libro de fisica 11

2. }
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Ricardo Ramírez S. lf'
Mauricio Villegae � I
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Ed11cacióa Metlia Voc:ac:io..i
�·Ác;__
VOLUNTAD
FISICA

3. lnvestiguerros
LA SERlE INVESTIGUEMOS. ha sido elaborada uglln ti pla" dtf
E.ditory baio su �poruabilidad por /(JI sigu�ntes
inltl{TU'11U dtl Dtpamlnunto dt lnves1igodón E.dUaAriva
de EDITORJAl VOLUNTAD 5.A
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Riotlrdo Ramlret S.
MAu,x,io Vr/1.tlt,GI R.
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An:llivo Voluntad
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lHr«diM lfflfffll
Carlos Willi'1m Gdfmt R.
Dlrwrló,, � .....
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VOLUNTAD
•eo,,,.w,. EOITCMtlAL VOI..UNTADSA. 111119
o..r.hoo-. fa pn:,plcdod .... Ediool"
toa� •PI*"-�..lada
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5. [lfl 11
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El curso antcnorde Fisica. se iniciócon el estudiode losmovimientosen
!a nalur<1lc,.., .u,.,li,..<ndo el más scnc:1llo de ésros. el movimiento a lo
largo de una travcctoria rectilínea. Consideramos sus dos clases más
elementales, el nÍovimicnlo uniforme que se obtiene cuando la f1.!C'l'U
resultante que actúa sobre el cuerpo es nula; luego el movimiento
unjformcmcnte acelerado. que es producido por una fuen..a resultante
constante. Como aplicación dc csre Ultimo movimiento, se <-'Sludió, la
calda de los cuerpos cerca de la superficie terrestre.
En el capitulocuarto se estudió el movimiento en el plano: primero
se combinaron dos mcverucmos con vejocjdad constante que actUan
cn diferentes d,n:cciont.'S, luego uno con velocidad constanteycl otro
con aceleración constante, que es el que sigue un cuerpo que se lanza
formando cieno angulo respectoa la horizontal. Finalmente se estudió
el movimiento circular unifom,c que es producido por una ÍUCT7.a
constante en magnitud, pero variable en drrección. qUI." está dirigida
siempre hacia el centro de La travectona v recjbcel nombre de Iucrza
ccn1ripc1aLEn este capitulo ,·aJTI05 a esluchar el moesnemo de un
cuerpo cuando la fuen.a resultante que actúa ..ub,._· ;;1,_.,. 'd1iablc ""
magnitudv dirección ;'' en nuestro caso corresponde a la fucn.a que
ejerce un cuerpo eListicocuando sufre una deformación;'' lut:go 9C deja
libre de tal forma que vibre alrededor de su punto de equilibrio.
Consideremos una masa que ._.,.,a atada a un resorte: para simplificarel
estudio dl-spn.:ciarnos el rw.amk-nto entre la sup,.Tficic y el bloque
Si ejercemos sobre la masa una fuerza F que la separa de su
posición de cquíhbrio.cl resorte ejerce una fucn.a en st.-ntidocon1rario
que ucndc a llevarla a su posición inicial; esta Ultima Fuerza recibe el
nombre de Fuerza recuperadora (figura 11).
S, sallamos la masa dcp.ndola libre, La fuerza recuperadora del
resorte la lleva hacia la posición de equilibrio. pcrudd>i<loa la inercia, la
masa no se deuene en este punto, sino que continua mo,•icndosc hacia
la Izquierda. Desde el momento que la masa pasa por el punto O. la
Iucrea recuperadora cambia de scmoc y ahora se dirige hacia la
derecha. Debido a la acción de esta fuerza. la masa se detiene;'' 1ut1,'0SU
, clocidad cambia de sentido, n10,•K.'ndosc hacia la derecha. hasta pasar
nuevamente por el punto de cqu,librio. Dt.· esta forma el movimien10
lU<llinUa Cll ÍOITI13 pcriódiC3.
Se dcfme,cl movimiento aml()nicosimplc como un mo•·imiento
periódico producido por una fuen.a recuperadora.
El movimiento de la masa obedece a una lev n:prescntada por'una
lcv sinosotdal.
Introducción
Concepto de movimiento armónico simple

6. ( TALLER 1)
Fuenas recuperadoras
Paraddirurd rnovirnientoarmónioosmlc:,le, oe«si-
� hablar de las foenas recupendoras. Esl.a ac-
undad te pemutirll i:omprcndtt cuál es el fwx!a
mento tk dichas fucnas.
Si 1omamo,; un resorte cualquiera )' de él sus-
peo,demos una masa m. obser, amos que d resorte
"" defonna adquiriendo una longitud maya
l. <Deque variableidependedlcha deformación.>
<De la masa suspendida.> <De la calidad dd
-- .
Si � la misma masa de dos resones
d,fercntcs. .-sera idénuca la deformaóón m k,s
""'°"""'
En la siguien1e grafica"" dustran las diferentes
ddonnacione5 quesufre un re50fle, cuando de
él suspendema¡ difn-mtes !l'la§3S.
-¡
2. Cada mas. "'5pCl'ldida 1� un v.slor de 0.1 kg.
Haz una tablade datoedondc s,i, tabule la fuena
� � d ouone quec,¡i¡¡ual al pe,<>de La.
nwa mabdocn NN.100 y la de.formación que.,
sufrr el resorte medida en rnctrus.
J. R� una gráf,cadc Fconirax. Debesteneren
cuenta quexno representa la loognud del c......-
1e. "'"" su deformación que es igual a la longitud
que adq� ml'l'IO& la loogitud mloal.
x• L- lo
La gráfica te mdx:a que las dos magni1udes son
direclamente propordonalcs ¡>Of'que su �
sent.ación es una lin.-a r=ta y ésta pasa por el
origen. RecUttda que dos magmtudcs directa-
mente proporc,onales eslan hgadas por un co-
c,cnte constante
..f. • k de OOJde F • k.t
'
Donde k represente la constante de elasucded
del resorte y se mide en N/m. Sin embargo. la
fuerza que produce un mo'lmiento annónico
simple no es la fuerza F cUflSK!e,-ada, porque
ésta es la cjen:Kia sobre d resorte y no la cj,crcida
por el resorte que es su reacción
S. u1ilizamos la tercera k-y de Nev,1on mcon-
tramos qui, la [uer,a mcup,...-adora F c,crcida
por un resorte, es din:ctameme proporcl()ruli al
tamaJo ,k la dd"amaoón.
! F�-kx(LeydeHooke)
J
f. ¿Porquése ha imr"Oduc1doun!>igr,omcnosen la
«uación? Uuhz.a la tercera lc.-y de N;:v,1on para
tu respuesta
Ob!,er"a q,,.- la fuerza F y la deformación x
tienen cankicr vcctonal por lo tanto dcbemofi
considttar su ¡,ent,do al andW'.u- el movmucmo.
¿Puede la conslante k tener un valor negativ&
En la figura l..l , L'ITIOi que F y xsl�'fllpr'I: tienen
sentido comrarlo. por lo ramo. �¡ con'Sl<lernrno,,
la deformac,ón x p:,gítiva, CTl(OIICCS la fuer,a
r«upcradora F sera nqativa; lo mismo,; x es
nega1iva. cntOFIC'CS F es poráti, a.
5. Indica un pr'()CL'Wmi..'110quc te permita medirla
conslamc de elasticidad de un resorte
6. AnllliJ.a la K>lución dada a los 51iulcllll'S proble-
rn;is y resuelve b interrogantes que en dl<ll se
plam�-an.
L ,Cuál es !a constante de d�hcidad de un
rcsortcsi al ejercer sobre él una fuero, de 12 N
se dd'onna 20 cm?
Sabemos que F• lu(donde Fes la fuerza exter-
na �-jercida�
k .E.
x
La constante de elasticidad del resorte es 60
N/m. lo cual s1gmfica que para defonnarlo un
mclro hay que tjc.'t'Ccr una fuer,.! de 60 N.
k• l2N •60N/m
02m

7. b. ¿Qué fm.T7.a SC"debc hac« $Obre un resoetc
para dcfonnario 20 cm. si sabemos q..., al sus-
pcnckr de CI una masa de 2 kg. sufre una defor.
moción de 45 em?
Se hallll la ronstame de elaSlicKL'ld:
k � ..!!!& · k - (2 kg) (9.8 mis-') .. 43.SS NJm
.< ' 04Sm
k•4355 N/m
Luego la fucn.a que se debe aplicar se calcula
ron la eicprcsión F = lu.
F "(4355 N/m)(0.2 m)• 8.71 N.
r-,..1.1
En algur>06 ceses "" Ull."fl 005 o más, l'C50ftes.
¡ara logror un ef«to diÍL°l'l."fltC. S, un resorte se
ma a contmuación de otro, con un punto en
comUn, se dice que están unidos en !W..-ric. S, en
cambio k,s dos e,tn,mos de los 1'<.'SOl"ICS son
NWn, ........ "' ••nión""...., pani..'K>.
Al aplicar la misma ÍUL'f"l.l a los dos sistemas. la
defonnac,ón que sufren los n.-sonet1 es
difaeme
�ffl-
�
�
-·· -ffl-
"V,; [¡_
•• -----..
..,.
c. Oemo,.tr-Jr que do,, , esorU'S de com,1an1e de
da,ticodad k, , k,. al fonnar un srstema en sc.-tie
:ICIÍlan como un solo rcsone d..- constante:
k•�
k, +k,
.............
La dlfurmación total del si:s1ema es
x•.<,+x,dondex,•f,
yx,•f,
�
��
-�
P,g. 17
x • : + kF . al h.accr F fac1or connin
' ,
,,.._
x•F( t.+ �' ).�x•. r
..E.;F(.l.+..!..)
k k, k, .
..!.. .. .l.+..!..
k k, k,
o sea que: k • ..h.:!i..
k, +k,
7. R�'Suche b sigwcn1e1 probk'fflaS.:
a. Ou� f� se debe ejercer sobre un resorie
de COISlantc de dasticidad 8 N/m, para defor,
marlólScm
b Un bloque de 4 kg de masa ee comJ')nm('
contra un nso11c de constante de elasticidad 8
N/m .
Cuando cl n'50Mc se h.a compnmido 12 cm se
deja hbn, de tal fonna que la masa salga wspa..
rada. Si suponemos que no e'USle rmamicnto
cmre la supafkic, cl bloque. calcular
1} la fu,'t'?lO ".l<'""'ida por d r"""'1.r en d mo
mento de de,..,- la masa bITT.
2) UI acclcraclÓll que eic�'fimenta la m-
3) La ,docidad q""' adquicn;y la dtstancia re-
comda a los S s de dejar el n..'!>Ol'1e.
e Se poseen tres resceres de ronstamcde clasti·
cidad 2 N/m cada uno Indica por medio de
diagramas la fonna como se deben unir para
ob1�ner un sistema de constante de cla.o;1kodad:
1)6N/m 3)o.66N/rn
2)3 N/m 4) 1.33 N/rn
d. Demuestra que al colocar dos resortes de
constante de dn..ticidad k, v k, en parald,1, d
Sbtenm func1011a romo un solo rescere de CONI
tantck•k,+k,

8. Ecuaciones del movimiento armónico simple
Para deducir las ecuaciones del movimiento armónlCO simple. utiliz..1-
n,m()(¡ un rnnrl.-ln 8(.'(lffl(•trko que censure en proyectar en uno de los
ejes el mcvimcruoque sigue una parucula O. que posee un mO'imicnto
circular urníonnc.
En el tk'mpo 1 •O.la partícula O coincide en la posición A con ta
pankula P que es su provecclón. Cuando O ha rccorrdc un cuarto de
circunÍt.'T"Cncia. P se encuentra f..'11 el purucdc equilibrio. Nu<.
0
•amcnlc P
, Ocoiocidt.'fl cuando ésta úhima ha rccomdc media circunferencia �·
se encuentra L'Tl el punto B. Cuando O recorre 3/4 de circunÍ<.'T"Cnci.1. P
6" L'TICucntr;l. not.''amcntc en el punto de t.-quihhrio. Finolmcntc :le
compll'ta la trayectoria cuando O v P vuelven a su posición inicial.
' '
� .:.t • .,.., .:.:-:;:L •·•
-----,'' :
' : '
: i :
• •
Términos asociados al movimiento armónico simple
Algunos ténnino:s empicados en el movimiento armónico simple cuvos
significados se deben conocer son los siguicnK-s: ·
Oscll.dón Es el movimiento efectuado por la panícula
hasta volver a su ¡:osición inicial recorriendo
todos los puntos de su rravecroría. En nuestro
ejemplo oscilación es el movimiento efectuado
por la partícula P que parle de A. llega a B y
regresa nuevamente a A.
Pmoclo (T) Escl uempoque tarda la panícula en hacer una
oscilacion. S.., mide en �,ndos.
Frrcuencla (f)
Puneode
equlllbno
Amplttud (,)
Escl númcrodc oscilecioncs que realiza la par-
tícula en la unidad de tkmpo. Se expn.'$3 en
oscílacíoncs Por !>Cgundo pero opcracional-
mente se emplea ünicnmi.•n10..• 5-1.
Es evjdcnre que Frececncía v periodo son
1 1
Inversos. f.T• l;f•y o T•7
Esd punto de la travcctortacn t-l cual. la fuerza
recuperada es nuia. En nuo..'SlnJ ejo..'mplo el
pumo ü
Son los dos puntos extremos de la cra.,·o..-ctoria
en k!!> cuales el rnovenícnro cambia de senudo.
Es el desplazamiento de la panícula en un ins-
tan1e dado. referido al pun10 de equilibrio. S..,
mide en nietro, o eentunctro...
&, la maxrma elongación que puede tener la
panicula, también se mide en metros o centí-
metros. La distancia entre los dos puntos de
retomo es 2A.
7

