Este documento describe las secciones cónicas, en particular la elipse. Explica que una elipse es el lugar geométrico de puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. También define los elementos de una elipse como el centro, semiejes mayor y menor, vértices, y relación entre ellos. Por último, muestra ejemplos de ecuaciones de elipses y cómo construirlas.
Problemas aplicando ley del seno y ley del coseno - MatemáticaMatemática Básica
Explicación de la teoría de la ley del seno y coseno análisis del uso de la formula y ejemplos con problemas variados.
Mayor información: https://www.matematicabasica.com
Problemas aplicando ley del seno y ley del coseno - MatemáticaMatemática Básica
Explicación de la teoría de la ley del seno y coseno análisis del uso de la formula y ejemplos con problemas variados.
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Curva simétrica respecto de dos ejes perpendiculares entre sí, compuesta de dos ramas abiertas, dirigidas en sentidos opuestos, que se aproximan indefinidamente a dos asíntotas, de modo tal que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos es siempre constante.
Crónicas, ecuaciones paramétricas y Coordenadas polaresLuis Vargas
• Entender la definición de una sección cónica.
• Analizar y dar las ecuaciones de parábola utilizando las propiedades de la parábola.
• Analizar y dar las ecuaciones de la elipse utilizando las propiedades de la elipse.
• Analizar y dar las ecuaciones de la hipérbola utilizando las propiedades de la hipérbola.
• Trazar la gráfica de una curva dada por un conjunto de ecuaciones paramétricas.
• Eliminar el parámetro en un conjunto de ecuaciones paramétricas.
• Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas para representar una curva.
• Entender dos problemas clásicos del cálculo, el problema tautocrona y el problema braquistocrona.
Polinomios: operaciones: suma resta multiplicación división. Regla de Ruffini. Teorema del resto. Teorema del factor. Factorización de polinomios. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de polinomios. Fracciones algebraicas.
Sistemas de ecuaciones lineales. Representación gráfica de sistemas, clasificación de sistemas, métodos de resolución de sistemas: sustitución, reducción e igualación y Problemas de sistemas: problemas de números, problemas de edades, problemas de mezclas, problemas de móviles y problemas de naturaleza geométrica.
Nivel: 4º ESO o 1º de Bachillerato
Contenido: Inecuaciones de primer grado y una incógnita, inecuaciones polinomicas de grado mayor que 1 y una incógnita, inecuaciones racionales, inecuaciones lineales de 2 incógnitas y sistemas de inecuaciones.
Esta presentación comienza en un nivel básico de sistemas de ecuaciones, dando las definiciones oportunas, representación gráfica de sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas, sus métodos de resolución y termina en un nivel avanzado, dando sistemas de ecuaciones no lineales y sistemas de tres ecuaciones con dos incógnitas. Hay además multitud de ejercicios resueltos. Finalmente hay una pequeña colección de problemas, comenzando con problemas de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, problemas de sistemas no lineales y problemas de sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas. Incluye además, un pequeño apartado de sistemas de ecuaciones exponenciales y logarítmicas.
En esta presentación se trabaja desde la idea intuitiva del límite, hasta el cálculo de las indeterminaciones y sus aplicaciones directas en cuanto al calculo de asíntotas y el estudio de la continuidad de funciones y especialmente de los tipos de discontinuidad
Definiciones de lo que es una función, dominio, recorrido, características globales como crecimiento, decrecimiento, extremos,... así como operaciones con funciones, incluida la composición de funciones y el cálculo de la función inversa. La presentación concluye con las transformaciones de la función por traslación, dilatación o compresión. Para la correcta visualización de éstas dos últimas diapositivas, se recomienda la descarga de la presentación para observar las animaciones. Está pensado como una iniciación al tema de las funciones en primero de bachillerato.
¿Qué son las ecuaciones? Esta presentación recorre desde los conceptos mas básicos hasta las ecuaciones exponenciales y logarítmicas, además de una aplicación a la resolución de problemas. Ecuaciones de primer y segundo grado, ecuaciones polinómicas reducibles a ecuaciones de segundo grado, ecuaciones polinómicas en general, ecuaciones racionales e irracionales y ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Problemas numéricos, problemas de edades, problemas de mezclas, problemas de móviles, problemas con figuras geométricas y problemas de calcular el tiempo en el interés compuesto.
