1) La trigonometría estudia las relaciones entre los lados y ángulos de triángulos. Existen tres sistemas para medir ángulos: sexagesimal, centesimal y radial.
2) Las funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante) relacionan los lados de un triángulo rectángulo con el ángulo opuesto a uno de sus catetos.
3) Para ángulos complementarios, las funciones trigonométricas de un ángulo son iguales
Para mis alumnos de 5to grado de la I.E. 0086 José María Arguedas y para los que quieran complementar sus aprendizajes en el sistema de conversiones angulares.
Para mis alumnos de 5to grado de la I.E. 0086 José María Arguedas y para los que quieran complementar sus aprendizajes en el sistema de conversiones angulares.
IMÁGENES SUBLIMINALES EN LAS PUBLICACIONES DE LOS TESTIGOS DE JEHOVÁClaude LaCombe
Recuerdo perfectamente la primera vez que oí hablar de las imágenes subliminales de los Testigos de Jehová. Fue en los primeros años del foro de religión “Yahoo respuestas” (que, por cierto, desapareció definitivamente el 30 de junio de 2021). El tema del debate era el “arte religioso”. Todos compartíamos nuestros puntos de vista sobre cuadros como “La Mona Lisa” o el arte apocalíptico de los adventistas, cuando repentinamente uno de los participantes dijo que en las publicaciones de los Testigos de Jehová se ocultaban imágenes subliminales demoniacas.
Lo que pasó después se halla plasmado en la presente obra.
LA PEDAGOGIA AUTOGESTONARIA EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJEjecgjv
La Pedagogía Autogestionaria es un enfoque educativo que busca transformar la educación mediante la participación directa de estudiantes, profesores y padres en la gestión de todas las esferas de la vida escolar.
1. T R I G O N OM ET R I A
1.- ANGULOS
Existen tres sistemas de medición de ángulos que se emplean comúnmente:
a) Sistema sexagesimal: la unidad de medida es el grado sexagesimal (1°). Esta unidad
corresponde a la medida de un ángulo del centro que subtiende un arco igual a la
trescienta sesenta ava parte de la circunferencia.
Cada ángulo se subdivide en 60 parte iguales, cada una de las cuales corresponde
a un ángulo de un minuto (1’).
1° = 60’ y 1’ = 60’’ ⇒ 1° = 60’ = 3600’’
2. G
b) Sistema centesimal: la unidad de medida es el grado centesimal (1 ). Esta unidad
equivale a un ángulo del centro que subtiende un arco igual a la cuatrocienta ava
parte de la circunferencia.
G m
Un grado centesimal (1 ) se subdivide en 100 minutos centesimales (100 ).
1 = 100 y 1 =100 ⇒ 1 = 100 = 10.000
G m m s G m s
c) Sistema radial: En este sistema la unidad de medida es el radian ( 1 rad ). Esta
unidad equivale a un ángulo del centro que subtiende un arco cuya longitud es igual
al radio de la circunferencia.
π
360° = 2π rad ; 180° = π rad ; 90° = rad
2
π π π
60° = rad ; 45° = rad ; 30° = rad
3 4 6
3. Si se consideran las medidas de los lados de un triángulo rectángulo, se
observa que con ellas se pueden formar 6 razones que es necesario distinguir.