9. o
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F,r.110
F1S-I II
Bn._..... _
c....,.. _.,._
lllleato .wl6alco ......
,.._
Ecuación de la elongación
Consideremos que en un tiempo t. la part[cula O se encuentra en la
posición indicada y su proyección P sobre el eje horizontal en el purno
dodc,
El ángulo barrido por el radio Re� 8. Al aplicar la rclación:
cos 8 • ; y despejar x, se obticne x• R cos 8,
Al considerar el eje horizontal vemos que R es la máxima clanga·
ción. Luego x= A cos 8.
Rcconicmos que en un movimiento circular uniforme, la veloci-
dad angular indica el ángulo barrido en la unidad de tiempo w .. .!..;
luego8•w t. t
Se concluye que:
1
X= A cos W t
Ecuación de la velocidad
U partícula O que posee movimiento circular uniforme lleva una
velocidad tangencial constante en magnitud, pero variable en direc-
ción v=w R
Descomponemos la v en las direcciones honzontal y vertical donde
v,
scn8= y
Obscr'cmos quc v, tiene sentido negativo en esta posición. por lo
tanto v. e -v sen 8. El signo negativo lo intrcduclmos para iodicar el
sentido de la velocidad.
Como v e wR y 8 = w t. nos qul'da que v, --wR sen w t. o sea:
v=-wAsenw t
Ecuación de la aceleración
La aceleración que experimenta la partícula O va siempre dirigida
hacia el centro de la trayectoria y por esta ra:r.ón se llama aceleración
centripcta; es la encargada de variar la dirección de la velocidad
tangencial.
La dcscomponl'TTIOS en sus dos ejes, vertxal y hori1ontal y aplica-
P1001 11 •
x=A.coswl mos la relación 1rigonométrica coseno: cos 8= ..!!_
..
v�,
V=-A.waenwt
U accleracén en el eje horizontal tiene sentido conlrario a la
elongación que consideramo5 positiva, por lo tanto a,: -a.: cos 8.
En un movimiento circular uniformc ac = wl R. de donde sc con-
•=-AW1 coa W t cluycquca, .-wi Rcosw to sea:
'
a,=-w2Acoswt

10. ( TALLER 2)
9
r
r "
T T
.L
•'
.(-';'-)
Aw ----------
........ ---
Olro exlremo de su ITIO'Ímiento. Luegu el
CUCflJO se muen: en dirección contraria,
hasta pasar nuevamente en t • T por el
puntodeequihbrioi-0 Finalmente se com-
pleta la oscilaaón cualldo la masa llega al
punto inicial .t • A. para t • T.
5. LII siguiente grif1eade v wntra t, rc¡:,rucnta
la forma como cambia la 'Clocidad en (un-
ción dd tiempo, en una particula que po$eC
MAS
x» A cosc.,t
x"" lOcmcos
[ 2;
(-f)]� IOcmcos -f
.t = {lOcm)(O.S) - S cm
Fls, 1 IJ
Analrz.a la gr.íflca de la figunt 1.9 y describe
como es la velocidad en cada uno de los pun-
!OS de recomo y en el punlo de a¡u,bbrio.
0Cu1ndocs millima la ,·elocidad" ,'Cuándo es
nula?
6. RealLta una grifica de a wntra I y describe
cómo ts la aceleración en cada uno de los
puntos de retomo y en el punto de equilibrio.
,c<W,..Jue,,, ,ni.,ima la acelernción? ,'Cuando
es nula? ¿Qué significa la ampl¡tud en la
gráfica?
7. A panir de las ex¡x-esionc,; ,r; = A 005 c., 1 y
a�_,.,.,, cos "''· demuestra que a E - c.,>..:.
l. La. ,·clocidad de la panlcula tambténse puede
expr.-saren función de la elongación a panir
de lase<:uaciones x•Ac'j"'J 'V;-""'sen c.,t
Dernucstraquev•:tc., A - .
9. A continuación aparecen resuellos algunos
problemas de aplicación del movimiento ar·
mónico sunple.
a. Un CU#ffpo que oscilo con A-U.S. d� /Oc,,,
deomplitud.posu unperiododedm�gu,u/m.
Ullculor: lo �/qnj¡l/lción. ,oe/ondad y aalero-
ctón ,c,,am/o ha transcurrido un sexto d�
""""'
Soludón:
l. Cikulo de la elon,adón
'"''
A --··----------
1(1)
�-+�-I-�I,--�·.!I�-,i----',:r,,._
• 2 • •
-A----- , -
El M.A.S. como proyección
del movimiento circular
sobre el eje vertical
Se han deducido las fórmulas para la elongación,
velocidad y aceleración en un movimientoarmó-
nleo simple. urlljzando la proyección del movi-
m�nto cl�ular uniíonne en el eje horizontal. Si
en cambio, SC" hubiera proycctado sobre d eje
vertical las ecuaci<:mes resuhante1 se-san diferen·
'ª
l. Demuestra que.xK A""" w r. •• ""l'roy....-,,. ,,1
M.C.U. = d e,ie ,ertical
2. Haz un anáhsis similar al ,seguido en el libro y
demuestra que,.,• Aw cos wt, SI se proyecta
d M.C U. en el eje vertical.
J. Reali1.a un procedimiento similar y demul'S·
tra que a, • - Awl sen w1 si be proyecta el
M.CU. en el eje vertical.
En este libro continuaremos utilizando las
fórmu],.. que :ipo.re<:<"n en el rccundro de la,
página anterior. Su escogencia no es un
capricho. responde al análisis de las condicio-
nes iniciales que de!erminan el tipo de movi
miento.
Paradarorigeo al movimiento. se dd,e SCpil·
rar el cuerpo que va a oscilar de su posición
de cqui!íbrio hasta el punto situado a una
d,stan.c:ia A: en ese momento para t • O. la
don¡ación C3 mixima. x • A
4. En laexpre'S>Ón ,r;•Acosc.,t.dcmuestraqucsi
t • O, la elongación es máxima.
Al ana!í1.ar la elongación de una panícula que
posec M.A.S.. a travé!; del tiempo oblcnen>OS
Ullf &ráfica de la siguiente fom1a:
fll. 1 u
Si anali.tamos porejemplo la masa queoscila,
atada a un resorte en la hgurn 1.3, observa-
mos que en t •O.la masa secncucntra en su
máxima elongación ,r; • A: rranscumdc un
cuano de pcriodo. el cu...rpo llcga al punto de
cqud1brio O, dondc x • O: cuando sc completa
mediaoscilación en IE f. el cuerpo llega al

11. IO
�aqueseutilizóu• 2;. El tkmpono
fue necesario calcularlo porque seexpresóen
función del periodo t • 1. : el :.ngulo se
midió en radianes. 6
2. C61culo de I• velocidad
,·•-A,.,scnwl
v-(-Ocm)(�:)�n[ 2; (
f)]
,.. - JO,r�sen ..!. � -&.66 f!!l. -lllan/s.
' 3 '
En esre c�rcicio de las unidades de
(w] .a:·.los rad,an�>s no aparecen. Explic.a
el por que.
3. Cikuk, de 1• •eeleraclón
• • -N.J' CO$ WI
••-(10cm)
( ;::) 1
ces
[
1fj([f)]
a• - 101r• cm/s' cos f•-511'"' cm!,•
a•-49.J4cm/s>
b, Qifculorlo wfocúwdyace/eración md.nmQ
de "" cuerpo q11e posee MAS de 8 cm de
at>¡plitiJy 4 s de �rfodo.
1. Cálculo de la veloeldad mixlma
La expresión v • -Aw sen wt obtiene su
mhlno valor cuando sen wt � í l.
Por lo tanto. v..... • Aw
v-•(8cm)(!:)=
12 56cm/!S.
2. Ciki.llo de la a��clón mhlma
La aceleración mb1ma se obtiene cuando en
la expre,;ión a •-Aw' cos wl, cm w1 • ± l.
__,.,.,,
a..., ª(8cm)
(�;:, )•
l9.73cm/s'
c. ¿Ql,i rie,.,po .,,f.,,modebe /ranscurn"rporo
que""" portfcl4/a que ose,� con M.A.S de /2
cm deon1p//tudy 4 s de �rfodoolcGnce """
elongació,, de 8 t:••,., ,Out wlocidad flel!O 111
dicho ÍttS/Q/1/e.)
Soludón,
l. Cikulo del tiempo
De la exp�sión x • Acoswt se drsp,:,ja el
"'"""
c:os ut • f; wt es :.ngulo medido en radia-
nes cuyo coseno vale f ·
C0S W1 • �2�:,;
C05 Ut • 0.66;
1 - 0.84 rad • 0..53 s
2 rrrad
---¡;-
2. Cileulo de i. velodclad
V • ± W .¡¡¡r:::-¡r
v•±(�;)
v'(l2cm)' (8cm)'
va±..!!... .J80cm'
c(±...!!....)cc894)cm)
2s 2s
V•±]404�
•
¿Cu:.I de los dm ,,alons de la velocidad
debemos tomar. el p;,,<itwo o el negativo?
Halla la velocidad aplicando la exprcstón
v•-A,,,senwt.
10. Ro,suelve los siguientcs problemas:
a Una p.a.rtkula05Cila con movimiento armó-
nico simple de 20 cm de ampl,tud y 1.8 s de
periodo. Calcula la elongación. ,·eloeldad y
aceleración cuando ha transcunido un tercio
de periodo.
b. Calcula la ,·elocidadyaceleración mA�ima
de una partículaque posee, A-1.AS. de SO cm de
ampl,tud y 6 s de periodo.
c. ,Oué tiempo mínimodebe transcurrir para
que una partícula queoscilacon M.A.S. deO 8
m de amplitud y rcaliza0.2oscilac,ones cada
s,,gundo alcance una elongació<l de 0.5 m?
. d Un cuerpo oscila con M.AS. de 16 cm de
amplitud y 2.5 s de periodo. ¿Qué ,·eloc,dad
y aceleración lleva cuando ,;,, encuentra a
lO cm del punto de equilibrio. .
e. Al seguir la tra)·eclona de un cuerpo que
posee M.A S • se OOSCl"·an y consignan los
siguientes datos: cuando la elongacKm es
8 cm su velocicbd es de - 2 m/1 y cuando la
elongaci(m « 6 cm. la vnocldad que se, mide
es de - 4 m/5. Basado en estos datos calcula
perfOOo y amplitud del morirniento.
f. Calcula la velocidad mi�imaque adquiere
una masa de 2 kgatada a un t"QOMe decons-
tame dc elasticidad k • 4 N/m. si$(' desplaza
SO cm del punto de cqullibrio.
F... l.l�

12. '
'
•
,'
,
,
,
,
,'
,,
,
,,
•,
'
Vemos cómo el trabaJO realizado dq,cnde de
la elongación a la cual defOITllamosel resorte.
Inicialmente el =rte se deforma una longi-
tud igual a la amplitud del movimiento por lo
que encontramos que el 1rabajo realizadoy la
encrgia potencial Inicial del sistema m'asa
kA'
resone es Ep=-2
-
Dcl acuerdo con la ley de conservación de la
cn,:rgia mecánica. la t'CU:ación cnergélkll del
SI!ltcma en cualquier mstante de su trayt'CIO-
ria resulta ser:
kA' kxl mv'
-,- • -,- + -,
-
Donde k Al C5 la energla mt'Cánica del
2
sistema
k( es la energía potencial en una elonga·
ción,:.
m2v' es l:a cncrgia cin'"1:ica de la masa en el
mismo instante. •
Los siguientes gráficos ilustran las ,·atiacio-
nes de la energía cml,hca y potencial en fun-
ción del ncmpc y en función de la elongación.·
F'I, 11�
( TALLER 3)
•
Al considerar el ejemplo de la masa qur se
encuentra atada a un resorte. "CfflOS que para
iniciar el mo'im1ento es necesario realizar un
u-abajo sobre la masa m con el fin de desplau.rla
de su posición de equilibrio Este trabajo se con-
vicrie en un tipo de energía que Uamamosencrgia
potencial clastka y depende de la amplitud que le
ckmos al m.:win1ieulu.
Cuando se deja la masa h�mente, kta
comien1,a a adquirir 'ekxidad osee cncrgia cmé.
tica a costa de la energía p01cncial dástica inicial.
Cuando la masa pasa por el punto de eqwhbrio
toda la cncrgia inicial se ha convcr1ido en emética.
ya qoe en este punto no existe energía potencial.
Después la masa com,cnta a perder energía
cinetica porque la fuerza recuperi,dora está diri·
gida en d,rtt<.:ión contraria a la velocidad. produ-
cimdo una aceleración retardatril que frena el
movimiento. � rsta forma la energía potencial
inicial se recupera cuando la masa llega al punto
de n:lomo.
Encontn:mos la cxpreslÓn matemática que
representa lattiergia potencial elasnca El siguien·
te ¡ráíicode F eon1ra x se obtu,·o en el taller 1:
E.!idt"CirT• x.F
2
Energía en un movimiento
armónico slmple
F'I, 1 I!
l. ¿Qué significado fü,ico ucnc la pend>enle del
gnilko.'
2. El área bajo la curva, ,qu� 5ignif,cado físico
"""''
En un gráfico F contra x el trabaJO realizado
se obtiene calculando el área bajo la curva.
3. ¿Rt"Cuerdas cómo se calcula el á,....a de un
triángulo.' Escribe, la fórmula..En nuestra gri.·
fica. ,la base por cuál magnnud está repre-
sen1ada� ,1..., alfura por cuál?
En e�tc caV) A • -'-2F donde ,.i' área A es el
trabajo n:al11.ado y Fes kxde acuerdo con lo
ya estudiado.
I Z l l ' 6
•
1 t , 10 ,(..