Interés simple y compuesto, anualidades de capitalización, anualidades de amortización y parámetros económicos y sociales (TAE, Números índice, IPC, Índice de desarrollo humano, Euribor)
Presentación con las diferentes cónicas, incluyendo ejercicios. Circunferencias: ecuaciones, posiciones relativas, potencia de un punto, eje radical y centro radical; parábolas: ecuación, elementos, construcciones, aplicaciones; elipses: ecuación, elementos, construcciones, aplicaciones; hipérbolas: ecuación, elementos, construcciones, aplicaciones. Esferas de Dandelin.
Geometría básica del triángulo: clasificación, construcción, criterios de igualdad y semejanza, puntos y rectas notables del triángulo, teorema de Pitágoras y Thales y teoremas del cateto y de la altura. Para ver correctamente la presentación con las animaciones, es conveniente descargarla. Un vídeo de la presentación está en la siguiente dirección: http://www.youtube.com/watch?v=fZ_dqNTGmP0&feature=youtu.be
Variaciones de una función por traslación, dilatación y compresión tanto a lo largo del eje x como del eje y. Se ha tomado como ejemplo para ello la función seno.
ROMPECABEZAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO OLIMPIADA DE PARÍS 2024. Por JAVIE...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “ROMPECABEZAS DE ECUACIONES DE 1ER. GRADO OLIMPIADA DE PARÍS 2024”. Esta actividad de aprendizaje propone retos de cálculo algebraico mediante ecuaciones de 1er. grado, y viso-espacialidad, lo cual dará la oportunidad de formar un rompecabezas. La intención didáctica de esta actividad de aprendizaje es, promover los pensamientos lógicos (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia, viso-espacialidad. Esta actividad de aprendizaje es de enfoques lúdico y transversal, ya que integra diversas áreas del conocimiento, entre ellas: matemático, artístico, lenguaje, historia, y las neurociencias.
2. Eje
SECCIONES CÓNICAS (I)
• Se define un cono
como una superficie de
revolución que se
obtiene al girar una
recta llamada
generatriz alrededor
de una recta secante a
ella llamada eje.
• El punto de corte de
ambas rectas es el
vértice del cono.
Generatriz
Vértice
3. SECCIONES CÓNICAS (II)
Al intersecar un cono con un plano que no pase por el vértice, se
obtienen las diferentes cónicas no degeneradas. Llamamos al
ángulo que forma la generatriz con el eje. Entonces, si es el
ángulo que forma el plano con el eje, se tiene que:
1. Si el plano es perpendicular al eje
𝛽 = 90° se obtiene una
circunferencia.
2. Si 𝛼 < 𝛽 < 90° se obtiene una
elipse.
3. Si el plano es paralelo a la
generatriz 𝛽 = 𝛼 se obtiene una
parábola.
4. Si 𝛽 < 𝛼 se obtiene una hipérbola.
Circunferencia
Elipse
Parábola
Hipérbola
Imagen realizada a partir de otra tomada de es.wikipedia.org/wiki/Sección_cónica
4. SECCIONES CÓNICAS (III)
Un experimento que se puede realizar es apuntar con una
linterna a una pared en algo de oscuridad. La forma que
adoptará la luz de la linterna contra la pared, según la
inclinación que tenga la linterna, irá formando las distintas
secciones cónicas.
5. ELIPSE DEFINICIÓN
Una elipse es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de
distancias a dos puntos fijos, llamados focos; es constante.
• En la elipse de la
figura, el punto medio
del segmento que
une los focos es el
centro de la elipse.
• La recta que une los
focos es el eje
mayor.
• Su perpendicular por
el centro es el eje
menor.
Centro
Eje menor
Eje mayor
6. ELIPSE ELEMENTOS
• Los puntos de corte de la elipse con los ejes son los vértices.
• 𝑐 = 𝑑 𝐹𝑖, 𝐶 es la semidistancia focal.
