Demostraciones de teoremas acerca de límitesJames Smith
Los teoremas acerca de límites de funciones básicas nos proporcionan una estucha de herramientas con las que podemos encontrar límites de funciones compuestas y complejos. En este documento, se demuestran seis de los teoremas más útiles, para luego usarlos en la resolución, paso a paso, de un problema un poco complicado.
Demostraciones de teoremas acerca de límitesJames Smith
Los teoremas acerca de límites de funciones básicas nos proporcionan una estucha de herramientas con las que podemos encontrar límites de funciones compuestas y complejos. En este documento, se demuestran seis de los teoremas más útiles, para luego usarlos en la resolución, paso a paso, de un problema un poco complicado.
Brevísima Intruducción a las Sumas de RiemannJuliho Castillo
Estas notas presentan una introducción informal a las sumas de Riemann, diferentes métodos para calcularlas y una introducción al uso del sistema algebraico de computo SageMath para su estudio.
1. Ejemplos de Concavidad y punto de
inflexion
Luego de definir graficamente concavidad y punto de
inflexion, tomemos la funcion:
−1
f ( x) = 6( x + 3) 2
Definamos en que intervalos es concava hacia arriba
y concava hacia abajo.
2. CONCAVIDAD y PUNTO DE
INFLEXION
Para ello hallamos su segunda derivada.
36( x − 1)
2
f ( x) = 2
´´
( x + 3) 3
Los valores en x donde se hace cero la
funcion resulante despues de hallar su
segunda derivada (1,-1), son sus
puntos de inflexión.
3. CONCAVIDAD Y PUNTO DE
INFLEXION
Si remplazamos la ecuacion por 1 y -1
vemos que es igual a cero:
f ( x) =
´´ [
36 ( −1) −1 2
] = 36(0) = 0
[(−1) 2
+3 ]
3
4 3
f ( x) =
´´ [
36 (1) −1 2
] = 36(0) = 0
[(1) 2
+3 ]
3
4 3
4. CONCAVIDAD Y PUNTO DE
INFLEXION
Teniendo en cuenta los valores en x
donde se hace cero la segunda derivada,
tomamos los siguientes intervalos para
analizar su concavidad:
Primer intervalo
−∞< x < − 1
Segundo Intervalo
Tercer Intervalo − < x <
1 1
1 < x <∞
5. PRIMER INTERVALO
− ∞ < X < −1
Tomamos un valor dentro del intervalo para efectos del ejemplo
tomamos X=-2 y remplazamos en la funcion de la segunda derivada:
36[(−2) − 1] 36(3) 108
2
f ´´
(−2) = = =
[(−2) + 3] 7 7
2 3 3 3
Nos arroja un valor positivo f(x)>0 por tanto el primer
intervalo es concavo hacia arriba.
6. SEGUNDO INTERVALO
−1 < X <1
Tomamos un valor dentro del intervalo para efectos del ejemplo
tomamos X= 0 y remplazamos en la funcion de la segunda derivada:
36[(0) − 1] 36(−1) − 36
2
f ´´
( 0) = = = = −4
[(0) + 3]
2 3
3 9 3
Nos arroja un valor negativo f(x)<0 por tanto el segundo
intervalo es concavo hacia abajo.
7. TERCER INTERVALO
1< X <∞
Tomamos un valor dentro del intervalo para efectos del ejemplo
tomamos X= 2 y remplazamos en la funcion de la segunda derivada:
36[(2) − 1] 36(1) 36
2
f ´´
( 2) = = =
[(2) + 3] 7 7
2 3 3 3
Nos arroja un valor POSITIVO f(x)>0 por tanto el
segundo intervalo es concavo hacia arriba.
8. GRAFICAMENTE Punto de Inflexion
Punto de Inflexion
F(x) = 0, x = 1
F(x) = 0, x = -1
SEGUNDO TERCER
PRIMER INTERVALO
INTERVALO INTERVALO
9. PROCEDIMIENTO PARA
APLICAR CONCAVIDAD
11. SE HALLA LA SEGUNDA DERIVADA DE LA
FUNCION
11. SE ENCUENTRAN LOS VALORES DE X DONDE LA
SEGUNDA DERIVADA SE HACE CERO.
111. PARTIENDO DE LOS VALORES HALLADOS
DONDE LA FUNCION SE HACE CERO,
DETERMINAMOS LOS INTERVALOS A ESTUDIAR LA
CONCAVIDAD.