13. 3. Cálculo de la energia potencial y cinética
cuando! - i
Se halla la elongación para este tiempo:
x-Acos1Jt
x•
{IOcm)c�[2;
(f)]
x• IOcmcos 23" •-5cm
x•-0.0Sm
l. Cálculo de la velocidad muim.a
La "clocidad máxima se, obume m el punto
de rqu,hbliodon.de roda la energía mecánica
del sisl<ffla ,.,, cinética .1·a que- X'"' O.
e.,.,.,. nw�-... E..
4. O�rva el des.arrolloq"ue sigue la soluciónde
los siguientes problemas y contesta loo!, inte·
rroganles que en dios sc, plantean:
a. Ur,a masa de 10 k.g de ma.sa se ligo a un
rts0r1e de C0'1S/an/e de ela..i1indad
k.-V.8N/,n S,sedespkna /Orn,delpunu,de
eq1nlibrio, ca/(ufa. fa energio "r«WfJ€0 101al
delsrs/e.,ui. la velocidadnld.ti""' q,,.,adq,11erc
la paril(ula. la ei>trt;ia pote.,tral eldsnca ve,.
tr11ica cuando ha 1ransc1,rndo "" terc,o de
""'"""
Soludón:
1. c,1culo de la eMrgi.l
potencial rotal
Para 1 � O, roda la energía dd si�ema ma»·
resorte es potencial
E.,.• Ep• !..K
2
E..• (08N/m)(O.l m)'
2
E..-0004Juhos
l. La acclt•rac,ón má!tima del cuerpo.
2. La fucrz.i que actúa sobreelcuerpo cuando
x .. A.
3. La constante de cla511eidad dcl resone.
4. La en..,rgía cinética �· potencial cuando
.x• 02 m
5. La tncrg,a emética potencial cuando
1•0.5s.
Luego se calcula la CMrgia potencial en
x•-005m.
Ep•k2T"';
E • (08N/m)/U05m}'
" . 2
•0.001 J
.f...•E.+E.;
E.-1:...-E.
"'0.0041-000IJ
• 0.003 J
La cncrgia cm('tica se calcula aplicando el
pnnc,pio de coru,,rvación de la M,ergia mecá-
nica
Calcular:
1. En�'Tg(a po1cncial inicial del sistcma.
2 La velocidad rná1tima de la partlcula.
b Una masa suspmd1da dt-un rt'SOl1c,OSC1la
con M.A.S. En el instanrcenquelaelongación
es la mitad de la ampl,1ud. �qué purcmraje de
energía es cinéuca, qué porcentaje es pgren-
ciaP
e �En cual ,:°longacK>n una pan.1eula que
,·,bra con f.l.A.S. de 10 cm de ampl,tud. la
<'nergia cinética C$ ,gu:.,J a la POlmcial?
• d Un cucrpgde 4 kg de masa oscila hgadoa
un resorte dan.do 8 oscilac� en 6 $. Si la
aniplnud del mo1"1mi.nto es 0.5 m.
Cakular
5. Rt'Sucl,·e los sigu,cnlcs problema..:
. a. Una particula de I kg de masa
0
1.1scila con
f.! A S. hgada horirontalmenrc a un n-oone-de
constante k � 20 N/m. Si inicialmente el
=r1cscdef1.1nnaO.l m.
. 2 E.
v'.... • --
m
1·-·JiF
. • Jf2¡(0004 J)
,...., IOkg
,_,•0028m/t
¿Por qué?

14. Aplicaciones del movimiento armónico simple
Período de una masa que oscila
suspendida de un resorte
Para encontrar La expresión que permite calcular el pcricxio de una
masa que oscila suspcnchda de un resorte. analizamos el comporta.
miento de la velocidad de la masa en su punto de equilibrio.
En x• O. la velocidad de la masa oscilante es máxima y su cxpn-sión
es v = A1.J (1). ya que el mayor valor que puede tener sen w t e ± 1.
Al consdcrar cnergéucamcmc la s1tuac-tón vemos que en t.'SIC
ponlo la energía potencial de ta masa es nula y su encr:gía d�tica es
igual a la total.
mvl kx' kAl mvl kAI kx2
-2
- + -2- • -2
-.d<.'dondc -2
- • -y-(2);porquc +:»
Al rt.�mplazar(l)cn (2)ob1cncmos rn Al wl • k Al.
Cancelan.do A1 nos queda m w1 • k.
Dl."Spejandow' tenemos wl., ..!.....
m
Extrayendo raiz cuadrada w .. Jf·
2ir 2,r {k
Reemplazando w .. T obtcnemos T = J ñ, ·
De donde concluimos que:
IT=2nJf[
Periodo de un péndulo
U,, 1,.;,w.Julu uo t.-i. �ino una masa suspendida de un hilo que suponemos
de masa despreciable, que oscila en forma periódica.
Al separar el péndulo de su po..ición de cqudlbrío adquiere energía
potencial, en este caso gravitacicnal. Al dejarlo libre se inicia el procese
de susrltccjón de ern.•rgía pocenci:ll por cinética, hasta llegar-el péndulo
al punto O donde toda la energía se trnnsfunna en cillCtica. El péndulo
continúa su movimiento: llega al punto de retomo B. donde nueva-
mcnte toda la energía L'S potern;ial. ·
La segunda parte de su oscil.ición es sumlar. de B hasta O pierde
energía potencial mientras gana ctnéoca, teniendo nuevamente un
máximo de energía cinctica en et punto de equilibrio. finalmente picrdc
toda la cnergíacu'léticayrecupcm la poccnctal inicial cuando completa
la oscilación al llegar al punto A De esta íormael movimtentucontinúa
periódicamente.
......._......_
annónk<:. wn,-..,
i.. qu. - reallUII
contln._ lnlncam-
blol, ,k nerpa, ,_..
C'laJ ffl dnétkL [te ..
lo N ejemplo dMlco el
fflOvlfflleneo del pn.
dialo <>Kllant••
Ea el pendulo • ,.....
d11Ce llO IDO'lmln.Co
oedlatorio coa -
I a.lóc.qu,ss
p p lo,aal al JllllllO
ceo,... y dlrtpla
UN él.
/J

15. En un pindulo, t.
fu.ttu. tKuperadon n
l1ual • t. compoMnte
del peeo dtrl¡ldo •1
'""'ºde .c¡lllllbrio.
"
..· ,..,...._,
1'11. 1 17
Para poder concluir que el mo, imi{'nto del péndulo es armónico
simple. Se debe '{'rificarque la fuerza resultante que actúa sobre el es
n..'<:upcradora de la fonna F = -k .r,
Sobre la masa m del péndulo actúan las fuerzas T v mg.
DcscomponL'TTIOS mg en los ejes de un sistema de coordenadas
cartesianas.
La 1en�ión T de la cuerda Se cquslibra con la componente mg cos8.
T-mgcos8=0
La fuena resultante que actúa es F• -mg sen 8. Si consideramos.
ampli1 udcs muv P,.'(lUl.'ña� inferion:.� a los 8" aproeimadamcnte, encon-
tramosquc 5('08 • 8doode6�13 mL'CIKla en radianes.
Por lo tanto F•- mg 8. pero
de donde se concluye que·
F= - mfx
La constante T hace las veces de k. por lo que encontramos
que F = -kx. es decir el movimiento del pCTldulo es pcriódjco v para
pcqocñas amplitudc-; csrá producido por una fuerza recuperadora de
L, Iorrna F • -k.1.

16. ( TALLER 4)
Leyes del péndulo
Hemos estudiado cómo el movimien10 pendular
..., •• 111úuko oin1ple porque es periódico y ,:st,¡
produddo por una fuero,. recupcn,dcn, siempre
y cuando la ampluud sea pcqucla.
l. Toma dos péndulos cor, la misma longitud
pero diferente masa oscilante. Déjalos oscilar
libremente y mide el periodo de cada uno.
¿Depende el periodo del p6,dulo de la masa
que oscila?
El periodo de: 0Kllocl6n de un péndulo eo lndc·
pendkntc de a. man que otclla.
1. Toma dos p6,dulos cor, la misma masa osci·
lame pcrv de diferente longitud. Déjalos 05CÍ·
lar libremente, mide el período de cada uno.
¿Depende el periodo del péndulo de su longi·
"'"'
El periodo de un péndido d�de de su lon¡ltud.
3. En la p6gina anterior se l-ncontró que el
periodo de una mas.a que oscila cor, moví·
miento armónicoWllplc,se calcula por mnlio
de la expn'Sión
T • 2,r ¡;fromo en el péndulo k • �·
remplaza esta última cxpr...ión en la fórmula
del periodo y demuestra que T • 2 ,r
jf
El periodo del péndulo n directamente' propor·
donal a la raíz n11wirada de la lon¡ltud.
Ptoblemu IIObre péndulo
4. Sigue el desarrollo de la oolución dada a los
�guientes ejemplos propuestos;
Ejemplo...
a. Ca/cu/or el �rfodo de QSCrlacióH de un
plnd11/odc / rn de /ongi1ud.
Soludón
Se aphca la ecuación:
T•2,r Jfdonde L• I my
g•9.8m/s'y••3:4
T-·2.3.14
�
T"'2s
d periodo del p6,dulo es 2 J.
a ¿(}rd /ongi1uddebc tener"" plndu/opara
q""su �rlodosca / s?
De la u� T • 2,,.
jf-despej-
L.
elevando ambos miembros de la igualdad al
--
r,.4 .,.., .!:. L• E.i...
1 4 ,r>
y ttmplazamos por los ,,aJorcs COI • 1 ..,.
L • (1 s}' (9.8 mis') • 0.2S
4,.., m.
"' Si ,.,, ptndulo de 8 "' d11: longuudse ro1oc:.:i
en la lunado,.dc lairr,wx4Jcs unsu;to<U IA-
tcn-cs1rt. ¿Ct,4/serol ,,. �riodo
Solud6n
T•2,r JfT•2,r
J1.68:::11•·T•
13.9s
d. En la consln.ocrion d"' un ptndulo q� se
qut"rii:I 1uvrcru un �riodo de as s. & �,.,
"" er�y su lotrgirr,d se 1,.,,,, '"' cenlí�rro
másgrande. ¿CudntoS..,atnua csreptndulof'n
un mhn,ro.'
........
& calcula primero la longitud que debe 11.'Mr
el péndulo para que su periodo sea 0.5 s.
L• (0.Ss)l(9.8m/s')
4 .. �
• O.o62 m ó 6.2 cm
Al cometer el cfTOI" la longitud del péndulo
será 7.l i:m y ,u periodo:
T•2,r Jf T•2.3.14
T• 0.538 s.
El atraso del péndulo cada segundo es
0.538 ,_ O 5003 s • 0038 5.
f.11 un 11111,ulO el péndulo se atTilllll
(60) (0.038 s) • 2J1 segundos.
!l. Resuelve b siguirntes c�
a. Dlsdla un procedirm=to que te permita
medir el valor de la grav«lad ICl'Tt'51rt' tn d
!u¡:;,r donde nl.h, utilizad concepto del pén-
dulo simple.
b. Cakula la longilud de un ptndulo que
, .,;,Ji.el,. 14 ,.,.._íl;,cionn ,:n J ..:¡und<;-.. .:i I
e �"Cuántas oscdaciones en un minuto da un
péndulo de 60 cm de largo?
d FJ pendulo de un reloj tknc un periodo de
J s cuando g • 9.8 m/s'. So su longi1ud se
cuenta en 2 mm. ¿cuintose habri atn,s;odo d
rdoj despub de 24 horas?
IS
D.072 m
9.8 mis' ;

17. e. flpcriodode un produlode80cmes l 64s.
¿Cual es el valor de la graxedad en el sitio
donde está el péndulo? � " ;
f. ¿En cuánto varia el penodode un péndulo
de 1 m de longilud si reducimos esta longitud
en sus 3/4 p,ar!� '1,
g. Un péndulo en el pllo none 'nene un
periodo de un segundo. ¿Ouésuccde cuando
es 1raklo al trópico? ¿Aumen1aodisminu>e su
periodo? 51 este pt'ndulose utiliza en la cons-
tn,cción de un reloj, ,se adelanta o se atrasa? r
h. Un péndulo oscila con periodo d<"" 08 s. Si
su longitud se reduce en sus ){4 panes, ¿cuál
scri el nue,·o periodo? �S'
ProblffllN tobf-e m ...
N11pendld• de un l'Q()fte
Obk,n·a v anah1.a lo5 ejemplos resuellos , de·
sarrolla los cjerccos,
l. ¿Oaál� elperiodo de mcrlori6n de un cr,erpo
de I kg de n,asa. sujct<l a un re:wrtede 0.5 N/,r,
de constante de elasttcid<ld>
Solud6n
Enlac:<presiónT.. 2ir�.rcmpla1.an1Qlia
m•lkgyk•0.5N/m
T-.2.. J 1 ks -8.88s.
0.5N/m
2. ,O..i ,nasa se debe suspender Je "" resorle
rot• ro,15/on1e de elruttndad J N/,n !"''ª q1<e
isre oscile ron periodo de Is.>
Solud6n
oe la c:<presión T • 2ir fidesp;;:jamos m
elc,,ando ambos miembros de la igualdad al
cuadrado.
T2=4,r>!:!!...d,·donde: m• T'k
k 4 ,,.,
m., (I s}' (1 N/mj • 0.025 kg.
•••
3. Uno niasa de 4 kg oscilo suspc.idrdti de 1<n
re.sor/e ron '"' pcrfvdode 1s. Cu/cr,/or lo cons·
14,ue de elasm::id<ld del resort<'-
""""'"
Al despejar k se obtiene la c:<preslÓn
4ir1m
k•----,,,---- .¿Porque?
k • 4 "' 4 kg • 39.48 kg/s' osea39 48 N/m.
,,,
[)(,muestra que !fes equivalente a N/m.
16 '
4. Una nlllSO de OS kg. lig<l(M 11 "" resorte J10SH
MAS. ro11 0.8 s de periodo. Si su energf<l
n>ecánraz lora!es 10J C,,/cula.r la. umpl,tudde
osc,kición.
"''""'" k A'
De la e:<pre$ión E.,,• -2
- dcsconoccmos la
amplitud " la constante de cla!>ticidad del
resione, que debe ser cakulada previamente
con la c�prcs,on T = 2 ir ft;donde,
k. 4 ,r-'m k• (4ir')f05kg) •30.84k I,
T' (08,)' gs,
o sea 30.84 N/m
Ahora si es posible calcular la amplitud del
mo,.imicnlo.
¡2¡(1os¡ .. , •••
30.S4 N/m .,_, m.
Resuel,·e los sigu,entcs problemas:
l. Cakularelperiododeoscilacióndeuna masa
de 3 kg. su¡cta a un resone de constante de
elasticidad k • 08 N/m.
2. ¿Qué mru..i se debo' sus¡,cnder a un rcsone de
oomtantc de elast1c1dad � • 1.25 N/m para
q� realice 6 o,,cilacioocs en 18 segundos?
3. �Cual es !ll constante de elasticidad de un
resorte. al cual se le hga una masa de 20 kg y
oscila con frecll,Cncm de 12 ,·'?
4. Un bloque de 5 kg de masa se �ujcu, a un
rcsoree c oscila con penododcO.I syenergfa
toial de 24 J. Calcula
a. La constamc'dc clabticidad dcl rcsorie. 1 Q I
b. La amplnud del mo,imiento.
c. La velocidad m::<ima ck la masa.
d. La u1á�lma ,KdcrJdón.
5. Un bloque de 4 kg de masa e,,tir.a un resorte
16cmcuando se su,pendc deél. fl bloque se
quita , un cuerpode <>.5 kg lo<' cuelga ahora del
resone. El resorte se estira v dcspuCS se
suelta. ¿Cu�l es el pcnododcl mcn·imien1o?
6. Un euerpodc 9 kg �e rnasa suspendido de un
resorte produce un alargamiento de 24 cm.
Calcular
a. La constante de elasticidad del n::sone ? • �
b. fJ periodo de oscilación del ••siema
masa·rcsonc. "· ,, }
c. Si se cuadruplica la ma,,.a suspendida, �en
cuánto aumenta el penod& -, 1
,...._ . ' . .,..,.,.

