1) La elipse tiene un foco en (0, 3) y semieje mayor igual a 5. Su ecuación es x^2/25 + y^2/4 - 1 = 0. 2) Se determinan los elementos de la elipse como el centro (0, 0), vértices (0, ±5), focos (0, ±3) y ecuación x^2/25 + y^2/4 - 1 = 0. 3) Para encontrar la ecuación de una elipse dada sus vértices y excentricidad, se calculan primero los elementos a, b y c.

1. LA ELIPSE
EJERCICIOS
RESUELTOS
Colegio Sor Juana Inés de la Cruz
Sección Preparatoria
Matemáticas III
Bloque VII
Ing. Jonathan Quiroga Tinoco

2. La ecuación de la curva es del tipo ,
para la cual se necesita tener el valor de b, el
semieje menor. Puesto que se conocen a y c,
b se determina de la expresión que las
relaciona:
1. Para encontrar la ecuación de la elipse con centro en el
origen, un foco en el punto (0, 3) y semieje mayor igual
a 5, por las coordenadas del foco se sabe que el eje focal es
el eje y, y que la distancia del centro al foco es c = 3.
Además, a = 5.
12
2
2
2
=+
a
y
b
x
222
cab −=
222
35 −=b
162
=b 1
2516
22
=+
yx

3. 2. Se pueden determinar todos los elementos que
caracterizan a la elipse del ejemplo anterior y
representarla en el plano coordenado:
Centro: C(0, 0)
Eje focal: eje y
Vértices: V(0, 5) y V’(0, –5)
Focos: F(0, 3), F’(0, –3)
Distancia focal: 2c = 6
Longitud del eje mayor: 2a = 10
Longitud del eje menor: 2b = 8
Longitud de cada lado recto:
Excentricidad:
( )
5
32
5
162
=
2
2b
a
=
2 2
3
= < 1
5
c a b
e
a a
−
= =

4. GRÁFICA EJEMPLO 2

5. 3. La ecuación de la elipse con vértices V(4, 0) y V’(–4, 0)
y excentricidad ¾ se puede obtener de la siguiente
manera:
Por los vértices se sabe que es una elipse con
centro en el origen, que su eje focal es el eje x,
y que a = 4.
Por la definición de la excentricidad:
por lo tanto, , y c = 3.
Entonces
La ecuación es
a
c
e =
44
3 c
=
222
cab −= 734 222
=−=b
1
716
22
=+
yx

6. 4. Para la elipse cuyo eje mayor coincide con el eje x y
pasa por los puntos (4, 3) y (6, 2), al considerar la
fórmula
Como los puntos deben satisfacer la ecuación, se tiene:
Para (4, 3):
Para (6, 2):
Éste es un sistema de ecuaciones con dos incógnitas: a
y b. Para resolverlo se puede despejar b2 de las dos
ecuaciones e igualar los valores para determinar el
valor de a2:
12
2
2
2
=+
b
y
a
x
1
34
2
2
2
2
=+
ba 2 2
16 9
1..................... (1)
a b
+ =
1
26
2
2
2
2
=+
ba 2 2
36 4
1..................... (2)
a b
+ =

7. Cont….ejemplo 4.
De (1): De (2):
1
916
22
=+
ba
2222
916 baab =+
( ) 222
916 aab −=−
2 2
2
2 2
9 9
... (3)
16 16
a a
b
a a
= − =
− −
1
436
22
=+
ba
2222
436 baab =+
( ) 222
436 aab −=−
2 2
2
2 2
4 4
... (4)
36 36
a a
b
a a
= − =
− −

8. Cont….ejemplo 4.
Igualando (3) y (4):
Este valor se sustituye, por ejemplo, en (4):
La ecuación de la elipse es:
Para definir sus elementos se requiere conocer el valor de c.
36
4
16
9
2
2
2
2
−
=
− a
a
a
a ( ) ( )2 2
9 36 4 16a a− = −
2 2
9 324 4 64a a a a− = − 02605 2
=−a 52
5
2602
==a
( )
3652
524
36
4
2
2
2
−
=
−
=
a
a
b 13
16
2082
==b
1
1352
22
=+
yx
222
cab −=
22
bac −= 391352 =−=c

9. Cont….ejemplo 4.
Los elementos de la elipse son:
Centro: C(0, 0)
Eje focal: Eje x
Vértices: V( , 0) y V’( , 0)
Focos: F( , 0), F’( , 0)
Distancia focal:
Longitud del eje mayor:
Longitud del eje menor:
Longitud de cada lado recto:
Excentricidad:
52 52−
39 39−
2c =2 39
2a = 2 52
2b = 2 13
2
2b
a
=
2
1
52
26
=
a
ba
a
c
e
22
−
== 39
52
=

