Este documento presenta las leyes de exponentes y ejemplos de su aplicación. Define potencias, incluyendo potencia cero y negativa. Explica cinco leyes: 1) multiplicación de potencias con bases iguales, 2) potencia elevada a otra potencia, 3) producto elevado a una potencia, 4) división de bases iguales, y 5) fracción elevada a una potencia. Proporciona ejercicios para practicar la simplificación usando estas leyes.

1. Leyes de Exponentes
Lic. Mat. Diego Yaipén Gonzales
Universidad Tecnológica del Perú

2. Objetivos
1. Conocer cuáles son y cómo se aplican
las leyes de exponentes
2. Aplicar las leyes de exponentes

3. Definición de una Potencia
an = a . a . a . … . a
n veces
Recuerda que si elevamos un número a (la base) a
una potencia n (el exponente) significa que se
multiplica ese número a tantas veces como indique
el exponente n.

4. Ejemplos
32=3.3=9
(-3) 2 = -3 . -3 = 9
5 3 = 5 . 5 . 5 = 125
(-5) 3 = -5 . -5 . -5 = -125
x6=x.x.x.x.x.x=x6
(-x) 6 = -x . -x . -x . -x . -x . -x = x 6
-x 6 = - (x . x . x . x . x . x) = - x 6
Recuerda que no
se multiplica la base
por el exponente.
Si la base es negativa
hay que encerrarla en
paréntesis.
Si no se ve paréntesis, la base es positiva y si
tuviera signo delante, el signo no le pertenece a la
base. Hay que considerarlo como el opuesto de lo
que sea el resultado de elevar la base a la potencia
indicada.

5. Ejemplos
32=3.3=9
(-3) 2 = -3 . -3 = 9
5 3 = 5 . 5 . 5 = 125
(-5) 3 = -5 . -5 . -5 = -125
x6=x.x.x.x.x.x=x6
(-x) 6 = -x . -x . -x . -x . -x . -x = x 6
-x 6 = - (x . x . x . x . x . x) = - x 6
Recuerda que:
-Si elevamos una base negativa a una potencia par, el
resultado es positivo.
-Si la base es negativa y el exponente es impar, el
resultado es negativo.
-Si la base es positiva el resultado es positivo siempre.

6. Definición de Potencia Cero
a0 =
1
Cualquier base que se eleva a la potencia 0, el
resultado es 1, o sea, equivale al número1.

7. Ejemplos
30=1
(-3) 0 = 1
135 0 = 1
(-275) 0 = 1
x0=1
(-x) 0 = 1
(x2y3) 0 = 1
Cualquier número ó expresión que se eleva a la potencia
cero, el resultado es uno.

8. Definición de Potencia Negativa
a -n =
1
an
-Un exponente negativo equivale a un
recíproco.
-Observa que el que es negativo es el exponente,
no la base.
-Observa que cuando se convierte al recíproco,
pierde el exponente negativo y se convierte en
exponente positivo.

9. Ejemplos
3 -2 =
(-3) -2 =
1
1
=
32
9 1
2 -3 =
(-2) -3 =
x =
-5
1
=
y
(-3)2
9
1
1
=
23
8
1
1
=
1(-2)3
x5
(x2y3) -7 =
x
-8
1
(x2y3)7
-3
=
y
3
x
-Observa bien cuál es la expresión
que se eleva al exponente negativo
y cuál es el resultado que se
obtiene.
-Observa cómo son los signos de
las bases, los signos de los
exponentes y los signos del
resultado.

10. Ejemplos
3 -2 =
(-3) =
-2
1
1
=
32
9 1
2 -3 =
(-2) -3 =
x =
-5
1
=
(-3)2
9
1
1
=
23
8
1
1
=
1(-2)3
x5
(x2y3) -7 =
x
-8
1
(x2y3)7
-3
=
y
3
x
y
-En el último ejemplo se obtiene el
recíproco invirtiendo la fracción.
-Para obtener el recíproco de una
fracción se invierte la posición del
numerador y denominador.
-Después de cambiar al recíproco,
se convierte el exponente a positivo.