18. Concepto de movlmknto arm6nk:o ,Imple
Es un mcvlmiento periódico pnxluddo por una fuerza
=·-
F.,;:ua,cio-. y gni.flcot del M.A.S.
,--. IJI
•lm)
-· 't: v........ •tm.'] ,l:ele1adó11
.1•Acosw1 v•-AWK"TlWt ••-AwlCO'lwt
• •• ••'
Ti.1 TM T(•l
,
' ' " r r
' " ' r
' " '
-r 'r T -r , T
• , T
-· -·· -··
F• t I� •• ! ·� ,•. 110
Vnocldad y aceler11clóft tri fundón ,;k la elongación:
v•±w�
' a•-w'x
F.ntr¡i• en un M.A.S.
La cn,.-rgia potencial clfistica de un sistema ma!o3·TCSOl1C es el
trabejoqoe se debe n-ali1.ar sobre d sisll'llla porta deformarlo
uoa longi1ud .1.
LD cocrgia por...·ncial dá�tica ·-
se calcula. hallando el área bajo la ---- ---
cun-a de un gráflcc dc F contra x.. :
Si llOl'XÍStcn fucr1.asdisipadoras{rmamicn10) la cncrgia
1TM.'Canica del �btl"ma se ccoscrva. por lo tanto:
kAl kxJ mvl
-,-.-,-' -,-
"Ln l'f'K."!'gia rm.-cánicadd sistlma.cs igual a la suma de la
cnt.-..gia ci�1ica, pcrcnctal",
Apl!aiclonn dtl M.A.S.
El periodo de una masa que oscila ligada a un resone es
din.:c1amen1e proporcional a la raíl cuadrada de la masa.
r-i·Jf
El periodode un pcndulot'S directamente proporcional a
la rui1 cuadrada de la longitud.
T•2rt Jf-
llovl•le1110 ,..Mico Mm,t.
(111.A.I.): a ... �IO PfflO-
d,oo fl<'Odundo por WYI Íl>tl'D
=,,.......
,,_,_ ª'"''""'""
� por lo,. Currpol eU$(1co.
c......io...dcforman.rjffl:ldaJlm,-
pr'<' hadad puntO de equilibnu.
�csdrno,-.mm1Gef.,.,.
,u.ad<> por W>a .-,k..a."-'• ...,¡.
......... i--minldlolttmmmdo
lub b punl<JI de .. ll'llwctoriL
:":!1oÑm el�i:r:•
..,__....ª_
._._oonbpunt<11
de 1,, l ..>'KION ffl lol cualcl lo,
f...-na�amblma.
�d.�de liii':.-:
17

19. plica pon¡ue el prendulode Vibración de una
masa rc-cuperadora es mh.ima.
15. La clungac,on de una ¡,articula rlotada d,,
T
MAS es un lempo t = 4 es.
16. En un M.A.S. la cncrgia cinética es igual a la
C <·nergía pu!<'ncial en el punto�
a x= � b.x•A.JT
d. A.
'
T
d TI
d..<•A
d. Jr
"· 1
J, . • ,·
.
b. A
b, .L
l
.. '
.i
2
c. 2-,/'F
.o
e _.... -:Jr
11. Si la longitud de un péndulo M' reduce a la
,_ mnaddnuc1u!!':riudos,:r.!t:
T
ª·T b.2T
a. Dismmu,·e la ,·clocidad.
b. Aumenta la velocidad.
c. Dismmuye la acclcración.
d. Ninguna dc la, :mtenores.
12. 51 en un resoiieseduptiea la deformación.
cntoroces la fuerza recuperadora:
a, Se duplica
b, Se reduce a la mitad.
c. No varia.
d. Se cuadruplica.
e. Ninguna de las amcriorc:s.
13. Si la masa que oscila su5pcndida de un
resorte secuadruplica. entoncesel periodo:
a. Se cuadruplica.
b, Se duplica.
c. Se reduce a la cuarta pane.
d. Se red� a la mitad.
A 14. El tiempo mínimo que n...,..,.;u un" par1i.
I
i eula dotada de M.A.S. en estar en la post-
dón x• i �
B. Mrtrar X en lr, l'fflllffla COffeda:
11. En ün mo11mlento annomco sempre se
' �mple, que mientras aumenta la elonga·
ción:
1
A. En lu prtguntu I a 10, el tflundado et una
afirmación Mgukla � la palabn "porque" r
una "n16n" o "J.,.llflcac:16n"; marea en una
tabla de rt1pue11u tlaborada en el c11adttn0,
MÍ:
4. En un M.A.S. la l'Clocidad es m:i:,uma en los
puntos de retomo porque alll la fuc17..a
r«uperadora es mlu.Jma.
f1 S. La acek-racoón ffi un M.A.S. sicn,prc 11cnc
sentido con1rario a la elongación porque la
aceleración t,cne el mismo sc!llido de la
fuc,,a recuperadora.
( 6. En el mo,imientodc un pb>dulo <impl.. .-1
periodo depende de la masa que oscila.
porque el tiempo que gru.ta en realizar una
oscilación aumenta al aumentar su masa.
1, l. Todo mo1imicn10 periódico es annóruco,
;,, SHTlple porqut es1c.,. reprte a intcnalos
iguales de tiempo con las m,s.11as caractc·
risucai, y es producido por fucnas recupe-
rederas.
f 2. Tocio ffi0imicn10 am>6nko simple es re·
riódko porque se repi1c a inten·alos iguales
de 1iempocon las mtsmas carectenstkas v
es producido por fuenas r«upn,,doras.
l. En un M.A.S. el periodo depcn(k de la
amplitud porque a ma,oramplilud ma,or
"docidad adquiere cl cuerpo.
..
10. Si la ma.,a que oscila S"5P'-'ndda de un ,-e.
sone M' duplica. enroocessu pcno,;lo,,._, du
A, sr la afirmacró" y n:i;:ón S-O" ,vrda,Jeras) la
raW" es um1 up/1cacll',., de la af1n"1JC1Ótt,
B. si af,m111nóu y row» so" verdtidera.s, pero la
ra.:ón no uplica la a{,n,IQct()tf,
C. si la af,mwc1(m es verdadero y la rozón falsa.
D• .1, la a{,nnacoóu es false.)' la ru,:óu es verdadera.
E. si la a/1m111CIÓ" v la rt1:ó,1 S-Olt ft1!=.
7. El periodo de un péndulo es drrectamcn¡c
proporr,onala la long:r1ud porque
T•2,r Jf
f' (l. En un M.A.S. secoeserva la energía mccá-
mca del sistema porque la cnergra poten-
cial elúrica que posee e,, los puntos de
retorno es igual a la energia <"mrl,ca que
posee en la posición de equíhbrio.
.Ú 9, En un M.A S. la aceleración n mixima en
los puntos de retomo porque la fuer,.a n·-
cuperadora es m:l!lima.
' ..

20. Para reducir a la mitad d periodo d.. un
péndulo. la longitud se debe-
a. Reductr a la mitad.
h. Duplicar.
c. Cu:1druphc:ar.
d. Reducir a la cuarta parte.
19. Un cuerpo que se mueve con M.A.S. hcne
m:.xima velocidad en la·
a. Pas>clÓn de cqu1llbrio.
h. M:.Klma elongación.
c. Ampli1ud.
d. l.lnad de la amplitud.
20. Un <:U'"'l>O que se mue'o·e con M.AS lene
a.celeración máxima en la:
a. Ampli1ud: X• A.
b. Posicióndcequit.brio;x•O.
c. Cuarta parte de la ampli1ud. x • -¡.
d. l.1i1ad de laampl,tud;.x• 1
En IQ preguntu 21 • 2S d«ide ti Ju lnform•·
dona I y 1l 10n tufldentN o IIKflllrlu p..,..
resolver el problemL Marc• en 1• tabl1 de
ttspuntat, NI:
A. s• �nt<S e.s nece5'lria '1 ,nfom.,,a,(¡n J
B, si .solamen/e es neCLU1r1<1 la información ll
e.si las infomu,cione.s /y IISOtf n«esanas.
D, si cr,¡¡/q1<ier rufonnaci&i 1611es s11fic�n1e.
E.. si rot, las infornlllcione.s /y // no es $1<(,crenu,
lot pr-1 relllciOnados con i,, prec,$10n lueron d11,c,.
les de retolver lot 1)9ndulot son al«ll<IQS pQr lot carn·
-de19fflperatura yaque.ea.-1anotecootr1e,, ypo,
1D1amo ..,¡¡¡ su anr,g,oud tiac.. 1115 etbrdnoco Geo<�
Gra�am mventó ti P""''" �ulo que compensaba este
electO Sinerroargo haca300aflol,lepnnc,palinsut,c,en.
c.. de IOI mecan,smc>t ae rl'IO¡ en, ti escape ae árt>o! va
QueO'llerlenell acción deli::énd'*> En 1673te O'lventó un
nue.o 11t1ema el ascspe de •-• Con ét un ¡:ér>Ou�
ae oran masa Podia osc<lar con""' paq"""'•ampldud El
tan prM:= que 10da'1a ar1,..1mM1tto.., -· ""Algu·
nosllPOSde"'IO¡ •
Otro l•Po da oscdado. es el de l>ll!ancln y resooe
afl1aO(ITIISla o espua/ Un e,1mmo del resorte espo,al es
ftto y al airo eilll unldO al "'8 del balolncm El ,eSO<ta se
""'°'"' y se oeseniolla 1tternetrr.,ment,r a tne<ll(la que ti
balanan ose,..
21. Se puede conocer d periodo de oscilación
e de un péndulo si se ..abe que:
L Su longitud es de 1.5 m.
IL Oscila en la luna donde la gravedad es
un..-�,.-. <Ir I� ,r,.....,..,.
21. Calcular la ,elocida.d de una partícula que
oscila con M.A.S si se conoce:
L La amplitud igual a 12 cm.
II. El periodo igual a 12 s.
23. Calcular la ,·elocidad ma.,ima que adquiere
unn mn5<:> de l kg ntndn a un r""°1'1� �¡ u
sabe
l. La. con�tante del rewrte k • 2 N/m.
11. Se de!>pla;,.a 30 cm de la posición de
equihbrio.
24. Calcular la energía potencial dastka mktal
de una partícula de 02 ka: de masa que
°"'''ª con 1.1.A.S. ligada horúontalmente a
Wl resorte si se sabe·
L Ll ,elocidad máxima de la ¡,articula es
de 20m/s
11. La constante del resorte k • l N/m
25. Cakular la longitud de un péndulo si se
eoeoce
l. Real!ui 12 osdbdona en 4 so,gund=
IL Oscila en la superficie lunar.
B lflClt1e &o.p<flll t... la<T"Oo!n N'ltrQ(JUC,00 l)O( HU)'·
gant. .., 1875. y mts llrde � -6 1 un relor pera
rr-..<1,r1Qngm1d,nen1111m1, Pero1otfHOl1ase1p,,ale111
�I que IOS ¡:éndulos. so,, l!ec:la<* perlas vanack>ne1
de tempefa1ura Kasta 17S3 no se 1Qor6 desarrnHar un
mecanismocompensa«>rae1aie,per1urba,C,OM1.Q"8f""
constrl.Odo l)O( John Hamso,, (1693· 1776� su c,onómetro
de 1759 l)lasentado a un conc:...so 1uvo un erTO< de '6lo
seos s,¡gunclOI en un Vl&¡e por ,na, o. sa,1 11m111na1 U
prec,s.6r! tamO<en aurnen10 por el ernpl,so de p,edras p,e·
coosas de oran du,eia (za•�os o �len los P<J11tos <le
mayo, rozamoe<ito
,_........_..,.,,,.,.
-s..,toAfl-TomoiOotgfloD
Problem•• de precl1l6n

22. Introducción
E, ,1m sensaciones que percibirnos del medso ambiente como el
tcW"Udo. la lu,, las ondas fonnadas en la superficie del agua. que nos
-tan a tra1 és de movimientos ondulatorios. que tienen la caracteris-
-ad.· · trancportar cncrgia" de un punto del mcdioaotrosinque haya
.aiaramicnto de masa.
Onda
E.. wia perturbación que viaja a través del espacio o en un medio
cKStiro. transponando energía sin quc haya dcsplazarmento de masa.
'
Clasificación de ondas
rerto de clasiflcaclón
l&rdio de propagación
�n1c:.,
"nea< que requieren para desplararscdc un medio elástico que vibre.
• _,mr,lo: ondas en el agua.
Draromagnétk:as
Ond.as que se propagan en el 1ado. EJcmplo: ondas de radio.
'i"lmHfll de osdlaclones
PDho o �r1urbadón
E, ;,,qucl en ct cual cada partícula del medio pcnnancceen reposohasta
_ -X' lt(1!UC el inip,ulso. realiza una oscilación con 1.1.A.S. '! después
�ccc en reposo.
'' la rocntc perturbadora produce una sola o:,c1lación, ésta viaja
-1�,itenclo la ío,ma onginal,
o.et. periódica
, aquellas en las cuales las partículas del medio tienen un movi-
..,.,1,, pcnochco. debido a que la fuente perturbadora vibra continua-
-_-,e. S1 la fuente vibra con M.A.S, la onda periódica c:s llamada
�.
Dlnc;dón de propagación
Olldas ll"llfll"fl"S81ts
"- r,; llo(lu..-llas que se caracterizan porque las parl.ículasdd medio vibran
,,_..:,,.•n,t;hcularmen1e a la dirección de propagación de la onda. Por
_ ,f'lo. cuando en una cuerda sometida a tensión se pone a oscilar
de su� e'eremos.
� longl1udlnale1
::,..- CMXtcnzan porque las partículas del medio vibran en la misma
ft>;;t..--.Jn de propagación de la onda: aef sucede con las ondas de sonido.
Número dt dlmenslonts en
qut.., propagan
UnidlmtnslonalÑ:
Se propapn m una d,menoión.

