1. Sucesión de Fibonacci
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Sucesión de Fibonacci
En matemáticas, la sucesión de Fibonacci (a
veces mal llamada serie de Fibonacci) es la
siguiente sucesión infinita de números naturales:
La sucesión comienza con los números 0 y 1, y a
partir de estos, «cada término es la suma de los
dos anteriores», es la relación de recurrencia que
la define.
A los elementos de esta sucesión se les llama
números de Fibonacci. Esta sucesión fue
descrita en Europa por Leonardo de Pisa,
matemático italiano del siglo XIII también
conocido como Fibonacci. Tiene numerosas
aplicaciones en ciencias de la computación,
matemáticas y teoría de juegos. También aparece
en configuraciones biológicas, como por ejemplo
en las ramas de los árboles, en la disposición de
las hojas en el tallo, en la flora de la alcachofa y
en el arreglo de un cono.
Gráfica de la sucesión de Fibonacci hasta
Historia
La sucesión fue descrita por Fibonacci como la solución a un problema de la cría de conejos: "Cierto hombre tenía
una pareja de conejos juntos en un lugar cerrado y uno desea saber cuántos son creados a partir de este par en un
año cuando es su naturaleza parir otro par en un simple mes, y en el segundo mes los nacidos parir también".[1]
Número de Mes
Explicación de la genealogía
Parejas de conejos
totales
Comienzo del mes
1
Nace una pareja de conejos (pareja A).
1 pareja en total.
Fin del mes 1
La pareja A tiene un mes de edad. Se cruza la pareja A.
1+0=1 pareja en total.
Fin del mes 2
La pareja A da a luz a la pareja B. Se vuelve a cruzar la pareja A.
1+1=2 parejas en total.
Fin del mes 3
La pareja A da a luz a la pareja C. La pareja B cumple 1 mes. Se cruzan las parejas A y B.
2+1=3 parejas en total.
Fin del mes 4
Las parejas A y B dan a luz a D y E. La pareja C cumple 1 mes. Se cruzan las parejas A, B y C.
3+2=5 parejas en total.
Fin del mes 5
A, B y C dan a luz a F, G y H. D y E cumplen un mes. Se cruzan A, B, C, D y E.
5+3=8 parejas en total.
Fin del mes 6
A, B, C, D y E dan a luz a I, J, K, L y M. F, G y H cumplen un mes. Se cruzan A, B, C, D, E, F, G 8+5=13 parejas en total.
y H.
...
...
...
...
...
Nota: al contar la cantidad de letras distintas en cada mes, se puede saber la cantidad de parejas totales que hay hasta
ese mes.

2. Sucesión de Fibonacci
2
De esta manera Fibonacci presentó la sucesión en su libro Liber Abaci, publicado en 1202. Muchas propiedades de la
sucesión de Fibonacci fueron descubiertas por Édouard Lucas, responsable de haberla denominado como se la
conoce en la actualidad.[2]
También Kepler describió los números de Fibonacci, y el matemático escocés Robert Simson descubrió en 1753 que
la relación entre dos números de Fibonacci sucesivos
se acerca a la relación áurea fi ( ) cuanto más se
acerque a infinito; es más: el cociente de dos términos sucesivos de toda sucesión recurrente de orden dos tiende al
mismo límite. Esta sucesión ha tenido popularidad en el siglo XX especialmente en el ámbito musical, en el que
compositores con tanto renombre como Béla Bartók, Olivier Messiaen, la banda Tool y Delia Derbyshire la han
utilizado para la creación de acordes y de nuevas estructuras de frases musicales.
Definición recursiva
Los números de Fibonacci quedan definidos por la ecuación:
(3)
partiendo de dos primeros valores predeterminados:
se obtienen los siguientes números:
•
•
•
•
•
•
para
Esta manera de definir, de hecho considerada algorítmica, es
usual en Matemática discreta.
Chimenea con la sucesión de Fibonacci
Representaciones alternativas
Para analizar la sucesión de Fibonacci (y, en general, cualquier sucesión) es conveniente obtener otras maneras de
representarla matemáticamente.
Función generadora
Una
función
generadora
para
una
sucesión
cualquiera
es
la
función
, es decir, una serie formal de potencias donde cada
coeficiente es un elemento de la sucesión. Los números de Fibonacci tienen la función generadora
(4)
Cuando esta función se expande en potencias de
, los coeficientes resultan ser la sucesión de Fibonacci:

3. Sucesión de Fibonacci
3
Fórmula explícita
La definición de la sucesión de Fibonacci es recurrente; es decir que se necesitan calcular varios términos anteriores
para poder calcular un término específico. Se puede obtener una fórmula explícita de la sucesión de Fibonacci (que
no requiere calcular términos anteriores) notando que las ecuaciones (1), (2) y (3) definen la relación de recurrencia
con las condiciones iniciales
y
El polinomio característico de esta relación de recurrencia es
, y sus raíces son
De esta manera, la fórmula explícita de la sucesión de Fibonacci tendrá la forma
Si se toman en cuenta las condiciones iniciales, entonces las constantes
cuando
y
y
satisfacen la ecuación anterior
, es decir que satisfacen el sistema de ecuaciones
Al resolver este sistema de ecuaciones se obtiene
Por lo tanto, cada número de la sucesión de Fibonacci puede ser expresado como
(5)
Para simplificar aún más es necesario considerar el número áureo
de manera que la ecuación (5) se reduce a
(6)
Esta fórmula se le atribuye a Édouard Lucas, y es fácilmente demostrable por inducción matemática. A pesar de que
la sucesión de Fibonacci consta únicamente de números naturales, su fórmula explícita incluye al número irracional
. De hecho, la relación con este número es estrecha.

4. Sucesión de Fibonacci
4
Forma matricial
Otra manera de obtener la sucesión de Fibonacci es considerando el sistema lineal de ecuaciones
Este sistema se puede representar mediante su notación matricial como
Conociendo a
y
, al aplicar la fórmula anterior
veces se obtiene
(7)
Una vez aquí, simplemente tenemos que diagonalizar la matriz, facilitando así la operación de potenciación, y
obteniendo por tanto la fórmula explícita para la sucesión que se especificó arriba. y más aún
(8)
Estas igualdades pueden probarse mediante inducción matemática.
Propiedades de la sucesión
Los números de Fibonacci aparecen en numerosas aplicaciones de
diferentes áreas. Por ejemplo, en modelos de la crianza de conejos o de
plantas, al contar el número de cadenas de bits de longitud que no
tienen ceros consecutivos y en una vasta cantidad de contextos
diferentes. De hecho, existe una publicación especializada llamada
Fibonacci Quarterly[3] dedicada al estudio de la sucesión de Fibonacci
y temas afines. Se trata de un tributo a cuán ampliamente los números
de Fibonacci aparecen en matemáticas y sus aplicaciones en otras
áreas. Algunas de las propiedades de esta sucesión son las siguientes:
• La razón o cociente entre un término y el inmediatamente anterior
varía continuamente, pero se estabiliza en el número áureo. Es
decir:
Al construir bloques cuya longitud de lado sean
números de Fibonacci se obtiene un dibujo que
asemeja al rectángulo áureo (véase Número
áureo).
Este límite no es privativo de la Sucesión de Fibonacci. Cualquier sucesión recurrente de orden 2, como la
sucesión 3, 4, 7, 11, 18,..., lleva al mismo límite. Esto fue demostrado por Barr y Schooling en una carta
publicada en la revista londinense "The Field" del 14 de diciembre de 1912. Los cocientes son oscilantes; es
decir, que un cociente es menor al límite y el siguiente es mayor. Los cocientes pueden ordenarse en dos
sucesiones que se aproximan asintóticamente por exceso y por defecto al valor límite.
• Cualquier número natural se puede escribir mediante la suma de un número limitado de términos de la sucesión
de Fibonacci, cada uno de ellos distinto a los demás. Por ejemplo,
,
.
• Tan sólo un término de cada tres es par, uno de cada cuatro es múltiplo de 3, uno de cada cinco es múltiplo de 5,
etc. Esto se puede generalizar, de forma que la sucesión de Fibonacci es periódica en las congruencias módulo
, para cualquier
.
• La sucesión puede expresarse mediante otra fórmula explícita llamada forma de Binet (de Jacques Binet). Si
y
, entonces

