Las leyes de exponentes establecen que: 1) Al multiplicar potencias de igual base, se suman los exponentes. 2) Al dividir potencias de igual base, se restan los exponentes. 3) Al elevar una potencia a un exponente, se multiplican los exponentes. 4) Al extraer la raíz de una potencia, se divide el exponente entre el índice de la raíz.

1. LAS LEYES DE EXPONENTES SON:
1. LEY DE LA MULTIPLICACION: al multiplicar dos potencias
de igual base se copia la base y se suman los exponentes,
para tener el exponente del producto.
2. LEY DE LA DIVISION: al dividir dos potencias de igual base,
se copia la base y al exponente del dividendo se le resta el
exponente del divisor, dando el exponente del cociente.
Estas son dos consecuencias importantes de la ley
de la división:
o PROPIEDAD DE LOS EXPONENTES NEGATIVOS:
toda cantidad con un exponente negativo es un
número racional, que representa el inverso
multiplicativo de un número entero.
o PROPIEDAD DEL EXPONENTE 0: al dividir dos
cantidades exactamente iguales que tengan idéntico
exponente, obtendremos una expresión con
exponente cero, que también será equivalente a la
unidad.

2. 3. LEY DE LA INVOLUCION, O ELEVAR A UNA POTENCIA:
al elevar una potencia a un exponente, se copia la base y se
multiplican los exponentes.
4. LEY DE LA EVOLUCION, O DE LA EXTRACCION DE
RAICES: al extraer la raíz de una potencia, se copia la base
de la cantidad subradical, y al exponente de este subradical
se le divide el índice de la raíz.
o Esta es una consecuencia natural de la ley de
extracción de raíces: una expresión radical cualquiera
puede transformarse en una expresión en notación
exponencial.

3. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Cada par de lados homólogos (que se ubican en la misma posición) de un
triángulo rectángulo cuyos
ángulos sean iguales serán
proporcionales.
Para que sea más fácil
interpretar lo que se está
explicando el típico triángulo de catetos de 3 cm y 4 cm, que tendrá su hipotenusa
de 5 cm (Pitágoras). Dibujemos otros dos triángulos donde los catetos y la
hipotenusa sean el doble y el triple (según corresponda.
La proporcionalidad también puede escribirse respecto a los lados homólogos.
Lo importante a destacar es que el ángulo en todos los casos es el mismo.
Este hecho es importante ya que permite relacionar a los ángulos con la razón de
la proporción de los lados. Esta relación presenta la propiedad de unicidad y la
propiedad de completitud (para cada par de lados homólogos existe siempre un
único valor (razón) relacionado con una determinada [existe y es única] amplitud
angular), por lo tanto se establece una función, a las que llamaremos
trigonométrica.

4. Funciones Trigonométricas:
Si dividimos: llamaremos a esta función:
Seno y la denotaremos
por Sen(a)
Coseno y la denotaremos
por Cos(a)
Tangente y la denotaremos
por Tan(a)
Cotangente y la
denotaremos por Cot(a)
Secante y la denotaremos
por Sec(a)
Cosecante y la
denotaremos por Csc(a)
NOTA: Las funciones Seno y Cosecante son inversas. También son inversas las
funciones Coseno y Secante. Finalmente son inversas las funciones Tangente con
Cotangente.
Esto es:
Las funciones trigonométricas son funciones periódicas, repiten el valor de imagen
cada 360º. De esa manera tenemos que: cos 60º = cos 420º = 0,5
Grafiquemos, mediante tablas, las siguientes funciones tomando valores
angulares desde 0º hasta 360º. Para facilitar el trabajo tomemos ángulos a
intervalos de 45º:

5. Función Seno:
a sen a
0 0
45 0,71
90 1
1350,71
1800
225
-
0,71
270-1
315
-
0,71
3600
Función Coseno:
a cos a
0 1
45 0,71
90 0
135-0,71
180-1
2250,71
2700
3150,71
3601
Función Tangente:
a tg a
0 0
45 1
90 ////
135- 1
1800
2251
270////
315- 1
3600

6. //// significa que no se puede calcular el valor de la función, el resultado no existe
(asíntota).
Función Cotangente:
a Cotg a
0 ////
45 - 1
90 0
1351
180////
225- 1
2700
315////
360- 1
Función Secante
a sec a
0 1
45 1,41
90 ////
135-1,41
180-1
2251,41
270////
3151,41
3601
Función Cosecante:
a Cosec a
0 ////
45 1,41
90 1
1351,41
180////
225- 1,41
270-1
315- 1,41
360////