23. (TALLER 1)
Tmnlnos asociados al
movimiento ondulatorio
El ob�i,-o de n1.- taller a, el de �t,blrctt la
1cmii� ucihu.da en tas ondas que se propa-
pn en una dlmens;(Jn e idnnífocar l.u can,,;trri,..
ticM de la ,docidad de prop¡i,gación.
l. Tom11 un resorte o cuerda y fija uno de los
c�tl'C'!TlOII como m�tra la figura.
Cuando cl resone se encuentra cOOM> lo
mueslra b, Í,gur.,.sc diceque ni� en ntado
de equilibrio.
z. Produce un pulw, separando ripidalll('ntc
cl <"ltrcmo del resorte de la po11cl6n de
equilibrio.
Esla mi�im;J ""3�16n dcl resone ron
n.'SJ!l"<'"lu a la ¡)05iclón de �-qui!ibrio k' le
denomina amplHud se dcnQa A.
J. O.huja I• ttonfig,.,,.,.dón de l:l onda que u
produjo.
La parte supcnor de la onda se denomina
"crc,,;1a" y la pane Inferior se llama "va.lle".
Cuando un c.....-po k deforma tiende a re-
cupcrar au ...1M1n ,nidal, lo cual produce
�ibraclom,s que ha"'" que la ddonnaci6n
IK' ¡,ropa¡� a 11,1,·h de los CUffJ!OII en to-
da, las direcciot>Q ron una , dockl;,.d que
"pff111an«e con1tante" siempn: v cuando
las condicione,, d.i�tlcll!l e incrda!n no
,·ancn.
22
Velocidad de propagación
¿� la velodd,d de la amplllud?
4, Tomad resorte por d c:�trnno libre!' dc-
u,rnuna en di.a una 1msoón. la cual debes
tnllntrnoer coman,�
S. Prodm"t un puho de ffl!pli1ud A: y con la
a,uda de un amigo dc.1nmlna d tiempo
queempica cl pulwcn pasartrc• veces por
a"""'º
6. De!C'fffllNI depacio rKOnido por el pulso.
7. Tmk:-ndo m C'IC'llla qUC' la "clocidad de
propGpdón de la onda �<Vll>l�utc ,. que
so: conoced espacio reronido pord pulso v
d 1Kfflpo ga.uado m l'C'COIT't'lio. ¿puedes
dctnmmar la "elocidad de propagac,ón?
l. Cakul;, b. ·docidad de propagación Rc-
tu<.•nl;i qoc para un mo,iml<.'nto con vele-
ddad C<)IIStantc v • f de donde x ._.. la
distancia rcoorrida 1 d 1innpo c,mpk'OOO
"" 1 .....
'UrnTb..
9. Rcpnc la ac:ti'idad am"'1<11' con pulsos de
ampli1uddifcrcn1c Compara lM, eloc:id:.dcs
obtenida ,-son iguale$.'
10. ,Ikpmdc: la amplitud dt I;, ,elocidad de
propqad6fi de i. ondas?
LII velodd•d de prop•¡adOrl de un• ond• no
depende 61 la amplhud.
¿l)epelMH la �loddad de la elutlddad?
Ahora C'Ofllprubal"U si la w:locid..d de propaga-
ción de la on<b. d,:pcndc de la d.astlckfad dd mc-
d ... b. cu.al 51.• mide rmd1.antc la tensión fT) del
rcscetc
11. f'rudunounpulsocon.maampblud ,·1ensión
d�c:rminada. ,hde despacio recorndopor
el pulso. el ucmpO ¡astado en rt."C<>rrcdo y
calcula su ,·eloddad.
11. Ahon. manteniendo I;, misma amplitud.
awnc•,ua la 1en,,.,ón del resorte. producc un
pulso,. cakula su ,·cloc,dad.
13. Compara 1a$ ,·,-k.cidades oblcnidób, ,wn
iguales,)
14. Al , ariarla tcnsión&.� n:sortc.,ílsK"amcn1,•
qué, Je bt.i, , aliando.�
15. ¿O..-pc,ndc la ,l'locKlad de pn.,p.1gació11 de
una onda, de b da••icidad del nicdio.'>
AabudecomprubarqUC"
Lll weloridad de lu ondu depcndtdt 11 c:11111,
cldlld del medio.

24. Con base en la acllvklad anteriorse puede decir
que la velocidad de una onda tambten de�11de
de 1.. caraclerilllcu lntrclales dtl medio.
Estos r!";uhados TlOl> lk,a11 a u111<.ui1 lJll"' la
I elocidad de una onda dept.,ide de las caractcris-
ncas ,·l.s11ca, e int.-rcialcs del n11...Jiv; en nu,,,.u-o
caso, la I elucidad ,;k• fa� ondas ,;-n los rcscncs,
dcp,..>ndc de la tensión T ,. de la masa por unidad
d,· k,ngitud (µ). '
J•Thl
••
60 � 0-l kg • 10·1 kg/m
6m
¡, .. !2.
L
I= F.t
,.
v•A.foseaA� T
Rcmpla,.ando se IÍ<.'flC que:
A•�•5
to s-' m
Ahora ronplazam(l6 en la lxcuación.
,,.ir..J 10-�k�/m
Lacantidad de rno, im,cnto P de la masa de la
partcmó,iles: p.µ.v,.1.,•1.
í'uc,to que µ, ,1 corropondc a la mal.a de
dkha parte.
Cornosc u.be queT• 61'"entonces.
T.�.1•111,1.1·,
'.
b Para el célculode la longitud de onda se sabe
,=
Ob,.cr.a dcrcmdamcnrc la solución del .,.
11u1cntc probl,,ma éste te sen irá paro ao:larar más
los COOC<'pl05 c,;1udiad0'1,:
"Urn, cuerda tiene 6n,nros de longirudy una
n,as.o 1o,a/dcli0gra"1QII. 5'!1:,rr1,entra 1cnsionada
con ""ªfuer;¡, Je 25 N. Si ,.,1extrr1node la cuerda
,,ibra ro11 ""ª frecueuriadt /Os-', rolr1<lar:a) la
I elocidad de la ondn qurse propaga"'" la cuerda,
b¡ ÚI k,11g111,d de la 011da.
Soludón
Para cakular la n.•locidad de propagación de
laooda.debemosencontrarla masa por unidad
de longiiud ( ¡,):
los 1riingulos mostrados en la íigura son
semejantes. ,:Por qué?
Por lo tanto se puede a;tablecer que-:
.f...,.,hl Q F•T.�
T v,t v,
Ahora bien, el impulsoproducido porb fuerza
F durante d tiempo tes:
,uou.uu,11,111111
" f-.v,t-1
MMIM'l'
•· .......
¡.....
Cálculo de la velocidad
Pnra d cMculo de b ,eioeidad de �n (1,)de
laoo:la sur,onemo, queel resortesccocu,'fltra tenso
en susdo. cxlrcmos.Si scdc,.pla,.alat..-ralml'fl1C una
p,,quc!'ia p:in,· d<.� r,,sonc y se socha, se ob..er,anin
p,..'l"turback>m-s que se prop,1gan ak,t,ndosc a lado ,
ladodc la p.,ncdcspla,.ada. UIS pcr1urbaoooc,. ,-,a.
jan con una ,docxlad (v,)cOll><."f.indosu forma. El
rt$Ol1C t'!ltá :,omt.1ido a una IL'1lS1Ón T , 1ienc una
drosidad lin.,al (masa por unidad d,.• long,tud) µ S,
"" aplica en .,J .::.,;tn'fl"IO <kn:d,o O<'I ,..,.,...,.,. una
f�.a F. <locho extremo se muC1e hacia abajo t()(I
, docidad {:()mlanle (�·,� D,:.� de habcr tral>S<.'.u·
nido un 1kmpo d c."n.'fl"IO<lo.-r«hodd n..,.,...,c se
ha mo-.·ido hacia abaJO una dl.>tanela , 11 , la p..'l"tur·
bacion ha avanzado IIDi distancia , 1L
Ahora comprobarás si la velocidad de una onda
dcpt.>nde de la inercia que se mide por la mae,a por
unidad de longitud v se dcno1a �.
16. Coge un rcwne má, delgado)" aplicalc una
de las tensiones utilizadas antctionncnte.
Produccun pulso.mide ladtstancia rccomda
y el 1icmpo gastado por éste. Calcula la
,clocidad
17. Compara la ,·elocidad, con la obtenida en
el cjcrclcoantencr. ¿Out' pucdcsconduir?
18. Al cambiardccucrda. ,qui, ariadón flsica
se L,,.t::, n,alizando?
19. La ,·elucidad de propagación de una onda,
¿depende de la inercia'

25. f = No. d� oscilaciones
tiempo
la relación:
3. Teniendo en cuenta que la frecuencia de la
onda coincide con la frecuencia de la fuente,
cuenta-un númerodeterminado deoscilaciones
ycl tiempo empleado en realizarlas. Con estos
· datoscalcula la frecuenciade la onda utilizando
4. Calcula la velocidad mediante la expresión
v= A. f
5. ¿Qué le sucede a la longitud de onda si la fre-
cuencia de oscilación de la onda aumenta?
6. ¿Qué le sucede a la velocidad de propagación de
una onda si la frecuencia aumenta? Recuerda
que la velocidad de propagación de una onda en
un medio determinado depende de la clasttci-
dad (tensión). Al mantener constante la tensión y
aumentar la frecuencia de oscilación de la onda,
la longitud de onda disminuye o viceversa: si
disminuye la frecuencia la longitud de onda
aumenta de tal forma que el producto >. . f
permanece constante, es decir ves constante.
7. Realiza los siguientes ejercicios:
a. Lafiguramucstraunpulsoquesepropaga -
en una cuerda. Describe el movimiento de la
partícula "o" mientras el pulso pasa por este
punto.
b. Describe el movimiento de una particula
de un resorte en el que se propaga:
- Una onda transversal.
- Una onda longitudinal.
c. El periodo de una onda es 0.65s y su longitud
de onda 1.3 m. ¿Cuál es la velocidad de propaga-
ción de esa onda?
d. Una onda se propaga a lo largo de una cuer-
da Si su longitud de onda es 18 cm y su veloci-
dad de propagación es 0.3 mis, determina su
frecuencia y su periodo.
e. En unacuerdade3 mdelongitudseproduce
una Configuración como muestra la figura. Si
la frecuencia con la cual se produce esta con·
figuración es de 4 s-'. ¿Cuál es la velocidad de
propagación de la onda?
T�
( TALLER2)
Fig. 2.4
2. ¿Cuántas longitudes de onda hay en la
configuración?
Como la longitud de onda (A) coincide con la
longitud L, entonces A= L
Velocidad de ondas
Flg. 2J
La figura muestra la onda periódica que se
mueve hacia la derecha una distancia>.. (landa).
La longitud de orida (A) además de estar defini-
da como la distancia que recorre la onda en un
intervalo de tiempo igual a un periodo T. también
representa la distancia entre dos puntos adyacentes
de la onda, que se encuentran en el mismo estado de
vibración.
Por ejemplo la distancia entre los puntos A y
B, ya que estos puntos se mueven hacia arriba y
hacia abajo simultáneamente.
Por consiguiente la velocidad de la onda se
puede expresar como:
X x )
v=t = T para f =Tentonces: v=Af.
l. Toma una cuerda y en ella produce una con-
figuración ondulatoria, tal como se ilustra en
la figura.
En este taller vas a calcular la velocidad de propa-
gación de una onda en función de su frecuencia y
su longllud de onda.
Si una fuente perturbadora vibra continuamen-
te con M.A.S., el movimiento ondulatorio se repite
idéntico a si mismo después de un período 'T", la
amplitud de la onda es A, siendo también la amplitud
del focode perturbación siempre y cuando no exista
frícciórtsu f 'fl
fuerza de ccíon: su recucnoa es = T ·

