8 tema2-semejanza

1. Tema 2. Semejanza (criterios de triángulos, teorema de Tales) y
trigonometría (teorema de Pitágoras, razones trigonométricas)
Semejanza
Tales de Mileto fue uno de los siete
sabios de Grecia, vivió en el siglo VI
antes de nuestra era e ideó un
procedimiento para medir la altura
de la gran pirámide de Keops, que
consistió en lo siguiente:
Plantó una estaca vertical en el
suelo en el extremo de la sombra de la pirámide, la estaca, el rayo
solar y la sombra de la estaca formaron un triángulo semejante
al de la sombra de la pirámide. Utilizando las propiedades de
los triángulos semejantes obtuvo la altura de la pirámide mediante
un simple cálculo aritmético.
Dos figuras son semejantes cuando cada
uno de sus lados correspondientes son
proporcionales y sus ángulos
correspondientes son iguales. A los
elementos que se corresponden entre sí se les llama homólogos.
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2. Los triángulos ABC y A’B’C’ son
semejantes, en este caso ∠ A es
homólogo de ∠ A’, ∠ B es homólogo de
∠ B’, ∠ C es homólogo de ∠ C’, AB es
homólogo de A´B´ .
Dos triángulos son semejantes si cumplen uno de los siguientes
criterios de semejanza: M
10 cm A
Los tres lados de uno son 5 cm T
4 cm 8 cm
proporcionales a los tres E
M
lados del otro. 3 cm
6 cm Á
T
I
C
Dos ángulos de uno son iguales a
50° A
dos ángulos del otro. S
50°
Dos lados de uno son 2 cm
4 cm
proporcionales a dos lados 3 cm
del otro y el ángulo 30° 30°
6 cm
comprendido entre éstos
es igual.
Cuando dos figuras son semejantes, a la razón de
proporcionalidad entre sus lados se le llama razón de semejanza
entre esas figuras. La escala es la razón de proporcionalidad
entre dos figuras. En el ejemplo anterior:
AB BC CA
= =
A´B´ B´C´ C´ A´
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3. Cuando tres o má s líneas paralelas
determinan segmentos congruentes en una
transversal, también determinan segmentos
congruentes en cualquier otra transversal
trazada sobre el mismo sistema de paralelas, es decir, si AB es
paralela a CD , CD paralela a EF y AC congruente a CE ,
entonces BD es congruente a DF .
Si en un triángulo una recta es paralela a uno de sus lados, ésta
divide a los otros dos lados en segmentos proporcionales y los
triángulos formados son semejantes.
Si en el triángulo ABC se tiene que B´C´ es paralela a BC ,
AB´ AC´ B´C´ AB´ AC´
entonces = = , además = .
AB AC BC B´B C´C
Ejemplos:
1
a) La razón de semejanza entre dos triángulos es de , el más
3
grande tiene medidas 3, 6 y 12 cm, ¿cuáles son las medidas del
otro triángulo?
Cada lado del triángulo grande es 3 veces más grande que los
lados del otro triángulo, por lo que sus me didas serán 1, 2 y 4
cm.
b) Calcular la longitud del segmento indicado:
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4. 1 1.5 3(1.5)
Se tiene que = , de aquí que a = = 4.5 , de modo que
3 a 1
a = 4.5 cm .
Trigonometría
La Trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las
relaciones entre los ángulos y los lados de
los triángulos.
M
Un triángulo rectángulo es el que tiene un A
ángulo recto, los lados que forman el T
ángulo recto se llaman catetos y el otro E
M
lado se llama hipotenusa.
Á
T
Teorema de Pitágoras I
C
En todo triángulo rectángulo el cuadrado c2 A
de la medida de la hipotenusa es igual a a2 S
la suma de los cuadrados de las medidas
de los catetos, es decir, c2 = a2 + b2 . b2
Ejemplos: Hipotenusa
a) La figura muestra cómo se cumple
el Teorema de Pitágoras en un
triángulo rectángulo cuyas medidas
son: 3, 4 y 5.
52 = 3 2 + 4 2
b) Calcular la altura del triángulo.
13 cm Se tiene que la hipotenusa mide 13 cm, un cateto
h mide 5 cm y se desconoce el otro cateto (altura).
Entonces h2 + 52 = 132
5 cm h2 = 13 2 − 52 = 169 − 25 = 144
h = 144 = ±12
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5. Al buscar una altura, que es una distancia, sólo se toma la raíz
positiva. La altura mide 12 cm.
c) Calcular la diagonal de un cuadrado
cuyo lado mide 6 cm.
Los lados son catetos, miden 6 cm y la
diagonal es la hipotenusa (cantidad que se
pide).
c2 = 62 + 62 = 36 + 36 = 72 , luego c = 72 = 8.48...
El cateto adyacente a un
ángulo en un triángulo
rectángulo es aquel lado del
triángulo que también es
lado del ángulo que no es la
hipotenusa.
El cateto opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo es
aquel lado del triángulo que no es lado del ángulo. En el
siguiente triángulo el cateto opuesto del ∠A es “a” y el cateto
adyacente del ∠A es “b”.
La razón: Se define como:
cateto opuesto a
seno (sen) sen A = =
hipotenusa c
coseno cateto adyacente b
cos A = =
(cos) hipotenusa c
tangente cateto opuesto a
tan A = =
(tan o tg) cateto adyacente b
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6. Ejemplos:
Funciones del ángulo de 45°
1
2 cm sen45o =
2
= 0.7071
1 cm 1
cos 45o = = 0.7071
2
45°
1
1 cm tan 45o = = 1
1 M
Funciones del Funciones del A
ángulo de 30° ángulo de 60° T
2 cm 3 E
1 sen60 = = 0.8660
3
o
cm 30° sen30o = = 0.5 2
M
2 Á
T
60° 3
cos 30o = = 0.8660 1 I
2 cos 60 = = 0.5
o
1 cm 2
C
A
1 S
tan 30 = o
= 0.5774 3
3 tan 60 o = = 1.732
1
Tema 3. Poliedros y cuerpos redondos: características e introducción
al cálculo de volúmenes.
El espacio tiene tres dimensiones lineales: largo, ancho y altura.
Los cuerpos geométricos se clasifican como:
prisma recto, prisma trunco,
poliedros
paralelepípedo, pirámide
irregulares
Poliedros hexagonal
poliedros tetraedro, hexaedro, octaedro,
Sólidos
regulares dodecaedro, icosaedro
cilindros rectos, cilindros
cilindros
oblicuos
Revolución conos inclinados, cono trunco
conos
inclinado
esféricos esfera, toro, elipsoide
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