7. Sistema Circular de Medición de Ángulos:
El sistema de medición de ángulos que solemos utilizar es el sexagesimal, divide a
la circunferencia en seis partes de 60º cada una,
obteniendo un giro completo de 360º. Cuando se quiso
utilizar este sistema en física, para poder calcular el
camino desarrollado por alguna partícula en trayectoria
circular, se encontraron que el sistema sexagecimal no los
ayudaba pues, matemáticamente, no está relacionado con el arco que describe el
cuerpo al moverse. De esa manera se "inventó" otro sistema angular, el sistema
circular, donde la medida del ángulo se obtiene al dividir el arco y el radio de la
circunferencia. En este sistema un ángulo llano (al dividir el arco por el radio) mide
3,14 (que es el valor aproximado de "p"). De esa manera un giro completo (que es
lo mismo que dos ángulos llanos) mide 2p.
180º = p ó 360º = 2p
En este caso la circunferencia queda dividida en cuatro partes iguales de 90º (p
/2)
cada una, que va desde 0º hasta 360º (2p), a las que se denomina cuadrantes:
1er
cuadrante: 0º a 90º
2do
cuadrante: 90º a 180º
3 er
cuadrante: 180º a 270º
4to
cuadrante: 270 a 360º
Funciones Trigonométricas de ángulos
complementarios
Podemos desarrollas las funciones trigonométricas de ángulos complementarios
mediante triángulos rectángulos, ya que los ángulos que no son rectos son
complementarios entre si: a + b = 90º Þ b = 90º - a

8. tg (90 - a) = cotg a
cotg (90 - a) = tg a
sec (90 - a) = cosec a
cosec (90 - a) = sec a
Las funciones trigonométricas de los ángulos complementarios son opuestas. En
caso de los ángulos de (90º - a) los ángulos caen en el primer cuadrante y los
signos son todos positivos.
Funciones trigonométricas de ángulos suplementarios
Los ángulos suplementarios suman entre si 180º : a + b = 180º Þ b = 180º - a
En este caso las funciones quedan iguales sólo cambia el signo según el
cuadrante que caiga: sen (180º - a) = sen a
Signos de las funciones trigonométricas según el cuadrante:
En el primer cuadrante, vemos que: el cateto adyacente se ubica sobre el eje x,
así que lo denominaremos "x"; al cateto opuesto, que se ubica sobre el eje y, lo
llamaremos "y". La hipotenusa, que es el radio de la circunferencia,
la designaremos "r".

9. Ya que "x", "y", "r", son positivas, entonces, Todas las
funciones trigonométricas en el primer cuadrante son
positivas.
Sen Csc Tan Cot Cos Sec
+ + + + + +
En el segundo cuadrante, el cateto adyacente cae
sobre el eje negativo de las x, mientras que el cateto
opuesto sigue sobre el ele positivo de las y . El radio
(la hipotenusa) sigue siendo positiva en todos los
cuadrantes. Por lo tanto: el Coseno, la Tangente y sus
inversas (Secante y Cotangente) tienen resultados
negativos.
Sen Csc Tan Cot Cos Sec
+ + - - - -
En el tercer cuadrante, tanto el cateto adyacente como
el cateto opuesto tienen sus signos negativos, ya que
caen sobre la parte negativa de los ejes. En este caso
la Tangente (y su inversa, la Cotangente) resultan
positivas (- : - = +)
Sen Csc Tan Cot Cos Sec
- - + + - -
En el cuarto cuadrante, el cateto adyacente vuelve a
estar sobre el eje positivo de las x, mientras que el
cateto opuesto sigue sobre el eje negativo de las y. En
este caso, las únicas funciones cuyo resultado será
positivo son el Coseno y la Secante.
Sen Csc Tan Cot Cos Sec
- - - - + +

10. Resumamos los signos de las funciones trigonométricas según el cuadrante en
tres cuadros sinópticos:
cuadrantes
II I
III IV
Seno -
Cosecante
+ +
- -
Coseno -
Secante
- +
- +
Tangente -
Cotangente
- +
+ -
Ley de los signos
Suma
1. Si los números tienen el mismo signo se suman se deja el mismo signo.
3 + 5 = 8
(−3) + (−5) = − 8
2. Si números tienen distinto signo, se restan y al resultado se le coloca el
signo del número con mayor valor absoluto.
− 3 + 5 = 2
3 + (−5) = − 2
Multiplicación y división
2 · 5 = 10

11. (−2) · (−5) = 10
2 · (−5) = − 10
(−2) · 5 = − 10
10 : 5 = 2
(−10) : (−5) = 2
10 : (−5) = − 2
(−10) : 5 = − 2
Potencias
1. Las potencias de exponente par son siempre positivas.
26
= 64
(−2)6
= 64
2. Las potencias de exponente impar tiene el mismo signo de la base.
23
= 8
(−2)3
= −8

12. Teorema de Pitágoras
El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa ("el
lado de mayor longitud del triángulo rectángulo") es igual a la suma de los cuadrados de loscatetos (los
dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).
Teorema de Pitágoras
En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de
los catetos.
Pitágoras de Samos
cuando se va a hallar la hipotenusa se resta. ejemplo: h^2= a^2 - b^2
cuando se va a hallar un cateto se suma. ejemplo: c^2= a^2 + h^2
De la ecuación (1) se deducen fácilmente 3 corolarios de aplicación práctica:
Pitágoras ( c²=a²+b² ) – Fórmulas prácticas