Este documento presenta los elementos básicos de la elipse geométrica, incluyendo sus focos, ejes mayor y menor, excentricidad y la ecuación canónica de la elipse. Explica el método del jardinero para dibujar una elipse y resuelve ejercicios prácticos encontrando los elementos de elipses dadas y determinando ecuaciones elípticas a partir de sus características.

1. Prof:Díaz Arce O. Washington

2. INDICE
INTRODUCCIÓN
ELEMENTOS
METODO DEL JARDINERO
VALOR DE LA CONSTANTE
RELACIÓN ENTRE a, b y c
EXCENTRICIDAD DE LA ELIPSE
ECUACION DE LA ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN
LONGITUD DEL LADO RECTO
EJERCICIOS

3. La elipse es el lugar geométrico
de todos los puntos P(x;y) cuya
ubicación en el plano es tal, que
la suma de sus distancias a dos
puntos fijos de él es constante.
INDICE

4. Estos dos puntos fijos del plano, se
llaman focos y se designan por F1 y
F2
P(x;y)
V2
F2F1 X
V1
Y
INDICE

5. Elementos:
V1
Y
V2
F2F1 X
Focos: F1 y F2
Recta focal o eje focal: es
la recta que pasa por los
focos, tal como V1 y V2
Recta secundaria: Es la
recta perpendicular a la
recta focal en el punto
medio del segmento F1 y F2
Ejemplo: La recta B1 y B2
Centro: Es el punto de
intersección de las rectas
focal y secundaria y que
equidista de los focos. Se
designa por F0
B1
B2
a
b
INDICE
F0

6. Elementos:
V1
Y
C1
V2
F1F2 X
Vértices y Covértices: los
vértices son los puntos de
intersección de la elipse con la
recta focal. Se designan por V1 y
V2. A los puntos B1 y B2 se les
llama Cóvertices.
Eje mayor: Es el segmento
V1V2 que se considera la
longitud “2a”, donde “a” es el
valor del semieje mayor.
Lado recto: Es la cuerda focal
C1 C2 perpendicular a la recta
focal o eje de simetría.
Disctancia focal: Es la
distancia entre los focos. Se
considera de longitud “2c” , es
decir F1F2 = 2c
B1
B2
a
b
Eje menor: Es el segmento B1
B2 de la recta secundaria
interceptada por la elipse. se
considera la longitud “2b”,
donde “b” es el valor del semieje
menor.C2
F0
c c
INDICE

7. EL METOOD DEL JARDINERO
Para dibujar una elipse se puede usar dos alfileres, lápiz e hilo
El procedimiento es el siguiente:
1. Se clavan los dos alfileres en los puntos considerados como focos.
2. Se unen ambos alfileres con cada extremo de hilo.
3. Se tensa el hilo con el lápiz.
4. Deslizamos el lapiz en el papel, y la punta del lapiz dibujará el papel.
Este método es conocido como el “método del jardinero”, ya que los jardineros lo
usan para trazar elipses en los prados.
INDICE

8. P(x;y)
V2
F1F2 X
V1
Y
De acuerdo a lo anterior, las
coordenadas de los focos son
F1 (c,0) y F2(-c,0)
d(P;F1) + d(P;F2)
Determinemos ahora el valor de la
consonante. Si consideramos al punto P
ubicado en el vertice V1, la suma de sus
distancias a los focos es constante.
d(V1,F1) = a – c
d(V1, F2) =a + c
d(V1,F1) + (d(V1,F2) = 2a
Luego: d(P;F1) + d(P;F2) = 2a
c c
aa
INDICE

9. P
V2V1
F1F2
c c
b
aa
X
Y
Para halalr una relacion entre a, b y
c, ubicamos el punto P(x;y) en la
interseccion d ela elipse con la recta
secundaria (eje Y)
En este caso:
d(P;F1) = d(P;F2) = a
Ya que d(P;F2) + d(P;F2) = 2a
En el PF0F1: c>a
Y por el T. de Pitágoras: b2
+ c2
=a2
F0
INDICE

10. b
a
X
Y
F1F2
-4
-5
4
5
c
F0
A toda elipse se le asocia
un número real que
llamamos excentricidad de
la elipse, designado por la
letra e, y cuyo valor es:
e= c/a
-3 3
Elipse de
excentricidad
e= 3/5
INDICE

11. b
a
X
Y
F1F2
-3
-5
3
5
c
F0
e= c/a
-4 4
Elipse de
excentricidad
e= 4/5
INDICE

12. V2
Y
Para encontrar la ecuación analítica de la
elipse, expresamos las distancias entre
P(x;y) y los focos F1(c,0) y F2(-c,0) en
funcion de sus coordenadas.
a
aFPdFPd
ycxycx 2
2)2,()1,(
)0()()0()(
2222
=+++
=+
−+−−
P(x;y)
V1
F1( C;0)F2(-C;0)
B2 (0;-b)
B1 (0;b)
X
INDICE

13. Aislamos una de las raíces y luego elevamos al cuadrado.
( )
cxa
a
aycx
ycxycxycx
444
4
222
222222
)(
)()(
+=+
+++=+
+
++−




 ++−



 +−
+−
=
+−=+
ycxaycx
ycxycx a
2222
2
)(2)(
)()(
22
2222
( )
caaxcyaxa
cxaycxa
224222222
2
2
)()(
222
−
+++
=−+
=
Elevamos al cuadrado:
Factorizando:
( ) ( )
bayaxb
bca
caayaxca
pero
222222
222
222222
.
,22
=+⇒
=−
−=+−
P(x;y)
V1
F1( C;0)F2(-C;0)
B2 (0;-b)
B1 (0;b)
X
Y
INDICE