5. Sucesión de Fibonacci
5
y
• Cada número de Fibonacci es el promedio del término que se encuentra dos posiciones antes y el término que se
encuentra una posición después. Es decir
• Lo anterior también puede expresarse así: calcular el siguiente número a uno dado es 2 veces éste número menos
el número 2 posiciones más atrás.
• La suma de los
primeros números es igual al número que ocupa la posición
menos uno. Es decir
• Otras identidades interesantes incluyen las siguientes:
Si
, entonces
para cualquier
(Identidad de Cassini)
(con
φ
=
número
áureo)
o,
despejando f(n+1) y aplicando 1/φ = φ-1:
• El máximo común divisor de dos números de Fibonacci es otro
número de Fibonacci. Más específicamente
Esto significa que
y
son primos relativos y que
divide exactamente a
• Los números de Fibonacci aparecen al sumar las diagonales del
triángulo de Pascal. Es decir que para cualquier
,
Phi forma parte de una expresión de la sucesión
de Fibonacci.
y más aún

6. Sucesión de Fibonacci
• Si
, tal que
6
es un número primo, entonces
también es un número primo, con una única excepción,
; 3 es un número primo, pero 4 no lo es.
• La suma infinita de los términos de la sucesión
es exactamente .
• La suma de diez números Fibonacci consecutivos es siempre 11 veces superior al séptimo número de la serie.
• El último dígito de cada número se repite periódicamente cada 60 números. Los dos últimos, cada 300; a partir de
ahí, se repiten cada
números.
Generalización
El concepto fundamental de la sucesión de Fibonacci es que cada
elemento es la suma de los dos anteriores. En este sentido la sucesión
puede expandirse al conjunto de los números enteros como
de manera que la
suma de cualesquiera dos números consecutivos es el inmediato
siguiente. Para poder definir los índices negativos de la sucesión, se
despeja
de la ecuación (3) de donde se obtiene
De esta manera,
si
es impar y
si
es
par.
La sucesión se puede expandir al campo de los números reales
tomando la parte real de la fórmula explícita (ecuación (6)) cuando
es cualquier número real. La función resultante
Gráfica de la sucesión de Fibonacci extendida al
campo de los números reales.
tiene las mismas características que la sucesión de Fibonacci:
•
•
•
para cualquier número real
Una sucesión de Fibonacci generalizada es una sucesión
(9)
donde
para
Es decir, cada elemento de una sucesión de Fibonacci generalizada es la suma de los dos anteriores, pero no
necesariamente comienza en 0 y 1.
Una sucesión de fibonacci generalizada muy importante, es la formada por las potencias del número áureo.
.
La importancia de esta sucesión reside en el hecho de que se puede expandir directamente al conjunto de los
números reales.
.
...y al de los complejos.
.
Una característica notable es que, si
Por ejemplo, la ecuación (7) puede generalizarse a
es una sucesión de Fibonacci generalizada, entonces

7. Sucesión de Fibonacci
7
Esto significa que cualquier cálculo sobre una sucesión de Fibonacci generalizada se puede efectuar usando números
de Fibonacci.
Sucesión de Lucas
Un ejemplo de sucesión de Fibonacci generalizada es la sucesión de
Lucas, descrita por las ecuaciones
•
•
•
para
La sucesión de Lucas tiene una gran similitud con la sucesión de
Fibonacci y comparte muchas de sus características. Algunas
propiedades interesantes incluyen:
• La proporción entre un número de Lucas y su sucesor inmediato se
aproxima al número áureo. Es decir
Gráfica de la sucesión de Lucas extendida al
campo de los números reales.
• La fórmula explícita para la sucesión de Lucas es
• La suma de los primeros
números de Lucas es el número que se encuentra en la posición
menos uno.
Es decir
• Cualquier fórmula que contenga un número de Lucas puede expresarse en términos de números de Fibonacci
mediante la igualdad
• Cualquier fórmula que contenga un número de Fibonacci puede expresarse en términos de números de Lucas
mediante la igualdad
Algoritmos de cálculo
Para calcular el -ésimo elemento de la sucesión de Fibonacci existen
varios algoritmos (métodos). La definición misma puede emplearse
como uno, aquí expresado en pseudocódigo:
Cálculo de
Algoritmo 1 Versión recursiva (Complejidad
)
usando el algoritmo 1.

