Parte 05 reservorios_lucio_carrillo___inmiscible

129

CAPITULO V

DESPLAZAMIENTO
INMISCIBLE

LUCIO CARRILLO BARANDIARAN - 2006

130

DESPLAZAMIENTO INMISCIBLE

Los reservorios de empuje por agua, son los reservorios en la cual una porción
significante de la extracción volumétrica es reemplazada por influjo de agua
durante su vida productiva.

El influjo total y las tasas del influjo son gobernadas por las características del
acuífero junto con el comportamiento del contacto original reservorio/acuífero
(WOC). Casi siempre no se dispone de datos de la roca del acuífero, pero en
el caso de disponer de suficiente historia de presión y de producción, las
propiedades del acuífero pueden ser inferidas y ser usadas para estimar el
efecto futuro del acuífero sobre el comportamiento del reservorio.

DEFINICIONES UTILES

Geometría del Acuífero

Radial

Los límites son formados por dos cilindros concéntricos o sectores de cilindros.

Lineal

Los límites están formados por dos planos paralelos

Condiciones de Límite Exterior

Infinito

La perturbación de la presión no afecta el límite exterior del sistema, durante el
tiempo de interés.

Finito Cerrado

No existe flujo a través del límite exterior. La perturbación de la presión
alcanza el límite exterior, durante el tiempo de interés.

Finito con alimentación

El acuífero es finito con presión constante en el limite exterior (ejm., acuífero
alimentado por un lago u otra fuente de agua en superficie).


131

CONDICIONES BÁSICAS Y SUPOSICIONES

1. El reservorio se encuentra durante todo el tiempo, sometido a una
presión promedia de equilibrio.

2. El contacto agua/petróleo (WOC) o agua/gas (WGC) es una línea
equipotencial.

3. Los hidrocarburos detrás del frente son inmóviles.

4. Los efectos de la gravedad son insignificantes.

5. La diferencia entre la presión promedia del reservorio y la presión en el
contacto original: WOC o WGC se asumen como cero.

SUPOSICIONES FÍSICAS PARA PROCESOS INMISCIBLES

a) El agua desplaza al petróleo en un reservorio mojable al agua.

El desplazamiento de petróleo por agua en un reservorio mojable al
agua es un proceso de IMBIBICION. En tal sentido, las curvas de
presión capilar y permeabilidad relativa a ser usadas en la descripción
del desplazamiento deben ser medidas bajo condiciones de imbibición.

Inversamente, en el desplazamiento de petróleo por agua en un
reservorio mojable al petróleo se deben usar las curvas medidas bajo
condiciones de DRENAJE. Existe una diferencia básica en los dos
tipos de reservorios debido a la histéresis del ángulo de contacto.

b) El desplazamiento ocurre bajo condiciones de equilibrio vertical.

Significa que durante el desplazamiento, si la saturación de agua en
cualquier punto del reservorio incrementa en una pequeña cantidad, la
nueva saturación de agua es redistribuida instantáneamente.

Las condiciones de equilibrio vertical serán mejoradas por:

(.) Alta permeabilidad vertical (kv).
(.) Pequeño espesor del reservorio (h)
(.) Gran diferencia de densidades entre fluidos (∆ρ)
(.) Grandes fuerzas capilares (gran zona de transición capilar H).
(.) Bajas viscosidades de los fluidos.
(.) Bajas tasas de inyección.


132

La única forma de verificar la validez del equilibrio vertical es usando
técnicas de simulación numérica.

c) El desplazamiento es considerado como incompresible.

Esta suposición implica que existen condiciones de estado estable en el
reservorio con la presión constante a cualquier punto.

qt = qo + qw

d) El desplazamiento es considerado lineal.


133

DESPLAZAMIENTO

La energía natural que permite el desplazamiento de los fluidos en el
reservorio (energía natural existente en los fluidos del reservorio), no permite
una recuperación total de los hidrocarburos en el reservorio, permitiendo que
una importante cantidad de petróleo y/o gas permanezca en el subsuelo. Los
métodos desarrollados involucran el mantenimiento de la presión de un
reservorio a través de la inyección de algún fluido, que incremente la energía
natural. Según F. W. Cole (Reservoir Engineering Manual – 1969), el
incremento del factor de recuperación de debe a los factores siguientes:

(1) Disminución del Indice de Depletación al mantener la presión del
reservorio,
(2) Reemplazo de la energía natural de desplazamiento con una
fuerza de desplazamiento mas eficiente (por ejemplo el
reemplazo de la impulsión de la capa de gas por el
desplazamiento de agua).

En este sentido, la presión del reservorio puede ser mantenida por:

(1) Inyección de agua y/o gas natural,
(2) Inyección de fluidos miscibles,
(3) Una combinación de los anteriores,

De estos métodos, la inyección de agua es el método preferido debido a (1)
disponibilidad de agua, (2) relativa facilidad con que el agua es inyectada, (3)
facilidad con que el agua se esparce a través de formaciones mojables al
petróleo y (4) eficiencia del agua para desplazar al petróleo.

La distribución del agua, petróleo y gas en el espacio poroso para cualquier
nivel de saturación en el reservorio esta determinada por (1) características de
mojabilidad de la roca y (2) tensión interfacial entre las fases inmiscibles.

El uso de modelos analíticos para predecir el comportamiento de los
reservorios están basados en simplificaciones que permiten la aplicación de
modelos simples para describir estructuras geológicas complejas.

El modelo de desplazamiento inmiscible, uno de los mas simples conocido
como la Teoría de Avance Frontal, fue desarrollado inicialmente por Buckley &
Leverett y posteriormente reformulado por Welge. Este modelo fue derivado
para sistemas continuos y lineales. Cuando se requiere aplicar las ecuaciones
de Buckley & Leverett y Welge's a sistemas complejos, es necesario reducir
estos sistemas a modelos 1D.


134

TEORÍA DE FLUJO FRACCIONAL

INTRODUCCION

La teoría de avance frontal es una importante herramienta para los ingenieros
de reservorios en el estudio del comportamiento de reservorios sometidos a
inyección de agua.

Buckley & Leverett tomaron el concepto de Flujo Fraccional presentado el año
1941 por Leverett, que para el caso de una inyección de agua es expresado
como:

Lo cual si se reemplaza en la conocida ecuación de Darcy tanto para agua
como petróleo, se obtiene:

Asimismo, para una determinada roca, con sus respectivos fluidos y las
condiciones fluyentes asociadas, el flujo fraccional de agua es una función de
la saturación de agua. Considerando que el Fw se mide el la cara de la arena
del pozo productor (outlet face), la Sw correspondiente debe estar referida al
mismo punto.

En 1942, Buckley & Leverett presentó la Ecuación de Avance Frontal:

Esta ecuación resulta de la aplicación de la Ley de Conservación de la Masa
para el flujo unidireccional de dos fluidos inmiscibles (para los casos de estudio
en la FIP serán considerados petróleo y agua) a través de un medio poroso
homogéneo y continuo. Esta ecuación asume que los fluidos y el medio poroso
son incompresibles. La ecuación 3 establece que una cierta saturación de
agua fija se mueve a través del medio poroso a usa tasa que es constante y


135

proporcional al cambio en la composición del flujo de fluidos (causado por un
pequeño cambio en la saturación del fluido desplazante).

En 1952, Welge derivó una ecuación que relaciona la saturación promedia de
agua con la saturación localizada en el extremo productivo del sistema.

Esta ecuación establece que conociendo los volúmenes porosos de agua
inyectada (acumulada) de agua (Qi), la saturación de agua y el flujo fraccional
en la cara de la arena del pozo productor (Sw2 y Fw2 respectivamente), es
posible calcular la saturación de agua promedio y por lo tanto, la producción
acumulada de petróleo.

Por otro lado, Welge introdujo otra ecuación:

La cual relaciona Qi con Sw2.

Las ecuaciones (4) y (5) pueden ser relacionadas con la producción
acumulada de petróleo durante la inyección de agua. Antes de que el agua
irrumpa en el pozo productor, el volumen de petróleo recuperado es igual al
volumen de agua inyectada al sistema.

Donde:

La ecuación (6) no es válida para después que ha ocurrido la irrupción del
frente, debido a que ya se ha producido una parte del agua inyectada (el
sistema ya esta produciendo con una cierta cantidad de agua). En este
sentido, la ecuación aplicable para estimar la producción acumulada de
petróleo es:


136

DERIVACIÓN DE LA ECUACIÓN DE FLUJO FRACCIONAL
PARA UN SISTEMA PETROLEO AGUA 1-D

Para derivar la ecuación de flujo fraccional en el desplazamiento de petróleo
asumiremos que toma lugar bajo condiciones de “flujo difuso”. Esto significa
que las saturaciones del fluido en cualquier punto en la trayectoria lineal están
uniformemente distribuidas con respecto al espesor. Esto permite que el
desplazamiento pueda ser descrito en una dimensión.

El flujo simultáneo de petróleo y agua puede ser modelado usando
permeabilidades relativas ponderadas por el espesor, a lo largo de una línea
central en el reservorio.

Una condición que debe reunir el equilibrio potencial de un fluido, es
simplemente el equilibrio hidrostático para lo cual la distribución de saturación
puede determinarse como una función de presión capilar y por lo tanto,
interviene la altura. Es por esto, que los fluidos están distribuidos de acuerdo al
equilibrio capilaridad-gravedad.

