Este documento presenta información sobre la sucesión de Fibonacci, incluyendo sus propiedades matemáticas, cómo se representa mediante matrices y funciones generadoras, y ejemplos de su presencia en la naturaleza como en la disposición de semillas en girasoles y ramificaciones de árboles. También resume la biografía de Leonardo Fibonacci, matemático italiano del siglo XIII que introdujo este sistema numérico en Europa después de estudiar con matemáticos árabes.

1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA
EDUCACIÓN
ESCUELA TECNICA ROBINSONIANA “ENRIQUE
DELGADO PALACIOS”
GUACARA, EDO. CARABOBO
BIBLIOGRAFIA DE LEONARDO
FIBONACCI
Autores: Sergio Peñaloza
yeifer Eulate
Angely Caripa
María Saavedra
Dhina Pérez
Guacara, Junio del 2009
Sucesion de fibonacci
Algunas de sus "maravillosas"
propiedades son:
La suma de los n primeros términos que ocupan
lugar impar da como resultado
f2n. Ej.: 1 + 2 + 5 + 13 + 34 = 55
La suma de los cuadrados de los n primeros
términos es
fn · fn + 1. Ej.: 1 + 1 + 4 + 9 + 25 + 64 = 104 = 8·13
Si (a, b) es el máximo común divisor de a y b,
entonces
(fm, fn) = f(m, n). Ej.: (f10, f15) = (55, 610) = 5 = f5 =
f(10,15).
La verificación de la seria Fibonacci en tantos
fenómenos de la vida real, condujo a varios
estudiosos a observar la relación existente entre estas
matemáticas de la naturaleza y el comportamiento de
los mercados financieros.
Quizás sea esta la parte mas curiosa y llamativa, pues
se ha descubierto que la secuencia Fibonacci se
encuentra en la Naturaleza, dando forma a estructuras
físicas y definiendo el proceso de cambio de
estructuras dinámicas, tal y como lo manifiestan
diferentes autores en sus obras .
A finales del siglo XIX, el botánico A. H. Church, de la
Universidad de Oxford, descubrió que el girasol tiene
distribuidas sus semillas alrededor del centro en 89
curvas, de las cuales 55 giran en una dirección y 34
en la dirección contraria .
A raíz de este descubrimiento, los botánicos han
encontrado números Fibonacci en otras partes de la
Naturaleza, por ejemplo, la margarita forma un modelo
de espiral similar al del girasol en el centro de su flor,
y existe una gran cantidad de flores cuyo número de
pétalos es un número Fibonacci.
Un matemático de la Universidad de Arizona, Alan
Newell, y el estudiante Patrick Shipman han estudiado
recientemente los cactus para determinar por qué este
patrón numérico es tan universal. Estos
investigadores analizaron la forma de la planta, el
grosor de su piel y multitud de otras energías
biomecánicas que dirigen su crecimiento. Cuando
introdujeron los datos en el ordenador, descubrieron,
por sorpresa, que las configuraciones más estables
seguían las formas basadas en la serie de Fibonacci .
La secuencia Fibonacci también se refleja en la
espiral que formaron algunos árboles al desarrollar
sus ramas; el número de ramas existente entre una
determinada rama y la siguiente de la misma vertical
es un número Fibonacci, calculado incluyendo una de
las dos ramas correspondientes.
Forma matricial
Este sistema se puede representar mediante su
notación matricial como:
Conociendo a f0 = 0 y f1 = 1, al aplicar la fórmula
anterior n veces se obtiene:
y más aún

2. Función Generadora
BIBLIOGRAFIA
Leonardo de Pisa, Leonardo Pisano o
Leonardo Bigollo (c. 1170 - 1250), también llamado
Fibonacci, fue un matemático italiano, famoso por
haber difundido en Europa el sistema de numeración
actualmente utilizado, el que emplea notación
posicional (de base 10, o decimal) y un dígito de valor
nulo: el cero; y por idear la sucesión de Fibonacci
(surgida como consecuencia del estudio del
crecimiento de las poblaciones de conejos).
El apodo de Guglielmo (Guillermo), padre de
Leonardo, era Bonacci (simple o bien intencionado).
Leonardo recibió póstumamente el apodo de
Fibonacci (por filius Bonacci, hijo de Bonacci).
Guglielmo dirigía un puesto de comercio en Bugía
(según algunas versiones era el cónsul de Pisa), en el
norte de África (hoy Bejaia, Argelia), y de niño
Leonardo viajó allí para ayudarlo. Allí aprendió el
sistema de numeración árabe.
Consciente de la superioridad de los numerales
árabes, Fibonacci viajó a través de los países del
Mediterráneo para estudiar con los matemáticos
árabes más destacados de ese tiempo, regresando
cerca de 1200. En 1202, a los 32 años de edad,
publicó lo que había aprendido en el Liber Abaci (libro
del ábaco o libro de los cálculos). Este libro mostró la
importancia del nuevo sistema de numeración
aplicándolo a la contabilidad comercial, conversión de
pesos y medidas, cálculo, intereses, cambio de
moneda, y otras numerosas aplicaciones. En estas
páginas describe el cero, la notación posicional, la
descomposición en factores primos, los criterios de
divisibilidad. El libro fue recibido con entusiasmo en la
Europa ilustrada, y tuvo un impacto profundo en el
pensamiento matemático europeo.
Leonardo fue huésped del Emperador Federico II,
que se interesaba en las matemáticas y la ciencia en
general. En 1240, la República de Pisa lo honra
concediéndole un salario permanente (bajo su
nombre alternativo de Leonardo Bigollo).
Sucesión de fibonacci
En matemáticas, la sucesión de
Fibonacci es la siguiente sucesión infinita de
números naturales:
f1 = f2 = 1
fn = fn - 1 + fn - 2 para n >= 3
recibe el nombre de sucesión de Fibonacci y sus
término números de Fibonacci. Los primeros
términos de la sucesión de Fibonacci son:
f 1 = 1
f 2 = 1
f 3 = f 2 + f 1 = 2
f 4 = f 3 + f 2 = 3
f 5 = f 4 + f 3 = 5
f 6 = f 5 + f 4 = 8
f 7 = f 6 + f 5 = 13
...
Es decir:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377,
610, 987, 1597, 2584, ...
En ella f 14 = 377 es el resultado buscado por
Fibonacci.
Una función generadora para una sucesión
cualquiera es la función , es decir, una serie de
potencias donde cada coeficiente es un elemento de la
sucesión. Los números de Fibonacci tienen la función
generadora
x
f(x) = ----------------
1 – x – x2
Cuando esta función se expande en potencias de, los
coeficientes resultan ser la sucesión de Fibonacci:
x
_____________
= 0x0
+1x1
+1x2
+2x3
+3x4
+5x5
+8x6
+13x7
…
1 – x – x2
Fórmula explícita
La definición de la sucesión de Fibonacci es recurrente;
es decir que se necesitan calcular varios términos
anteriores para poder calcular un término específico. Se
puede obtener una fórmula explícita de la sucesión de
Fibonacci (que no requiere calcular términos anteriores)
notando que las ecuaciones.
fn + 2 – fn + 1 – fn = 0 con las condiciones iniciales
f0 = 0 y f1 = 1 el polinomio característico de esta relación
de recurrencia es t2 – t - 1=0.