Determinación de la intrusión de agua en reservorios de petróleo y gas mediante modelos matemáticos

Intrusión de Agua__________________________________________________202
8
8 I
IN
NT
TR
RU
US
SI
IO
ON
N D
DE
E A
AG
GU
UA
A
8.1.- Introducción
Muchos reservorios están limitados parcial o totalmente por el acuífero adyacente,
los mismos que pueden ser muy grandes o pequeños en comparación al reservorio de
gas o petróleo. Cuando existe una caída de presión en el reservorio debido a la
producción, se provoca una expansión del agua del acuífero, con la consiguiente intrusión
de agua la cual es definida por We. El propio acuífero puede estar totalmente limitado, de
manera que el reservorio y el acuífero forman una unidad volumétrica cerrada. Por otra
parte el reservorio puede aflorar en algún lugar donde se puede reabastecerse de aguas
superficiales. Por último el acuífero puede ser lo bastante grande para mantener la
presión del reservorio y ser acuíferos horizontales adyacentes.
Una caída de presión en el reservorio hace que el acuífero reaccione para
contrarrestar o retardar la declinación de la presión suministrando una intrusión de agua
la cual puede ocurrir debido a:
• Expansión del agua.
• Compresibilidad de las rocas del acuífero.
• Flujo artesiano donde el acuífero se eleva por encima del nivel del reservorio.
Desde un punto de vista analítico, el acuífero puede considerarse como una unidad
independiente que suministra agua al reservorio debido a la variación de la presión con el
tiempo de producción. Un modelo simple para estimar la entrada de agua esta basada en
la ecuación de compresibilidad.
)
( Pwf
Pi
ctW
We i −
= )
1
.
8
.(.
Ec
Donde Ct es la compresibilidad total del acuífero, Wi volumen inicial de agua del
acuífero, Pi presión inicial en el contacto Agua/gas. Esta ecuación presentada puede ser
aplicada a acuíferos pequeños, donde existe un inmediato equilibrio de la presión entre el
reservorio y el acuífero. Para acuíferos grandes es necesario un modelo matemático en
función del tiempo y declinación de la presión, para íntegramente la variación de presión
en el reservorio. Entre los modelos existentes en la literatura podemos ver el modelo de
Van Everdingen & Hurst, Fetkovich, Hurst modificado, Carter-Tracy, Leung.
8.2.-Clasificación de los Acuíferos 41
Los acuíferos básicamente se clasifican según su:
Régimen de flujo
Geometría de flujo
Extensión
8.2.1.-Clasificación de los acuíferos según su régimen de flujo
Esta clasificación esta basada en la declinación de presión y el caudal de entrada
de agua hacia el yacimiento que puede ser: estable, semiestable o inestable. Una
representación de estos tipos de régimen de flujo se ilustra en la Fig. 8.1 donde se
muestra el comportamiento de la presión con respecto al tiempo.
8.2.1.1.-Acuíferos de régimen estable
El acuífero presenta régimen estable si la presión en el yacimiento permanece constante,
no cambia con el tiempo. El cambio de presión y caudal con respecto al
(41) GULF Publishing Company : Obr. Cit., p. 637-641

Tiempo es cero. Generalmente este tipo de régimen no ocurre en la realidad, solo
cuando se realiza un programa de inyección de agua.
0.0
P
R
E
S
IO
N
Tiempo
Regimen Estable
Regimen
Semiestable
Regimen
Inestable
Fig. 8.1 Comportamiento de la presión según el régimen de flujo
8.2.1.2.-Acuíferos de régimen semiestable
También llamado régimen de seudo-estado, este tipo de régimen es caracterizado
por la declinación lineal de la presión en función al tiempo y consecuentemente una
constante declinación del caudal.
8.2.1.3.-Acuíferos de régimen inestable
El régimen inestable frecuentemente llamado transiente, tiene la característica de
presentar un cambio de la presión y el caudal en función del tiempo. En ninguna parte
del yacimiento presenta una presión constante
8.2.2.-Clasificación de los acuíferos según su geometría de flujo
Existen 3 formas de geometría en los acuíferos que pueden ser: lineal, radial o de fondo.
8.2.2.1.- Acuíferos lineales
Estos acuíferos presentan una geometría de flujo paralela a su buzamiento, como
se los muestra en la Fig.8.2. El sentido de flujo es unidireccional.
Petróleo
Agua
Fig. 8.2 Esquema de un acuífero lineal
8.2.2.2.- Acuíferos radiales
Son aquellos acuíferos que presentan geometría de flujo concéntrica, es decir, que
el flujo empieza circunferencialmente hacia un punto central, como se ilustra en la Fig.

8.3. Al existir declinación de la presión, el agua proveniente del acuífero desplaza al
petróleo en un sentido radial. Generalmente este tipo de acuíferos se presenta en la
mayoría de los yacimientos de petróleo.
8.2.2.3.- Acuíferos de fondo
Existen formaciones saturadas con agua situadas en la parte inferior de la capa de
petróleo. Como se observa en la Fig. 8.4. La geometría de flujo en este tipo de acuíferos
es pendiente arriba, hacia la cresta de la estructura. Este movimiento se debe a que el
agua del acuífero posee presión y al crearse una diferencial a su favor, por efecto de la
extracción de petróleo, ingrese agua a la zona de petróleo
PETROLEO
Fig. 8.3 Esquema de un acuífero radial
Petróleo
Agua
Fig. 8.4 Esquema de un acuífero de fondo
8.2.3.- Clasificación de los acuíferos según su extensión
Los acuíferos presentan limitaciones algunos son pequeños o algunos presentan
áreas bastante grandes, en función a su límite exterior se los puede clasificar en:
acuíferos finitos, infinitos o realimentados
8.2.3.1.- Acuíferos infinitos
Son aquellos acuíferos que no presentan límites, son inmensamente grandes, en
algunos casos forman grandes cuencas de agua.
8.2.3.2.- Acuíferos finitos

Estos acuíferos también denominados sellados, tienen una extensión limitada de
tal manera que se puede conocer su dimensión en su totalidad.
8.2.3.3.- Acuíferos realimentados
También se los conoce como sobrealimentados, esto debido a que son acuíferos
que están conectados ya sea a otros acuíferos o a fuentes externas como grandes lagos o
lagunas que suministran agua al acuífero.
8.3.-Determinación de la entrada de agua
Se han elaborado modelos matemáticos para determinar la entrada del agua hacia
el yacimiento. A excepción del modelo de Pote, en todos los modelos propuestos el
tiempo es una variable dependiente de la entrada de agua.
La aplicación del modelo se basa en función a la clasificación anteriormente mencionada.
8.3.1.-Modelo de Pote 42
Este modelo es utilizado en acuíferos que tienen las siguientes características:
Geometría de flujo Radial
Extensión finita o sellada
Acuíferos pequeño o muy pequeño
El tiempo es independiente
Permeabilidades altas
Este modelo es basado en la definición de la compresibilidad. Ocurre una caída de
presión en el yacimiento, debido a la producción de los fluidos, esto causa una
expansión del agua del acuífero y flujo al yacimiento. La compresibilidad es definida
matemáticamente
P
V
V
1
P
V
V
1
C
∆
∆
∗
=
∂
∂
∗
=
La variación de volumen debido al cambio de presión viene dada por :
)
2
.
8
.(.
Ec
P
V
C
V ∆
∗
∗
=
∆ )
3
.
8
.(.
Ec
Aplicando la definición de la compresibilidad en el acuífero se tiene:
Entrada de Agua= (Compresibilidad del acuífero)*(Volumen del agua inicial)* (Caída de
presión)
( ) )
P
Pi
(
Wi
C
C
We f
w −
∗
∗
+
=
Donde:
)
4
.
8
.(.
Ec
We = Entrada de agua al yacimiento (bbl)
Cw = Compresibilidad del acuífero (psi-1
)
Cf = Compresibilidad de la formación (psi-1
)
Wi = Volumen inicial de agua en el acuífero (bbl)
El volumen de agua inicial en el acuífero se calcula con la expresión
( )
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ φ
∗
∗
−
∗
π
=
615
5
2
2
.
h
r
r
Wi w
o
w
Donde
)
5
.
8
.(.
Ec
rw = Radio del acuífero [pies]
(42) GULF Publishing Company : Obr. Cit., p. 642-644

