Este documento presenta información sobre razones trigonométricas en triángulos rectángulos. Define las razones trigonométricas como números que resultan de dividir lados de un triángulo rectángulo. Explica el teorema de Pitágoras y las definiciones de las razones trigonométricas para ángulos agudos. También cubre razones trigonométricas recíprocas, de ángulos complementarios y de ángulos notables.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA CO a H b
CEPUNS
SenA CscA
H b CO a
CA c SecA H b
CosA
Ciclo 2012-III H
CO
b
a
CA
CA
c
c
TanA CotA
TRIGONOMETRÍA CA c CO a
“RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO” Semana Nº 3
Razón Trigonométrica: Son aquellos números que Razones Trigonométricas Recíprocas
resultan de dividir dos lados de un triángulo Siendo un ángulo agudo se cumple:
rectángulo. 1
csc sen . csc 1 ;
sen
1
sec cos . sec 1;
cos
1
ctg tg .ctg 1
tg
Teorema de Pitágoras: “La suma de los cuadrados
de los catetos es igual al cuadrado de la
Razones Trigonométricas De Ángulos
hipotenusa”
Complementarios
. a2 + b2 = c2
Dos ángulos agudos se llaman complementarios si su
suma es un ángulo recto.
Teorema: “Los ángulos agudos de un triángulo
rectángulo son complementarios”
. A + B = 90º
Definición De Las Razones Trigonométricas Para
Un Ángulo Agudo: Dado el triángulo ABC, recto en
“C”, se establecen las siguientes definiciones:
En la figura se muestra:
y : Son ángulos complementarios ( + = 90º)
Cateto Opuesto a Hemos nombrado el ángulo opuesto al cateto b
Sen = =
Hipotenusa c como y al ángulo opuesto al cateto a como en
Cateto Adyacente b consecuencia:
Cos = =
Hipotenusa c b a
sen cos ; cos sen
c c
Cateto Opuesto a
tg = = b a
Cateto Adyacente b tg ctg ; ctg tg
a b
Cateto Adyacente b c c
Ctg = = sec csc ; csc sec
Cateto Opuesto a a b
Hipotenusa c Debido a estas relaciones las co-razones son::
Sec = = seno y coseno.
Cateto Adyacente b tangente y cotangente.
Hipotenusa c secante y cosecante.
csc = =
Cateto Opuesto a Teorema del complemento
RT α co RT complement o de
1
Centro Preuniversitario de la UNS S-03 Ingreso Directo

2. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
Se llaman co–razones trigonométricas una de la
67º 30' 75º 71º 30'
otra. 4+ 2 2 10
1 4
6- 2 1
NOTA: 22º 30' 15º 18º 30'
Sen Csc 1 2+1 6+ 2 3
 Si:
Cos Sec 1
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Tg Ctg 1
* CÁLCULO DE LADOS: Es el procedimiento
 Si: RT co RT 90º mediante el cual se determinan los lados
faltantes de un triángulo rectángulo, en
términos de un lado que sí se conoce; y de un
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES
ángulo agudo que también se conoce.
60º
45º Criterio:
2 2
1 1 Lado desconocid o R.T.( conocido)
Lado conocido
45º 30º
1 3
Casos:
53º 1.
5
3
C
I) BC Tan BC
37º L
4
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES AC AC
II)
L
30º 37º 45º 53º 60º A L B
1 3 2 4 3
Sen
2 5 2 5 2
3 4 2 3 1
Cos
2 5 2 5 2
2.
3 3 4 C
Tan 1 3
3 4 3
I) AB Cot AB
4 3 3 L L
Cot 3 1 AC
3 4 3 II) AC
2 3 5
L
5 A B
Sec 2 2
3 4 3
5 5 2 3
Csc 2 2
3 4 3
A partir de estos se determinarán otros 3
adicionales como: C
L I) BC Sen BC
63º 30' 82º 74º L
5 5 2 25
1 1 7 AB
II)
L
26º 30' 8º 16º A B
2 7 24
2
Centro Preuniversitario de la UNS S-03 Ingreso Directo

3. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
PROBLEMA DE CLASE 8) Del grafico mostrado: QRST es un cuadrado.
PR = 35u. calcular: tg
1) Calcular: E sen 10º sen 20º ........ sen 80º
cos10º cos 20º ........ cos 80º
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
2) Si se sabe que:
1 ; calcular tg
sen
5
a) 1 b) ½ c) 2 d) 2/5 e) 5/2
3) Del grafico; calcular "tg " a) 1/7 b) 7 c) ¼ d) 9/37 e) 37/9
9) Se sabe: tg = ctg 2
Calcular: sen cos 2
sen
a) 1 b) ½ c) 2 d) 3 e) 4
a) 0,1 b) 0,3 c) 0,4 d) 0,6 e) 0,8 10) Dada la figura adjunta, donde AEB, BCE y CDE
son triángulos rectángulos. Si m<AEB = m<BCE =
4) Si: tg m<CDE = 90º, m<ABE = 30º, m<BEC = 15º,
tg 70 º 1 , calcular “ ”
m<ECD = 60º y AE = 2cm , calcular la longitud
a) 10º b) 20º c) 30º d) 181º e) 70º
CD en cm.
5) Calcular el perímetro de un triángulo
rectángulo ABC. Si el mayor lado mide 100cm. Y
el valor de la tangente trigonométrica de uno
de sus ángulos agudos es : ¾
a) 100cm. b) 180cm. c) 120cm. d)240cm. e)480cm.
6) Si se sabe que: csc 10 . Del grafico,
calcular: M ctg 2 csc2
a) 3 1 b) 3 1 c) 3 3 d) 3 3 e) 3 3
2 4 4 4 2
11) Si: 37xtg 30º 5x sec 30º 7tg 45º 5 sec 60º
2 2
Calcular: P tg 2 15x ctg 2 10x
a) 5 b)6 c) 2 d) 3 e) 4
a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 23 12) Calcular aproximadamente el valor de:
37 º 53º
7) En un triángulo rectángulo ABC (C= 90º) se 2ctg 3ctg
4 4
cumple: SecA . SenA +SecB.SenB = 2. Calcular
a) 10 b) 10 5 c) 5 d) 3 10 2 5
Q = CscA . CscB
e) 2 10 3 5
a) 2 b) 3 c) 6 d) 2 e) 3
3
Centro Preuniversitario de la UNS S-03 Ingreso Directo

4. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
13) En la figura mostrada ABCD es un cuadrado, O 17) Siendo “M” punto medio del arco AB y O es
es centro de la circunferencia, E es punto de Centro, obtener el valor de “tg "
tangencia , Calcule: tg + 2
a) 1 2 b) 2 2 c) 2 2 d) 2 1 e) 2 2 1
a) 2 b) 2 1 c) 2 1 d) 2 1 e) 2 2
18) Con los datos proporcionados en la figura, y
2 2
sabiendo que: tg =3, calcular el valor de “b”
14) En la figura mostrada, AM = MB entonces el
valor de ctg x, es:
a) 2 10 b) 3 10 c) 4 10 d) 5 10 e) 6 10
19) Si ABCD es un cuadrado, calcular el perímetro
del trapecio AECD en función de “L” y ” “
a) 3 b) 2 3 c) 3 3 d) 4 3 e) 5 3
15) Si: sen2x - cos15x = 0
Calcular el valor de:
E = sen13x.sec4x + tg10x - ctg7x a) L(1+ 2sen – cos ) b) L(1+ 3sen – cos )
a) -2 b)-1 c)0 d) 1 e) 2 c) L(1+ sen – cos ) d) L(1+ sen – 2cos )
e) L(1+ sen – 3cos )
16) Del grafico, Calcular tg en función de “ ”
20) Si:
x 2 y 2sen 20º xy (cos 70 º 1)
E
x 2 y 2 cos 70 º xy (sen 20 º 1)
Reducir: 1 E
1 E
a) x b) y c) y d) 2x e) 3y
y x 2x y x
a) 2tg b) 2Ctg c) 1 tg d) 1 Ctg e) 4Ctg
2 2
4
Centro Preuniversitario de la UNS S-03 Ingreso Directo

5. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
21) Sabiendo que: ctg = = 0,4 (“ ” es un ángulo
agudo), Calcular P = Sec . Csc
a) 2,9 b)2,8 c) 2,7 d) 2,6 e) 2,4
PROBLEMA DE REPASO
1) Calcular el valor de “x” en
Sen (2x – 7º) = Cos (2x+29º) a) a.Sen Cos b) a.Cos Tg c) a.Sen Tg
a) 15º b)16º c) 17º d) 18º e) 0º d) a.Tg cos e) a.Tg Sen
2) Del gráfico, calcular: tg en función de "a", 7) Calcular: Q = Tg1º.Tg2º.Tg3º…..Tg89º
“b” y “ ”. a) 1 b) 2 c) 3 d) 89 e) 90
8) Del Gráfico, Calcular: K = Ctg + Ctg
a) a .sen b) a .Cos c) a .Cos
b a . cos b a .sen b a .sen
d) a .Sen e) a Tg
. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 2
b a .Cos b a .Ctg 5 2 3 2 3
3) Si: E(x) = Tg22x + 2Cscx + 3 Tgx, luego al 9) Calcular el valor de:
calcular E(30º) se obtiene: C= (Sen20º + 3Cos70º) Sec70º
a) 1 a) 5 b)6 c) 2 d) 3 e) 4
3 b) 2 2 c) 3 2 3 d) 5 e) 8
4) Calcular “x”, si:
10) Del grafico, calcular “Tg ”, Si ABCD es un
2x(Sec45º - Sen45º) Sec60º = 4 Cos60º - x
cuadrado.
a) 1 b) 0 c) 2 d) -2 e) -1
5) Con ayuda de la figura mostrada.
a) 2 b) 3 c) 4 d) 3 e) 4
Calcule: Secx Tgx
Ctgx Cscx 11) Del grafico, calcular: “sen ”
a) 15 b) 3 c) 15 d) 6 e) -6
2 10 2
6) Calcular “X”
5
Centro Preuniversitario de la UNS S-03 Ingreso Directo

6. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
a) ½ b) ¾ c) 5/6 d) 2/3 e) 4/5 A
12) Dado el triangulo rectángulo ABC (recto en C)
en el cual se cumple que:
/2
SenA +SenB + CosA +CosB = 3.
Calcular el valor de TgA + TgB
a) 1,2 b)1,6 c)1,5 d)1,25 e) 1,35 O
B
3
13) De la figura mostrada, determine la longitud
a) 2 3 b) 3 c) 1
del segmento BD en términos de m, y,
siendo AC=m. d) 3 e) 2 3
B
17) Del grafico mostrado, calcular Ctg
2
D
Siendo OA = 12 y r = 2,5 (T: punto de
tangencia)
A C
a)m sen.ctg( – ) b) m cos.tg( – ) c)m sen.tg( – )
d)m[tg – ctg ] e) m cos.ctg( – )
14) Se tiene la región triangular ABC, si AC=a,
AB
M
m<ACB = m<BAR = .Calcule: sen cos
a) 1/5 b)2/5 c)3/5 d) 4/5 e) 5
B
R 18) Calcular a partir de la siguiente igualdad
sabiendo que es agudo
Sen Sen .Csc ( Cos ) Tg
8 4
a) b) c) 3 d) e) 5
A C 4 8 8 16 16
a) a sec2 b) a sen2 c)a cos2 d)atg2
e) a ctg2 19) Siendo " " angulo agudo, además
Csc (40º -2 ) = Sec(50º+2 ).tg(20º+ )
Calcular el valor de:
sen cos 0
5sen ( 10º )
15) Si:
2 k
cos( 50 º ). sec( 20 º )
tg cot 0 a) 5 2 b) 5 2 c) 3 2 d) 5 3 e) 5 2
3 2 3 2 2 3
Calcular:
20) Calcular el valor de , si:
sen cos tg36º .tg sen(a.ctg230º).sec(bcsc245º) = 1 y
22 2 cos 2b .ctg (a b )
Tg
2 3 tg (2a b ).sen 3a
a) 0 b ) ½ c) 1 d) 2 e) 3
a) 50º b) 45º c)37º d)60º e) 30º
16) En la figura, AOB es un sector circular,
calcular tg , si OB=3.
6
Centro Preuniversitario de la UNS S-03 Ingreso Directo

7. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
15. Si "x" es un ángulo agudo que cumple:
tg(x+20) = ctg1°.ctg2°.ctg3° ......... ctg89°
Calcular el valor de:
21) En la figura mostrada ABCD es un cuadrado,
M = ctg(x+12°) - tg2(x+5°)
calcular csc , DO=OE. A) 2/3 B) 1
A B C) -1
D) 3/2 E)5/3
22) Si: 0 x ; además 8.sen2x = 1 , calcular:
E 4
F = sen (45º + x ) + 7 ctg (45º - x)
O se obtiene:
37°
a) 9 b) 7 c) 7 d) 9 e) 15
D C 17 3 4 4 4
4 41 41 41 4 41
a) 41 b) 41 c) 4 d) 5 e) 5 23) Del gráfico, Calcular “x”
12. Si: sen(2 + )=cos( +2 )
Calcular el valor de:
3sen3 cos3
M csc( + )
3cos3 sen3
A) 1 B) 2
C) 3
D) 4 E) 5 a) 3 2 b) 4 2 c) 3 3 d)3 e) 6
tg
x
ctg
y 24) En un triangulo rectángulo ACB (recto en “B”)
m m Reducir: E TgA CtgA
13. Se sabe que:
TgC
2( CtgC )
x y x y
P tg .ctg a) 2 b) 3 c) 1 d) ½ e) 1/3
Calcular el valor de:
2m 3m
3
A) 3 B) 3
C) 1/2
D) 1 E) 2 3
7
Centro Preuniversitario de la UNS S-03 Ingreso Directo