La condición de equilibrio vertical puede ser favorecido por:

• Alta permeabilidad vertical, kv
• Pequeño espesor del reservorio (h)
• Gran diferencia de densidad entre los fluidos
• Grandes fuerzas capilares, lo que significa grandes zonas de transición
capilar (H)
• Pequeñas viscosidades de fluidos
• Bajas tasas de inyección

El flujo difuso ocurre cuando:

(a) El desplazamiento ocurre a tasa de inyección muy altas tal que
los efectos de capilaridad y fuerzas gravitacionales son


137

insignificantes. Una de las condiciones de equilibrio vertical no es
satisfecha.

(b) El desplazamiento se lleva a cabo a bajas tasas de inyección en
reservorios en los cuales la zona de transición capilar es mayor
que el espesor del reservorio y se aplica la condición de equilibrio
vertical.

La segunda condición puede ser visualizada en la figura 1. La zona de
transición (H) es mucho mas grande que el espesor del reservorio. En este
caso, la saturación de agua puede ser considerada como distribuida
uniformemente con respecto al espesor.

Figura 1 - Aproximación a la condición de flujo difuso para H >>h.

h Reservoir
Pc H Thickness

Swc 1-Sor


138

Figura 2 - curva de transición pequeña.

Pc

Small transition zone
H

Swc 1-Sor

La figura 3, muestra el esquema de un vistas areal en un reservorio lineal que
tiene una sección transversal uniforme de área A. El desplazamiento puede
también ser considerado para un reservorio inclinado (tilted) como se observa
en la figura 4.

Figura 3 - Modelo de reservorio lineal 1-D.

w

Production

L

Injection


139

Figura 4 - Modelo de reservorio lineal 1-D.

qt

L

P
P
P
Pr

h
h
h
h
od
du
du
duuc
ti
on
on
on
on
qi
I
I
I
In

z
je c
e
e
e
to
to
to
ti o
n
n
n
n

θ
x
y

z = x sin θ
dz
= sin θ
dx

Los pozos de producción e inyección se considera que han sido punzonados a
través de todo el intervalo productivo, en cual se encuentra en la dirección
normal al buzamiento.

El objetivo del curso, es describir la distribución de saturación en la dirección-y
a medida que el fluido se mueve a través de la dirección-x.

Si consideramos el desplazamiento del petróleo por agua en un reservorio
inclinado (tilted reservoir):

Aplicamos la ecuación de Darcy:


140

y reemplazamos la presión de agua por:

tendremos:

rearreglando las ecuaciones tendremos:

Restando la primera ecuación de la segunda tendremos:

Sustituyendo por:

y

y resolviendo para la fracción de agua fluyente, obtendremos la siguiente
expresión para la fracción de agua fluyente:


141

Para el caso de flujo horizontal, con presión capilar insignificante, la expresión
se reduce a:

A continuación se muestran gráficos típicos para las permeabilidades relativas
y curva de flujo fraccional.


142

DERIVACIÓN DE LA ECUACIÓN DE BUCKLEY Y LEVERETT

Para un proceso de desplazamiento, donde el agua desplaza al petróleo, se
inicia la derivación con la aplicación de un balance de masa de agua, alrededor
de un volumen de control de longitud ∆X para el siguiente sistema por un
periodo de tiempo ∆t.

El balance de masa puede ser escrito como:

Que cuando ∆X tiende a cero, y ∆t tiende a cero, se reduce a la ecuación de la
continuidad:

Si consideramos que la compresibilidad del fluido es insignificante:

Además tenemos que:

Por lo tanto:

y si consideramos:


143

la ecuación puede ser re-escrita como:

Esta ecuación es conocida como la Ecuación de Buckley-Leverett, presentada
en el famoso artículo de Buckley y Leverett en 1942.

DERIVACIÓN DE LA ECUACIÓN DE AVANCE FRONTAL
Ya que:

Podemos escribir la siguiente expresión para el cambio de saturación:

En la solución de Buckley-Leverett, consideramos un frente de fluido de
saturación constante durante el desplazamiento del fluido, de tal manera que:

Sustituyendo en la ecuación de Buckley-Leverett tenemos:

Integrando con respecto al tiempo:


144

se genera una expresión que define la posición del frente del fluido:

que se le llama la ecuación de avance frontal.

LA SOLUCION DE BUCKLEY-LEVERETT
Un gráfico típico para la curva de flujo fraccional y su derivada se muestra a
continuación:

Usando la ecuación para localizar la posición del frente y graficando la
saturación de agua vs la distancia, se obtiene el gráfico siguiente:


145

Se puede observar que el gráfico de saturaciones muestra una situación física
imposible, ya que se tiene dos saturaciones para una misma posición (X). Sin
embargo, esto es el resultado de la discontinuidad en la función saturación, y
la solución a este problema por parte de Buckley-Leverett es modificar el
gráfico al definir una discontinuidad de saturación en Xf y balancear las áreas
(del frente y debajo de la curva).

El perfil de saturación final es:


146

La determinación de la saturación de agua en el frente se muestra
gráficamente como:

La saturación promedia detrás del frente, se determina por la intersección
entre la línea tangente y Fw = 1.


147

En el momento de la irrupción del frente, el factor de recuperación se
determina por:

El corte de agua o fracción de agua a la irrupción del frente es:

ya que:

y:

Podemos obtener:


148

ó, en unidades de superficie:

Para la determinación de la recuperación y corte de agua (fracción de agua o
porcentaje de agua) después de la irrupción del frente, podemos aplicar la
ecuación de avance frontal:

Para cualquier saturación de agua, Sw, podemos dibujar una tangente ala
curva de Fw, a fin de determinar las saturaciones y sus correspondientes flujo
fraccional.


149

Ya que las viscosidades y densidades se consideran constantes, la ecuación
de flujo fraccional depende solo de la saturación (y estas a la vez de las
permeabilidades relativas). La figura siguiente muestra la forma gráfica
generada por la ecuación de flujo fraccional.


150

Figura X- Curva de flujo fraccional.

fw= 1 Swbt 1-Sor

Swf

fw

Swc
fw= 0

Sw
Para flujo fraccional y sin considerar el gradiente de presión capilar, tenemos:

1
fw h =
k µ
1 + ro o
k rw µw

Se puede expresar la ecuación general, como:

⎧ ko 1.127 x 10 −3 A ∂Pc 4.8855 x 10−4 A∆γ sin θ ⎫
fw = fw h ⎨1 + − ⎬
⎩ µoqt ∂x µoqt ⎭

o

fw = fw h {1 + Nc + Ng }


151

Nc = Número capilar, adimensional
Ng = Número de gravedad, adimensional

EL EFECTO DEL RATIO DE MOVILIDAD SOBRE LA CURVA DE FLUJO
FRACCIONAL

La eficiencia de una inyección de agua depende del ratio de Movilidad del
fluido desplazante al fluido desplazado.

A mayor ratio, mejor eficiencia del desplazamiento, y la curva se mueve hacia
la derecha. La eficiencia en la recuperación final se obtiene si el ratio es tan
alto que la curva de flujo fraccional no tiene punto de inflexión (no tiene forma
de S). Curvas típicas de flujo fraccional para alta y baja viscosidad y por lo
tanto para alto y bajo ratio de movilidad, se muestran en la siguiente figura.
Adicionalmente. Se muestra una curva extrema para una perfecta eficiencia al
desplazamiento, tal como si fuera desplazamiento tipo pistón.


152

EFECTO DE LA GRAVEDAD SOBRE LA CURVA DE FLUJO FRACCIONAL

Para un sistema no horizontal, con inyección de agua en el fondo y producción
en el tope, las fuerzas de gravedad contribuirán a una mayor eficiencia de la
recuperación. Las curvas típicas para un flujo horizontal e inclinado se muestra
a continuación:

EFECTO DE LA PRESION CAPILAR SOBRE LA CURVA DE FLUJO
FRACCIONAL

De la expresión de flujo fraccional:

La presión capilar contribuirá a una mayor Fw, ya que:


153

y así a un menos eficiente desplazamiento. Sin embargo este argumento no es
del todo válido, ya que la solución de Buckley-Leverett asume un
desplazamiento del frente agua-petróleo discontinuo. Si la presión capilar es
incluida en el análisis, el frente no existirá, ya que la dispersión capilar
(imbibición) tomará lugar en el frente. Por lo tanto, en adición a la curva de flujo
fraccional menos favorable, la dispersión también conducirá a una temprana
irrupción del frente en el pozo de producción.

Para facilidad, adoptaremos la convención de Dake’s (1988), para el ángulo θ
que se mide desde la horizontal hasta la línea que indica la dirección del flujo.
En este contexto, el término de gravedad, definido como 0.4335 ∆γ sin θ ,
será positivo para desplazamiento en la dirección hacia arriba (up-dip), cuando
0<θ<π (Figura 4), y negativo para desplazamiento hacia abajo (down-dip),
cuando (π<θ<2π). Por lo tanto, la gravedad reduce o suprime el flujo de agua.

El efecto del gradiente de presión capilar puede ser comprendido,
expresándolo en términos de diferenciales.

∂Pc ⎛ ∂Pc ⎞ ⎛ ∂Sw ⎞
=⎜ ⎟⋅⎜ ⎟
∂x ⎝ ∂Sw ⎠ ⎝ ∂x ⎠

La figura 6 indica el primer término del gradiente capilar. La pendiente de la
curva de presión capilar vs saturación es siempre negativa. Esto significa que
cuando disminuye la saturación de agua, la presión capilar debe incrementar.