ro = Radio del yacimiento [pies]
hw = Espesor del acuífero [pies]
φ = Porosidad [frac]
Determinación simultanea del volumen In-Situ y la entrada de agua aplicando el
modelo de Pote para acuíferos pequeños de alta permeabilidad donde se presenta un
flujo continuo de intrusión de agua débil hacia el yacimiento. Primeramente tenemos que
definir las formulas de la entrada de agua en base a la ecuación general de balance de
materia para reservorio de gas presentada en el capitulo anterior Ec. 7.14
g
w
p
e
wi
f
wi
w
g
gi
g
gi
g
p
GB
B
W
W
P
S
C
S
C
B
B
B
B
B
G
G −
+
∆
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
+
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −
=
1
)
14
.
7
.(.
Ec
g
w
p
e
wi
f
wi
w
g
gi
g
gi
g
p
B
B
W
W
P
S
C
S
C
B
GB
B
B
B
G
G
−
+
∆
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
+
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −
=
1
)
6
.
8
.(.
Ec
( ) w
p
e
wi
f
wi
w
gi
gi
g
g
p B
W
W
P
S
C
S
C
GB
B
B
G
B
G −
+
∆
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
+
+
−
=
1
)
7
.
8
.(.
Ec
( ) e
wf
g
e
fw
g
w
p
g
p W
E
E
G
W
GE
GE
B
W
B
G
F +
+
=
+
+
=
+
= )
8
.
8
.(.
Ec
Remplazando la ecuación 8.4 en la 8.8 tenemos:
( ) ( )( P
P
C
C
W
P
P
S
C
C
S
GB
GE
F i
f
w
i
wi
f
w
wi
gi
g −
+
+
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
+
+
=
1
) )
9
.
8
.(.
Ec
Dividiendo por la energía total del sistema Et
( )( ) ( ) )
(
)
( P
P
C
C
W
GE
P
P
C
C
W
E
E
G
F i
f
w
t
i
f
w
wf
g −
+
+
=
−
+
+
+
= )
10
.
8
.(.
Ec
( f
w
t
i
t
C
C
W
E
P
P
G
E
F
+
−
+
=
)
(
) )
11
.
8
.(.
Ec
Aplicando el método de la línea recta calculamos simultáneamente el volumen del
acuífero y el gas In-Situ como así también su entrada de agua para cada etapa de
presión.
Ejemplo 8.1 mediante la ecuación de balance de materiales determinar los siguientes
parámetros:
• Actividad del Acuífero
• Determinación del G, W y We para diferentes presiones con el modelo del
acuífero de Pote
Los datos obtenidos del reservorio son los siguientes:
Pr= 6411 Psi Kr= 100 md Por= 15 % Cf=0.000006 1/Psi Goes= 100 BCF
Tr= 239 o F h= 200 Pies Sw= 15 % Cw=0.000003 1/Psi Area = 320 Acre
Procedemos a realizar los cálculos de acuerdo ( )
P
P
S
C
C
S
GB
E i
wi
f
w
wi
gi
fw −
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
+
=
1

Tabla 8.1 Datos del historial de producción, presión del reservorio
Tabla 8.2 Calculo para determinar el volumen In-Situ y Entrada de Agua
Analizamos el Grafico de Cole para determinar la actividad del acuífero asociado Fig.
8.5
Fig. 8.5 Grafico de Cole análisis de energía
Analisis de Cole
100000
101000
102000
103000
104000
105000
106000
107000
108000
109000
110000
0 10000 20000 30000 40000 50000 60000
Gp (MMpc)
F/Et
(M
M
pc)
Analisis de Cole
La pendiente negativa en la figura 8.5 nos muestra una presencia de un acuífero débil
asociado.
El volumen In-Situ Determinado mediante el balance de Materiales aplicando el modelo
de Pote es 101003 MMPC y su pendiente determinada es 0.604 Bbl/MMPC. Por lo tanto el
volumen de agua es:
( ) ( )
MMBbl
MBbl
Cf
Cw
M
W 11
.
67
67111
000006
.
0
000003
.
0
604
.
0
=
=
+
=
+
=

Fig. 8.6 Determinación Simultánea del Modelo de Pote
Remplazando W, Cw, Cf, Swi, Pi en la ecuación 8.4 tenemos la instrucción de agua a
diferentes presiones
( ) ( )
p
P
Pi
Wi
C
C
We f
w −
+
=
−
∗
∗
+
= 6411
*
11
.
67
*
)
000006
.
0
000003
.
0
(
)
(
8.3.2.- MODELO DE VAN EVERDINGEN & HURST
Las ecuaciones de flujo para petróleo en el fondo de pozo son idénticas a las
ecuaciones de flujo descrito para un acuífero en el reservorio. Solamente existe
diferencia en la escala radial y en los parámetros de la roca y fluidos. Los modelos de
flujo consideran una condición de contorno interna de un pozo a caudal constante.
Cuando un pozo de gas es abierto a un caudal constante la respuesta de la presión en el
fondo de pozo puede ser descrita bajo condiciones transiente de flujo antes de los efectos
de límites del reservorio. Una descripción del comportamiento del acuífero es interesante,
ya que para el cálculo de la entrada de agua con la declinación de la presión. Van
Everdingen, presento modelos clásicos de entrada de agua para dos tipos de acuíferos
lineal y radial. Aplicando el concepto de transformadas de Laplace, Everdingen resolvió el
problema mediante la ecuación de difusividad en el sistema reservorio-acuífero
considerando una presión constante en el contacto.
8.3.2.1.- ACUIFERO RADIAL
El sistema reservorio Acuífero esta representado en la Figura 8.7.
f = θ/360 o

Acuífero
Figura No 8.7
La ecuación general de flujo para calcular la presión en el fondo de pozo esta dada:
)
(
2
/
1
4
ln
2
/
1
2
)
( DA
D
D
DA
D
D t
P
t
t
t
p −
+
=
γ
π Ec. (8.12)
Donde:
)
(
2
)
( Pwf
Pi
qu
kh
t
P D
D −
=
π
Ec. (8.13)
Resolviendo la ecuación de difusividad para el sistema reservorio acuífero y aplicando
la ecuación transformada de Laplace a la ecuación expresada en términos de variables
dimensionales tenemos:
D
D
D
D
D
D
D t
p
t
P
r
r
r ∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
)
(
1
Ec. (8.14)
Donde radio adimensional:
D
D
r
r
r = Ec. (8.15)
Tiempo adimensional:
2
o
t
D
R
uc
kt
t
Φ
= Ec. (8.16)
Presión Adimensional:
)
(
)
(
o
D
P
Pi
P
Pi
P
−
−
= Ec. (8.17)
Con estos conceptos anteriores, la ley de Darcy puede ser escrita de la siguiente manera:
ro
r
p
r
u
fkh
q )
(
2
∂
∂
=
π
Ec. (8.18)
Donde
π
θ
2
=
f Usando las definiciones de las variables adimensionales de las
ecuaciones 8.13
, 8.15, y 8.16, 8.17 la ecuación 8.18 puede ser descripta en términos de variables
adimensionales:
)
(
2
)
(
0
1 D
D
rD
D
D
D t
q
P
fkh
qu
r
p
r =
∆
=
∂
∂
− =
π
Ec. (8.19)
Ro.
Reserv.
Rw.

Donde es el caudal adimensional calculado en el contacto reservorio-
acuífero. Es más facil expresar la solución en entrada de agua acumulada:
)
( D
D t
q
D
tD
D
D
t
dt
dt
dt
q
u
p
fkh
qdt
We ∫
∫
∆
=
≡
0
0
0
2π
Ec. (8.20)
De la definición de tiempo adimensional:
k
r
uc
dt
dt o
t
D
2
θ
= Ec. (8.21)
Sustituyendo la ecuación 8.20 en 8.21 tenemos:
D
tD
D
o
o
t dt
q
P
hr
c
f
We ∫
∆
≡
0
2
2 θ
π Ec. (8.22)
Finalmente integrando y denominando q en relación al la ecuación se
simplifica como:
)
( )
D
D
D t
porW
t
)
( D
D
O t
W
P
U
We ∆
≡ Ec. (8.23)
Donde:
2
2 o
t hr
c
f
U θ
π
≡ Ec. (8.24)
2
119
.
1 o
t hr
c
f
U θ
≡
La constante U es denominada como constante de entrada de agua del acuífero y
We o es la entrada adimensional acumulada para cada presión en el contacto. .
Puede ser obtenido del flujo del acuífero, considerándose tres modelos de acuíferos los
cuales son: radial, infinito o acuífero con mantención de la presión en los límites. La
diferencia que existe entre estos tres modelos esta en las condiciones de contorno
externos. En cualquiera de los casos la entrada de agua puede ser calculada mediante la
siguiente ecuación:
)
( D
D t
W
D
tD
r
D
D
D
D
t
D
D
D dt
r
P
r
dt
t
q
W D
D
∫
∫ =
∂
∂
−
=
≡
0
1
0
)
(
)
( Ec. (8.25)
Existen tablas y gráficos donde nos muestra el comportamiento de la entrada de
agua, para un reservorio infinito, sellado y realimentado en superficie. Ver las Figuras
8.8, y las tablas 8.14 para el influjo acumulado adimensional.
Bird y Cols realizaron ajustes matemáticos a las tablas presentadas por Van
Everdingen y Hurts que puede ser programado fácilmente para valores de Rd < 100
21257
.
1
2
2
3
6179
.
1
2
1
1
1
1
)
( ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
≡
Y
Y
Y
Y
t
W D
D σ Ec. (8.26)
2
1
2
σ
σ ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
≡ d
t
Y Ec. (8.27)
( ) 33849
.
2
1 1
53226
.
0 −
≡ D
r
σ Ec. (8.28)
D
r
00401826
.
0
72055
.
2
2 +
≡
σ Ec. (8.29)
( ) 5
.
0
*
1
2
3 −
≡ D
r
σ Ec. (8.30)
Las ecuaciones de Van Everdinger y Hurst es aplicable solamente a reservorios
circulares rodeados de un acuífero horizontal circular finito o infinito de espesor
constante, porosidad permeabilidad y compresibilidad constante.