Sea ∆ABC rectángulo en C, de modo que sus lados miden a , b , c y el
ángulo opuesto al cateto de medida a mide α; entonces las razones entre las
medidas de los diferentes lados se denominan:
B
a c
C b A
4. cateto opuesto a α a
sen α = =
hipotenusa c
cateto adyacente a α b
cos α = =
hipotenusa c
cateto opuesto a α a
tgα = =
cateto adyacente a α b
cateto adyacente a α b
cot α = =
cateto opuesto a α a
hipotenusa c
sec α = =
cateto adyacente a α b
hipotenusa c
cos ec α = =
cateto opuesto a α a
5. 3.- Razones trigonométricas de ángulos complementarios
Para los ángulos agudos α y β de un C
triángulo ABC rectángulo en C, como
el de la figura
Podemos constatar que se cumplen las A B
siguientes igualdades:
a a c
sen α = cos β = tg α = cot g β = sec α = cos ec β =
c b a
b b c
cos α = sen β = cot g α = tg β = cos ec α = sec β =
c a a
π π π
α + β = 90° y 90° = rad α = 90° − β = −β y β = 90° − α = −α
2 2 2
7. 4.- La circunferencia goneométrica
Toda circunferencia cuyo radio se considera
de medida unitaria (1u) y que tiene su centro
1
ubicado en el origen O(0,0) de un sistema de
ejes coordenados perpendiculares. senα 1
α
De donde se puede obtener lo siguiente: -1 cos α 1
cos α = x ; sen α = y
sen α cosα
tg α = ; cot gα = -1
cosα sen α
1 1
secα = ; cos ecα =
cosα sen α
1 1
tg α = ; cot gα =
cot gα tg α
8. θ sen θ cos θ tg θ cotg θ sec θ cosec θ
No está No está
0° 0 1 0 definida 1 definida
No está No está
90° 1 0 definida 0 definida 1
No está No está
180° 0 -1 0 definida -1 definida
No está No está
270° -1 0 definida 0 definida -1
No está No está
360° 0 1 0 definida 1 definida
9. 5.- Razones trigonométricas de ángulos notables (30°, 45° y 60°)
Para encontrar los valores de las funciones de 30° y 60° se debe
considerar la construcción de un triángulo equilátero; y para hallar los valores
de las funciones de 45° se construye un triángulo rectángulo isósceles
De dicho análisis se obtienen el siguiente cuadro resumen:
θ sen θ cos θ tg θ cotg θ sec θ cosec θ
30° 1 3 3 3 2 3 2
2 2 3 3
45° 2 2 2 2 1 1 2 2
60° 3 1 3 3 2 2 3
2 2 3 3
11. 6.- Signos de las funciones trigonométricas
En la tabla siguiente se muestra el signo de los valores de las funciones
trigonométricas en los cuatro cuadrantes:
CUADRANTE SEN θ COS θ TG θ COTG θ SEC θ COSEC θ
I + + + + + +
II + - - - - +
III - - + + - -
IV - + - - + -
y
( +) ( +)
II I
(-) (+ )
(-) 0 (+) x
III IV
( -) (-)
16. 13.- Expresión de una razón trigonométrica en función de otra
sen cos tg cotg sec cosec
tg α 1 sec α − 1
2 1
α
sen (α) sen α 1 − cos 2 α
1 + tg α 2
1 + cot g α2
sec α cos ec α
1 cot g α 1 cos ec 2α − 1
α
cos (α) 1 − sen 2 α cos α
1 + tg α 2
1 + cot g α2
sec α cos ec α
sen α 1 − cos 2 α 1 1
α
tg (α) tg α sec 2 α − 1
1 + sen α2
cos α cot g α cos ec 2 − 1
1 − sen 2 α cos α 1 1
α
cotg (α) cot g α cos ec 2α − 1
sen α 1 − cos α2
tg α sec 2 − 1
1 1 1 + cot g 2α cos ec α
α
sec (α) 1 + tg 2 α sec α
1 − sen α2
cos α cot g α cos ec 2 − 1
1 1 1 + tg 2 α sec α
α
cosec (α) 1 + cot g 2α cos ec α
sen α 1 − cos α2
tg α sec 2 − 1
17. 14.- Identidades trigonométricas para la suma y diferencia de ángulos
sen (α + β )=
sen α ⋅ cos β + sen β ⋅ cos α
sen (α − β )=
sen α ⋅ cos β − sen β ⋅ cos α
cos (α + β )=
cos α ⋅ cos β − sen α ⋅ sen β
cos (α − β )=
cos α ⋅ cos β + sen α ⋅ sen β
tg (α + β ) = tg α + tg β
1 − tg α ⋅ tg β
tg α − tg β
tg (α − β ) =
1 + tg α ⋅ tg β
18. 1 5 .- Id e n tid a d e s tr ig o n o m é tr ic a s p a r a e l d o b le d e u n á n g u lo
a) sen 2 α = 2 sen α ⋅ cos α
b) cos 2 α = cos 2 α − sen 2
α
2 tg α
c) tg 2 α =
1 − tg 2 α
19. 16 .- Identidades trigonométricas para el valor medio de un
ángulo
α 1 − cos α
a) sen =±
2 2
α 1 + cos α
b) cos =±
2 2
α 1 − cos α
c) tg =±
2 1 + cos α
20. 17.- Suma y diferencia de razones trigonométricas de dos
ángulos
α+β α−β
a ) sen α + sen β = 2 sen ⋅ cos
2 2
α+β α−β
b) sen α − sen β = 2 cos ⋅ sen
2 2
α+β α−β
c) cos α + cos β = 2 cos ⋅ cos
2 2
α+β α−β
d) cos α − cos β = −2 sen ⋅ cos
2 2
sen (α + β )
e) tg α + tg β = −
cos α ⋅ cos β
sen (α − β )
f) tg α − tg β = −
cos α ⋅ cos β