26. ( TALLFR 3)
Fenómenos ondulatorios
unldlmenslonales
El ob;cti'O mcste 1aller esestudiar Jo. fenómenos
qu,, aparecen en las ondas m una di�ns,on•
Cuando una onda pata de un medio a otro,
nperimenca un cambio en 11 velocidad de pro-
pagación. Elte fenómeno .., conoce con el
nombre de refracción.
�,<�,
25
Punto !nckletite
tes s11uacion"5:
E.xpenmentalmentc se ob!.e.-.•a que cuando
un pulso se propaga en una cuerda v 11<.>ga al
punto de union con otra cuerda más densa,
pane del pulso se refleja y pane se tran�m,te.
Lenicndo en cuerna que el pulso refleJado es
in, crtido<:on relacióna! pulso incidente.mien-
tras que el pulso transmitido no se mvienc
f".. 1.1
5. Rcahz., un griflco donde se ilustre el pulso
reflejadoy el refractado. Cuando la onda pasa
de un medio mAs den.o a un medio meTlO!i
denso. ¿Tienen la mi.macaractcrlst,ca el pulso
reflejado y el refractado que d ,lustrado en la
figura?
Pulso ceFrx1ado
lnttrftl'fllel•
Si se cnvian pulsos simulu.neo,; por los extremos
de una cuerda, sucede cualquiera de las s,guien-
2. Tomadoscuenlas o una cuerda yun resorte
dediferente masa porwudad de longitud.átalas
y fijabs rn un extn:t110
Enria pukilciones por d r,nn,mo hbre. ¿Qué
v;uia fi,;icammtc, cuando laond.i pasa de una
cuerda a la otra? Repr,:sentair.ifican1cnte la
configuración producida.
3. ¿Varla la ,·elucidad de pn:,p¡igadóncuando la
onda pasi,. de un mnl,oa otro?CDcuna cuerda
a la otra.)¿Por qu!?
4. Si la onda pasa del medio que uenc me1-
masa por unidad de, longitud al medio que
lknc más masa por unidad de longiiud, o sea
del menos dense al más denso como en la
configuración producid/ en la figura 2.7, ""
obsen·a que la longitud deondad,smmuyóy
la frecuencia del movimicnto permaneció
conslanle. ¿Por qué?
El cambio de dlr«dón q� experimenta la on-
da cuando choca con un obtticulow denomina
rY!{lu.f6n de ú, ondo.
l. Toma un resorte y ffjaloen un extremo: mda
un pulso por el extremo libre. <Que le sudece
al pulsocuando llega alrxtremo libre' (Hubo
cambiu e11 la uin.'t.LÍÚII de propagación? Re·
prnenla gn1,focarncnte la configuracJÓn ob-
=·,da.
Refracción

27. '
·J·
•
'" l.lZ
a. Rca.li7a un diagrama donde se muestre lo
que ocurre en los puntos P y Q.
b. Si� env ia una onda periódica de O a R.
¿En cu.111 cuttrda la ,·••10.-irlArl rl� r"'l'"S""i,(,n
es mavor?
c. ¿V�ria la írec:ucnda cuando la onda pasa
de una cuerda a utra?
d. ¿En cual cuerda la longitud de onda nme-
nor?
Cuando loo plano, de vibración de una onda
.., Tfftrlngen a uno .olo, N: dice que la onda
M ha polonu,do.
10. Realiza el 51gu1cntc tjcrcicio.
La figura mu<'Stra un pulso que se propaga
pe.- eescoerdasen el s.mtido indicado.Tenil'lldo
en cul.'"ma que la cuerda del centro �'S más
"""'·
.,,. a II
8. Toma nuc,amente la cuerda poi"" ur,o de los
e�tremosdejandn libre el 01 ro. Mue, e la mano
en ,arias direccione• para produc,r ondas
trans,·crsalcs. ('.En cm.n1os planos ,,lbran las
""'"'
9. Fiia ahora el c.,trcmo libre de la cuerda
Produ<,c una unda transversal mo,icndo la
mano 1cr1,calmcnt<' ,En cuantos pla"°"
,,bran las onda..s?
En el primer caso la, ondas vibran en ,anos
pla� mientrnlien el scgundoeaso las ondas
vibran en un solo plano
Polaria•dón
T
,_
'
J[
,,m
1
--ww JlC "
-- 1
-- --
Si la amplnud total del mo,·imien10 re$ultan1c
aumenta, se dke que hay bucrferencia cons-
1ructil"a. parles a y b de la figura.
Si la amplitud total d,smmu,-r hav mt�"lfercnc,a
destruc1i,·a. Panc e de la r,gul"a
6. De acuerdo con loi; gráficos anteriores. ¿qué
puedes concluir acerca de la amplitud de la
onda resuhan1c en el pumo donde se encuen·
tran los mo'>mlcm0$ ondulatorios.' [)ej.poés
que las onda� se superponen. ,:oomo conti·
núan propag�ndosc,?
,. 11.,.,,...er,1r;,.�mrn1r l"'l''"•""r<i,·cu:u,,i.,llls
ondas que se muestran en la figura 2.10 se
encuentran en el punlo y luego continúan su
"''" uniento
c...ndo en "n• n,gL6n del ttp•do Inciden d... o
mU ondu, loo dupl,1amlen10• 'l"e ellN pro-
ducen .obtt cada partieula del medio.., suman
algebralcamente. F.110 conuponde al fenóme-
no de lnterlen,ncla.

28. CF:ALLER 4 )
-.
--1........... _
27
2. Teniendo en cuenta que la longitud de onda es
la distancia entre dos crestas o dos valles con-
secutivos, ¿cómo son las longitudes de onda
que se ilustran en la figura 2. 16. ¿Es constante
la frecuencia del movimiento ondulatorio?
¿Por qué?
Como la longitud de onda y la frecuencia son
constantes en el medio, entonces la velocidad
de propagación también es constante y está
dada J.X)r la expresión v = A . f.
Al agitar el agua a intervalos iguales de tiem-
po, se producirá una onda periódica como
muestra la figura 2.16 formada porpartes cla-
ras (crestas) y partes oscuras (valles).
Fig 215
La gráfica 2.15 muestra los frentes de onda,
para las ondas circulares. Para indicar la di-
rección y el sentido del movimiento de las
ondas se utiliza una recta normal a los frentes
de onda llamado rayo.
Los rayos de un pulso circular divergen ra-
dialmentc a partir de la fuente perturbadora.
3. ¿En qué dirección viajan los rayos de un pulso
recto? Dibújalos.
Velocidad de propagación de
una onda en dos dimensiones
1. Agita con la regla la superficie del agua a in-
tervalos iguales de tiempo. ¿Qué clase de ondas
se producen? Ilustra gráficamente las ondas
producidas utilizando los frentes de onda
correspondientes.
F1g 2.14
La linea imaginaria que une los puntos que se
encuentran en el mismo estado de vibración
representa un frente de onda.
2. Produce una perturbación con la yema del
dedo. ¿Qué forma tiene el pulso generado?
RcprcsCntalo gráficamente. Si para ondas
rectas los frentes de onda son rectos, ¿cómo
son los frentes de onda para ondas circulares?
Movimiento ondulatorio
bidimensional
Fig. 2.13
De acuerdo con las características y medidas
de la cubeta de ondas dada en la figura, construye
tu propia cubeta.
Frente de onda
l. Vierte agua en la cubeta hasta alcanzar una
altura de I cm. Produce un pulso agitando la
superficie del agua con una regla. Dibuja el
pulso producido.
En la figura 2.1 O se ilustra el tipo de pulso que
se produce con la regla.
Construcción de una cubeta de ondas
Puedes construir una cubeta deondas que te servirá
para el estudio del comportamiento de las ondas
en dos dimensiones. La figura muestra sus ele-
mentos con las dimensiones correspondientes.
Elementos de la cubeta de ondas:
- Cubeta - Pantalla
- Soportes - Bombillo
- Soporte de bombillo
- Taco para el orificio de desagüe.

29. �-
F,..U1
cEn qui' medio es
mavor la ,cloci.
dad? ¿Qué fooo.
meoo cJ<p,,nrne,,.
tacl pulsoalpa.sar
do, un medio a
wn>
C011$idCrl'TTIOS qUC" d pulso akan,:a la SU·
perfic,e de s,cparación cn et punto B y :,o,
refracta. Teniendo en cuenta que su pn;,.
pagaóón cnd ptimn- medio es con ,·eloodad
constame v, y o,n d m,..:lio 2 con 'o,locidad
conslantc 1,.
Cu•ndo un1 onda pua de un medio • otro,
tI¡,.ttmenta un c...,blo en I• veloddMI de ¡wn.
gadón llamado refncclón de la ood.L
... ll9
3. <Cómoson las kwlgi1udesdo,ondacncllda uno
de los medios?<Varia la frecuencia de un me·
d,oa onW ¿Las I cloddado,,s son iguales en los
d°" med� ¿Porqué? ¿En cuM rqlÓrl es ma.
}OI" la ,clocidad>
Ley fundamental de la refracción
La figura muestra un pulsoen ,·ana,,pos,oonc,s, ese
akanu la sup..'Tfocx- de separación entre los medios
, se s,gUC" propag.mdo por el mMlO 2
Si rnlúlinlmOi!i un corto, trans1•crsal de la cubffli dc
oodas se obser.-arian ondas peri6dácas dc diferente
longitud de onda.
'""'
4. Cuando el pulso
cambia de medio
,,aria la longi1ud
deonda,.1, Varia la
Íl"l"CUCOCia? ¿Va-
ria la 1·elocldad?
Ley fundamenu,l del• �neil6n '-"
Constderemos un pulw qu.., incide formando un
;nguJo t con d obst�culo v :te rcílcja. Formando un
iogulo t.
2. M,d., d aflgulo de inc,denc,a I y el ángulo de
refle,úón t. ,Cómo >0n estos ángulo�
�--�
m,ti==m<tr
Al variar la pro(und,dad del agua en la cubeta de
ondascolocarxlo un ,"idrioplaooen una panc de dla
oblencmos dos medios d,ferent<."<"
Al gt,rterar ondas pcnódkas ¡,lanas. ...., obtiene la
configuracioo obser.ada en la Figura.
Fenómenos ondulatorios
en dos dimensiones
Rdle..lon
l. Coloc:• demro'de la cubeta un ob111áculo y
aenera con la r..,a;la un pulso. IJ=rib,: lo ob.
servado cuando d pulso 11..,ga a la barrera.
En la pan1alla vemos que d pulso incid..,nte
choca con1 ra el obstáculoy se rcílcja cn -1,nll•
do contrario. ¿Qué Fenóm..,no ocurrió?
...,.,7
De acua-do con fas medidas ame� "" pu<.-d,·
concluirque lu ondu.., refleJ11n tenlendoen cuenta
q11e la medida del in1ulo de lnddcnd• n l¡¡u.1 • lit
del inaulo den0,..16n m<t I • m <t r.

30. !. ¿Qui distancia recorre el extrrmo dcl pulso
que irw;;dió en By Uegó a C en cl Intervalo ql'
tlc.-mpoAI? ¿Qui distancia recorre el ex1rrmo
dcl pulsoqu<,.., encontraba..., A y lkga a D.
..., d m�mo intft"l•alo de tiempo?
6. Halla el ,·alOI"" de 5en '• sabiendo que cl tnin·
gulo ABD es rectángulo.
¿Qui representa IR ¿Que el.ase de 1nángulo
es BCD? Halla 5CTI 8.. ¿Qui: representa I,?
De acuerdo con la figura se puede awsurar
que la di�1ancia que recorre el exlremo dd
pulsoque incide en B')se propaga en d medio
2. esv,At.micntras d ex1rcmoque vkne de A y
llega a O r«orrc una distancia v,Atcn el me·
d,o l. Se, obtiene que:
SenA• �
BD
7. ComPJ"lebaque al di,·i<iir sm 8, entre sen I,
xoblienc:
Sen 8, !.l.
Sen 6, Vl
1.- ra.ón rntre rl - da! in1ulo dr tnc:ldancia
, rl MnO dal in¡ulo da refrac:dón n l1ual a la
ru6n an!N IN valoc:idadn dd movimiento on-
dubitorio an loa do. .....tlOL
&. Con base en la rd3ci6n
� • .!l.. dnnostrar que Sc,n 8, • .h
Sen l. v1 Sc,n I, A,
Uarna·
v, • ,·eloddad de laonda en cl med,o 1.
,., • ,·docidad de la onda en d medio l
A, • lon¡nuddeondade laonda ,en d nwdio 1.
A,• longitud deonda dela onda en d m<.-d;o 2.
¿Cómo es la frecuencia en los <los medios?
¿Son iguales.> ¿Porqué?
Como v, • f A, ¿a qué es ,gua!,·,?
Remplaza a v, y a v, en la expresión
�-J:'.L
Senl, v,
Cancela la frecuencia y has d�rado la
exprui<>n
�I
�
Sen 8, 2.i_
Sen6,-A2
ln1arf.-mda
La figura ,luMra la conf,auraclón de interfert'r1da de
onda:, producidas por<los fuentes que tocan s.imul-
t1ncamcntc la �uperficic dd agua
9. Reproduce esta conf,guración pulsando con
dos dedos la supcrf,c,e de agua dr la cubeta.
Las pan"" claras de la figura represrntan las
crestas ¿Qué repr.,,..,ntan las panes oscuras?
/11 A, .... N, N,N,
Obsena la figura 2 22 con el hbro a la altura
de los ojos y rn la dirrcc,ón de propagación de
la, ondas. las z.onas gnses de mi111rna pertur·
bación son las lineas nodales y las zonasdaras
y o,;curas :,on de m:!tx,ma perturbación y se
llaman !Incas antinodales.
Las lineas nodales N1• N, y N, son producidas
por la mll'ffcrenaa dcstruet,va.
¿Qué .e m,.:c:sita para que haya mt«rfereneia
destrocuva? Los puntos donde hay in1erfe-
rcncoa destructi,a se llaman nodos y las Lineas
que las contiene l'S la línea nodal.
10. En1re dos lineas nO<lal<'!ó existe interferencia
ccnstrucnva, ¿Oué �,gnif,ca c:sto? La crrsta de
una onda s.: supcrponc a la cresta de la otra
onda originando una cres1a dcdobkamplitud.
De la misma Forma dos '"alles se superponen
para fo,mar un ,allc doble. La línea que une
los puntos donde existe intcrfcrrncia cons-
u·ucli"a se llama línea antinodal. Nombra al,
gunas lineas anunodal=