8.3.2.2.- ACUIFERO LINEAL
La Figura 8.8 nos muestra un sistema de flujo lineal reservorio acuífero, si
comprimimos el nivel acuífero hacia el reservorio tenemos un flujo lineal cuyas variables
adimensionales depende de la longitud, las cuales son:
Longitud adimensional :
L
x
xD = Ec. (8.31)
Tiempo adimensional:
2
L
uc
kt
t
t
D
Φ
= Ec. (8.32)
Presión adimensional:
)
(
)
(
o
D
P
Pi
P
Pi
P
−
−
= Ec. (8.33)
La ecuación de Darcy para flujo lineal esta definida por:
0
)
( =
∂
∂
= X
r
p
u
kA
q Ec. (8.34)
Donde el Área es el espesor por la altura A=w*h usando las definiciones de las
ecuaciones 8.31, 8.32 , 8.33 y 8.34 la ecuación se puede escribir en variables
adimensionales como:
)
(
)
(
0
0 D
D
xD
D
D
t
q
P
kA
quL
x
p
=
∆
=
∂
∂
− = Ec. (8.35)
La solución en términos de la entrada acumulada nos da la siguiente ecuación:
D
tD
D
D
t
e dt
t
t
q
uL
P
kA
dt
q
W ∫
∫ ∂
∂
∆
=
≡
0
0
0
Ec. (8.36)
k
L
uc
dt
dt o
t
D
2
θ
= Ec. (8.37)
Finalmente sustituyendo la ecuación 8.32 en la ecuación 8.36 se tiene que:
D
t
D
t
e dt
q
P
c
wLh
W
D
∫
∆
≡
0
0
θ Ec. (8.38)
)
( D
D
O t
W
P
U
We ∆
≡ Ec. (8.39)
.
t
c
wLh
U θ
≡ Ec. (8.40)
Fig. 8.9 Entrada de Agua Adimensional

8.3.2.3.-EFECTOS DE SUPERPOSICION
En la presente sección estamos presentado los modelos clásicos de entrada de
agua, los cuales considera que la caída de presión en el contacto es constante. Así
mismo, la expresión:
)
( D
D t
pW
U
We ∆
= Ec. (8.41)
Solo es aplicable cuando la caída de presión en el contacto, ∆p, es constante. En la
práctica, no se espera que la presión en el contacto sea constante debido al agotamiento
del reservorio. El principio de la superposición, puede ser utilizado para expandir la
utilización de las soluciones clásicas para los casos en que la presión en el contacto varíe
con el tiempo:
τ
τ
τ
τ
d
t
p
p
q
We
O
)
(
)
(
0
−
∆
∆
= ∫ Ec. (8.42)
O, equivalentemente,

τ
τ
τ
τ
d
p
p
t
q
We
O
)
(
)
(
0
∆
∆
−
= ∫ Ec. (8.43)
Donde q(t) es la solución clásica de caudal para una caída de presión constante, ∆p0
en el contacto, We es la entrada de agua acumulado para una variación de presión
cualquiera en el contacto, ∆p(t) = pi – p(t), y τ es apenas una variable de integración.
Utilizando las definiciones de las variables adimensionales tD y qD del modelo radial,
dadas por las ecuaciones 8.19 y 8.18, o del modelo lineal, ecuaciones 8.35 y 8.36, la
ecuación 8.39, puede ser escrita como:
( ) ( )
∫ ∆
−
=
D
t
D
D
D
D d
p
tD
q
U
We
0
τ
τ
τ Ec. (8.44)
O también:
( ) ( )
∫ ∆
−
=
D
t
D
D
D
D d
p
tD
W
U
We
0
'
τ
τ
τ Ec. (8.45)
Donde W’D es la derivada del influjo adimensional en relación a tD , o sea , es el
propio caudal adimensional. La constante de influjo, U, para los modelos radiales y
lineales está definida por las ecuaciones 8.24 y 8.43, respectivamente.
Como la mayoría de las soluciones clásicas solo tienen solución analítica con las
transformadas de Laplace, una opción para realizar el efecto de superposición es con las
transformadas de Laplace. Tomando la relación al tD de la ecuación 8.44 o de la ecuación
8.26, teniéndose:
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( u
p
u
W
u
U
u
p
u
q
U
u
We D
D ∆
=
∆
= Ec. (8.46)
Donde u es la variable de Laplace. )
(u
p =
∆ es la transformada de Laplace de ∆p(t) y
es la solución en la transformada de Laplace.
)
(u
WD
8.3.2.4.-TEORIA DEL AJUSTE DE LA ENTRADA DE AGUA
En las secciones previas, la entrada de agua acumulativa dentro del reservorio, es
debida a la caída de presión instantánea aplicada en el contacto o el límite del reservorio
expresada de la siguiente manera:
)
( D
D
O t
W
P
U
We ∆
≡ Ec. (8.47)
En el caso más práctico de la entrada de agua acumulativa es la observación de la
presión del reservorio, ya que es necesaria para los cálculos del volumen de agua
introducidos dentro del reservorio, correspondiente a la declinación continua de presión
en el contacto o la frontera del reservorio. El cálculo es dividido en una serie de etapa de
presión para cada caída de presión promedio, se determina un ∆p(t) = pi – p(t
)correspondiente a la entrada de agua, la cual puede ser calculada con la ecuación 8.47.
Una forma aproximada de tratar el problema es discretizar la condición de contorno
interno, esto es, la presión en el contacto p(t). La curva continua de la presión es
dividida en una serie de intervalos de presión constante, como mostramos en la figura
8.10
Para la curva de presión discretizada de la figura 8.10a ecuación puede ser escrita como:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) (
[ ]
∑
∑ ∫
−
=
+
+
−
=
+
−
−
−
−
=
−
−
=
−
1
0
1
1
1
0
'
1
1
n
j
Dj
Dn
D
Dj
Dn
D
j
i
n
j
t
t
D
D
Dn
D
j
i
Dn
t
W
t
W
p
p
U
d
t
W
p
p
U
t
W
Dj
Dj
τ
τ
τ
τ
)
Ec. (8.48

Donde la presión media en cada intervalo es:
1
,
0
,
2
1
1 −
=
+
=
+
+ n
j
p
p
p
j
j
j Ec. (8.49)
Substituyendo la ecuación 8.49 en la ecuación 8.48, expandiendo la sumatoria y
colectando los términos comunes, se obtiene:
Figura 8.10 Discretización de la presión en el contacto
( ) (
∑
−
=
+
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −
=
1
0
1
1
2
n
j
Dj
Dn
D
j
j
Dn t
t
W
p
p
U
t
We )
)
Ec. (8.50)
( ) (
∑
−
=
−
∆
=
1
0
n
j
Dj
Dn
D
j
Dn t
t
W
p
U
t
We , Ec. (8.51)
Donde:
2
1
1
1
1
+
−
+
−
=
−
=
∆
j
j
j
j
p
p
p
p
p Ec. (8.52)
8.4.1. MODELO DE FETKOVICH
El modelo aproximado presentado por Fetkovich se aplica a acuíferos finitos y
admite que el flujo del acuífero para el reservorio se da sobre el régimen pseudo
permanente. A pesar de ser aproximado, el modelo presentado por Fetkovich tiene la
ventaja de permitir el cálculo continuo sin la necesidad de recalcular todos los pasos
anteriores como ocurre en el modelo de van Everdingen & Hurst.
Fetkovich admite el régimen pseudo permanente para el flujo de acuífero para el
reservorio:
( p
p
J
dt
dWe
q a −
=
= ) Ec. (8.53)
Donde J es el índice de productividad, a
p la presión media del acuífero y p la presión
en el contacto reservorio – acuífero. Partiendo de la ecuación de balance de materia
(EBM), se puede escribir que:
( a
i
i
t p
p
W
c
We −
= ) Ec.(8.54)
Donde ct = cw + cf es la compresibilidad total del acuífero y Wi es el volumen de
agua, inicial, replanteando la ecuación 8.54, se tiene:

⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
i
i
t
i
a
p
W
c
We
p
p 1 Ec.(8.55)
Wei es la entrada máxima que un acuífero sellado puede aportar, correspondiente a
la expansión de agua el acuífero al ser despresurizado de pi para la presión cero. De la
ecuación 8.54.
i
i
t p
W
c
Wei = Ec. (8.56)
Substituyendo la ecuación 8.56 en la ecuación 8.55, se obtiene:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
Wei
We
p
p i
a 1 Ec (8.57)
Cuya derivada en relación al tiempo es dada por:
dt
dWe
Wei
p
dt
p
d i
a
−
= Ec. (8.58)
Substituyendo la ecuación 8.53 en la ecuación 8.58, se obtiene:
( p
p
J
Wei
p
dt
p
d
a
i
a
−
−
= ) Ec. (8.59)
p
p
p
d
dt
Wei
Jp
a
a
i
−
=
− Ec. (8.60)
Después de separar las variables. Esta ecuación puede ser integrada de t = 0 (cuando
We = 0 y a
p = pi) a t, esto es, se puede escribir:
∫
∫ −
=
−
i
i
p
p
a
a
t
i
p
p
p
d
dt
t
Wi
Jp
0
Ec (8.61)
Resolviendo las integrales, la ecuación 8.42 se simplifica:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
−
p
p
p
p
t
Wei
p
J
i
a
i
ln Ec. (8.62)
O también:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
=
− t
Wei
p
J
p
p
p
p i
i
a exp
)
( Ec. (8.63)
Substituyendo la ecuación 8.63 en la ecuación 8.53:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
= t
Wei
p
J
p
p
J
q i
i exp
)
( Ec. (8.64)
La ecuación 8.64 es la ecuación del caudal de agua con que fluye el acuífero al
reservorio en función del tiempo y también nos muestra de la caída de presión en el
contacto, (pi – p). Esta ecuación es generalmente independiente de la geometría del
acuífero. La cual puede ser integrada para obtener la entrada de agua:
∫
∫ ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
=
≡
t
i
i
t
t
Wei
p
J
p
p
J
qdt
We
0
0
exp
)
( Ec. (8.65)
Finalmente, resolviendo la integral de la ecuación 8.65 se llega a:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
=
Wei
p
J
p
p
pi
Wei
We i
i exp
1
)
( Ec. (8.66)
La ecuación 8.66 favorece el influjo del acuífero en función del tiempo para una caída
de presión constante, (pi – p), en el contacto. Algunas observaciones pueden ser echas al
respecto de las ecuaciones del modelo de Fetkovich:
(a) Observación 1

Note que con el pasar del tiempo, el caudal aportado por el acuífero, ecuación 8.64,
decrece exponencialmente tendiendo a cero. O sea, el influjo dado por la ecuación 8.66
tiende a un valor máximo. Tomando el límite de la ecuación para y usando la
ecuación 8.56, el influjo máximo puede ser escrito como:
∞
⎯→
⎯
t
)
(
)
(
max
p
p
Wi
c
p
p
p
Wei
We
i
t
i
i
−
=
−
=
Ec. (8.67)
(b) Observación 2
En la práctica la caída de presión en el contacto no es constante y la ecuación 8.66 no
es directamente aplicable. Fetkovich mostró la ecuación 8.66 cuando la presión varía en
el contacto, sin hacer la superposición. El influjo durante el primer intervalo de tiempo
(∆t1) puede ser expresado por:
( ) ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∆
−
−
−
=
∆ 1
1
1 exp
1 t
Wei
p
J
p
p
pi
Wei
W i
i
e Ec. (8.68)
Donde 1
p es la media de las presiones en el intervalo ∆t1 .Para el segundo intervalo de
tiempo (∆t2):
( ) ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∆
−
−
−
=
∆ 2
2
1
2 exp
1 t
Wei
p
J
p
p
pi
Wei
W i
a
e Ec. (8.69)
Donde 1
a
p es la presión media del acuífero en el final del primer intervalo de tiempo y es
calculado a partir de la ecuación de balance de materia en el acuífero, ecuación 8.55,
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ∆
−
=
Wei
We
p
p i
a
1
1 1 Ec. (8.70)
Y 2
p es la media de las presiones en el contacto en el intervalo de tiempo ∆t2 .Para un
intervalo de tiempo ∆tn
. ( ) ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∆
−
−
−
=
∆ − n
i
n
an
i
t
Wei
p
J
p
p
p
Wei
Wen exp
1
1 Ec. (8.71)
Donde:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∆
−
= −
−
=
− ∑ Wei
W
pi
Wej
Wei
p
p en
n
j
i
an
1
1
1
1 1
1
1 Ec. (8.72)
Y
2
1 n
n
n
p
p
p
+
= −
Ec. (8.73)
(c) observación.3
Al utilizar el índice de productividad del acuífero, J, para flujo permanente, se admite
que el acuífero sea realimentado de modo que la presión en su límite externo se
mantenga constante e igual a pi. La condición de flujo permanente implica que no hay
límite para el influjo máximo, esto es, Wci es infinito. En este caso, el caudal del acuífero,
ecuación 8.64 se reduce a:
( p
p
J
dt
dWe
q i −
=
≡ ) Ec. (8.74)
Cuya integral es el influjo acumulado:
( )
∫ −
=
t
i dt
p
p
J
We
0
Ec. (8.75)

La ecuación 8.75 es un caso particular del modelo Fetkovich y fue presentado por
Schilthius en 1936.
(d) Observación 4.
La Tabla 8.3 presenta el índice de productividad del acuífero, J, para los modelos de
acuíferos radiales y linear, regímenes de flujo permanente y pseudo permanente. Para
otras geometrías, el índice de productividad para el régimen pseudo permanente puede
ser definido como:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
2
4
ln
2
2
O
A r
C
A
kh
J
γ
µ
π
Ec. (8.76)
Donde CA es el factor de forma de Dietz (Tabla 8.13), A es el área del acuífero, γ es la
exponencial de la constante de Euler (γ=1,781...) y rO es el radio del reservorio circula
rizado. En la Tabla 8.4, el tiempo adimensional tDA es definido como:
A
C
kt
r
t
DA
µ
φ
= Ec. (8.77)
Tabla 8.3 – Índice de productividad del acuífero para los flujos radial y linear
Condición de Flujo Acuífero Radial Acuífero Linear
Pseudo permanente
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
4
3
ln
2
O
e
r
r
kh
f
J
µ
π
L
w
kh
J
µ
3
=
Permanente
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
O
e
r
r
fk
f
J
ln
2
µ
π
L
w
kh
J
µ
=
8.5.1.- MODELO DE CARTER – TRACY
El modelo de Carter-Tracy es aplicable a cualquier geometría de flujo, conociendo la
presión adimensional en función del tiempo para cualquier geometría de acuífero
considerada. Esta cobertura de los distintos tipos de acuífero posibles contemplados es
una gran ventaja de este modelo en relación al de van Everdingen & Hurst. El modelo de
Carter-Tracy, así mismo como Fetkovich, no requiere la aplicación del principio de
superposición de efectos en el cálculo del influjo. El influjo acumulado puede ser
expresado a través de la integral de convolucion:
( )
( )
τ
τ
τ
τ d
d
t
dW
p
U
t
We
DJ
t
D
D
Dj ∫
−
∆
=
0
)
( Ec (8.78)
Donde tD es el tiempo adimensional definido para cada geometría de acuífero, U,
es la constante de entrada de agua y que también depende de la geometría del sistema,
∆p(tD ) = pi – p(tD ) es la caída de presión en el contacto. WD( tD ) es el influjo de agua
acumulado adimensional, τ es una variable de integración y j se refiere a la
discretización del tiempo. En el modelo de Carter-Tracy para la entrada de agua
acumulado We es aproximado por la ecuación:
( ) ( ) ( )
1
1
1 −
−
− −
+
= Dj
Dj
j
Dj
Dj t
t
a
t
We
t
We Ec. (8.79)
Donde aj-1 es una constante. Esta ecuación admite que un intervalo entre tD j-1 y
tD j la entrada varia linealmente con el tiempo. Combinando las ecuaciones 8.78 y 8.79,
se obtiene:

( ) ( ) ( ) ( )
1
1
1
0
−
−
− −
+
=
−
∆
∫ Dj
Dj
j
Dj
t
t
t
a
t
We
d
d
tD
dWD
p
U
D
τ
τ
τ
τ Ec. (8.80)
Aplicándose la transformada de Laplace con relación al tiempo adimensional a la
ecuación 8.80, se obtiene:
( )
2
1
1
1
1
)
(
)
(
u
a
u
t
a
t
We
u
W
u
p
u
U
j
Dj
j
Dj
D
−
−
−
−
+
−
=
∆ Ec. (8.81)
Donde u es la variable de Laplace. Para el problema en cuestión es posible probar
que (van Everdingen & Hurst, 1949):
)
(
)
(
1
2
u
W
u
p
u
u
D
D
= Ec. (8.82)
Donde pD( tD )es la solución para la presión adimensional en la fase interna de un
acuífero produciendo un caudal constante y WD( tD ) es la entrada adimensional para el
caso de presión constante en el contacto. Substituyéndose la ecuación 8.82 en la
ecuación 8.81 y explicitándose la transformada de la caída de presión en el contacto gas-
agua, se obtiene la ecuación:
( )
[ ]
{ }
)
(
)
(
1
)
( 1
1
1
1 u
p
a
u
p
u
t
a
t
We
U
u
p D
j
D
Dj
j
Dj −
−
−
− +
−
=
∆ Ec. (8.83)
Cuya intervención resulta en:
( ) ( )
[ ]
{ } )
(
)
(
1
1
'
1
1
1 Dj
D
j
Dj
D
Dj
j
Dj
Dj t
p
a
t
p
t
a
t
We
U
t
p −
−
−
− +
−
=
∆ Ec (8.84)
Donde p’D( tD ) es la derivada de presión adimensional en relación al tiempo
adimensional. Explicitándose la constante aj-1 en la ecuación 8.84:
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
'
1
'
1
1
Dj
D
Dj
Dj
D
Dj
D
Dj
Dj
j
t
p
t
t
p
t
p
t
We
t
p
U
a
−
−
−
−
−
∆
= Ec. (8.85)
Substituyendo la expresión resultante en la ecuación 8.79, se obtiene:
( 1
'
1
'
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
(
)
( −
−
−
−
−
−
∆
+
−
= Dj
Dj
Dj
D
Dj
Dj
D
Dj
D
Dj
Dj
Dj
Dj t
t
t
p
t
t
p
t
p
t
We
t
p
U
t
We
t
We ) Ec. (8.86)
Que es la ecuación para el cálculo de la entrada de agua acumulada. Conforme
mencionado anteriormente, la función pD( tD ) representa la presión adimensional en la
fase interna de un acuífero produciendo con un caudal constante. En caso de un acuífero
lineal infinito, esto es, de un acuífero que se comporta en un régimen transciente de
flujo, la presión adimensional es determinada por la expresión:
π
D
D
D
t
t
p 2
)
( = Ec. (8.87)
En el caso de un acuífero radial infinito esa expresión es:
[ 80907
.
0
)
ln(
2
1
)
( +
= D
D
D t
t
p ] Ec (8.88)
8.6.1 MODELO DE LEUNG
En esta sección serán discutidos dos modelos aproximados, presentados por Leung
, denominados modelo pseudo permanente (PSS model) y modelo pseudo permanente
modificado (MPSS model). Así mismo como el modelo presentado por Fetkovich,
discutido en el punto 8.4, los modelos PSS y MPSS son aplicables a acuífero finitos y
consideran que el flujo del acuífero para el reservorio se da sobre régimen pseudo
permanente. Los modelos de Leung también tienen una ventaja, en relación al modelo de
van Everdingen & Hurst, de prescindir del esfuerzo computacional asociado a la
superposición del efecto tradicional cuando la presión en el contacto acuífero-reservorio
es variable con el tiempo.

8.6.1.1.-MODELO PSEUDO PERMANENTE (PSS )
Cuando un acuífero finito de geometría cualquiera de régimen pseudo permanente
(PSS), el caudal del influjo de agua es dado por:
[ )
(
)
( t
p
t
p
J
q a −
= ] Ec. (8.89)
Donde J es el índice de productividad del acuífero, a
p la presión media del acuífero y p la
presión en el contacto reservorio-acuífero. El índice de productividad es definido por la
expresión:
∞
= δ
µ
kA
J Ec. (8.90)
Donde δ∞ es el radio de drene constante sobre el régimen PSS y A es el área abierta
a la entrada de agua. Vale resaltar que si a
p y p fuese constante el caudal en la ecuación
8.89, sería permanente; mas como la presión varía con el tiempo, el régimen de flujo es
clasificado apenas como pseudo permanente.
El radio de drenaje pseudo permanente δ∞, depende de cómo varía la presión en el
contacto con el tiempo: La variación gradual (SIBP) o variación lineal (LIBP). Para
acuífero lineal o radio de drenaje adimensional (δ∞ / L) vale 0.4053 y 0.333 para
variación gradual y variación lineal, respectivamente.
Para acuífero radial, es la misma condición de presión en la frontera interna o
contacto, el radio de drenaje depende también del tamaño del acuífero dado por el
parámetro reD, en la tabla 8.3 están presentados los radios de drenaje para valores reD
entre 1.1 y 50 tanto para el caso de variación de presión gradual (SIBP) y para la
variación lineal de presión (LIBP).
Para acuíferos pequeños (reD < 1.5 ), el flujo es aproximadamente lineal y los radios
de drenaje son equivalentes para acuífero lineal con δ∞/ro = 0.333 (reD – 1) para LIBP y δ∞
/ ro = 0.4053 (reD –1) para SIBP. Cuando el acuífero es grande (reD >50) el radio de
drenaje, independientemente del comportamiento de la presión en el contacto (SIBP o
LIBP), tiende asintóticamente para la expresión:
4
3
)
ln( −
=
∞ eD
O r
r
δ Ec. (8.91)
Como mostramos en la tabla 8.3 la ecuación 8.91 es la expresión del radio de drene
usado por Fetkovich. Partiendo de la ecuación del balance de materia (EBM), se puede
mostrar que:
[ )
(t
p
p
W
c
We a
i
i
t ]
−
= Ec. (8.92)
Y
( 1
+ )
−
=
∆ an
an
i
t p
p
W
c
We Ec. (8.93)
Donde ct = cw + cf es la compresibilidad total del acuífero y Wi es el volumen inicial
de agua del acuífero. El subíndice n se refiere al instante de tiempo tn y el subíndice n+1
al instante tn+1. El caudal de la entrada de agua es dado por la derivada de la entrada de
agua acumulada, ecuación 8.92, en relación al tiempo:
dt
t
p
d
W
c
q a
i
t
)
(
−
= Ec. (8.94)
Combinándose las ecuaciones 8.89 y 8.94, se obtiene la ecuación que gobierna el
flujo pseudo permanente, esto es:
[ )
(
)
(
)
(
t
p
t
p
dt
t
p
d
a
a
−
= α ] Ec. (8.95)
Donde la constante ∞ es definida por:
∞
=
≡
δ
µ
α
k
W
c
A
W
c
J
i
t
i
t
Ec. (8.96)

Note que la ecuación 8.95 solo es válida después de tomar el régimen pseudo
permanente (esto es, para t > tpss). Una hipótesis básica del modelo PSS es que la
ecuación 8.95 sea una buena aproximación también para el periodo 0< t < tpss.
Tabla 8.3 – Radio de drene adimensional para acuífero radial (Ref. Leung)
δ∞ / ro
reD
LIBP SIBP Feitkovich
1.1 0.0333 0.0405 -
1.5 0.1637 0.19165 -
2 0.3156 0.3601 -
3 0.5779 0.6388 0.3486
4 0.7940 0.8611 0.6363
5 0.9755 1.0457 0.8594
6 1.1313 1.2002 1.0418
7 1.2674 1.3345 1.1959
8 1.3880 1.4572 1.3294
9 1.4963 1.5648 1.4472
10 1.5943 1.6575 1.5526
20 2.2595 2.2610 2.2457
50 3.1650 3.1260 3.1620
La condición inicial es dada por la expresión:
i
a p
t
p
t
p =
=
=
= )
0
(
)
0
( Ec. (8.97)
Utilizando la ecuación 8.95 puede ser resuelto para la presión media del acuífero:
∫
−
−
+
=
t
t
t
a d
e
p
e
pa
t
p
0
)
(
)
(
)
0
(
)
( τ
τ
α τ
α
α
Ec. (8.98)
Si la ecuación 8.98 fuera integrada por partes, se obtiene una forma alternativa de
presión media de acuífero como una función de derivada de presión en el contacto.
∫
−
−
−
=
t
t
a d
e
d
dp
t
p
t
p
0
)
(
)
(
)
(
)
( τ
τ
τ τ
α
Ec. (8.99)
Una vez obtenida la presión media del acuífero. a
p a partir de la ecuación 8.98 o
8.99, el caudal del influjo de agua, q, y el influjo acumulado, We, son calculados con las
ecuaciones 8.89 y 8.92, respectivamente.
Las ecuaciones 8.98 y 8.99 son conocidas como integrales de convoluçion (o
superposición). Por el hecho de la integración puede ser expresado como un producto en
dos funciones, una evaluada en tiempo τ y otra en t - τ variando de 0 a t, la integral en
tn+1 que es igual a la integral en tn mas un incremento de la integral en el intervalo ∆t =
tn+1 – tn .Consecuentemente, para cada tiempo de interés la integral tiene que ser
evaluada desde t = 0 hasta el tiempo t considerado, que vuelve el proceso cada vez mas
eficiente a medida que el tiempo crece. En vista de esa dificultad. Leung presentó un
esquema más eficiente denominado FCM (fast convolution method).método de la
convolucion rápida Definiéndose la integral en la ecuación 8.79 como I (t), siendo que
In+1 es la integral evaluada en tiempo tn+1. Así mismo.