8. Sucesión de Fibonacci
8
función
si
entonces
devuelve
en otro caso
devuelve
Usando técnicas de análisis de algoritmos es posible demostrar que, a pesar de su simplicidad, el algoritmo 1
requiere efectuar
sumas para poder encontrar el resultado. Dado que la sucesión
crece tan rápido
como
, entonces el algoritmo está en el orden de
. Es decir, que este algoritmo es muy lento. Por ejemplo,
para calcular
este algoritmo requiere efectuar 20.365.011.073 sumas.
Para evitar hacer tantas cuentas, es común recurrir a una calculadora y utilizar la ecuación (6), sin embargo, dado que
es un número irracional, la única manera de utilizar esta fórmula es utilizando una aproximación de
y
obteniendo en consecuencia un resultado aproximado pero incorrecto. Por ejemplo, si se usa una calculadora de 10
dígitos, entonces la fórmula anterior arroja como resultado
aún cuando el resultado
correcto es
. Este error se hace cada vez más grande conforme crece
.
Un método más práctico evitaría calcular las mismas sumas más de una vez. Considerando un par
consecutivos de la sucesión de Fibonacci, el siguiente par de la sucesión es
de números
, de esta manera se divisa un
algoritmo donde sólo se requiere considerar dos números consecutivos de la sucesión de Fibonacci en cada paso.
Este método es el que usaríamos normalmente para hacer el cálculo a lápiz y papel. El algoritmo se expresa en
pseudocódigo como:
Algoritmo 2 Versión iterativa (Complejidad
)
función
para
desde
hasta
hacer
devuelve
Esta versión requiere efectuar sólo
sumas para calcular
, lo cual significa que este método es
considerablemente más rápido que el algoritmo 1. Por ejemplo, el algoritmo 2 sólo se requiere efectuar 50 sumas
para calcular
.

9. Sucesión de Fibonacci
9
Un algoritmo todavía más rápido se sigue partiendo de la ecuación (8).
Utilizando leyes de exponentes es posible calcular
como
Calculando
usando el algoritmo 3.
De esta manera se divisa el algoritmo de tipo Divide y Vencerás donde sólo se requeriría hacer, aproximadamente,
multiplicaciones matriciales. Sin embargo, no es necesario almacenar los cuatro valores de cada matriz
dado que cada una tiene la forma
De esta manera, cada matriz queda completamente representada por los valores
y
calcular como
Por lo tanto el algoritmo queda como sigue:
Algoritmo 3 Versión Divide y Vencerás (Complejidad
)
, y su cuadrado se puede

10. Sucesión de Fibonacci
10
función
si
entonces
devuelve
mientras
si
hacer
es impar entonces
devuelve
A pesar de lo engorroso que parezca, este algoritmo permite reducir enormemente el número de operaciones que se
necesitan para calcular números de Fibonacci muy grandes. Por ejemplo, para calcular
, en vez de hacer las
573.147.844.013.817.084.100 sumas del algoritmo 1 o las 100 sumas con el algoritmo 2, el cálculo se reduce a tan
sólo 9 multiplicaciones matriciales.
La sucesión de Fibonacci en la naturaleza
Los machos de una colmena de abejas tienen un árbol genealógico que
cumple con esta sucesión. El hecho es que un zángano (1), el macho de
la abeja, no tiene padre, pero sí que tiene una madre (1, 1), dos abuelos,
que son los padres de la reina (1, 1, 2), tres bisabuelos, ya que el padre
de la reina no tiene padre (1, 1, 2, 3), cinco tatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5),
ocho trastatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5, 8) y así sucesivamente, cumpliendo
con la sucesión de Fibonacci.
Dígitos en la sucesión de Fibonacci
Una de las curiosidades de dicha serie son los dígitos de sus elementos:
• Empezando en 1 dígito y "terminando" en infinitos, cada valor de
dígito es compartido por 4, 5 o 6 números de la serie. Siendo 6 solo
en el caso de 1 dígito.
Fibonaccis Traum, Martina Schettina 2008, 40 x
40 cm
• En los elementos de posición n, n10, n100,..., el número de dígitos aumenta en el mismo orden. Dando múltiples
distintos para cada n.