31. Cu1ndo • un punto llepn •lmuhine1men1e
do1 o mú ond1,, l1 lmplltud con que vlbr1 n1e
punto ff l11'ffuh1nte de I• 1uma algtbrilca dt
1.. 1mpll1udn dt c1da un1 de l•• ond11. Elle
fenómenoH ll1m1 lnterfen,ncla n principio de
IUptrpooldón.
Dlframón
11. Coloca en la cubeta de ondas un obs1áculo
como se ,lustra en la figura. produce un coo-
junto de pulsos n,."(:05. ¿Qu.; obscn.l!I' El ex-
penmento muestra cómo al pasar k>$ pu™"I
pord extremodd obstácuk, ést0$ se cun,m
bordeando la barrera.
...... lJl
Coloca ahora dos obst.cuk>$ separados una
pcquei'la distancia y produce pulsos rt.'CIOS v
obsen·• 1• curvanlra de la onda cuando pasa
por- el obstáculo.
':,f
I J))
Representa en un dibujo el fenómeno de
d,fracción
Cu1ndo una onda pU& cera, de un 01»1,culo o
I través de un orificio, H produ� un cambio en
11 curvatur1 de 11 onda. Este fenómeno H co-
noce con ,J nombtt de dl/rocci<ln.
/
C1d1 punto de un fttnle de ond1 puede conll-
dtr1roe como un1 futnlt puntual ge-radon
dt ondu en la dl.....,dón de propagación den-
lU. Elle fenómeno H conoce como prlnc:lplo
deHu11e,u.
12. Resuelve los &igukn1cs cj,•rcic,os;
•· Una masa de agua se agita con una regla
cada 0.1 s. la onda qu" produce tiene una
longitud de onda de J cm. ¿Cu" es la rrccucn-
cia de la onda? ¿Cuál e,,; la ,·docidad de
propagación'
b. Una persona <.:un una •<'lila agna una masa
de agua con una Írccucnc,a f. Si aumenta la
frecuencia en el mo,·,m,cnto de !a r,:,gla. 0qu0,
alteraciones ocurren en la ír<"(:Ul-ncia. la lon-
gitud de onda v la ,elucidad de la ond:>?
c. La figura muestra una onda qu" pasa del
medio 1 al medio 2. ¿Es igual la Frecuencia dr
las ondas? ¿Cómo �"'S la long,lu<l d" onda en
cada medio? ,En cual de los dos m,-dJOS es
ma,or la ,·docid.ad d,· prup¡,gación?

32. Cluiflcaclón de las ondas
De acuerdo al medio de propagación:
Mt'Cinlca1: necesitan de un mecho elástico que vibre.
Electromagnéticas: se pueden propagar en el vado.
De acuerdo al movimiento de las panículas del medkr
Trans,tr-sale1: las partículas del medio vibran pcrpendicu-
lanncnte a la ducccjón de propagación de las ondas.
Longl1udinales: las panículas del rncdkr vibran paralelamente
a b dirección de propagación de las ondas..
Fenómenos ondulatorios
Reílexlón: es d fenómeno ondulatorio que se presenta
cuando la onda chuca con1r:1 un olKt:iculo. ...:i n1anifiL'"'óla con
un cambio en la dirección de propagación de la onda.
Reíracclón: es el fenómeno ondulatorio que se presenta
cuando la onda cambia de medio de propagación. se mam-
fil'lila con un carnbio en la velocidad de la onda.
Diír;1cclón: L'S el fenómeno ondulatorio que se pre,:nta
cuando la onda pasa a través de un orificio de tamaño menor
que la longuud de onda o pasa cerca a un obstáculo, se maní-
Í•L">ta porque la onda se rurva al pasar por !a abertura y
bordea el obstáculo.
Interferencia: L'S el fenómeno ondula1ono que se presenta
cuando en un punto inciden 1ná.s de una onda. se manifiesta
porque en di.-hó punto. la elongación de la onda L'S la suma
algebraica de las clongacjoncs de L1s ondas incidentes.
Polarhaclón: es el fenómeno ondula1orioque se prp�nta en
las ondas transversales. que consiste en reducir todos los
planos de vibración de la onda a uno solo.
Elemenlot de una onda
En b figura 2.27 .'il.' ilustran ajgunosccoccpros que intervienen
en el estudio de las onda�.
NodOI (N): puneos que oscilan con mínima amplitud.
C""'ta: parte superior de la onda
Valle; pauc inferior d,.. la onda.
Anllnodo (A): puntos que oscñan con máxtma amplitud.
Longitud de onda (A): dlsrancra recorrida por la onda L'Tl el
tk·mpo de un ¡x•riodo (f). Se puede calcular midiendo la
db1anna cntn..• tr.-s l"IOOO$ consccuncos.
A
"
' v• fl
..
-e
..
�
"O
]
' - "'
�
..
"O
-
"
rot. �.!7
Le>et y prlnclplOI del movhnlento ondula1orlo
Ley de la 11:rtexlón: el .'lngulodc incidencia mide [o rrusmoquc
el ángulo de rcí!eüón (m.:ti = m <t r).
Ley de la reíracclón: la razón cnrrv el sene del ángulo d•·
incidencia , l'I seno del ángulo dl' rcfracc,on es igual a la razón
ene n· la duc1d;1d de la onda l"!l l'Í prim...r mL'"<l10 v la velocidad
dl· la onda i·n el -.cgundo rncdio.
Principio de Huygens: cada punto de un Frente de onda se
JlUL'"<l•• conMdl•rarcomo n UL'I a fucmc generadora de ondas en
la din.x-ceión de prop.ig:,ción
SenB. ,.,..!L
Sen B, v,
31

33. /
A. Las preguntas 1 a 11 son de afirmación y ra-
zón y se contestan de acuerdo con los criterios
expresados a continuación.
A, si la afinnación y la razón son verdaderas y la
razón es una explicación de la afinnación.
8, si íaaíirmacíón y la razón son verdaderas pero la
razón no es una explicación de la afinuación.
C. si la aíirmación es verdadera y la razón es falsa.
D. si la alirmación es falsa y la razón es verdadera.
E, si 1an10 la afinnación co1110 la razón son falsas.
Una onda cuando cambia de medio de
propagación se rcfracta porque la fre-
cuencia de la onda varia.
,.... 2. Las ondas transversales se polarizan por-
que se pueden reducir los planos de vibra-
ción a uno solo.
B. En las preguntas 12 a 20 marca (X) en la
respuesta correcta.
12. En un resorte de 6 metros de longitud se
producen ondas estacionarias cuando
realiza 8 oscilaciones cada 4 segundos. Si
en la oscilación se observan 4 nodos, la
longitud de onda es:
a. 2 m d. 8m
b. 4 m c. IOm.
c. 6m
13. la velocidad de propagación de las ondas
en el n..'serte del problema anterior es:
a. 2 mis
b. 4 mis
c. 6 mis
14. Se llama longitud de onda a:
d. 8 mis
e. 10 mis.
, •
'
3. Cuando las ondas chocan contra un obs-
táculo se rcílcjan porque la dirección de
propagación cambia.
L 4. Las ondas electromagnéticas son longitu-
dinales porque no se pueden polarizar.
S. Al producir ondas estacionarias en un re-
sorte, la velocidad de propagación depen-
de de la rrecucncia porque v = A . f.
6. La velocidad de propagación de las ondas
en un resorte es directamente proporcio-
nal a la tensión porque a mayor tensión
mayor velocidad.
7. El sonido es una onda mecár.ica porque
necesita de un medio para propagarse.
8. Cuando una onda se refracta la razón en-
tre el seno del ángulo de incidencia y el
seno del ángulo de reíracción es igual a la
razón de las velocidades porque el medio
de propo.gación no ha cambiado.
9. El movimiento de una pelota que se mue-
ve cerca a la superficie terrestre es un
movimiento ondulatorio porque la pelota
rebota y se refracta.
10. Al interferir dos ondas con igual amplitud
y diferente longitud de onda, la onda re-
sultante se destruye porque es imposible
producirdos ondas con diferente longitud
de onda en un mismo medio.
11. las ondas que se producen en la superfi-
cie del agua son transversales porque las
partículas del medio vibran pcrpendicu-
Jarmente a la dirección de propagación.
a. La distancia entre dos nodos conse-
cutivos.
b. la distancia recorrida por la onda en
un segundo.
c. La distancia recorrida por la onda en
un periodo.
d. El número de oscilaciones en la uniad
de tiempo.
e. El número de oscilaciones en un pe-
riodo.
15. Una onda se propaga en cierto medio con
velocidad v. si la frecuencia se duplica, la
velocidad será:
a. V
b. 2 V
c. 4 v
d. vl2
e. vl4.
16. En una onda longitudinal el fenómeno fi-
sico que no se cumple es:
a. Reflexión.
b. Refracción.
c. Interferencia.
d. Difracción.
e. Polarización.
17. Si con cierta tensión T, las ondas de un
· resorte se propagan con velocidad .v. Si la
tensión se cuadruplica la nueva velocidad
será:
a. V
b) 2 V
C. 4 V
d. vl2
e. vl4.
1
' '2

34. d. Interferencia.
e. Polarización.
>
l. La longitud de onda son 2 m.
2. La amplitud es I m.
3. La longitud de onda son 4 m.
4. La amplitud es 0.5 m.
24. Si las partículas del medio vibran parale-
�- lamente a la dirección de propagación de
las ondas, entonces la onda es:
1. Mecánica. 3. Transversal.
2. Pulso. 4. Longitudinal.
l. La longitud de on
tad.
2. La velocidad no ca bia.
3. La longitud de onda e dup
4. La velocidad se duph .
22. El sonido es una onda de
r. 1. Mecánico.
2. Electromagnético.
3. Longitudinal.
4. Transversal.
') 23. En la siguiente ilustración de un onda:
25. Cuando una onda pasa a través de un
orificio:
l. La curvatura de la onda cambia.
2. La velocidad de la onda cambia.
3. El puntodcl frentedeondaesunnuevo
generador de onda.
4. La onda se refleja.
a. La onda choca contra un obstáculo.
b. La onda cambia de medio.
c. La onda pasa a través de un orificio.
d. La onda reduce los planos de vibración
a uno solo.
e. Las ondas se encuentran en un mismo
punto del espacio.
2�. Al producir ondas circulares en la super·
flcie del agua, las líneas nodales de inter-
ferencia se producen cuando:
a. La interferencia es constructiva.
b. La interferencia es destructiva.
c. Interfiere cresta con cresta.
d. Interfiere valle con valle.
e. Ninguna de las anteriores.
21. Si se producen ondas estacionarias en un
-� resorte, la velocidad de propagación de las
ondas es v, al duplicar la frecuencia:
a. Reflexión.
b. Refracción.
r c. Difracción.
19. El fenómeno de refracción se produce'
cuando:
18. El cambio en la curvatura de la onda que
se produce cuando ésta pasa a través de
un orificio, recibe el nombre de:
C. Las preguntas 21 a 25 se resuelven de acuc-rdo
con el siguiente criterio:
A, si 1 y 2 son verdaderas.
8, si 1 y 3 son verdaderas.
C, si 2 y 4 son verdaderas.
D, si 3 y 4 son verdaderas.
E, si I y 4 son verdaderas.
33

36. Ondas sonoras
F1!!,, 1
Los sonidos que el oído puede percibir, dependen de la variación de
presión que el aire experimenta al transmitirlos. Es así como la máxima
variación de presión que nuestro oído puede tolerar es de 28 N/m2•
35
En un medio que vibra
con mucha amplitud,
la diferencia de pre-
tlón entre la compre·
tlón y la rarlflcaclón et
muy grande y el soni-
do que alcanza es muy
fuerte.
La vibración es la cau-
n de todos )09 aonldos
y el aire tlrve como
medio para tu
propagación.
Zona de compn!,16n
1
Zona ranficac:ión
Cuerpo Vlbranlc
- Beja pfU)6n
Concepto de sonido
El sonido es una onda mecánica longitudinal porque las panículas del
medio vibran en la dirección de propagación de las ondas.
La frecuencia de las ondas sonoras está comprendida en el intcr-
valo de 20 a 20 OCX) vibraciones por segundo. Las ondas de frecuencia
inferior a 20 vib/s y superior a 20 000 vib/s se llaman infr'asónicas y
ultrasónicas respectivamente, y no son captadas por el oído humano.
Las ondas sonoras se producen al vibrar la materia. Por ejemplo, al
golpear una campana, al pulsar una cuerda de guitarra, al hacer vibrar
las cuerdas vocales humanas, etc. Para transmitirse el sonido necesita
de un medio elástico ya sea sólido, liquido o gaseoso. En el vacío las
ondas sonoras no se propagan por ser ondas mecánicas.
Cuando los cuerpos vibran cornprirru-n el aire de la vecindad,
produciendo una serie de pulsos de compresión y de ratificación que
forma una onda, la cual se transmite a travésdd aire alejándose de la
rucntc y penetrando al uitlu.