∫
∫
∫
∫
∫
+
+
+
+
+
+
+
+
+
−
−
∆
−
−
−
−
−
−
+
−
−
−
−
+
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
+
=
=
1
1
1
1
1
1
1
1
1
)
(
0
)
(
)
(
0
)
(
0
)
(
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
t
t
t
t
t t
t
t
t
t t
t
t
t t
n
d
e
p
e
d
e
p
d
e
p
d
e
p
d
e
p
I
τ
τ
τ
τ
τ
τ
τ
τ
τ
τ
τ
α
α
τ
α
τ
α
τ
α
τ
α
Ec. (8.100)
O simplemente:
I
e
I
I t
n
n ∆
+
= ∆
−
+
α
1 Ec. (8.101)
Como muestra la ecuación 8.82 la integral de convolución en tiempo tn+1 es igual a
la suma de la integral anterior tn multiplicada por el factor de decaimiento exponencial
exp(-α∆t), con la integral entre los limites tn y tn-1. Las presiones históricas tn no es
necesario para evaluar In+1: luego el esfuerzo computacional y la cantidad de memoria
requerida son reducidos.
Usando la ecuación 8.101, las ecuaciones 8.98 y 8.99 pueden ser escritas
respectivamente, como:
∫
+
+ −
−
∆
−
+ +
=
1
1 )
(
1 )
(
n
n
n
t
t
t
t
an
an d
e
p
e
p
p τ
τ
α τ
α
α
Ec. (8.102)
Y
∫
+
+ −
−
∆
−
+
+ −
−
+
=
1
1 )
(
1
1
)
(
)
(
n
n
n
t
t
t
t
n
an
n
an d
e
d
dp
e
p
p
p
p τ
τ
τ τ
α
α
Ec. (8.103)
La forma expresada por la ecuación 8.102 es preferible a la ecuación 8.103 porque
es más conveniente, si evaluamos la integral. Los datos de la presión en el contacto en
función del tiempo, es necesario para calcular la integral de convolucion, ecuación 8.102,
son normalmente expresados como valores discretos con el tiempo.
Luego, para calcular la integral, alguna forma de interpolación entre los datos es
necesaria. Dos esquemas simples de interpolación fueron sugeridos por Leung:
1. Interpolación Linear de Presión en el Contacto, denominada LIBP (Linear
Interpolation of Boundary Pressure). En este caso los datos discretos de presión
son interpolados linealmente:
1
1
,
)
(
)
( +
+
≤
≤
+
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∆
−
= n
n
n
n
n
n
LI t
t
t
p
t
t
t
p
p
p τ Ec.(8.104)
2. Interpolación Gradual de Presión en el Contacto, denominado SIBP (Step
Interpolation of Boundary Pressure). En este caso las presiones interpoladas entre
tn y tn+1 son dadas por:
1
1
,
2
)
( +
+
≤
≤
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
= n
n
n
n
n
SI t
t
t
t
p
p
p τ Ec. (8.105)
Combinándose las ecuaciones 8.102 y 8.103, se obtiene la expresión para el cálculo
de presión media del acuífero en tiempo tn+1 para el esquema LIBP:
( ) )
1
(
1
1
1 −
∆
−
+
−
= ∆
−
+
∆
−
+
+
t
n
n
t
n
an
n
an e
t
p
p
e
p
p
p
p α
α
α
Ec. (8.106)
Por otro lado, combinándose las ecuaciones 8.103 y 8.105, se obtiene la presión
media del acuífero en tiempo tn+1 para el esquema SIBP:
)
1
(
2
1
1
t
n
n
t
an
an e
p
p
e
p
p ∆
−
+
∆
−
+ −
+
+
= α
α
Ec (8.107)
Los parámetros del modelo PSS de Leung para acuíferos lineales y radiales,
requeridos en las ecuaciones 8.89, 8.92 y 8.21, están resumidos en la tabla 8.3.
El procedimiento de cálculo del modelo PSS de Leung consiste en lo siguientes pasos:
Paso 1 – parámetros Básicos. A partir del valor de (tPSS)D y de la definición de tD (ver
tabla 8.3) calcule tPSS y verifique si ∆t > tPSS , para confirmar la validez del modelo PSS

de Leung. De ahí calcule δ∞ y ∆ de tabla 8.3, así también el exp(-α∆t) para cada nuevo
valor de ∆t.
Paso 2 – Presión media del acuífero. A partir de la condición inicial o de la presión media
del acuífero en el intervalo de tiempo anterior. an
p , calcule 1
−
an
p con la ecuación 8.99
(LIBP) o la ecuación 8.100 (SIBP).
Paso 3 – Influjo de Agua. Con las ecuaciones 8.92 y 8.93 calcule los valores de Wen+1 y
∆We usando la presión media actual en el acuífero, 1
−
an
p , obtenida en el paso 2.
8.6.1.2.- MODELO PSEUDO PERMANENTE MODIFICADO (MPSS )
Leung mostró que, para un acuífero (reD > 10), el modelo PSS presenta una cierta
imprecisión por el hecho de que el modelo no lleva en cuenta los efectos trancientes que
ocurren en el corto del tiempo. Como una alternativa para sanar este inconveniente.
Leung desarrollo un nuevo modelo simplificado, denominado modelo pseudo permanente
modificado (MPSS). En el modelo MPSS, la presión media del acuífero es definida como
)
(
)
(
)
1
(
)
( .
1
1
1
. t
p
t
p
t
p pss
a
mpss
a β
β +
−
= Ec. (8.108)
Donde p1(t) es la presión interpolada dada por la ecuación 8.103 y 8.105, y PSS
a
p . es
la presión media del acuífero obtenido del modelo PSS. El coeficiente de peso rβ1 es dado
por la ecuación:
)
1
(
1
)
(
1
)
(
0
4
2
2
2
1
2
2
1
1
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
eD
eD
l
r
r
a
J
a
J
a
β Ec. (8.109)
Siendo a1 la primera raíz de la ecuación de Bessel: Jl (am reD) y (am)-JO(am)Yl(am reD)=0,
donde JO y Jl son las funciones de Bessel de primer grado y Yo y Yl las funciones de Bessel
de segundo grado. En la tabla 8.4 están presentados los valores de a1 y β1 en función de
los valores de reD normalmente encontrados en los estudios de reservorio. La tabla 8.4
presenta también el intervalo de validez de los modelos MPSS y PSS. Como se puede
observar, para reD entre 1 y 50, el tiempo inicial de validez del modelo MPSS fue reducido
en relación al del modelo PSS de aproximadamente un ciclo logarítmico.
Ejemplo 8.2 Se desea determinar la entrada de agua en el reservorio en función de la
presión y tiempo por los cinco métodos mencionado en este capitulo y hacer la
comparación entre ellos. Las propiedades del nivel acuífero son los siguientes:
Pr = 3952 psi Radio nivel Gasif. = 3959 pies
Tr= 190 o F Radio nivel Acuif. = 11120 pies
Prof. = 8868 pies Viscosidad Agua = 0.55 cp
h acuif.= 262 pies Saturación Agua = 0.45 %
Kw = 15 md Saturación Irresid. = 0.22 %
Poros.= 0.18 % Compresib. Agua = 3*10^-6 psi^-1
A acuif.= 264818263 pie^2 Compresib. Form. = 3.5*10^-6 psi^-1
ReD = 2.81 Compresib.Total w = 5.3*10^-6 psi^-1
Angulo. Inters. = 280 o