10. Cont….ejemplo 4. GRÁFICA
V'(- 52 ,0) V( 52 ,0)
( 39,0)FF'( 39,0)−

11. 5. Para la elipse cuyos vértices son V(6, 4) y V’(–2, 4) y
sus focos los puntos F(5, 4) y F’(–1, 4), encontrar su
ecuación, elementos y gráfica.
Como los vértices y los focos tienen la misma
ordenada, la elipse tiene su eje mayor paralelo al
eje x, de manera que la fórmula a utilizar es:
El centro de la elipse está en el punto medio de los
vértices (y de los focos) por lo tanto sus
coordenadas son
( ) ( ) 12
2
2
2
=
−
+
−
b
ky
a
hx
1 2
2
x x
x
+
= =
( ) 2
2
26
=
−+

12. Cont…..ejemplo 5
• La distancia del centro a cualquiera de los
vértices es el valor de a, de modo que:
• Y c es la distancia del centro a cualquiera de los
focos:
• Para determinar la ecuación es necesario conocer
el valor de b:
1 2
2
y y
y
+
= = 4
2
44
=
+
426 =−=a
325 =−=c
222
cab −= 79162
=−=b 7=b

13. Para
x = 0
y1 = 6.3 y2 = – 1.7
(0, 6.3)
(0, –1.7)
Para
x = 4
y1 = 6.3 y2 = – 1.7
(4, 6.3)
(4, –1.7)
Para
x = 2
y1 = 6.65 y2 = 1.35
(2, 6.65)
(2, 1.35)
( ) ( )
2 2
0 2 4
1
16 7
y− −
+ =
( )
4
1
1
7
4
2
−=
−y 3
4
=
4
21
1682
=+− yy
043324 2
=+− yy 2
218 ±
=y
( ) ( )
2 2
4 2 4
1
16 7
y− −
+ =
( ) 1
7
4
16
4
2
=
−
+
y
( ) ( )
2 2
2 2 4
1
16 7
y− −
+ =
( )
2
40
1
16 7
y −
+ =
( )
2
4
1
7
y −
=
2
8 16 7y y− + = 4 7y = ±

14. Cont…ejemplo 5. GRÁFICA

15. 6. Para la elipse cuyos vértices son los puntos (–3, 7) y (–3, –1)
y la longitud de cada lado recto es 2 encontrar la ecuación, sus
elementos y su gráfica
Como los vértices tienen la misma abscisa la
elipse es vertical ya que el eje mayor, y el focal,
son paralelos al eje y. La ecuación que le
corresponde es:
El centro es el punto medio del eje mayor
Su abscisa es la misma de los vértices y su
ordenada es
( ) ( ) 12
2
2
2
=
−
+
−
a
ky
b
hx
'VV
1 2
2
y y
y
+
= =
( ) 3
2
17
=
−+ C(-3, 3)→

16. Cont…..ejemplo 6.
La longitud de su eje mayor es la distancia entre
sus vértices:
Como la longitud de cada uno de sus lados rectos
es 2, se tiene:
y la longitud de su eje menor es 2b = 4
La ecuación de esta elipse es:
Para determinar las coordenadas de los focos se
calcula el valor de c a partir de la expresión:
a = 4→( ) 8172 =−−=a
2
2
= 2
b
a
( )422 2
=b 4
2
82
==b 2=b
( ) ( ) 1
16
3
4
3
22
=
−
+
+ yx
222
cba +=

17. Cont….ejemplo 6.
• Por lo tanto, los focos son los puntos:
• su excentricidad es:
222
bac −= 124162
=−=c 3212 ==c
( )3, 3 2 3F − + ( )' 3, 3 2 3F − −
2
3
4
32
===
a
c
e

18. Cont…ejemplo 6. GRÁFICA

19. 7. Encontrar la ecuación de la elipse que tiene centro en (1, 2),
uno de los focos es (6, 2) y pasa por el punto (4, 6),
Como el centro y el foco tienen la misma ordenada,
el eje focal y el eje mayor son paralelos al eje x. Por
tanto, la ecuación que corresponde a esta curva es:
Al sustituir las coordenadas del centro (h, k) = (1, 2):
Hay que determinar a2 y b2.
( ) ( ) 12
2
2
2
=
−
+
−
b
ky
a
hx
( ) ( ) 1
21
2
2
2
2
=
−
+
−
b
y
a
x