154

Figura 6 – Presión capilar como función de la saturación de agua.

Pc

-dPc

+ dSw

Swc 1-Sor

Sw

La segunda parte del gradiente capilar se muestra en la figura 7, donde
también se observa que las pendientes son siempre negativas. Por lo tanto
∂Pc / ∂x es siempre positiva y consecuentemente su efecto será
incrementar el flujo fraccional de agua.

Figura 7 – Distribución de la saturación de agua como una función de la
distancia durante el desplazamiento.

Sw 1-Sor
Saturation profile at a given time

-dSw Swf
+ dx
front
Swc

x


155

El gradiente capilar incrementará el flujo fraccional de agua, pero normalmente
este es ignorado. Debido a que ∂Sw / ∂x no es conocido, su cálculo
involucra un proceso iterativo.

El esquema de distribución de la saturación de agua mostrada en la figura 7,
corresponde a una situación después que se ha inyectado un volumen
determinado de agua. El diagrama muestra que existe un frente definido
(denominado shock front), en este punto existe una discontinuidad en la
saturación de agua que incrementa bruscamente desde Swc a Swf , la
saturación del frente de inundación.

Detrás del frente existe un incremento gradual de la saturación desde Swf
hasta el valor máximo de (1 − Sor ) .
La ecuación de flujo fraccional es usada para calcular la fracción de agua en el
flujo total, en cualquier punto del reservorio, asumiendo que la saturación de
agua en ese punto es conocida. Para determinar cuando un plano de
saturación de agua alcanza un punto particular en el sistema lineal, se requiere
del uso de la teoría de desplazamiento de Buckley-Leverett.

PROCEDIMIENTO PARA EVALUAR LA ECUACIÓN DE BUCKLEY-
LEVERETT

Construir la ecuación de flujo fraccional, para valores de k ro , k rw como una
función de Sw , µ o , µw , ρo , ρw ...etc.

Elegir el tiempo t = t 1 ; W i = qt ⋅ t 1 .

Cubrir un rango de Sw desde Swc hasta (1 − Sor ) con ∆Sw = 0 .1
dfw
Evaluar para cada Sw y evaluar la ecuación (30)
dSw
Una figura típica a ser obtenida utilizando este procedimiento se muestra en la
figura 5, que se repite a continuación:


156

Figura 5 – Curva de flujo fraccional típica, como una función de la
saturación de agua.

fw= 1 Swbt 1-Sor

Swf

fw

Swc
fw= 0

Sw

Sin embargo, existe una dificultad matemática cuando se usa esta técnica. Ya
que frecuentemente existe un punto de inflexión en la curva de flujo fraccional,
el gráfico de la derivada mostrará un máximo tal como se observa en la figura
10.

Figura 10 – Derivada de la Saturación de una curva de flujo fraccional

df w
vSW α
dS w

Swc 1-Sor

Sw


157

Si graficamos las derivadas para graficar la distribución de saturación a un
tiempo en particular, el resultado será la línea roja en la figura 11. Este perfil es
físicamente imposible, ya que indicaría que 03 saturaciones de agua podrían
co-existir en un punto dado en el reservorio.

Figura 11 – Distribución de la saturación para un tiempo particular,
usando la ecuación de Buckley-Leverett.

1-Sor
fixed time

Swf

Sw A

B
Swc

x

Lo que ocurre es que los valores de saturación que corresponden a la
velocidad máxima tenderán inicialmente a alcanzar a los de baja saturación
resultando en la formación de una discontinuidad en la saturación o un shock
front. Debido a esta discontinuidad, es que la teoría de B-L no puede describir
la situación del frente, debido a que la teoria de B-L asumió que la saturación
fue continua y diferenciable. Pero, la teoría de B-L, puede ser aplicada detrás
del frente, en el rango de saturación:.

Swf < Sw < 1 − Sor
Para graficar el perfil correcto de saturación y determinar la localización
vertical, se separa las 02 áreas sombreadas denominadas A y B, mostradas en
la figura 11, de tal manera que sus áreas sean iguales. La linea que las divide
representa la saturación del frente (shock front) Swf .

Determinación de la Saturación promedia de agua detrás del frente
(Shock Front)

En la figura 12 se muestra un perfil de saturación antes de la irrupción del
frente en el pozo de producción (breakthrough). El agua ha sido inyectada
durante un cierto tiempo y en la posición x 1 la saturación de agua del plano


158

correspondiente, alcanza su máximo valor, mientras que en x 2 la saturación
de agua es la saturación del frente (shock front). Es necesario conocer la
localización y el valor de esta saturación y la saturación promedia de agua
detrás del frente.

Figura 12 – Perfil de saturación antes de la irrupción del frente
(breakthrough) indicando la saturación del frente (shock front).

Saturation profile
1-Sor at t < tbt

Sw
Sw
Swf
Swc

0 x1 x x2 L

Aplicando un balance de materiales para el agua inyectada, tenemos:

Wi = {volume swept } ×
× {average water saturation - connate water saturation}

⎛ W ⎞ dfw
Wi = Aφ x 2 (S w )
− Swc = Aφ ⎜ i ⎟
⎝ Aφ ⎠ dSw
× (S
w − Swc )
Swf

Se ha reemplazado x 2 usando B-L. Cancelando y ordenando términos:

1
Sw = Swc +
dfw
dSw Swf

Se puede obtener otra expresión para la saturación promedia detrás del frente
si se integra el perfil de saturación.


159

Usando el teorema del valor medio, la saturación promedio de agua desde el
inyector ( x = 0 ) hasta el frente ( x = x 2 ) se obtiene por:

x1 x2
∫ Sw dx + ∫ Sw dx
x2

Sw =
∫o
Sw dx
=
o x1
x2
∫o
dx x2

(1 − Sor ) x1 + ∫x
x2
Sw dx
Sw = 1

x2

Reemplazando x1, x2 y dx usando B-L evaluada a la saturación
correspondiente,

Wi ⎛ dfw ⎞
[B − L] x Sw = ⎜ ⎟
Aφ ⎝ dSw ⎠ S
w

⎛ dfw ⎞ ⎡ df ⎤
(1 − Sor ) ⎜
Swf
⎟ +∫ Sw d ⎢ w ⎥
1− Sor
⎝ dSw ⎠ 1−Sor ⎣ dSw ⎦
Sw =
⎛ dfw ⎞
⎜ dS ⎟
⎝ w ⎠ Swf

( ) por partes,
Swf
Evaluando ∫ 1− Sor

Swf
Swf ⎛ df ⎞ ⎡ df ⎤ Swf df
∫1−Sor ⎝ dSw ⎠ ⎣ dSw ⎦
Sw d ⎜ w ⎟ = ⎢Sw w ⎥ −∫
1− Sor
dSw ⋅ w
dSw
1− Sor

Swf
⎡ df ⎤ Swf
= ⎢Sw w ⎥ − fw 1− Sor
⎣ dSw ⎦ 1−Sor

Swf
⎡ df ⎤
= ⎢Sw w ⎥ − fwf + 1
⎣ dSw ⎦ 1−S
or


160

Sustituyendo la ecuación (40) en la ecuación (37) y simplificando,

⎛ dfw ⎞ ⎛ dfw ⎞
(1 − Sor ) ⎜ ⎟ + Swf ⎜ ⎟
⎝ dSw ⎠ 1− Sor ⎝ dSw ⎠ Swf
Sw = .
⎛ dfw ⎞
⎜ ⎟
⎝ dSw ⎠ Swf
⎛ df ⎞
− ( 1 − Sor ) ⎜ w ⎟ − fwf + 1
⎝ dSw ⎠ 1− Sor
.
⎛ dfw ⎞
⎜ ⎟
⎝ dSw ⎠ Swf

1 − fwf
Sw = Swf +
⎛ dfw ⎞
⎜ dS ⎟
⎝ w ⎠ Swf

Comparando la ecuación (33) y ecuación (42)

1
Sw = Swc +
⎛ dfw ⎞
⎜ dS ⎟
⎝ w ⎠Swf

1 − fwf
Sw = Swf +
⎛ dfw ⎞
⎜ dS ⎟
⎝ w ⎠ Swf

Se obtiene,

1 1 − fwf
Swc + = Swf +
⎛ dfw ⎞ ⎛ dfw ⎞
⎜ dS ⎟ ⎜ dS ⎟
⎝ w ⎠ Swf ⎝ w ⎠ Swf

⎛ dfw ⎞ 1 − fwf 1− 0
⎜ ⎟ = =
⎝ dSw ⎠ Swf Sw − Swf Sw − Swc


161

La tangente a la curva de flujo fraccional trazada desde el punto
Sw = Swc ,fw = 0 , debe tener un punto de tangencia con sus coordenadas
en el punto fw = fw Swf
= fwf ; y la extrapolación de esta tangente debe

interceptar la linea fw = 1 en el punto Sw = Sw ; fw = 1.

Para obtener las derivadas, se requiere graficar fw vs Sw
La figura 13, indica el punto de convergencia de las 02 pendientes en el frente
(shock front).

Figura 13 – Pendiente de la curva de flujo fraccional.

Swc Swf Sw
fw = 1

1 − fwf
fw = fwf
Sw − Swf
1− 0

fw = 0
Sw − Swc


162

APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE FLUJO FRACCIONAL EN LOS
CÁLCULOS DE RECUPERACIÓN DE PETRÓLEO

Existen diferentes métodos para calcular la recuperación de petróleo
dependiendo del tipo de reservorio, ya sea homogéneo o estratificado
(layered).