14. Dividiendo por a2
b2
.
0;12
2
2
2
>>=+ ba
b
y
a
x
P(x;y)
V1
F1( C;0)F2(-C;0)
B2 (0;-b)
B1 (0;b)
X
Y
Luego:
La ecuación canónica de la elipse cuando
el eje focal coincide con el eje x, es:
12
2
2
2
22
22
22
22
22
22
=+
=+
b
y
a
x
ba
ba
ba
ya
ba
xb
INDICE

15. V2 F1F2
C2 (C;--Y)
X
Y
C1 (C;-Y)
b
F0
c
V1
a
Recordemos que se denomina lado recto (L.R.)
a la cuerda que pasa por el foco y que es
perpendicular al eje de la elipse.
En la elipse de la figura, las
coordenadas de los extremos del
lado recto son C1(c;y) y C2(c;-y)
como C1(c;y) pertenece a esta
curva, entonces sus coordenadas
satisfacen la ecuación de la elipse:
12
2
2
2
=+
b
y
a
x
a
c
b
y
b
y
a
c 2
2
2
2
2
2
2
2
1 −⇒=+
a
b
a
bb
a
ca
by y
2
2
2
22
.
2
22
2 ⇒==





 −
Reemplazando:
Donde:
lueg
o 0;12
2
2
2
>>=+ ba
b
y
a
x
INDICE

16.  Ejercicio 1
Ejercicio 2
-Encontrar:
-Las coordenadas de los focos
-La longitud del eje mayor
-La longitud del eje menor
-La longitud del lado recto
-Excentricidad
-Vértice y covértice.
1
1
6425
2
2
=+
yx
1
416
2
2
=+
yx
1
49100
2
2
=+
yx
1
94
2
2
=+
yx 1
128
2
2
=+
yx
3694
22
=+ yx
40025
22
16 =+ yx
99
22
=+ yx
3
2
5
4
7
6
8
INDICE

17. Ejercicio 1
Para cada una de las siguientes elipses:
1
2536
2
2
=+
yx 225925
22
=+ yxi) ii)
Determinar:
-Las coordenadas de los focos
-La longitud del eje mayor
-La longitud del eje menor
-La longitud del lado recto
-Excentricidad
-Vértice y covértice.
SOLUCIÓN i
SOLUCIÓN ii
INDICE

18. SOLUCIÓ i
1
2536
2
2
=+
yx
ba
b
y
a
x >=+ ;12
2
2
2
11=c
Como la ecuación es de la forma :
Entonces el eje focal coincide con el
eje x.
Tenemos que:
a2
= 36 entonces a = 6
b2
= 25 entonces b = 5
Ademas:
b2
+ c2
= a2
De donde:
25 + c2
= 36
B1
b
X
5
-5
F1F2 F0
a
11− 11
Y
B2
-6 6
a
-focos: F1( ;0) y F2(- ; 0)
-Long. del eje mayor: 2a = 2 .6 = 12
-Long. del eje menor: 2b = 2 .5 = 1011 11
-Longitud del arco recto: 3
25
6
.. 5.22
22
===
a
RL b
-Excentricidad:
6
11
==
a
c
e
-Vértices: V1(6;0) y V2(-6;0)
-Covértices: B1 (0;5) y B2 (0;-5)
11 11−
INDICE

19. SOLUCIÓN ii
1
259225
225
225225
2
2
2
2
925 =+⇒=+
yxyx
4=c
Esta ecuación es equivalente a:
Luego es de la forma:
a2
= 25
a = 5
b2
= 9
b = 3
b2
+ c2
= a2
B1
a
X
5
-5
F1
F2
F0
b
Y
B2
-3
a
-focos: F1( 0 ;4) y F2(0 ; -4)
-Long. del eje mayor: 2a = 2 .5 = 10
-Long. del eje menor: 2b = 2 .3 = 611 11
-Longitud del arco recto: 5
18
5
.. 3.22
22
===
a
RL b
-Excentricidad: 5
4
==
a
c
e
-Vértices: V1(0;5) y V2(0;-5)
-Covértices: B1 (3;0) y B2 (-3;0)
225925
22
=+ yx
ba
a
y
b
x >=+ ;12
2
2
2
Entonces el eje focal
coincide con el eje y
3
4
-4
V1
V2
INDICE

20. Ejercicio 2
RESOLUCIÓN
-6
Y
8
V2
X
F2
F16
-8
B1
B2
-10
V110
Determinar la ecuación de la elipse con
focos F1( 0 ;6) y F2(0 ; -6) y
excentricidad e= 0,6
De las coordenadas de los focos deducimos
que el eje focal coincide con el eje y , por lo
tanto, la ecuación es de la forma:
12
2
2
2
=+
a
y
b
x
10
6
6,0
=
=⇒=
a
aa
c
e
También observamos que F1 ( 0 ;c) = F1 ( 0 ;6)
Entonces : c = 6
Ya que:
Como:
a2 =
b2 +
c2
102
= b2 +
62
b = 8
Por lo
tanto:
La ecuación pedida es:
1
10064
2
2
=+
yx
INDICE

21. Prof: Díaz Arce O. Washington
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