Este documento explica las leyes de los senos y cosenos para resolver triángulos. Define la ley de los senos como una relación de proporcionalidad entre los lados y senos de ángulos opuestos. Explica cómo aplicarla a triángulos acutángulos y obtusángulos. También define la ley de los cosenos como una generalización del teorema de Pitágoras, y explica cómo aplicarla a diferentes tipos de triángulos. Incluye ejemplos de aplicación de ambas leyes.

1. Colegio de Bachilleres Q. Roo
Ignacio Zaragoza
Alumna: Laiza G. Chale Grinda
Prof: Gustavo Kanxoc Dzib
Matemáticas II
Bloque 8: Aplicas las leyes de los senos y
cosenos.
O.A. 1:Leyes de los senos y cosenos
Desempeño del estudiante: Aplica las leyes
de los senos y cosenos.
2⁰ Semestre Grupo: A

2. Leyes de los senos y
cosenos

3. Ley de los senos

4. Ley de lo Senos
La ley de los senos o teorema de los senos es una relación de proporcionalidad entre las
longitudes de los lados de un triangulo y los senos de sus respectivos ángulos opuestos. Es
útil para resolver problemas de triángulos oblicuángulos, es decir, aquellos que carecen de
un ángulo recto (90°).
Usualmente se presenta de la siguiente forma:
“Si en un triangulo ABC, las medidas de los lados opuestos a los ángulos A, B y C son
respectivamente a, b y c, entonces:
“
𝑎
𝑆𝑖𝑛𝐴
=
𝑏
𝑆𝑖𝑛𝐵
=
𝑐
𝑆𝑖𝑛𝐶
” ”

5. Tipos de triángulos en los que aplica la
ley de los senos.
La ley de los senos es aplicable en los triángulos oblicuángulos que son los que no
tienen un ángulo de recto (90°), estos se dividen en:
 Acutángulo: Es aquel que tiene los tres ángulos internos agudos, es decir, que
miden menos de 90°.
 Obtusángulo: Es aquel que tiene un ángulo obtuso, es decir que mide mas de
90°, mientras que los otros dos ángulos internos son agudos.

6. Criterios donde se aplica la ley de los
senos
La ley de los senos se aplica solo cuando nos encontramos bajo los siguientes
criterios:
 ALA o LAA:
Cuando los datos conocidos son dos ángulos y cualquier lado del triangulo.
 LLA:
Cuando los datos conocidos son dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos.

7. Ejercicios de aplicación en
triángulos acutángulos y
obtusángulos…

8. Ejercicios de aplicación (Acutángulos)
 Acutángulo criterio ALA:
Encontrar el valor de c con respecto a la información de la siguiente figura:
∡𝐴 = 70° ∡𝐶 = 40° 𝑎 = 25
𝑎
𝑆𝑖𝑛𝐴
=
𝑏
𝑆𝑖𝑛𝐵
=
𝑐
𝑆𝑖𝑛𝐶
Sustituimos y la formula queda así:
25
𝑆𝑖𝑛70°
=
𝑏
𝑆𝑖𝑛𝐵
=
𝑐
𝑆𝑖𝑛40°
25
𝑆𝑖𝑛70°
=
𝑐
𝑆𝑖𝑛40°
𝑐 =
25(𝑆𝑖𝑛40°)
𝑆𝑖𝑛70°
𝑐 = 17.10100717

9.  Acutángulo criterio LLA:
Calcula los elementos restantes del siguiente triangulo con la información dada:
𝑐 = 6𝑐𝑚 𝑏 = 10𝑐𝑚 ∡𝐶 = 35°
𝑎
𝑆𝑖𝑛𝐴
=
𝑏
𝑆𝑖𝑛𝐵
=
𝑐
𝑆𝑖𝑛𝐶
sustituimos:
𝑎
𝑆𝑖𝑛𝐴
=
10
𝑆𝑖𝑛𝐵
=
6
𝑆𝑖𝑛35°
Para calcular SinB:
10
𝑆𝑖𝑛𝐵
=
6
𝑆𝑖𝑛35°
sin 𝐵 =
10(sin 35°)
6
sin 𝐵 = 0.955960727
sin−1
= 0.955960727
𝐵 = 72.93271028°

10.  Para encontrar el ∡𝐴 aplicamos la propiedad de suma de ángulos internos:
A + 𝐵 + 𝐶 = 180°
𝐴 = 180° − 72.93271028° − 35°
A= 72.06728972°
 Para encontrar 𝑎:
𝑎
𝑆𝑖𝑛72.06728972°
=
6
𝑆𝑖𝑛35°
𝑎 =
6(𝑆𝑖𝑛72.06728972°)
𝑆𝑖𝑛35°
𝑎 = 9.952488122

11. Ejercicios de aplicación (Obtusángulo)
 Obtusángulo criterio ALA:
De un triangulo sabemos que b= 6 ∡𝐶 = 45° 𝑦 ∡𝐴 = 105° calcula los elementos
restantes.
∡𝐵 = 180° − 45° − 105° = 30°
6
𝑆𝑖𝑛30°
=
𝑐
𝑆𝑖𝑛45°
𝑐 =
6(𝑆𝑖𝑛45°)
𝑆𝑖𝑛30°
𝑐 = 8.485281374
6
𝑆𝑖𝑛30°
=
𝑎
𝑆𝑖𝑛105°
𝑎 =
6(𝑆𝑖𝑛105°)
𝑆𝑖𝑛30°
𝑎 = 11.59110992