Para Reservorios Homogeneos:
Método de Buckley-Leverett

Para Reservorios Estratificados (Layered o Stratified):
Método de Stiles
Método de Dykstra-Parsons
Métodod de Jonson

RESERVORIOS HOMOGENEOS – MÉTODO DE BUCKLEY-
LEVERETT

Se puede obtener fácilmente el perfil de saturaciones y la recuperación de
petróleo es igual al agua inyectada (01 barril de agua inyectada es igual a 01
barril de petroleo desplazado o producido – suposición de estado estable). Se
requiere por lo tanto, la evaluación del petróleo recuperado después de la
irrupción del frente (breakthrough).

Después de la irrupción en el pozo productor x 2 =L .

Si hacemos W = Wi = número adimensional de volúmenes porosos de agua
LAφ
id

inyectada

1 PV = LAφ .

La figura 14, muestra la distribución de saturación de agua para 02 tiempos
diferentes, siendo uno para la irrupción (breakthrough) y el otro para un tiempo
posterior en una inyección lineal.


163

Figura 14 – Distribución de la saturación de agua para: (1) en la irrupción
y (2) posterior a la irrupción, en una inyección lineal.

Saturation profile
at t > tb
1-Sor

Sw
Swbt Swe
Sw
Swbt=Swf
Saturation profile at
Swc breakthrough, tb

0 L
x

En el preciso instante de la irrupción, Swbt = saturación de agua en la irrupción
( breakthrough) = Swf el frente alcanza al pozo productor y la producción de
agua del reservorio incrementa repentinamente desde cero hasta fwbt . Esto
confirma la existencia del shock.

qid = qi LAφ

La producción adimensional de petróleo en la irrupción (breakthrough):

(
N pdbt = Wid bt = qid ⋅ t bt = Sw bt − Swc = ) ⎛ dfw ⎞
1

⎜ dS ⎟
⎝ w ⎠ Swbt

Usando la ecuación (32)

Wid bt
t bt =
qid

Después de la irrupción (breakthrough), se producirá conjuntamente agua y
petróleo.


164

Wi 1
= = Wid
LAφ ⎛ dfw ⎞
⎜ dS ⎟
⎝ w ⎠ Swe

En este momento, se evaluará la recuperación de petróleo,

1
Sw = Swe + (1 − fwe )
⎛ dfw ⎞
⎜ dS ⎟
⎝ w ⎠Swe

o

Sw = Swe + ( 1 − fwe ) ⋅ Wid

Si restamos Swc de ambos lados de la ecuación:

N pd = Sw − Swc = Swe − Swc + (1 − fwe )Wid

Ejercicio # 1 – Flujo Fraccional
En un reservorio horizontal, con patrón de inyección “direct line drive” se esta
inyectando agua para desplazar petróleo en uno de los extremos del
reservorio, bajo condiciones de flujo difuso. Las funciones de permeabilidad
relativa para el agua y el petróleo se listan en la tabla N° 1 siguiente:

Tabla N° 1 – Datos de saturación y permeabilidad relativa, ejercicio # 1 del
libro de Dake.

Sw k rw k ro Sw k rw k ro
0.20 0.000 0.800 0.50 0.075 0.163
0.25 0.002 0.610 0.55 0.100 0.120
0.30 0.009 0.470 0.60 0.132 0.081
0.35 0.020 0.370 0.65 0.170 0.050
0.40 0.033 0.285 0.70 0.208 0.027
0.45 0.051 0.220 0.75 0.251 0.010
0.80 0.300 0.000

La presión es mantenida en su valor inicial, por lo que,


165

Bo = 1.3 rb/stb and Bw = 1.0 rb/stb

Compare los valores del corte de agua de producción (a condiciones de
superficie) y la recuperación de petróleo hasta la irrupción del frente para las
siguientes combinaciones de fluido.

Tabla 2. - Casos para analizar los diferentes resultados de flujo
fraccional, ejercicio #1.

Viscosidad Viscosidad
Caso
del petróleo del agua
1 50 cp 0.5 cp
2 5 cp 0.5 cp
3 0.4 cp 1.0 cp

Asuma que los datos de permeabilidad relativa y PVT son iguales para los 03
casos.

Solución al ejercicio #1 – Flujo Fraccional

1) Para flujo horizontal, el flujo fraccional en el reservorio es:
1
fw =
µw k ro
1+ ⋅
k rw µ o

y el corte de agua de producción en superficie es, fws ,

qw Bw
fws =
qw Bw + qo Bo

las tasas son expresadas en rb/d , y Bw ,Bo toman en cuenta el efecto de
compresibilidad B [ = ] stb/rb

Combinando las 02 ecuaciones anteriores, se logra una expresión para el corte
de agua en superficie:

1
fws =
B ⎛ 1 ⎞
1 + w ⎜ − 1⎟
Bo ⎝ fw ⎠


166

El flujo fraccional en el reservorio para los 03 casos puede ser calculado como
sigue:

µw
Cas0 1 es = .01
µo
µw
Caso 2 es = .1
µo
µw
Caso 3 es = 2 .5
µo

Sw k rw k ro k ro k rw Flujo fraccional ( fw )
Caso 1 Caso 2 Caso 3
0.20 0.000 0.800 ∞ 0.000 0.000 0.000
0.25 0.002 0.610 305.000 0.247 0.032 0.001
0.30 0.009 0.470 52.222 0.657 0.161 0.008
0.35 0.020 0.370 18.500 0.844 0.354 0.021
0.40 0.033 0.285 8.636 0.921 0.537 0.044
0.45 0.051 0.220 4.314 0.959 0.699 0.085
0.50 0.075 0.163 2.173 0.979 0.821 0.155
0.55 0.100 0.120 1.200 0.988 0.893 0.250
0.60 0.132 0.081 0.614 0.994 0.942 0.394
0.65 0.170 0.050 0.294 0.997 0.971 0.576
0.70 0.208 0.027 0.130 0.999 0.987 0.755
0.75 0.251 0.010 0.040 0.999 0.996 0.909
0.80 0.300 0.000 0.000 1.000 1.000 1.000

Los gráficos de flujo fraccional para los 03 casos son mostrados en la figura 15
y los resultados obtenidos aplicando la técnica gráfica de Welge's se muestra a
continuación:


167

Sw bt fw bt fwsbt Sw bt N pdbt
Caso
(reservorio) (superficie) (PV)
1 0.28 0.55 0.61 0.34 0.14
2 0.45 0.70 0.75 0.55 0.35
3 0.80 1.00 1.00 0.80 0.60

4.- Recuperación de petróleo y saturación al momento de la irrupción

Figura 15 – Flujo fraccional para diferentes casos.

1

0.9

0.8
Case 3
0.7 µw/ µo =2.5

0.6 Case 2
µw/ µo =0.1
fw [rb/rb]

0.5

0.4

0.3
Case 1
µw/ µo=0.01
0.2

0.1

0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Sw

Un parámetro importante para determinar la efectividad de una inyección de
agua es el end point mobility ratio definida como:

′
k rw µw
M=
′
k ro µ o

Para un flujo horizontal, estable, ocurrirá el desplazamiento tipo pistón para
M ≤ 1. Un parámetro mas significante para caracterizar la estabilidad del
desplazamiento de Buckley-Leverett es el shock front mobility ratio, M s ,
definido por


168

k ro ( Swf ) µo + k rw ( Swf ) µw
Ms =
k ro µo

donde las permeabilidades relativas en el numerador son evaluadas para la
saturación del shock front, Swf . Hagoort ha demostrado usando un argumento
teorico respaldado por un experimento, que el desplazamiento de Buckley-
Leverett es considerado como estable para la condición M s < 1. Si esta
condición no es satisfecha, existirá una severa canalización viscosa del agua a
través del petróleo y ocurrirá irrupción aún antes que la estimada por la técnica
de Welge. Valores de M y M s para los tres casos definidos en el ejercicio,
son mostrados en la tabla siguiente.

Valores de las permeabilidades relativas en el shock front calculadas
usando datos del ejercicio #1 (Flujo fraccional).

µo
Caso No. Swf k rw ( Swf ) k ro ( Swf ) Ms M
µw
1 100 0.28 0.006 0.520 1.40 37.50
2 10 0.45 0.051 0.220 0.91 3.75
3 0.4 0.80 0.300 0.000 0.15 0.15

Usando los datos previos, se puede analizar lo siguiente:

Caso 1 –Este desplazamiento es inestable debido al alto valor del ratio
oil/water viscosity. Esto resulta en el by-passing del petróleo y
consecuentemente la irrupción prematura del agua. La recuperación de
petróleo es pequeña y serán necesarios inyectar muchos volúmenes porosos
de agua para recuperar todo el petróleo movible. Bajo estas condiciones la
recuperación de petróleo por inyección de agua es difícil y se debería
considerar la aplicación de métodos de recuperación termal a fin de reducir la
ratio de viscosidad.

Caso 2 – El ratio de viscosidad oil/water es una orden de magnitud que en el
caso 1, lo cual genera un desplazamiento estable y favorable ( Ms < 1) . Este
caso será analizado con mayor detalle mas adelante, en el cual la
recuperación de petróleo después del breakthrough es determinada como una
función del agua inyectada acumulada y el tiempo.