Tabla 8.4 – Parámetros del modelo PSS de Leung
Parámetro Acuífero Linear Acuífero Circular
J
( )
L
L
A
k
∞
δ
µ
π
θ
δ
µ
π
2
,
)
(
2
=
∞
f
donde
r
kh
f
O
ct Wi L
A
c
c f
w φ
)
( + π
θ
φπ 2
,
)
(
)
( 2
2
=
−
+ f
donde
hf
r
r
c
c O
e
f
w
α
)
(
2
L
L
n
L
c
k
t ∞
∞
=
δ
δ
φµ 1
2
)
(
1
2
2
2
2
−
=
− ∞
∞ eD
O
O
eD
O
t r
r
r
n
r
r
c
k
δ
δ
φµ
LIBP, δ∞
3
L
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
− 1
1
3
4
1
)
ln(
1 2
2
2
2
2
eD
eD
eD
eD
eD
O
r
r
r
r
r
r
SIBP,δ∞ 2
4
π
L
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−1
1
2
2
2
eD
eD
l
O
r
r
a
r (1
)
tD 2
2
L
nt
L
c
kt
t
=
φµ 2
2
o
O
t r
nt
r
c
kt
=
φµ
LIBP, (tPSS )D 0.57
2
25
.
0 eD
r
SIBP,(tPSS )D 0.15
2
25
.
0 eD
r
Tabla 8.5 – Parámetros del modelo PSS modificado
Modelo valido para tD>
reD a1 β1
MPSS PSS
1.1 15.3348 0.8105
1.5 2.8899 0.8417 0.04 0.675
2 1.3606 0.8705 0.08 1.2
3 0.6256 0.9000 0.35 2.7
4 0.3935 0.9171 0.8 4.8
5 0.2823 0.9307 1.3 7.5
6 0.2182 0.9389 2 10.8
7 0.1767 0.9441 3 14.7
8 0.1476 0.9508 3.7 19.2
9 0.1264 0.9539 5 24.3
10 0.1104 0.9580 6 30
20 0.0471 0.9723 40 120
50 0.0160 0.9855 200 750
Obs.: (i) δ∞/rO obtenido de la tabla 3.2 (SIBP): (ii) Para el modelo MPSS, el tD limite
para validez del modelo fue obtenido a partir de la comparación con la solución
exacta, con error menor que el 5%: (iii) Para el modelo PSS, tD > 0.25 (ver
tabla 3.3): y (iv) Cuando
2
eD
r
.
0
.
1
0
, 1
1 →
→
∞
→ β
y
a
reD
Método de Van Everdingen
D
D
e t
W
P
U
W ×
∆
×
=
1.- Calculamos la constante de intrusión de agua en Bbls/psi
Fracción del ángulo de contacto = 280/360 = 0.78

U = 1.119 * f % * hacf. Ctf. Ro^2
U = 1.119 *0.78* 0.18 * 262*5.33e-6* 3959^2 = 3438 Bls/psi
2.- El tiempo adimensional depende del tiempo de declinación de la presión que la
mostraremos en la tabla 8.5 del balance de materiales del reservorio gasifero.
=
= 2
*
309
.
2
o
t
w
D
r
c
u
kt
t
θ
=
−
=
2
^
3959
*
5
^
10
*
33
.
5
*
18
.
0
830
.
1
*
15
*
309
.
2
D
t 7.69
3.- Con el dato del tiempo adimensional y con la relación de radio del nivel
gasifero/acuífero reD se determina WD con tablas (8.11) o graficas. Para td =7.69 con
una relacion reD=2.8 determinamos el WD de 3.5
4.- Finalmente en este último punto determinamos la entrada de agua acumulada con la
siguiente ecuación:
W D
D
e t
W
P
U ×
∆
×
=
Son los barriles de agua que han entrado en la primera
etapa
W 586349
5
.
3
*
49
*
3438 =
=
e
Tabla 8.6
Se tiene un volumen de agua introducido de 7.281 MMBls
Método de Fetkovich ( p
p
J
dt
dWe
q a −
=
= ) ( )
a
i
i
t p
p
W
c
We −
=
1.- Primeramente calculamos la Wei la entrada de agua inicial
( )
a
i
i
t p
p
W
c
Wei −
= w
t
g
w P
hc
r
r
Wei θ
π )
(
2
2
−
=
=
−
−
= 6
^
10
*
33
.
5
*
3952
*
262
*
18
.
0
*
)
3952
11120
(
*
14
.
3 2
2
Wei 60064184 Bbls

2.- Calculamos el Índice de productividad para condiciones de flujo Pseudo permanente y
Permanente
Pseudo permanente
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
4
3
ln
2
O
e
r
r
kh
f
J
µ
π
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
4
3
3959
11120
ln
55
.
0
262
*
15
*
78
.
0
*
023244
.
0
J 458 Bpd/psi
Permanente
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
O
e
r
r
fk
f
J
ln
2
µ
π
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
3959
11120
ln
55
.
0
262
*
15
*
78
.
0
*
023244
.
0
J 125 Bpd/psi
3.- Calculamos tDA final
A
uc
kt
t
t
f
A
D
θ
309
.
2
=
=
−
=
264818263
*
6
^
10
*
33
.
5
*
55
.
0
*
18
.
0
309
.
2
*
26
.
11
*
15
D
t 2.79
Tabla 8.7
Fecha de Tiempo Presion
Presion
Prom.
Prueba Reservorio Acuifero tDA.
Años psi
Pn
psi
Sep-89 0,00 3952 3952
Jul-91 1,83 3854 3903 0,45
Ago-94 4,92 3839 3847 1,22
Nov-95 6,17 3713 3776 1,53
Dic-97 8,25 3592 3653 2,04
Nov-98 9,17 3554 3573 2,27
Ago-99 9,92 3408 3481 2,46
Dic-00 11,26 3280 3344 2,79
Delta
Wen
Went Presion
Acumulado Promedio
Bbls Bbls
Pan
psi
3952
744723 744723 3928
1231072 1975795 3887
1687025 3662820 3832
2720518 6383339 3742
2568534 8951873 3658
2682522 11634395 3569
3423446 15057841 3457
( ) ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∆
−
−
−
=
∆ − n
i
n
an
i
t
Wei
p
J
p
p
p
Wei
Wen exp
1
1
Donde

Esta ecuación se puede ser aplicada, según el incide de productividad si es
permanente o pseudo permanente. Este método en la mayoría de las aplicaciones es
muy optimista en cuanto a la instrucción de agua siendo su Volumen de 15057 MBbls
Método de Tracy ( )
( )
τ
τ
τ
τ d
d
t
dW
p
U
t
We
DJ
t
D
D
Dj ∫
−
∆
=
0
)
(
( )
1
'
1
'
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
(
)
( −
−
−
−
−
−
∆
+
−
= Dj
Dj
Dj
D
Dj
Dj
D
Dj
D
Dj
Dj
Dj
Dj t
t
t
p
t
t
p
t
p
t
We
t
p
U
t
We
t
We
Tabla 8.8
Fecha de Tiempo Reservorio
Delta
Presión
Td Tda
Años psi psi
Sep-89 0,000 3952 0 0,00
Jul-91 1,830 3854 98 8 0,35
Ago-94 4,918 3839 15 21 0,95
Nov-95 6,170 3713 126 26 1,19
Dic-97 8,255 3592 121 35 1,60
Nov-98 9,173 3554 38 39 1,77
Ago-99 9,921 3408 146 42 1,92
Dic-00 11,258 3280 128 47 2,18
Periodo Pseudo
Permanente o
Transiente
Del
We(TDj)
We
Pd(td) P´d(tD)
0,00 0,000 0 0
2,23 0,253 1156851 1156851
5,50 0,253 279239 1436090
6,83 0,253 1453762 2889852
9,04 0,253 1616700 4506552
10,02 0,253 763579 5270130
10,81 0,253 1656030 6926161
12,23 0,253 1719639 8645800
Con el método de Tracy tenemos una entrada de agua de 8.645 MMBbls
1.- El cálculo de tD lo realizamos con la siguiente Ecuación:
=
= 2
*
309
.
2
o
t
w
D
r
c
u
kt
t
θ
2.- El tiempo adimensional tDA la calculamos con la siguiente ecuación
)
1
(. 2
−
=
reD
t
t D
A
D
π
3.- Calculamos la constante de intrusión de agua en Bbls/psi
U = 1.119 * f % * hacf. Ctf. Ro^2
U = 1.119 *0.78* 0.18 * 262*5.33e-6* 3959^2 = 3438 Bls/psi
4.- Determinamos las presiones adimensionales para la transiente y seudo permanente