11. Sucesión de Fibonacci
Referencias
[1] Laurence Sigler, Fibonacci's Liber Abaci, página 404
[2] Handbook of discrete and combinatorial mathematics, sección 3.1.2
[3] Fibonacci Quarterly (http:/ / www. fq. math. ca/ )
Bibliografía
•
•
•
•
•
Kolman, Bernard; Hill, David R. (2006). Álgebra Lineal. México: PEARSON EDUCACIÓN. ISBN 970-26-0696-9.
Johnsonbaugh, Richard (2005). Matemáticas Discretas. México: PEARSON EDUCACIÓN. ISBN 970-26-0637-3.
Brassard, G; Bratley, P. (1997). Fundamentos de Algoritmia. Madrid: PRETINCE HALL. ISBN 84-89660-00-X.
Kenneth, H. Rosen (2003). Discrete mathematics and its applications. McGraw Hill. ISBN 0-07-123374-1.
Kenneth H. Rosen; John G. Michaels (1999). Handbook of discrete and combinatorial mathematics. CRC. ISBN
0-8493-0149-1.
• N. N. Vorobiov (1974). Números de Fibonacci. Editorial Mir, Moscú, Colección Lecciones Populares de
Matemáticas. Traducción al español de Carlos Vega, catedrático de Matemáticas Superiores y candidato a doctor
en ciencias físico-matemáticas.
• A. I. Markushevich (1974; 1981). Sucesiones recurrentes. Editorial Mir, Moscú, Colección Lecciones Populares
de Matemáticas. Traducción al español de Carlos Vega.
• Luca Pacioli (1946). La Divina Proporción. Editorial Losada, Buenos Aires.
Enlaces externos
•
Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre números de Fibonacci. Commons
• Fibonacci's Liber Abaci (http://books.google.co.ve/books?id=PilhoGJeKBUC&printsec=frontcover&
hl=es#v=onepage&q&f=false) vista previa en Google Books (en inglés)
• Sucesión de Fibonacci en Mathworld (http://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html) Wolfram en
MathWorld (en inglés)
• The Fibonacci Sequence (http://www.youtube.com/watch?v=P0tLbl5LrJ8) En inglés.
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12. Fuentes y contribuyentes del artículo
Fuentes y contribuyentes del artículo
Sucesión de Fibonacci Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=72522226 Contribuyentes: .José, 142857, Acratta, Agmalnero, Airunp, Alexlm78, Angel GN, Antón Francho, Arroy,
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David0811, Davius, Dbarreiro, Diegusjaimes, Dnu72, Donnacho, Edc.Edc, Edmenb, Edslov, Egaida, Emijrp, Ensada, Ep3p, Eridannus, Escarlati, Espilas, Evaristor, Fishbone16, Fixertool, Frei
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Kn, Korgzak, Krystina, Leonel mac, Leonpolanco, Leugim1972, Lfgg2608, MadriCR, Maestro de matemáticas, Magister Mathematicae, Maldoror, Matdrodes, Mel 23, Metronomo, Monra,
Montgomery, Morytelov, Muro de Aguas, Mutewitness, Nachoben, Neodop, NicolasAlejandro, Niqueco, Nolaiz, Obelix83, Oblongo, P.Squiva, P.squiva, Paul 14, Petruss, Potare, Pólux, Quijav,
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