169

Caso 3 – Para el desplazamiento de petróleo de muy baja viscosidad
( µo = .4 cp ) tanto la ratio de movilidad al end point y al shock front son
menores que la unidad y ocurre desplazamiento tipo pistón. La tangente a la
curva de flujo fraccional, de Sw = Swc , fw = 0 , se une a la curva en

Sw bt = 1 − Sor , fw bt = 1 y por lo tanto Sw bt = S w bt = Sor . La

recuperación total al breakthrough es S w bt − Swc = 1 − Sor − Swc , que es
el volumen total de petróleo movible.

Ejercicio # 2 – Predicción de la Recuperación de Petróleo.- Se inyecta agua a
una tasa constante de 1000 b/d/pozo en un patron direct line drive en un
reservorio con las siguientes propiedades:

φ = 0.18
Swc = 0.20
Sor = 0.20
µ o = 5 cp
µw = 0.5 cp

Las permeabilidades relativas para el agua y petróleo se presentan en la Tabla
No 2y la geometría del patrón de flujo es el siguiente:

Angulo de Buzamiento = 0°
Espesor del reservorio = 40 ft
Distancia entre pozos inyectores = 625 ft
Distancia entre inyectores y productores = 2000 ft


170

Figura 16 – Esquema de un direct line drive.

L i=625 ft
Lp=2000 ft

Asuma que prevalecen condiciones de flujo difuso y que la inyección inicia
simultaneamente con la producción de petróleo.

1) Determine el tiempo cuando ocurre breakthrough.
2) Determine la producción acumulada de petróleo como una función del agua
inyectada acumulada y del tiempo.

Solución al ejercicio # 2
Las permeabilidades relativas y viscosidades para el petróleo y agua son
identicas que para el Caso 2 del ejercicio # 1(Flujo Fraccional). Por lo tanto, la
curva de flujo fraccional es la misma que en la Figura 15, donde el
breakthrough ocurre,

Sw bt = 0.45
fw bt = 0.70
y Wid bt = N pdbt = 0.35

Calculos del tiempo de Breakthrough

Para una tasa de inyección constante el tiempo esta relacionado al influjo
adimensional por la expresión siguiente:

Wid × ( one pore volume ) ( cu. ft )
t=
qid × 5.615 × 365 ( cu. ft/year )


171

Wid × 625 × 40 × 2000 × .18
t= ( years )
1000 × 5.615 × 365

t = 4.39 Wid ( years )

El breakthrough ocurrirá a un tiempo

t bt = 4.39 × 0.35 = 1.54 years

2) Recuperación de petróleo

La recuperación de petróleo después del breakthrough, espresado en
volúmenes porosos, puede ser calculado usando

N pd = ( Swe − Swc ) + (1 − fwe )Wid

donde

1
Wid =
dfw
dSw Swe

Si hacemos que Swe , la saturación de agua en la zona del productor, se eleve
en incrementos de 5% ( for S we ≥ Sw bt ) los valores correspondientes a
Wid son calculados en la Tabla 6, usando datos de la tabla 4 para el Caso 2.


172

Tabla 6- Resultados para el ejercicio #2.

Swe fwe ∆Swe ∆fwe ∆fwe ∆Swe Swe
∗
Wid
0.45 (bt) 0.699
0.05 0.122 2.440 0.475 0.410
0.50 0.821
0.05 0.072 1.440 0.525 0.694
0.55 0.893
0.05 0.049 0.980 0.575 1.020
0.60 0.942
0.05 0.029 0.580 0.625 1.724
0.65 0.971
0.05 0.016 0.320 0.675 3.125
0.70 0.987
0.05 0.009 0.180 0.725 5.556
0.75 0.996
0.05 0.004 0.080 0.775 12.500
0.80 1.000

En esta tabla, los valores de ∆fwe ∆Swe han sido calculados (no
∗
gráficamente). Los valores de Swe en la Columna 6 son los puntos medios de
cada incremento de saturación, y se han calculado valores discretos de Wid
usando la ecuación (60). La recuperación de petróleo como una función de
Wid y el tiempo, pueden ser determinados usando la ecuación (59) como se
observa en la Tabla 7.

Tabla 7 – Recuperación de petróleo como función del tiempo y agua
inyectada

∗ ∗ ∗ ∗
Wid N pd
Swe Swe − Swc fwe 1 − fwe Time
(yrs)
(PV) (PV)
0.475 0.275 0.765 0.235 0.410 0.371 1.80
0.525 0.325 0.870 0.130 0.694 0.415 3.05
0.575 0.375 0.925 0.075 1.020 0.452 4.48
0.625 0.425 0.962 0.038 1.724 0.491 7.57
0.675 0.475 0.982 0.018 3.125 0.531 13.72
0.725 0.525 0.993 0.007 5.556 0.564 24.39


173

∗
Los valores de fwe en la Columna 3 de la Tabla 7 han sido obtenidas de la
∗
figura 15 (Caso 2), para el valor correspondiente de Swe . La recuperación
de petróleo en volumenes porosos es graficado como una función de Wid y
tiempo en la figura 18. La máxima recuperación possible es un volumen de
petróleo movible, i.e., (1 − Swc − Sor ) = 0.6 PV .

Figura 18 – Recuperación adimensional de petróleo (PV) como una
función adimensional del volumen poroso inyectado (PV), y tiempo.
0.6

0.5

0.4
Npd (PV)

0.3

qi=1,000 rb/d
0.2

0.1

0
0 1 2 3 4 5 6 Wid(PV)

time (years)
5 5 10 15 20 25

En el caso general, en la cual el desplazamiento toma lugar a una presión fija y
sobre la presión del punto de burbuja, se tiene

oil production (rb) N p Bo
N pd = = (1 − Swc )
one pore volume (rb) N Boi

y la expression convencional

Np Boi N pd (stb.oil)
=
N Bo ( 1 − Swc ) STOIIP (stb)

en la última expresión, Bo = Boi , ya que el desplazamiento ocurre a la
presión inicial del reservorio, N p N = N pd (1 − Swc ) .
Cuando la ratio de movilidad es desfavorable (mayor que 10) el método de
Buckley-Leverett no es applicable y se puede usar el método de digitamiento
viscoso.


174

EJEMPLO

Un reservorio sometido a impulsión por agua es de tal dimensión y forma que
la invasión del agua a la primera línea de productores puede ser tratada como
flujo lineal. El empuje de agua es suficientemente activo que el flujo de fluidos
esta en estado estable. La tasa de producción de fluidos del reservorio es en
promedio 2,830 bl-res/día. Calcular los valores de flujo fraccional para este
reservorio a las saturaciones listadas mas abajo. Los datos del reservorio son
los siguientes:

Buzamiento promedio de la formación : 15.5 °
Ancho promedio del reservorio : 8,000 pies
Espesor promedio del reservorio : 30 pies
Area de sección transversal promedio : 240,000 pies2
Permeabilidad : 108 md.
Agua connata (irreducible) : 16 %
Gravedad específica del petróleo en el reservorio : 1.01
Viscosidad del petróleo : 1.51 cp.
Gravedad específica del agua del reservorio : 1.05
Viscosidad del agua : 0.83.

Datos de Permeabilidad Relativa

Sw Krw Kro
0.79 0.63 0.00 (Crítica)
0.75 0.54 0.02
0.65 0.37 0.09
0.55 0.23 0.23
0.45 0.13 0.44
0.35 0.06 0.73
0.25 0.02 0.94
0.16 0.00(Crítica) 0.98


175

Solución

⎛ K ⋅ A ⎞⎛ ∂Pc ⎞
⎜ µ ⋅ q ⎟⎜ ∂x + 0.4335 ⋅ ∆γ ⋅ Senθ ⎟
1 − 1.127 ⋅ ⎜ o ⎟
fw = ⎝ o t ⎠⎝ ⎠
⎛ µ ⎞⎛ K ⎞
1 + ⎜ w ⎟⎜ ro ⎟
⎜ K ⎟⎜ µ ⎟
⎝ rw ⎠⎝ o ⎠

Si

∂Pc
=0
∂x

⎛ K ⋅ A⎞
⎜ µ ⋅ q ⎟(∆γ ⋅ Senθ )
1 − 0.488 ⋅ ⎜ o ⎟
fw = ⎝ o t⎠
⎛ µ ⎞⎛ K ⎞
1 + ⎜ w ⎟⎜ ro ⎟
⎜ K ⎟⎜ µ ⎟
⎝ rw ⎠⎝ o ⎠

⎛ 0.488 ⋅ K ⋅ K ro ⋅ A ⋅ ∆γ ⋅ Senθ ⎞
1− ⎜
⎜ ⎟
⎟
⎝ µ o ⋅ qt ⎠
fw =
⎛ µ ⎞⎛ K ⎞
1 + ⎜ w ⎟⎜ ro ⎟
⎜ K ⎟⎜ µ ⎟
⎝ rw ⎠⎝ o ⎠

⎛ 0.488 ⋅ 0.108 ⋅ K ro ⋅ 240,000 ⋅ 0.04 ⋅ Sen15.5 ⎞
1− ⎜ ⎟
⎝ 1.51 ⋅ 2,830 ⎠
fw =
⎛ K ⎞⎛ 0.83 ⎞
1 + ⎜ ro ⎟⎜
⎜ K ⎟ 1.51 ⎟
⎝ rw ⎠⎝ ⎠


176

1 − 0.0316 ⋅ K ro
fw =
⎛K ⎞
1 + 0.5497⎜ ro
⎜K ⎟
⎟
⎝ rw ⎠

Sw Kro Krw (Kro/Krw) Fw
0.79 0.00 0.63 0.000 1.000
0.75 0.02 0.54 0.037 0.980
0.65 0.09 0.37 0.243 0.880
0.55 0.23 0.23 1.000 0.641
0.45 0.44 0.13 3.385 0.345
0.35 0.73 0.06 12.167 0.127
0.25 0.94 0.02 47.000 0.036
0.16 0.98 0.00 ------- 0.000


177

DESPLAZAMIENTO A TASA DE INYECCIÓN CONSTANTE

(.) Petróleo desplazado

Mientras el agua no llegue al final del sistema, el petróleo será
producido a la misma tasa a la que el agua es inyectada, ya que el
sistema es incompresible y se asume que el agua intersticial es inmóvil.

