Este documento explora la relación entre la sucesión de Fibonacci y el número áureo. Introduce la sucesión de Fibonacci a través del problema de los conejos de Fibonacci y explica cómo aparece en la naturaleza. Luego define el número áureo como una proporción geométrica y cómo se calcula. Finalmente, establece la relación entre ambos al señalar que si se dividen números consecutivos de Fibonacci, el cociente se acerca al número áureo.

1. Escuela secundaria técnica 118
Alumna: Carla Arias Silva
Profesor: Luis Miguel Villarreal Matías
Grado y grupo: 3°A
Materia: Matemáticas
Relación entre Número de Fibonacci y
Número Áureo
O3/10/2012

2. Introducción
En este trabajo revisaremos la relación entre dos grandes
series relacionadas con los números “mágicos” como se les
mencionaba anteriormente.
Y buscaremos una relación entre ellos.

3. Relación entre Número de Fibonacci y
Número Áureo
Leonardo da Pisa, conocido también como Fibonacci, fue un matemático ilustre de su
tiempo y uno de los primeros europeos en abogar por el uso del sistema de numeración
arábiga. Después de viajar durante años, en 1202 publicó Liber Abaci, libro en que
recopilaba los conocimientos que había acumulado durante sus viajes.
En éste aparecía el siguiente problema:
El problema de los conejos
Suponiendo que una pareja de conejos cría otra pareja
cada mes, y que los conejos son fértiles a partir del
segundo mes, ¿cuántos conejos se pueden tener al cabo
de un año?
La solución que dio Fibonacci fue que cada mes habría las
mismas parejas de conejos que ya había el mes anterior
(se suponía que no había muerto ninguno) más un
número nuevo de parejas igual al número de parejas
fértiles, que son las que ya había 2 meses antes. Si
escribimos una serie con el número de parejas que hay
cada mes, obtenemos:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89...
Esta secuencia recibe el nombre de sucesión de Fibonacci, y cada número es un número de
Fibonacci, que resulta de sumar los dos números anteriores.
Sucesión natural
Los números de Fibonacci aparecen a menudo en la naturaleza. Por ejemplo, se sabe que
de los huevos que pone la abeja reina en una colmena, si están fecundados nacen abejas
obreras o reinas, mientras que de los no fecundados nacen zánganos. Así pues, las reinas
tienen dos progenitores, mientras que los zánganos tienen sólo uno. El número de

4. individuos en cada generación de ancestros de un zángano sigue la sucesión de Fibonacci.
También siguen la sucesión de Fibonacci las ramificaciones de algunas especies de hierba,
flores, arbustos o árboles, así como la disposición de los piñones en la piña, o de las
florecitas que forman las flores compuestas como las margaritas. Y en el cuerpo humano,
los huesos que forman el dedo índice de la mano están en la misma proporción que los
números 2, 3, 5 y
8.
El
Número Áureo
Se trata de un número algebraico irracional (decimal infinito no periódico) que posee
muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como
“unidad” sino como relación o proporción entre segmentos de rectas. Esta proporción se
encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza. Puede hallarse en
elementos geométricos, en las hojas de algunos árboles, en el grosor de las ramas, en el
caparazón de un caracol, en los flósculos de los girasoles, etc.
Asimismo, se atribuye un carácter estético a los objetos cuyas medidas guardan la
proporción áurea. Algunos incluso creen que posee una importancia mística. A lo largo de
la historia, se ha atribuido su inclusión en el diseño de diversas obras de arquitectura y
otras artes, aunque algunos de estos casos han sido cuestionados por los estudiosos de las
matemáticas y el arte.
El número áureo es el valor numérico de la proporción que guardan entre sí
dos segmentos de recta a y b que cumplen la siguiente relación:
El número áureo es el valor numérico de la proporción que guardan entre sí
dos segmentos de recta a y b que cumplen la siguiente relación:
El segmento menor es b. El cociente es el valor del número áureo: φ.

5. Surge al plantear el problema geométrico siguiente: partir un segmento en otros dos, de
forma que, al dividir la longitud total entre el mayor, obtengamos el mismo resultado que
al dividir la longitud del mayor entre la del menor.
Cálculo del valor del número áureo
Dos números a y b están en proporción áurea si se cumple:
Si al número menor (b) le asignamos el valor 1, la igualdad será:
Multiplicando ambos miembros por a, obtenemos:
Igualamos a cero:
La solución positiva de la ecuación de segundo grado es:
que es el valor del número áureo, equivalente a la relación .
Relación entre número áureo y número de
Fibonacci
Ahora recordaremos dos grandes aspectos ya mencionados a lo largo del tema el número
áureo y el número de fibonacci recordando sus aspectos más importantes empezaromos
con la sucesión de Fibonacci y posteriormente con el número áureo.
La sucesión de Fibonacci es la siguiente sucesión infinita de números naturales:

6. Recordando que tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación,
matemáticas y teoría de juegos. También aparece en configuraciones biológicas, como por
ejemplo en las ramas de los árboles, en la disposición de las hojas en el tallo, en la flora de
la alcachofa y en el arreglo de un cono.
Los números de Fibonacci tienen propiedades matemáticas interesantes, y muchas
operaciones aritméticas entre ellos vuelven a dar números de Fibonacci. Una de ellas,
apuntada por el astrónomo Johannes Kepler es la siguiente: si vamos dividiendo entre ellos
números de Fibonacci consecutivos cada vez mayores, su cociente se acerca al valor
1.618033... Esta constante se denomina número de oro, número áureo o divina proporción,
y como ya mencionado hace unos momentos históricamente se le han atribuido
propiedades estéticas y he ahí onde encontramos su relación.

7. Conclusión
En estos momentos ya ha quedado claro su relación como ya
antes revisado se puede ver que todo se forma a partir de una
constancia que ahí se explica.