11. Ejercicios 1: Simplifica
(-3)3 x0 y3 =
4 2 x y2 =
-27y3
16xy2
-42 x2 y0 z3 = -16x2z3
3x3 z2 =
2y0
3x3 z2
2

12. Ejercicios 2: Simplifica
1
2 -1 =
2
3 -3 =
x -2 =
2
3
-2
5
=
y -5
x -2
y -5
1
27
1
x2
= 3
2
2
= 9
4
=
5y5
y5
x2
-Como y-5 está en el denominador,
su recíproco aparece en el
numerador y pierde el exponente
negativo. En este caso
desaparece el denominador ya
que no queda ningún término en el
denominador.

13. Ejercicios 3: Simplifica
-5 2 x 2 y -3 =
-25x2
y3
(-4) 2 x -2 y 0 z -3 = 16
x2z3
y2
4 -2 x -1 y 2 =
16x
8 x -3 z 2
y -4
=
8y4z2
x3
-Recuerda que solo se cambia
al recíproco los términos que
están elevados a una potencia
negativa.
-En este caso, la base 5 es
positiva ya que no está
encerrada en paréntesis. El
signo de negativo hay que
considerarlo como el opuesto
del resultado de elevar el 5 al
cuadrado.

14. Ley 1: Multiplicación de Potencias con
Bases Iguales
a n . a m =a n+m
Al multiplicar bases iguales se suman los
exponentes
Ejemplos:
45.42=4
x2.x
.
7
x4= x7
x 2 . x -3 . x -1 . x 8 = x 6
No se puede aplicar esta ley ya que las potencias
3
x + x = no se están multiplicando. La ley aplica cuando
tenemos una multiplicación, no aplica en suma.

15. Ley 2: Potencia elevada a otra potencia
(a n ) m
= anm
Cuando se eleva una potencia a otra potencia, se
multiplican los exponentes
Ejemplos:
(x 2 ) 3 = x 6
(5 3 ) 4 = 5 12
(y 7 ) 0 = 1
(6 2 ) –1 = 6 -2 = 1 = 1
62
36

16. Ley 3: Producto elevado a una potencia
(a b) n = a n b n
Cuando hay una multiplicación de dos o más términos
elevados a una potencia, se multiplican los exponentes de
cada uno de los términos.
Ejemplos:
( x y ) 3 = x3y3
( 2 x ) 5 = 25 x5 = 32 x5
( 3 x 2 y 4 ) -3 =
1
(3x2y4)3
(x + y ) 2
=
=
1
27 x6 y12
No se puede aplicar esta ley ya que no
hay una multiplicación, hay una suma.

17. Ley 4: División de Bases Iguales
a
m
an
=
a
m-n
(si m > n)
Ejemplos:
7 5 = 7 2 = 49
Al dividir bases iguales se
restan los exponentes. Se
resta el exponente mayor
menos el exponente menor y
se coloca el resultado donde
esté el exponente mayor.
73
=
72
5
73
75
=70 = 1
75
x3
1
=
= 1 7
49
x
x2

18. Ley 5: Fracción elevada a una potencia
a
b
n
= an
bn
2
x
  =
 y
 
y

 3

5
2

 =


2
x
y2
10
y
9
Se eleva cada término de la
fracción a la misma potencia n.
3
x 
 2 =
y 
 
3
−3
 y
 5 =
z 
9
x
y6
z15
3
y

19. Simplifica aplicando leyes de exponentes:
9 15 . 9 3 =
918
x 3 . x 12 . x =
x2+x5=
x16
No aplican las leyes de
exponentes. Se queda igual.
1
x
Haz clic para ver resultados
x -2 . x -3 . x -1 . x 5 =

20. Simplifica aplicando leyes de exponentes:
(m 4 ) 5 =
m 20
(3 12 ) 3 =
3 36
1
(x 9 ) 0 =
(4 3 ) –1 =
4 -3 = 1 = 1
43 64
Haz clic para ver resultados

21. Simplifica aplicando leyes de exponentes:
( x y )3 =
x3y3
( 2 x )5 =
25 x5 = 32 x5
( 3 x 4 y 5 ) -3 =
1
( 3 x 4y 5 ) 3
(x + y ) 2
=
=
1
27 x12y15
No aplican las leyes de
exponentes

22. Simplifica aplicando leyes de exponentes:
x4 =
x
y 19
y 18
=
m 13
=
m 23
x 63
63
=
x2
2
y
1
m10
x 0 = 1
x

23. Simplifica aplicando leyes de exponentes:
m
=
n
x6
2
3
=
m5
x
n5
5
y4
x
18
8
x7
y5
-8
=
y32
x8
-3
=
y15
x21