Cuando ocurre la irrupción del frente, existe un gradiente de saturación
de agua desde el ingreso hasta el final del sistema. El volumen de agua
en el sistema entre x=x1 y x=x2 puede ser obtenido de la integración de
la ec. siguiente :

Vw = Sw A φ dx (1)

El volumen de petróleo desplazado de esta región es:

Vo = Vw - A φ (x2-x1) Swi (2)

se desarrollará la solución correspondiente:

Si consideramos Sw como la saturación de agua promedio
(volumétrica), para la región x1 < x < x2, tendremos:

Sw A φ dx
Sw = --------------- (3)
A φ dx

para valores constantes de φ y A, la ec. (3) se reduce a:

Sw dx
Sw = -------------- (4)
x2 - x1

además se puede hacer :

d(x Sw) = Sw dx + x dSw (5)

reemplazando en la ec. (4)

1


178

Sw = --------- d(x Sw) - x dSw (6)
x2 - x1

1 1
Sw = -------- d(x Sw) - ----------- x dSw (7)
x2 - x1 x2 - x1

x2 Sw2 - x1 Sw1 1
Sw = ------------------------ - ----------- x dSw (8)
x2 - x1 x2 - x1

ahora evaluando la integral de ec. anterior y usando:

qt fw
XSw = ----- -----
φA Sw

tendremos :
qt fw
x dSw = ----- --------- dSw (9)
φA Sw

qt fw
x dSw = ----- --------- dSw (10)
φA Sw

qt
x dSw = ----- dfw (11)
φA

por lo tanto:

qt
x dSw = ----- (fw2 - fw1) (12)
φA


179

finalmente, la saturación promedia de agua para el intervalo x1 < x < x2
es dado por

x2 Sw2 - x1 Sw1 qt (fw2 - fw1)
Sw = ------------------------ - ------- --------------- (13)
x2 - x1 φA (x2 - x1)

Si consideramos todo el sistema (x1 = 0 y x2 = L), entonces la
saturación promedio del núcleo será:

qt
Sw = Sw2 - ------- (fw2 - fw1) (14)
φAL

Si además consideramos que a x = 0, fw1 = 1.0, tendremos:

qt
Sw = Sw2 + --------- (1 - fw2) (15)
AφL

Si definimos a Wi como el volumen total de agua inyectada (q t) y Qi
como los volúmenes porosos de agua inyectada, tendremos:

Qi = Wi / A φ L (16)

y para inyección constante:

Q=qt/AφL (17)

entonces, la ec. (15) se convierte:

Sw = Sw2 + Qi (1 - fw2) (18)

debido a que la saturación de hidrocarburo desplazado es Sw - Swi,
entonces, el petróleo acumulado desplazado, Np, será:

Np = Vp (Sw - Swi) (19)

donde el FVF fue asumido igual a 1.0.

Si consideramos que al final del sistema (x = L) la saturación de agua es
Sw2 una vez que el frente llegó, entonces tendremos:


180

qt fw
XSw2 = L = ------ ------
φA Sw

1
Q1 = ------- (20)
fw
----
Sw

y si consideramos la ec. (18) tendremos:

(1 - fw2)
Sw = Sw2 + -------------- (21)
f'Sw2
donde :
fw
f'Sw2 = ----- (22)
Sw

En el gráfico anterior, se muestra una tangente a la curva de flujo
fraccional a una saturación Sw2 > Swf. La tangente intercepta a fw = 1.0
en Se. Entonces la pendiente del gráfico es:

fw -1 - fw
------ = -------------- (23)
Sw Se - Sw2

si acomodamos la ec.(21) tendremos:

fw 1 - fw2
----- = -------------- (24)
Sw Sw - Sw2

La comparación de las ecuaciones (23) y (24) muestran que Se = Sw y
la saturación promedia después de la irrupción del frente puede
obtenerse de la intersección de la tangente a la curva con fw = 1.0.


181

(.) Tasa de producción

Se tiene:

fw2 q
qw2 = -------- (25)
Bw

fo2 q
qo2 = -------- (26)
Bo

(1 - fw2) q
ó qo2 = ------------- (27)
Bo

(.) WOR

Es una medida de la eficiencia del desplazamiento. En operaciones de
producción representa el volumen de agua que debe manipularse para
producir una unidad de volumen de petróleo. Se define el WOR para un
sistema lineal :

fw2 Bo
WOR = ----- ---- (28)
fo2 Bw

(.) Tiempo requerido para desplazamiento

Debido a que la tasa de inyección no varia con el tiempo, el valor del
tiempo correspondiente a la inyección de Qi volúmenes porosos es
obtenido de:

Qi
t = ---------- (29)
q/AφL


182

EJEMPLO

En un reservorio tal como se muestra en la Figura, se tienen las siguientes
propiedades de roca y fluido:

φ = 0.18
Swc = 0.20
Sor = 0.20
µo = 5 cp.
µw = 0.5 cp
qwi = 1,000 BWPD
Bo = 1.3 bl/STB
Bw = 1.0 bl/STB

Sw Krw Kro _
0.20 0.000 0.800
0.25 0.002 0.610
0.30 0.009 0.470
0.35 0.020 0.370
0.40 0.033 0.285
0.45 0.051 0.220
0.50 0.075 0.163
0.55 0.100 0.120
0.60 0.132 0.081
0.65 0.170 0.050
0.70 0.208 0.027
0.75 0.251 0.010
0.80 0.300 0.000

Asuma condiciones de flujo difuso y que la inyección inicia simultáneamente
con la producción:

1.- Calcule el flujo fraccional en el reservorio y en superficie, la
saturación promedia de agua detrás del frente y el petróleo
recuperado hasta el momento de la ruptura del frente.


183

2.- Determinar el tiempo al cual ocurre la ruptura del frente.

3.- Efectúe el pronóstico de inyección y producción después de la
ruptura del frente.

4.- Estime el factor de recuperación, cuando se tenga un flujo
fraccional en el reservorio de 0.925.

Solución

1.- Para flujo horizontal, el flujo fraccional en el reservorio es:

Sw fw
0.20 0
0.25 0.032
0.30 0.161
0.35 0.351
0.40 0.537
0.45 0.699
0.50 0.821
0.55 0.893
0.60 0.942
0.65 0.971
0.70 0.987
0.75 0.996
0.80 1.000

En el momento de la ruptura del frente tenemos:

- Flujo fraccional en el reservorio: 0.70 (a Sw = 0.45).

- Flujo fraccional en superficie: 0.75

- Saturación promedia detrás del frente: 0.55

- Petróleo recuperado:

El cambio de saturación será:


184

Npd = Sw - Swc = 0.55-0.20 = 0.35

El cambio de aturación representa también al petróleo desplazado,

En términos de petróleo significa:

A ⋅ h ⋅ L ⋅ φ ⋅ So 625 x 40 x 2 ,000 x 0 .18 x 0 .35
N pd = = = 560 ,997 ⋅ Bls
5 .615 5 .615

2.- Como los fluidos son incompresibles y la tasa de inyección es
constante, se tiene:

Wi = Npd agua inyectada = petróleo producido

Wi = qwi t

t = Wi / qwi = 560,997.3 bl / 1000 bpd 365 = 1.54 años
(la ruptura del frente ocurrirá a 1.54 años)

3.- El pronóstico se tiene en la siguiente tabla:

Sw fw ∆Sw ∆fw ∆fw/∆Sw Swavg Wi=1/(5) Np t
0.45 0.699
0.05 0.122 2.440 0.475 0.410 0.371 1.80
0.50 0.821
0.05 0.072 1.440 0.525 0.694 0.415 3.05
0.55 0.893
0.05 0.049 0.980 0.575 1.020 0.452 4.48
0.60 0.942
0.05 0.029 0.580 0.625 1.724 0.491 7.57
0.65 0.971
0.05 0.016 0.320 0.675 3.125 0.531 13.72
0.70 0.987
0.05 0.009 0.180 0.725 5.556 0.564 24.39
0.75 0.996
0.05 0.004 0.080 0.775 12.500
0.80 0.100


185

5.- Los valores han sido calculados en vez de determinados
gráficamente como se sugiere en los textos:

6.- Los valores de Sw son los puntos medios.

7.- Los valores Wi han sido calculados por:

Wi = 1 / (dfw/dsw)
debido a:

x = (Wi / Aφ) (dfw/dsw) Wi = (xAφ) / (dfw/dsw)

8.- La recuperación de petróleo después de la irrupción del frente se
puede calcular usando:
Npd = ( Sw - Swc) + (1 - fw) Wi

donde fw ha sido obtenido del gráfico (fw vs Sw) para cada valor
correspondiente a Sw.