20. Cont….ejemplo 7.
Como el punto (4, 6) pertenece a la elipse, satisface
su ecuación:
Para obtener una ecuación con una sola incógnita,
se hace la sustitución
( ) ( ) 1
2614
2
2
2
2
=
−
+
−
ba
1
169
22
=+
ba
2 2 2
b a c= −

21. Cont…ejemplo 7.
Para determinar su gráfica se localizan los
vértices, los focos y el centro, y se sabe que su eje
mayor mide 2a = 2(4) = 8 y su eje menor,
de manera que los puntos de intersección de la
elipse con su eje menor son
Cada uno de sus lados rectos mide:
Otros puntos de la elipse, con valores aproximados
de la ordenada, son:
2b = 2 7
( )2, 4 2 7B + ( )' 2, 4 2 7B −
2
2b
a
= 5.3
4
14
=

22. 8) Encuentra la ecuación de la elipse con focos F(0,
3) y F’(0, –3), y cada uno de sus lados rectos igual a
9.
Como los focos tienen la misma abscisa, el eje focal
es el eje y. El centro se encuentra en el punto
medio entre ellos: C(0, 0).
• La distancia c es:
• El lado recto es:
330 =−=c
2 2 2
b a c= −
922
−= ab
,
9
2 2
==
a
b
LR

23. • Sustituyendo:
• El valor negativo de a no se considera puesto
que a es una longitud. Por tanto a = 6.
( ) 9
92 2
=
−
a
a
01892 2
=−− aa ( ) ( ) ( )( )
( )22
182499
2
−−−±−−
=a
4
159
4
144819 ±
=
+±
=a 6
4
24
1 ==a
2
3
4
6
2 −=−=a

24. • La ecuación de la elipse es:
922
−= ab
279362
=−=b
1
3627
22
=+
yx

25. 9) Los focos de una elipse son los puntos
F(3, 8) y F’(3, 2) y la longitud de su eje
menor es 8. Encuentra la ecuación de la
elipse, las coordenadas de sus vértices y su
excentricidad.
• El eje focal es paralelo al eje y.
• El centro tiene la misma abscisa que los focos:
h = 3.
La distancia entre los focos es:
k = 2 + c = 2 + 3 = 5 → C(3, 5)
2b = 8 b = 4
8 2
3
2
c
−
= =
222
cba += 259162
=+=a

26. • Ecuación de la elipse:
• Vértices: V(h, k + a) = (3, 5 + 5) = (3, 10);
V’(h, k – a) = (3, 5 – 5) = (3, 0)
• Excentricidad:
( ) ( ) 1
25
5
16
3
22
=
−
+
− yx
c
e
a
= =
5
3

27. 10) Encuentra la ecuación del lugar
geométrico de los puntos cuya distancia al
punto (4, 0) es igual a la mitad de su
distancia a la recta x – 16 = 0 e interpreta el
resultado.
• Distancia de un punto (x, y) al punto (4, 0):
• Distancia del mismo punto (x, y) a la recta x –
16 = 0:
1d = ( ) ( )22
04 −+− yx
2d =
2
1
16
+
−x

28. El lugar geométrico descrito es una elipse horizontal
con centro en el origen, eje mayor igual a 2(8) = 16 y
eje menor igual a
1 2
1
2
d d= ( )
2 2
4x y− + = ( )
1
16
2
x −
( ) ( )
2 22 1
4 16
4
x y x− + = −
( )25632
4
1
168 222
+−=++− xxyxx
21
8 64
4
x x= − +
2 23
48
4
x y+ =
( )
2 2
3
1
4 48 48
x y
+ = 1
4864
22
=+
yx
482

29. 11) Un arco con forma de semi-elipse tiene una
altura máxima de 45m y un claro de 150m.
Encuentra la longitud de dos soportes verticales
situados de manera que dividan en claro en tres
espacios iguales.
Si el eje x es la base del arco (el eje focal de la
elipse) y el origen es su punto medio, la
ecuación es del tipo , con el
semieje mayor, a = 75 y el semieje menor, b = 45.
Para que el claro se divida en tres partes
iguales, la distancia de los soportes a cada
vértice y entre ellos debe ser de 50m.
12
2
2
2
=+
b
y
a
x

30. • La ecuación es:
1
20255625
22
=+
yx

31. Para determinar la altura de los soportes, se
hace x = 25 en la ecuación y se despeja el valor
de y:
Puesto que y es una longitud (la altura de los
postes), se toma sólo la raíz positiva.
( )
2 2
25
1
5625 2025
y±
+ = 1
20255625
625 2
=+
y
1
20259
1 2
=+
y
9
8
2025
2
=
y
1800
9
162002
==y 230=y