Periodo Transiente
Periodo Pseudo
Permanente
Pd(td)=1/2(lnreD+0,80907)
Pd(td)=(2/reD^2)*tD+
ln reD-3/4
Pd(tD)=1/2tD Pd(tD)=2/reD^2
tDa<0,1 tDa>=0,1
5.- Determinar el influjo de agua con la siguiente ec:
( )
1
'
1
'
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
(
)
( −
−
−
−
−
−
∆
+
−
= Dj
Dj
Dj
D
Dj
Dj
D
Dj
D
Dj
Dj
Dj
Dj t
t
t
p
t
t
p
t
p
t
We
t
p
U
t
We
t
We
Modelo Pseudo Permanente de Lang. (PSS) ( )
1
+
−
=
∆ an
an
i
t p
p
W
c
We
dt
t
p
d
W
c
q a
i
t
)
(
−
=
∞
=
≡
δ
µ
α
k
W
c
A
W
c
J
i
t
i
t
Calculo de la presión medio esquema LIBP.
( ) )
1
(
1
1
1 −
∆
−
+
−
= ∆
−
+
∆
−
+
+
t
n
n
t
n
an
n
an e
t
p
p
e
p
p
p
p α
α
α
Calculo de la presión medio esquema SIBP.
)
1
(
2
1
1
t
n
n
t
an
an e
p
p
e
p
p ∆
−
+
∆
−
+ −
+
+
= α
α
1.- Primeramente determinamos la clase de variación si es lineal o diferencial
Si reD< 0.5 Utilizamos la variación Lineal método LIBP
>0.5 Utilizamos la variación Gradual método SIBP
En nuestro caso Utilizamos el radio de drenaje adimensional determinado en la tabla 8.2
para acuíferos radiales Leung para un radio de drene reD = 2.8 tenemos un valor de 0.54
de SIBP que es mayor al 0,5
2.- Calculamos ά 1175
.
0
1
8
.
2
*
54
,
0
43816
.
0
1
)
/
(
2
*
)
/
(
2
2
2
=
−
=
−
×
=
reD
ro
ro
δ
η
α
3.- Calculamos Volumen Inicial de agua 9
851
.
2
)
( 2
2
+
=
×
×
−
×
= e
h
r
r
W g
e
i φ
π
Tabla 8.9
Fecha de
inicio
tiempo
Presión
Prom. tD ∆t (tpss)D
años Psia
Sep-89 0,00 3952 0,00 0,00 1,979
Jul-91 1,83 3854 0,97 1,78 1,979
Ago-94 4,92 3839 2,61 12,83 1,979
Nov-95 6,17 3713 3,27 20,19 1,979
Dic-97 8,25 3592 4,38 36,15 1,979
Nov-98 9,17 3554 4,87 44,63 1,979
Ago-99 9,92 3408 5,26 52,21 1,979
Dic-00 11,26 3280 5,97 67,23 1,979

e-ά∆t
e-ά∆t
-1
e-ά∆t
-
1/ά∆t
(Pn+Pn+1)/2
1-e-ά∆t
Pmed a Pss
1,00E+00 0,00E+00 #¡DIV/0! 3952 0,00E+00 3952
8,27E-35
-
1,00E+00 -1,27E-02 3903 1,00E+00 3903
2,60E-92
-
1,00E+00 -4,74E-03 3847 1,00E+00 3847
1,26E-115
-
1,00E+00 -3,78E-03 3776 1,00E+00 3776
1,87E-154
-
1,00E+00 -2,83E-03 3653 1,00E+00 3653
1,51E-171
-
1,00E+00 -2,54E-03 3573 1,00E+00 3573
1,78E-185
-
1,00E+00 -2,35E-03 3481 1,00E+00 3481
2,24E-210
-
1,00E+00 -2,07E-03 3344 1,00E+00 3344
ti*Wi We n+1 ∆We(Mbls)
15203 0 0
15203 745 745
15203 1604 859
15203 2676 1817
15203 4553 2737
15203 5762 3025
15203 7161 4135
15203 9244 5108
4.- Calculamos el tiempo adimensional tD Con la siguiente formula para cada etapa de
presión
2
*
309
.
2
wacuf
t
w
D
r
c
u
kt
t
θ
= ∆t = tD * tp tpss = 0.25*ReD2
Con este método tenemos un volumen de entrada de agua de 9.244 MMBbls
Modelo Pseudo Permanente Modificado de Lang. (MPSS)
( )
1
+
−
=
∆ an
an
i
t p
p
W
c
We
dt
t
p
d
W
c
q a
i
t
)
(
−
=
∞
=
≡
δ
µ
α
k
W
c
A
W
c
J
i
t
i
t
)
(
)
(
)
1
(
)
( .
1
1
1
. t
p
t
p
t
p pss
a
mpss
a β
β +
−
=
)
1
(
1
)
(
1
)
(
0
4
2
2
2
1
2
2
1
1
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
eD
eD
l
r
r
a
J
a
J
a
β
=
∞ g
r
/
δ

1.- Primeramente calculamos de la tabla 8.5 de los parámetros del modelo
MPSS modificado por LANG
284
.
0
75
.
0
)
8
.
2
(
75
.
0
ln
/ =
−
=
−
=
∞ LN
re
r D
g
δ
Si reD >20 se toma un valor constante de 0.9855 si es menor se utiliza la ec:
893
.
0
845
.
0
0465
.
0
*
)
8
.
2
ln(
845
.
0
0465
.
0
*
ln =
+
=
+
= D
l re
β
El at podemos leer de la tabla 8.4 de los parámetros del modelo modificado o podemos
calcular con la siguiente relación
98
.
0
8
.
2
*
4156
.
5
*
4156
.
5 6506
.
1
6506
.
1
=
=
= −
−
D
t re
a
9
2
)
( 2
2
+
=
×
−
×
= h
r
W φ
π 851
.
× e
r g
e
i
2255
.
0
1
8
.
2
*
284
,
0
43816
.
0
1
)
/
(
2
*
)
/
(
2
2
2
=
−
=
−
×
=
reD
ro
ro
δ
η
α
Tabla 8.10
Fecha de
inicio
tiempo
Presión
Prom. tD ∆t (tpss)D
Años Psia
Sep-89 0,00 3952 0,00 0,00 1,979
Jul-91 1,83 3854 0,97 1,78 1,979
Ago-94 4,92 3839 2,61 12,83 1,979
Nov-95 6,17 3713 3,27 20,19 1,979
Dic-97 8,25 3592 4,38 36,15 1,979
Nov-98 9,17 3554 4,87 44,63 1,979
Ago-99 9,92 3408 5,26 52,21 1,979
Dic-00 11,26 3280 5,97 67,23 1,979
e-ά∆t
e-ά∆t
-1
e-ά∆t
-
1/ά∆t
Pmpss a
pn+1
1-e-ά∆t
ti*Wi
0 0 0 3952 00E+00 15203
2.59e-65
-
1,00E+00 -1.00 3898 1,00E+00 15203
2.81e-174
-
1,00E+00 -1.00 3846 1,00E+00 15203
1.83e-218
-
1,00E+00 -1.00 3769 1,00E+00 15203
4.8e-292
-
1,00E+00 -1.00 3646 1,00E+00 15203
0
-
1,00E+00 -1.00 3571 1,00E+00 15203
0
-
1,00E+00 -1.00 3473 1,00E+00 15203
0
-
1,00E+00 -1.00 3337 1,00E+00 15203

We n+1 ∆We(Mbls)
0 0
824 824
1616 791
2778 1986
4651 2665
5792 3127
7279 4151
9347 5196
Con este método se tiene una entrada de agua de 9.347 MMBbls
8.7.- COMPARACION ENTRE LOS MODELOS
En las secciones anteriores fueron presentados varios modelos para el cálculo de la
entrada de agua acumulada proveniente de los acuíferos. Cada uno de los modelos fue
utilizado para estimar el influjo acumulado del acuífero circular limitado. Para cada uno
de los modelos, se calculo en base al tiempo, el influjo acumulado del acuífero sujeto a
un historial de presión variable en el contacto. Los resultados están presentados en la
tabla 8.11.
Tabla 8.11 – Comparación entre los varios modelos de influjo de agua
Como se pude observar el método de Fetkovich es el mas optimista para nuestros
cálculos y los métodos mas recomendable son : Van Everdinger, PSS y MPSS de Leung

Tabla 8.12 Factor de Forma Dietz Para Diferentes Geometrías

Tabla 8.13 Factor de Forma Dietz Para Diferentes Geometrías

Tabla 8.14 Influjo Adimensional para Acuífero Radial Infinito

Referencias Bibliográficas
¾ Previsión y comportamiento de reservorio de petróleo, Métodos Analíticos
por Adalberto Jose Rosa y Renato de Souza Carvalho Ene.2002.
¾ Ingeniería Aplicada de Yacimientos Petroliferos BC Craft y Hawkins Jr, edicion
1968.
¾ Fundamentals of reservoir engineering by LP. DAKE 1978
¾ Ingeniería de Yacimientos de Gas Condensado por Gonzalo Rojas
¾ Petroleum Engineering Handbook – Society Of Petroleum Engineers, third
printing, feb. 1992
¾ Ingeniería Aplicada de Yacimientos Petrolíferos – B. C. Craff y M. F. Hawkins,
Jr, 1997

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