9.- t = Wi/ qi

La máxima recuperación, es (1-Swc-Sor) = 0.6 PV.

4.- El factor de recuperación cuando se tenga un flujo fraccional en el
reservorio de 0.925, será de 0.452 o 45.2%.

EJEMPLO

Se piensa inyectar agua en un reservorio de 300 pies de ancho, 20 pies de
espesor y 1,000 pies de longitud. El reservorio es horizontal y tiene una
porosidad de 0.15 y una saturación de agua inicial de 0.363, la cual es
considerada inmóvil. Se propone perforar una fila de pozos inyectores en un
extremo del reservorio e inundar con agua a una tasa de 338 BPD. La
viscosidad del petróleo y el agua es de 2.0 y 1.0 cp. respectivamente. Los
datos de permeabilidad relativa corresponden a desplazamiento de petróleo
por agua y pueden ser representados por las ecuaciones siguientes:


186

Kro = (1 - Sw*)2.56

Krw = 0.78 Sw*3.72

donde

(Sw - Swi)
Sw* = ---------------------
(1 - Sor - Swi)

La saturación residual de petróleo es 0.205 y los FVFs del petróleo y el agua
son iguales a 1.0.

Estimar la tasa de desplazamiento y el desplazamiento acumulado de petróleo
como una función del tiempo de inyección.

Solución

Usando la ecuación:

1
Fw = ----------------------
1 + Kro Uw
----------
Krw Uo

Se obtiene la siguiente tabla:


187

Sw Krw Kro Fw
0.363 0.000 1.000 0.000
0.380 0.000 0.902 0.000
0.400 0.000 0.795 0.000
0.420 0.000 0.696 0.001
0.440 0.001 0.605 0.004
0.460 0.003 0.522 0.011
0.480 0.006 0.445 0.026
0.500 0.011 0.377 0.055
0.520 0.018 0.315 0.103
0.540 0.028 0.260 0.179
0.560 0.042 0.210 0.285
0.580 0.060 0.168 0.418
0.600 0.084 0.131 0.562
0.620 0.113 0.099 0.696
0.640 0.149 0.073 0.805
0.660 0.194 0.051 0.884
0.680 0.247 0.034 0.936
0.700 0.310 0.021 0.968
0.720 0.384 0.011 0.985
0.740 0.470 0.005 0.995
0.760 0.570 0.002 0.999
0.795 0.780 0.000 1.000

Si se efectúa un gráfico de Fw versus Sw (curva de flujo fraccional) y se traza
una tangente desde Swi = 0.363, esta intercepta a la curva de flujo fraccional a
Sw = 0.665. Es decir la zona estabilizada incluye todas las saturaciones de
agua desde Sw= 0.363 a 0.65. Algunas veces es dificultoso determinar el
punto exacto donde la tangente a la curva de flujo fraccional intercepta la
curva. Esto ocurre cuando la curva de flujo fraccional no cambia rápidamente
con la saturación.

La recuperación de petróleo (fracción de PV) a la ruptura del frente se obtiene
de:

Qbt = (Swfp - Swi)


188

En este caso la saturación promedia de agua del reservorio la ruptura del
frente es de 0.70.

Qbt = 0.337

La recuperación de petróleo a la ruptura del frente se obtiene de:

Np = Vp ( Swfp - Swi)

donde :
Vp = A φ L = (300 pies) (20 pies) (1,000 pies) (0.15) / 5.615

Vp = 160,285 bbl.

Np = 160,285 (0.70 - 0.363) = 54,016 bbl.

El tiempo para alcanzar la ruptura del frente se obtiene de:

t = (Qbt Vp ) / qt

t = 474.2 Q = 474 x 0.337
t = 159.8 dias.

El WOR se obtiene de:

WOR = fw / (1 - fw) = 0.899 / (1 0.899) = 8.9


189

Sw Swp Fw Qbt Tiempo Np q WOR
(fracción) (frac. PV) (dias) (STB) (B/D) (Bl/STB)
0.363 ----- 0.000 0.173 82.0 27,729 338.0 0.0
0.665 0.700 0.899 0.337 159.8 54,016 34.1 8.9
0.670 0.703 0.913 0.379 179.7 54,497 29.4 10.5
0.680 0.713 0.936 0.516 244.7 56,100 21.6 14.0
0.690 0.721 0.953 0.660 313.0 57,392 15.9 20.3
0.700 0.730 0.968 0.938 444.8 58,825 10.8 30.3
0.710 0.736 0.977 1.130 535.9 59,786 7.8 42.5
0.720 0.741 0.984 1.313 622.6 60,972 5.4 61.5
0.730 0.750 0.990 2.000 948.4 62,030 3.4 99.0
0.740 0.758 0.995 3.600 1,707.0 63,312 1.7 199.0
0.750 0.766 0.997 5.333 2,529.0 64,595 1.0 322.3

EJEMPLO

Se desea desarrollar un experimento de inyección de agua en el laboratorio.
Ud. ha sido designado como responsable del desarrollo del experimento de
desplazamiento lineal. Los datos de este experimento serán usados para
calcular las permeabilidades relativas.

Su tarea es seleccionar una bomba y un transducidor de presión de la tabla
que se muestra mas abajo y que reúna las condiciones siguientes:

(a) Un WOR instantáneo de 100 debe ser alcanzado en no mas de 2 horas.
(b) El transducidor de presión el mínimo rango posible para obtener una
alta precisión.

Los datos representativos del material del núcleo son:

L = 0.984 pies
d = 0.164 pies.
φ = 0.2
Ko = 0.15 darcys, a Swi
Soi = 0.75
Sor = 0.25


190

Uo = 2.5 cp.
Uw = 1.0 cp.

El núcleo esta saturado con petróleo y agua al inicio del desplazamiento. La
saturación de agua inicial es de 0.25. Las curvas de permeabilidades relativas
son representadas por:

Kro = (1 - Sw*)2

Krw = 0.15 Sw*3

donde

(Sw - Swi)
Sw* = -----------------------
(1 - Sor - Swi)

Número Tasa Número Rango Presión
Bomba (mL/hr) Transducidor (KPa)
P-A 6 T-1 0 a 7.0
P-B 12 T-2 0 a 14.0
P-C 24 T-3 0 a 34.0
P-D 48 T-4 0 a 68.0
P-E 96 T-5 0 a 170.0
P-F 120 T-6 0 a 340.0
P-G 200 T-7 0 a 700.0
P-H 300 T-8 0 a 1,700.0
P-I 400 T-9 0 a 3,400.0
P-J 500 ---- ---------


191

DESPLAZAMIENTO BAJO CONDICIONES DE FLUJO
SEGREGADO

En la parte inundada del reservorio, sólo agua está fluyendo, en la presencia
de petróleo residual, con permeabilidad efectiva:

K w = K ⋅ K ' rw

donde K'rw es "end point relative permeability to water".

Similarmente, en la zona no inundada, esta fluyendo petróleo en la presencia
de agua connata con permeabilidad efectiva:

K o = K ⋅ K ' ro

donde K'ro "end point relative permeability to oil".

Por lo tanto, a cualquier punto de la interfase entre los fluidos, las presiones en
el petróleo y el agua son iguales. Esto significa que existe una interfase
distinta sin zona de presión capilar.

El flujo segregado asume que el desplazamiento es gobernado por equilibrio
vertical. En este sentido, ya que no hay zona de transición capilar, las fuerzas
de gravedad son las únicas responsables para la distribución instantánea de
los fluidos en la dirección normal al buzamiento.

En un reservorio con buzamiento se distinguen: desplazamiento estable y
desplazamiento inestable.

Desplazamiento estable

La condición para desplazamiento estable es que el ángulo entre la interfase
de los fluidos y la dirección del flujo debe permanecer constante durante el
desplazamiento.


192

dy
= −tangβ = constante
dx

El ángulo ß es constante y se satisface a tasas de inyección relativamente
bajas cuando las fuerzas de gravedad amparándose en la diferencia de
densidad de los fluidos, actúan para mantener la interfase horizontal.

Desplazamiento Inestable

Cuando se inyecta a altas tasas, las fuerzas viscosas, prevalecerán sobre el
componente de fuerzas gravitacionales que actúan en la dirección de
buzamiento abajo, resultando en un desplazamiento inestable.

Debido a la diferencia de densidad, el agua rodeará al petróleo en la forma de
una lengua de agua, lo que conlleva a una irrupción prematura de agua.

El desplazamiento ocurre por la siguiente condición:

dy
= −tangβ = 0
dx

Deducción matemática

Si el desplazamiento incompresible es estable, entonces, en todos los puntos
de la interfase, el petróleo y el agua deben tener la misma velocidad.

Aplicando la Ley de Darcy a cualquier punto en la interfase para
desplazamiento en la dirección x:

K K'ro ∂Po ρo g Sen θ
vo = vt = - -------- ( ------- + ------------------)
µo ∂x 1.0133x106

y

K K'rw ∂Pw ρ w g Sen θ
vw = vt = - --------- ( -------- + --------------------)
µw ∂x 1.0133x106


193

restando las ecuaciones anteriores tenemos:

µo µw ∂ ∆ρ g Sen θ
vt ( ---------- - --------- ) = - ------ (Po - Pw) + ------------------ (1)
K K'ro K K'rw ∂x 1.0133x106

donde ∆ ρ = ρw - ρo. Aplicando la ecuación de presión capilar.

∆ ρ g Cos θ
dPc = d(Po - Pw) = ------------------ dy
1.0133x106

y para desplazamiento estable (dy/dx es negativa)

dPc ∆ρ g Cos θ dy
---- = - ------------------ ------
dx 1.0133x106 dx

que cuando se sustituye en (1) se obtiene:

µo µw ∆ρ g dy
vt = ( --------- - ----------- ) = -------------- ( Cos θ ----- + Sen θ )
K K'ro K K'rw 1.0133x106 dx

expresando en términos de qt ( v = q/A)

K'rw
----
µw K K'rw A ∆ρ g Sen θ dy 1
(-------- - 1) = --------------------------------- ( ------ ------- + 1 )
K'ro 1.0133x106 µw qt dx tg θ
----
µo

haciendo


194

K'rw
----
µw
M= -------- es "the end point mobility ratio"
K'ro
----
µo

K K'rw A ∆ρ g Sen θ
G = ---------------------------- es número adimensional de gravedad (2)
1.0133x106 qt µw

tenemos la ecuación:

dy 1
M - 1 = G ( ---- ---------- + 1 ) (3)
dx tang θ

resolviendo para dar la pendiente de la interfase para flujo estable:

dy (M-1-G)
-- = - tang ß = ------------- tang θ (4)
dx G

En esta ecuación, M es una constante y G es una constante positiva cuando
se desplaza petróleo por agua a una tasa fija en dirección buzamiento arriba.

Por lo tanto, la inclinación de la interfase dy/dx, asume un valor fijo.

Para desplazamiento estable, dy/dx debe ser una constante negativa y esto
impone la condición para estabilidad que:

G > M-1 (estable)

El caso limitante es cuando dy/dx = 0, el agua rodeará al petróleo en la forma
de una lengua de agua, esto ocurrirá cuando:

G = M-1 (inestable)

que cuando la ec. (2) puede ser resuelta para determinar la denominada "tasa
critica" para "by-passing", que en unidades de campo:


195

4.9 10-4 K K'rw A ∆γ Sen θ
qcrit = ----------------------------------------- (5)
µw (M - 1)

El desplazamiento será estabilizado si la tasa de inyección es mantenida
debajo de qcrit

La magnitud de la relación de movilidad influye en el desplazamiento, tal como
se detalla:

M > 1 El desplazamiento es estable si G > M-1 y ß < θ e inestable si G < M-1.

M = 1 Es una relación favorable para el cual no existe tendencia para "by
pass". Para M=1 el desplazamiento es incondicionalmente estable. Por lo
tanto ß = θ y la interfase se eleva horizontalmente en el reservorio.

M < 1 Esta relación conduce a un desplazamiento incondicionalmente estable,
pero en este caso ß > θ.

El flujo segregado en el gráfico anterior es un problema bidimensional.

Para reducir la descripción matemática a una dimensión es necesario
promediar la saturación (y la saturación depende de las permeabilidades
relativas sobre el espesor del reservorio). El flujo puede ser descrito como que
ocurre a lo largo de una línea en el centro del reservorio.

A cualquier punto X, sea "b" el espesor fraccional del agua (Graf. 27), así b =
y/h. La saturación de agua promediada por espesor en el punto X, es:

_
Sw = b (1 - Sor) + (1 - b) Swc

que se resuelve para b

Sw - Swc
b= ---------------- (6)
1-Sor-Swc

y ya que Sor y Swc son constantes, la ec. (6) indica que "b" es directamente
proporcional a la saturación promedio.

La permeabilidad relativa al agua promediada por el espesor puede ser
derivada en forma similar.

_
Krw(Sw) = b Krw(Sw=1-Sor) + (1-b) Krw(Sw=Swc)


196

y ya que Krw(Sw=Swc) es cero y Krw(Sw=1-Sor) = k'rw, se puede reducir a:
_
Krw(Sw) = b K'rw

donde k'rw es la "permeabilidad relativa al agua en el punto final" (end point
relative permeability to water).

Para el petróleo, la permeabilidad relativa ponderada por el espesor es:
_
Kro(Sw) = b Kro(Sw=1-Sor) + (1-b) Kro(Sw=Swc)

_
Kro(Sw) = (1-b) K'ro

donde k'ro es "the end point relative permeability to oil" sustituyendo para
"b" en estas expresiones, usando la ec. (6) se obtiene:

_
_ (Sw - Swc )
Krw(Sw) = ---------------- K'rw (7)
1-Sor-Swc

_
_ (1-Sor-Sw)
Kro(Sw) = ---------------- K'ro (8)
1-Sor-Swc

Estas ecuaciones indican que las permeabilidades relativas promediadas por
el espesor, para flujo segregado, son simplemente funciones lineales de la
saturación de agua promediada por el espesor, tal como se muestra en la
figura:

Como se muestra en el Graf. 28, las líneas a rayas, son las curvas de
permeabilidad relativa obtenidas de medidas en laboratorio. Ellas son medidas
bajo condiciones de flujo difuso y representan permeabilidades relativas en el
reservorio. Estas curvas pueden ser usadas sólo en cálculos de
desplazamiento si la saturación de agua es la misma en todos los puntos a
través del espesor. En este único caso, las permeabilidad relativas puntuales,
son iguales a las permeabilidades relativas promediadas por el espesor.

En contraste, las funciones lineales mostradas en el Graf. 28, resulta del
proceso requerido en el promedio por el espesor, para facilitar la descripción
del flujo segregado bidimensional usando ecuaciones unidimensionales.


197

Por lo tanto, los cálculos de recuperación de petróleo, para flujo segregado ya
sea estable o inestable, puede ser efectuado usando permeabilidades relativas
lineales en conjunto con la teoría de desplazamiento de B-L.

Esto es debido a que la teoría fue basada simplemente en la conservación de
la masa de agua, en una dimensión.

La ecuación de flujo fraccional puede ser graficada usando funciones de
permeabilidad relativa lineal y la técnica gráfica de Welge. En este caso la
curva de flujo fraccional no tiene punto de inflexión (Graf. 29) ya que no hay
"shock front" para flujo segregado. Todos los puntos sobre la curva de flujo
fraccional son usados en los cálculos de recuperación después de la ruptura
del frente.

Las ecuaciones unidimensionales para el flujo separado de petróleo y agua,
bajo condiciones de flujo segregado en un reservorio horizontal son :

(1-b) K K'ro A ∂Po°
qo = - -------------------- --------- (9)
µo ∂x

(1-b) K K'rw A ∂ Pw°
qw = - --------------------- -------- (10)
µw ∂x

A = area de sección transversal
Po° y Pw° = presiones en las fases de petróleo y agua referidas a la línea
central del reservorio.

h ρo g
Po° = Po - (--- - y) ---------------- atm
2 1.0133x106

h ρw g
Pw° = Pw - (--- - y) -------------- atm
2 1.0133x106

donde "y" es el espesor actual del agua (y = bh). Ya que las presiones en la
interfase, Po y Pw son iguales para flujo segregado, entonces el gradiente de
presión de fases, resultante de la diferenciación y sustracción de las
ecuaciones anteriores es:


198

∂Po° ∂Pw° ∆ρ g dy
----- - ----- = - ------------------ ----
∂x ∂x 1.0133x106 dx

Para desplazamiento horizontal inestable se considera que el ángulo de
inclinación de la interfase dy/dx, es pequeño, y por lo tanto el gradiente de la
diferencia de presión en las fases puede ser despreciado. En este caso,
usando las ecuaciones (9) y (10), se derivó la ec. de flujo fraccional.

µo K'rw
------ ---------
K'ro µw
fw = ---------------------------
1-b µo K'rw
----- + ------ -------
b K'ro µw

que puede ser simplificado:

Mb
fw = ---------------
1 + (M-1) b

hasta el momento de la ruptura del frente, la recuperación de petróleo es igual
al agua inyectada acumulada. Después de la ruptura del frente, si
consideramos "be" como el espesor fraccional del agua cerca al pozo
productor, así para un pozo con penetración total, el flujo fraccional de agua
hacia el pozo es:

Mbe
fwe = --------------- (11)
1+(m+1)be

1
aplicando Wi = --------- en el pozo productor, tendremos:
dfw
------
dsw

1 dfwe
---- = ------
WiD dSwc


199

y usando

Sw-Swc para la saturación de agua ponderada
b = --------------
1-Sor-Swc
_
por el espesor, Swe.

1 dfwe dfwe dbe dfwe 1
------ = -------- = -------- . -------- = -------- . ----------------
WiD dSwe dbe dSwe dbe (1-Sor-Swc)

y por lo tanto:

dfwe 1-Sor-Swc 1
-------- = ----------------- = --------
dbe Wid Wid

Wid = inyección acumulada de agua expresada en volúmenes de petróleo
movible (movable oil volumes = MOV).

1 MOV = PV (1-Swc-Sor)

Diferenciando la ec. (11) con respecto a "be", dará:

dfwe 1 M
------ = -------- = ------------------
dbe Wid [1+(M-1)be]2

de la cual se obtiene :

1
be = --------- ( WiD M - 1 ) (12)
M-1

y sustituyendo para be en la ec. (11) dá:

M 1
fwe = ------- ( 1 - ------------ ) (13)
M-1 WiD M

La ec. de recuperación de petróleo (Npd = (Sw - Swc) + (1 - fw)WiD puede ser
expresada en MOV's como:


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