• 𝑎 = 𝑑 𝐴𝑖, 𝐶 es el semieje mayor.
• 𝑏 = 𝑑 𝐵𝑖, 𝐶 es el semieje menor.
Vértices
c
a
b
7. ELIPSE RELACIÓN FUNDAMENTAL
• Puesto que los vértices del eje mayor son puntos de la elipse
𝑑 𝐹1, 𝐴𝑖 + 𝑑 𝐹2, 𝐴𝑖 = 𝑎 + 𝑐 + 𝑎 − 𝑐 = 2𝑎.
• Puesto que los vértices del eje menor son puntos de la elipse
𝑑 𝐹1, 𝐵𝑖 = 𝑑 𝐹2, 𝐵𝑖
𝑑 𝐹1, 𝐵𝑖 + 𝑑 𝐹2, 𝐵𝑖 = 2𝑎
⇒ 𝑑 𝐹𝑖, 𝐵𝑖 = 𝑎 para 𝑖 = 1,2
• Se ve un triángulo rectángulo con hipotenusa a y catetos b y c
• Tenemos entonces la relación fundamental de la elipse.
a + c
a c
aa
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2
b
c
8. ELIPSE ECUACIÓN
Para hallar la ecuación de la elipse, suponemos que 𝐹1 = 𝑐, 0 y
𝐹2 = −𝑐, 0 son los focos, 𝑎 el semieje mayor y 𝑏 el semieje
menor, siendo 𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2
. Si 𝑃 = 𝑥, 𝑦 es un punto de la elipse:
𝑑 𝐹1, 𝑃 + 𝑑 𝐹2, 𝑃 = 2𝑎 ⟹ 𝑥 − 𝑐 2 + 𝑦2 + 𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦2 = 2𝑎
Operando nos queda
𝑎2
− 𝑐2
𝑥2
+ 𝑎2
𝑦2
= 𝑎2
𝑎2
− 𝑐2
⟺ 𝑏2
𝑥2
+ 𝑎2
𝑦2
= 𝑎2
𝑏2
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 = 1
Lo que es equivalente a
En una elipse, se llama excentricidad al cociente 𝑒 =
𝑐
𝑎
y
determina el achatamiento. Será un valor entre 0 y 1, tanto más
próximo a 0 cuánto más se parezca la elipse a una circunferencia
y más próximo a 1 cuánto más achatada.
9. ECUACIONES DE LA ELIPSE
Suponiendo que el centro es el origen de coordenadas,
tenemos las siguientes posibilidades.
Si el centro es el punto 𝐶 = 𝑥0 , 𝑦0 entonces es:
𝑥−𝑥0
2
𝑎2 +
𝑦−𝑦0
2
𝑏2 = 1 ó
𝑦−𝑦0
2
𝑎2 +
𝑥−𝑥0
2
𝑏2 = 1
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1
𝑦2
𝑎2
+
𝑥2
𝑏2
= 1
según sea la orientación de la elipse.
10. CONSTRUCCIÓN DE LA ELIPSE
• Trazamos circunferencias centradas en los focos cuya suma
de radios sea constante.
• Los puntos de intersección serán los puntos de la elipse.
11. LA ELIPSE CON EL
MÉTODO DEL JARDINERO
• Atamos una hilo en cada uno de los focos y manteniéndolo
tenso con un lapicero, trazamos la elipse.
• Este es conocido como el “método del jardinero”.
12. PROPIEDAD DE LA ELIPSE
La elipse tiene una importante propiedad de reflexión
Si desde uno de los focos se emite un rayo de luz, que se
refleja en el interior de la elipse, el rayo reflejado pasará por el
otro foco.
Gráficamente, la recta perpendicular a la tangente a una elipse
en un punto es la bisectriz del ángulo formado por los radio-
vectores de dicho punto.
Se usa para diseñar las bóvedas de las estaciones de metro.
13. ELIPSES Y MOVIMIENTO PLANETARIO
El movimiento que describen los planetas alrededor de su
estrella sigue una elipse, estando la estrella en uno de los
focos.