12.  Obtusángulo criterio LAL:
Encontrar los elementos faltantes según lo datos dados: ∡𝐵 = 20° 𝑏 = 15 𝑎 = 30
15
𝑆𝑖𝑛20°
=
30
𝑆𝑖𝑛𝐴°
SinA=
30(𝑆𝑖𝑛20°)
15
SinA= 0.684040286
sin−1 𝐴 = 0.684040286 A= 43.16017775°
∡𝐶 = 180° − 43.16017775° − 20° ∡𝐶 = 116.8398223°
15
𝑆𝑖𝑛20°
=
𝐶
𝑆𝑖𝑛116.8398223°
c =
15(𝑆𝑖𝑛116.8398223°)
𝑆𝑖𝑛20°
𝑐 = 39.13244207

13. Ejemplos contextualizados en
triángulos acutángulos y
obtusángulos…

14. Ejercicios contextualizados (Acutángulo)
 Acutángulo criterio ALA:
Un poste(b) forma un ángulo de 79⁰(A) con el piso . El ángulo de elevación del sol
desde el piso es de 69⁰(B). Encuentra la longitud del poste si su sombra es de 5.9m (c)
180° − 79° − 69° = 32°
Entonces:
5.9
𝑆𝑖𝑛32°
=
𝑏
𝑆𝑖𝑛69°
𝑏 =
5.9(𝑆𝑖𝑛69°)
𝑆𝑖𝑛32°
𝑏 = 10.39427114𝑚

15.  Acutángulo criterio LLA
Un niño A esta a una distancia de 7.6m de una piedra B y la piedra esta a una distancia
de 6.7m de un árbol C, el ángulo 𝛾 es de 53⁰ ¿Cuál es el ángulo de 𝛽?
6.7
𝑆𝑖𝑛53°
=
7.6
𝑆𝑖𝑛𝛽
𝑆𝑖𝑛 𝛽𝛾 =
7.6(𝑆𝑖𝑛53°)
6.7
sin 𝛽 = 0.905914906
sin−1 𝛽 = 0.905914906
𝛽 = 64.9467889°

16. Ejercicios de aplicación (Obtusángulos)
 Obtusángulo criterio ALA:
Un árbol (a) inclinado hacia la derecha mide 7.5m, el ángulo que se forma entre el
suelo(c) y el árbol es de 130⁰ y el del suelo con la escalera (b)15⁰ ¿Cuál es la longitud
de la escalera?
7.5
𝑆𝑖𝑛15°
=
𝑏
𝑆𝑖𝑛130°
𝑏 =
7.5(𝑆𝑖𝑛130°)
𝑆𝑖𝑛15°
𝑏 = 22.19826335°

17.  Obtusángulo criterio LAL:
La longitud del extremo de una montaña a la punta es de 70m (c), la longitud del
extremo a un árbol es de 35m (a) , y el ángulo que se forma entre el suelo y el árbol es
de 25⁰(C) ¿Cuanto mide el ángulo A , B y el segmento b?
Para encontrar el ángulo A:
70
𝑆𝑖𝑛25°
=
35
𝑆𝑖𝑛𝐴
𝑆𝑖𝑛𝐴 =
35(𝑆𝑖𝑛25°)
70
𝑆𝑖𝑛𝐴 = 0.21130913
sin−1
𝐴 = 0.21130913
𝐴 = 12.19908169°

18. Para encontrar el ángulo B:
180° − 12.19908169° − 25° = 142.8009183
Para encontrar b:
70
𝑆𝑖𝑛25°
=
𝑏
𝑆𝑖𝑛142.8009183
𝑏 =
70(𝑆𝑖𝑛142.8009183)
𝑆𝑖𝑛25°
𝑏 = 100.1401222

19. Ley de los cosenos

20. Ley de los cosenos
Es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos rectángulos que se
utiliza, normalmente en trigonometría. El teorema relaciona un lado de un triangulo
cualquiera con los otros lados y con el coseno del ángulo formando por estos dos
lados.
El teorema dice:
Dado un triangulo ABC cualquiera, siendo 𝛼, 𝛽, 𝛾 los lados respectivamente opuestos a
estos ángulos entonces:
𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
− 2𝑎𝑏 cos 𝛾
Despejes de la formula:
𝑎2
= 𝑐2
+ 𝑏2
− 2𝑏𝑐 cos 𝛼
𝑏2
= 𝑎2
+ 𝑐2
− 2𝑎𝑐 cos 𝛽

21. Tipos de triángulos en los que aplica la
ley de los cosenos.
La ley de los cosenos es aplicable en los triángulos oblicuángulos que son los que
no tienen un ángulo de recto (90°), estos se dividen en:
 Acutángulo: Es aquel que tiene los tres ángulos internos agudos, es decir, que
miden menos de 90°.
 Obtusángulo: Es aquel que tiene un ángulo obtuso, es decir que mide mas de
90°, mientras que los otros dos ángulos internos son agudos.

22. Criterios donde se aplica la ley de los
cosenos
La ley de los cosenos se aplica solo cuando nos encontramos bajo los siguientes 2
criterios:
 LLL:
Cuando los datos conocidos son los tres lados.
 LAL:
Cuando los datos conocidos son dos lados y el ángulo comprendido.

23. Ejercicios de aplicación en
triángulos acutángulos y
obtusángulos…

24. Ejercicios de aplicación (Acutángulos)
 Acutángulo criterio LLL:

25.  Acutángulo criterio LAL:

26. Ejercicios de aplicación (Obtusángulos)
 Obtusángulo criterio LLL:

27.  Obtusángulo criterio LAL:

28. Ejemplos contextualizados en
triángulos acutángulos y
obtusángulos…

29. Ejemplos contextualizados (Acutángulo)
 Acutángulo criterio LLL:

30.  Acutángulo criterio LAL:

31. Ejemplos contextualizados (Obtusángulos)
 Obtusángulo criterio LLL:

32.  Obtusángulo criterio LAL: