Ctg   
 
A) 2/3 B) 1 C) -1 D) 3/2 E)5/3
2
Siendo OA = 12 y r = 2,5 (T: punto de 16) Si: 0  x   ; además 8.sen2x = 1 , calcular:
4
tangencia)
F = sen (45º + x ) + 7 ctg (45º - x)
se obtiene:
a) 9 b) 7 c) 7 d) 9 e) 15
17 3 4 4 4
17) En un triangulo rectángulo ACB (recto en “B”)
Reducir: E  TgA  CtgA
TgC  CtgC )
2(
a) 2 b) 3 c) 1 d) ½ e) 1/3
a) 1/5 b)2/5 c)3/5 d) 4/5 e) 5
18) Siendo “” y “” las medidas de 2 ángulos
12) Siendo "" angulo agudo, además
agudos tales que:
Csc (40º -2) = Sec(50º+2).tg(20º+)
cos11. sec  1  cos . csc   1
Calcular el valor de:
5sen (    10 º )  
Halle: W  tg   37º30' .sen   52º30'   
k 
cos(    50 º ). sec(  20 º )
A)1 B) 1 C) 3 D) 3 E) 3
a) 5 2 b) 5 2 c) 3 2 d) 5 3 e) 5 2 2
2 3
3 2 2 3
19) Del grafico, Calcular tgen función de “”
13) Calcular el valor de , si:
sen(a.ctg230º).sec(bcsc245º) = 1 y
cos 2b .ctg (a  b )
Tg 
tg (2a  b ).sen 3a
a) 50º b) 45º c)37º d)60º e) 30º
14) En la figura mostrada ABCD es un cuadrado,
calcular csc  , DO=OE.
A B a) 2tg b) 2Ctg c) 1 tg d) 1 Ctg e) 4Ctg
2 2

20) Con los datos proporcionados en la figura, y
sabiendo que: tg =3, calcular el valor de “b”
E
O
37°
D C
4 41 41 41 4 41
a) 41 b) 41 c) 4 d) 5 e) 5
15) Si "x" es un ángulo agudo que cumple: a) 2 10 b) 3 10 c) 4 10 d) 5 10 e) 6 10
tg(x+20) = ctg1°.ctg2°.ctg3° ......... ctg89°
Calcular el valor de:
M = ctg(x+12°) - tg2(x+5°)
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