Además, el planeta se mueve más deprisa en los momentos en
los que está más cerca de la estrella, y más despacio cuando
está más alejado de la misma.
14. EJERCICIOS DE ELIPSES
Hay dos tipos de ejercicios de elipses:
El primer tipo de ejercicio trata de encontrar la ecuación de
la elipse a partir de unos datos determinados
El segundo tipo de ejercicio trata de encontrar los
elementos más destacados de la elipse y realizar un dibujo
aproximado a partir de la ecuación.
En este tipo de ejercicio, puede ser que nos den la
ecuación de la elipse en forma reducida (más fácil)
Ó puede ser que nos den la ecuación de la elipse en forma
desarrollada (más difícil)
15. EJERCICIO 1 DE ELIPSES
Halla la ecuación de la elipse de centro el punto de 𝑂 = 2,3 ,
cuya semidistancia focal es 4 y cuyos radio-vectores de un
punto son 7 y 3.
Para hallar la ecuación de una elipse necesitamos conocer el
centro y los semiejes.
Como los radio-vectores de un punto son 7 y 3 se tiene que:
7 + 3 = 2𝑎 ⟹ 𝑎 = 5
Ya tenemos a y c. Hallamos b con la relación fundamental
52
= 𝑏2
+ 42
⟹ 𝑏 = 3
Puesto que también tenemos el centro, la elipse es
𝑥 − 2 2
52 +
𝑦 − 3 2
32 = 1
16. EJERCICIO 2 DE ELIPSES
Halla todos los elementos de la elipse
𝑥+1 2
22 +
𝑦−1 2
32 = 1
A la vista de la ecuación sabemos el centro y los semiejes.
Siendo además el semieje mayor el paralelo al eje y. Hallamos
pues la semidistancia focal y con todo ello hallamos los focos y
los vértices.
32
= 22
+ 𝑐2
⟹ 𝑐 = 5
𝐹1 = −1,1 + 5 , 𝐹2 = −1,1 − 5
𝐴1 = −1,1 + 3 = −1,4 , 𝐴2 = −1,1 − 3 = −1, −2
𝐵1 = −1 + 2,1 = 1,1 , 𝐵2 = −1 − 2,1 = −3,1
𝑒 = 5
3
𝑂 = −1,1 , 𝑎 = 3 y 𝑏 = 2
17. EJERCICIO 3 DE ELIPSES
Halla los elementos de la elipse 𝑥2
+ 4𝑦2
+ 4𝑥 − 16𝑦 + 4 = 0
A la vista de la ecuación sabemos el centro y los semiejes.
Siendo además el semieje mayor el paralelo al eje x. Hallamos
pues la semidistancia focal y con todo ello hallamos los focos y
los vértices.
42 = 22 + 𝑐2 ⟹ 𝑐 = 12
𝐹1 = −2 + 12, 2 , 𝐹2 = −2 − 12, 2
𝐴1 = −2 + 4,2 = 2,2 , 𝐴2 = −2 − 4,2 = −6,2
𝐵1 = −2,2 + 2 = −2,4 , 𝐵2 = −2,2 − 2 = −2,0 y 𝑒 = 12
4
𝑂 = −2,2 , 𝑎 = 4 y 𝑏 = 2
En primer lugar completamos cuadrados para hallar la ecuación
reducida.
𝑥 + 2 2
42 +
𝑦 − 2 2
22 = 1
18. CONICAS Y ESFERAS DE DANDELIN
• En las siguientes imágenes se puede
observar que las secciones cónicas
cumplen las definiciones como lugares
geométricos.
• Las imágenes proceden de la página
http://www.aulamatematicas.org/Conicas/
ConicasSeccionesCono.htm
• Para saber más sobre las esferas de
Dandelin, clic aquí
19. CONICAS Y ESFERAS DE DANDELIN
𝑃𝐹1 = 𝑃𝑀
𝑃𝐹2 = 𝑃𝑀′
⇒
𝑃𝐹1 + 𝑃𝐹2 =
= 𝑃𝑀 + 𝑃𝑀′
Que es la longitud
de la generatriz
entre 𝐶1 y 𝐶2 y no
depende del punto 𝑃