37. El sonido no ae propa-
ga 11 no exl1ten molé·
culu que vibren y lo
transmitan. Por eso no
hay 10nldo a travú de
un vacío.
La velocidad del soni-
do dl1mlnuye cuando
el aire es meno, denso.
36
Velocidad del sonido
Cuando observamos de lejos que una persona golpea un objeto y
escuchamos el sonido que prpciuce� podemos comprobar que el sonido
emitido gasta cierto tiempo para llegar hasta nosotros. La velocidad con
que viaja el sonido depende de la elasticidad del medio y de su densidad
(inercia) tal como sucede con las ondas. La velocidad del sonido en un
gas depende de la presión (P) (elasticidad) v de la densidad (p) (inercia)
del gas de acuerdo con la expresión:
v = N(1) donde y es una constante adimensional que para
gases diatónicos como el aire, vale 1.4.
P RT
Para un gas, p = M (2).
Siendo R la constante de los gases.
R = 8.317 J./ºK. mol.
T la temperatura absoluta y M la masa molecular del gas.
Si se despeja de la ecuación (2) la presión (P) y se reemplaza en la
ecuación ( l) se obtiene:
v= JLJ'I- (3)
De. la ecuación anterior se concluye, que la velocidad de propaga-
. ción es Proporcional a la raíz cuadrada de la temperatura absoluta,
puesto que y, R y M son constantes. O sea. la temperatura influye sobre
la elasticidad v sobre la densidad del medio y desde luego, sobre la
velocidad de propagación de la onda.
La tabla 1 muestra los resultados obtenidos en investigaciones
hechas acerca de la velocidad de sonido en diversos medios.
Tabla 1
Velocidad del sonido en diferentes medios
1 Temperatura Velocidad
Medio (ºC) m/s
Aire o 3.i 1.7
Aire J
15 340
Oxígeno o 317
Agua t 15 1 450
Acero 20 5 130
Caucho o 54
Aluminio o 5 100

38. (TALLER J)
+06 m.t
v=vo· . s.°C
o¡ea:v=331 ...!!!... +0.6 ..!!!....300C
s sºC.
entonces: v = 349 .!!!....
s
Ahora, como se tiene la velocidad y .la fre-
cuencia, y se obtiene A utilizando v = A • f de
donde:
= v = 349 m/s = 193
11. T. t80s-1 • m
de do.l'de: M = 2.016x 10-> kg/moL
Ahora, para el cálculo de la velocidad se aplica
la.ecuación:
Se debe aplicar la ecuación ..f. = RT para
P M .
calcular la masa molecular(M) del hidrógeno.
(T = 273°K) o sea:
M= RTp
p
M = 8.317J/ºK.mol.273ºK.9x 10-2kg/mJ
1.013 X 105 N/m2
Solución:
Conociendo J� temperatura se puede calcular
I� velocidad mediante la expresión
3. Calcular la velocidaddelsonido en el hidrógeno
a 293'1(y una atmósferadepresii)n. (!.A densidad
p del hidrógeno es 9x 10-2 kg/nil.).
Solución:
Se sabe que:
P = 1 at = 1.013 x 105 N/m2
y= l.4
R = 8.31 J/ºK.mol
T= 293ºK
p = 9 X )0-2 kg/m'
cuandose conoce la longitud de onda y la frecuencia
o el periodo.
Observa el desarrollo de la solución dada a los
siguientes problemas.
t. Una onda sonora recorre en el agua / km en
0.69 s. ¿Cuál es la velocidad del sonido en el
agua?
Solución:
Sesabeque:x= 1 km= 1 OOOm
t=0.69s
donde ve es la velocidad del sonido en el aire a Cl°C.
Vo=33l.7m/s
La velocidad de propagación del sonido tam-
bién se puede calcular conociendo la distancia
recorrida y el tiempo empleado en recorrerla,
mediante la expresión:
f=vo+0.6�.t,
También se puede utilizar la expresión:
í"":7l
�
I v=A.fov=i-l
Velocidad del sonido
en el aire
Experimentalmente se ha observado que la velo-
cidad de propagación del sonido en el aire varia
0.6 m/s por cada grado Celsius de temperatura;
por lo tanto se puede calcular la velocidad (v) del
· sonido en el aire en función de la temperatura (t)
utilizando la expresión:
de donde
x 1 OOOm
o sea: v = l = 0.69 5
= 1 449.27 mis
La velocidad del sonido en el agua es aproxi-
madamente 1 450 m/s.
2. Calcular la Iongitudde onda de un sonido cuya
frecuencia es de l80s-1 si se propaga en e/aire
a la 1emperatura de JOOC.
( 1.4).(8.317 J/0
K.mol).(293ºK)
2.016 x 10-' kg/mol
o sea: v = 1 300.87 m/S
37

39. 38
4. ¿Qué longitud de onda corresponde para
una onda sonora cuva frecuencia es de
20 000 vib/s y se propaga con una veloci-
dad de 340 m/s?
5. Ciertas ondas ultrasónicasquesepropagan
en el aire tienen una longitud de onda de
3.8 x 10-7 m. ¿Cuál es su frecuencia?
(v = 340 m/s.)
6. La longitud de onda del sonido de más baja
frecucncia que puede percibir el hombre es
de 17 m. ¿Cuál es esta frecuencia?
(v = 340 m/s.)
7. Calcula la masa molecular del oxigeno· te·
.niendocn cuenta que la velocidad del sonido
en el oxigeno a O"C (273ºK)de temperatura
es de 317 m/s.
8. Calcula la velocidad del sonido en el aire a
300C (303°K) y una atmósfera de presión.
(Masa molecular del aire
M = 28.8 x 10-' kg/mol.)
9. Un barcocmiteunsonidodentrodel agua y
al cabo de 6 s recibe el eco del sonidoque se
refleja en el fondo. ¿A qué profundidad está
el fondo?
10. ¿Cuál es la profundidad de un hueco, si al
dejar caer una piedra dentrode él se escucha
el golpe en el fondo después de 5 s?
11. Un carro viaja hacia una montaña con una
velocidad de 36 km/h; hace sonar el pito y
recibe el eco a los 3 s. ¿A qué distancia está
de la montaña?
12. Entre dos barcos A y B que distan 200 m
hay una roca estos emiten simultáneamente
dos sonidos los cuales son reflejados por
dicha roca. Si el barco A recibe el eco 0.2 s
después de haberlo recibido B. ¿A qué dis-
tancia del barco A está la roca?
x1:::: v1t1 Y Xz = Vi 11
x1=340m/s. l s::::340m.
x1=340m/s. 1.5s=-S!Om.
Por lo tanto.
Solución:
Llamaremos x1 la distancia que recorre el sonido
hasta una de las montañas y x1 la distancia que
recorre hasta la otra montaña; 11 el tiempo que
emplea la onda sonora en recorrer x1 y t2 el tiempo
que emplea en recorrer x2•
Puesto que los tiempos que emplea la onda
sonora en ir hasta las montañas es igual al que
empica regresando hasta la persona, entonces:
11:::: 1 s;t1= l.Ssyv::::J40m/s
entonces: X1 = x1 + x1
x,= 340 m + 510 m = 850 m.
Resuelve los siguientes problemas:
l. Calcula el tiempo que emplea el sonido en
recorrer 1.5 km.
a. En el aire a OOC. b. En el aire a I SºC.
c. Et: el agua.
2. Durante la tempestad, se escucha un trueno
8 s después de haber percibido el relámpago.
¿A qué distancia cayó el rayo?
(v = 340 m/s.)
3..Un barcocmitesimultáneamente un sonido
dentro dd agua y otro en el aire. Si otro
barco detecta los sonidos con una diferencia
de 3 s, ¿a qué distancia están los barcos?
4. Unapersonaqueestásituadaentredas montañas
emite 1111 sonido, si percibe elprimer eco a los
2 syelsíguíentea los 3s.¿Cuáles la separación
de las 1110111aiias?

40. (TALLER 2)
Fenómenos acústicos
Dacrlpdón de fenómenos acústicos
t. Con base en los comportamientos caracteris-
ticos de las ondas, estudiados en la unidad
anterior y teniendo en cuenta que el sonido es
una onda longitudinal, identifica los fenóme-
nos de reflexión, refracción, difracción, e in-
terferencia en los enunciados siguientes:
a. Cambio de dirección del sonido cuando
choca con un obstáculo ( ).
b. Desdoblamiento que experimenta el sonido
alrededor de un obstáculo ( ).
c. Cambio de velocidad que experimenta el
sonido al cambiar de medio ( ).
d. Superposición de los movimientos de los
sonidos presentes en una misma región del
espacio ( ).
2. ¿Es posible polarizar una onda sonora? ¿Por,
qué?
3. El sonido comO cualquier otra onda al chocar
contra un obstáculo se refleja. El sonido refle-
jado se llama eco.
Para que una persona parada frente a un obs-
táculo distinga el sonido emitido y el eco, debe
estar colocada a una distancia mínima de
17 m del obstáculo. Esto lo puedes verificar
teniendo en cuenta que:
<,
a. El oído sólo diferencia dos sonidos que lle-
gan con intervalo mayor de 0.1 s.
b. El sonido gastará el mismo tiempo de la
persona al obstáculo que de éste a la persona.
c. De la persona al obstáculo el sonido debe
emplear como mínimo la mitad de 0.1 s.
d. La velocidad del sonido en el aire es apro-
ximadamente 340 mis.
e. x= v.t
f. Verifícalo.
g. ¿Qué ocurre si la pared está a menos de
17m?
4. Basado en el fenómeno de reflexión explica
por qué los murciélagos vuelan en lugares
oscuros sin chocar con los objetos.
S. Explica por qué en las salas de conciertos o
teatros colocan cortinas en las paredes.
6. En un apartamento dos personas hablan.
Las personas se encuentran en cuartos
diferentes.
Analiza cada una de las afirmaciones siguien-
tes y di si son falsas o verdaderas:
Fig. 32
I a. Las personas se escuchan !oque hablan debi-
do a que el sonido se transmite por reflexión de
- pared a pared. ( )
b. Se escuchan por transmisión a través de las
paredes. ( )
c. Se escuchan porque al llegar el sonido a cada
puerta, éstas se convierten en centros producto-
res de ondas. ( )
39

41. Fig.3.5
)
1
::
<
Fig. 3.4
c. Una persona que se encuentra sumergida
en una piscina. escucha una canción emitida
por un equipo di! sonido que está fuera de
agua.
a. Reflexión. Cuando la onda sonora choca con-
tra un obstáculo, la onda cambia de dirección
de propagación.
b. Refracción. Cuando la onda sonora cambia
de medio de propagación se produce una va·
riación en la velocidad de propagación.
c. Difracción. Cuando la onda sonora bordea un
obstáculo o pasa a rravés de una abertura se
produce un cambio en la curvatura de la onda.
d. Principio de Interferencia. Cuando en un pun-
to del espacio se encuentran dos o más ondas
sonoras. en dicho punto la amplltud de la on-
da es igual a la suma algebraica de las ampli-
tudes de las ondas incidentes.
Fenómenos ondulatorios
relativos al sonido
Fig.33
8. Teniendo en cuenta que la refracción del sonido
se caracteriza por la variación de su velocidad
cuando este pasa de un medio a otro; la dlfrec-
clón por el doblamiento que experimenta el so-
nidoalrededor de un obstáculo v la inlerferencla
por la superposición de tos n1ovimicmos de cada
uno de los sonidos al encontrarse en un punto
del mismo medio; analiza cada una ele las si-
guientes situaciones e identifica el fenómeno fí-
sico involucrado:
a. Una persona que escucha sonidos provcnicn-
les de fucntes que no están en línea recta con el
oído.
7. Existe un fenómeno acústico llamado reverbe-
ración que consiste en el refuerzo o prolonga·
ción de los sonidos primitivos debido a las reíle·
xioncs sucesivas que experimenta éste. Si por
ejemplo, los objetos absorben poca energía en
cada reflexión, la intensidad del sorndo se demo-
ra en reducir su valor hasta que va no es más
audible: en 1..'SIC caso el tiempo de rcvcrbcrancia
es largo. Si los objetos son buenos amortiguado-
res de las ondas sonoras. la intensidad se reduce
rápidamente al rrunirno audiblc. ahora el tiempo
de reverberación es eo110. Si la reverberación es
larga, no se escucha con claridad, hay confusión,
v si es corta el sonido nosc percibc,debidoaque
la energía fue absorbida.
b. Cuando en O se produce un sonido, éste se
separa y viaja por dos caminos diferentes hasta
encontrarse nuevamente en P.
40

42. Cualidades del sonido
Las cualidades del sonido son aquellas características que permiten
diferenciar unos sonidos de otros. E.o la audición se distinguen tres
. cualidades del sonido: tono o altura, intensidad y timbre.
Tono o altura
Es la caracteñstica del sonido por la cual una persona dtstlngu,e sonidos
graves y agudos. El tono está relacionado con la frecucncia del sonido:
cuanto mayores la frecuencia más agudo es el sonido y si la frecuencia
es baja, el tono es grave.
Intensidad
Es la característica del sonido por la cual el oído distingue sonidos
fuertes y sonidos débiles, o qué tan cerca o lejos está la fuente sonora.
a. Intensidad física
La Intensidad física está relacionada con la cantidad de energía que
transporta la onda sonora, en la unidad de tiempo, a través de la unidad
de superficie, tomada perpendicularmente a la dirección en que se
propaga. Viene expresada por la relación:
El tono est6 reladoaa·
do con I• frecuencia
del sonido: cuanto
mayor es la frecuenda
mú agudo es el tonldo
y 11 la frecuencia •
baja, el tono • ara••·
Potencia
Intensidad= Arca o
. Energía
pero Potencia= tiempo o
E
de donde: I = A.t
p
!=-¡¡;-
E
P=-
1
Unidades de intensidad física
Se acostumbra utilizar las unidades del S.I.
[El IJ 1 W 1 W
[(]- [A].[1] - 1 m2• Is - m' - m'
La intensidad fisica se mide en watios por metro cuadrado.
La intensidad física depende de la cantidad de energía que trans-
porta la onda; y ésta a su vez es proporcional al cuadrado de la amplitud
de la onda.
b. Intensidad auditiva
Corresponde a la sensación percibida por nuestro oído, depende de la
intensidad física y de otros factores característicos de nuestro aparato
auditivo.
Cuando el sonido tiene
un tono Indefinido y
un margen muy am·
·pilo de frecuend• N
define como ruido."
41

43. La intensidad auditiva puede medirse basados en la ley psicoñsica
de wcber-Fccber. según la cual la sensación es íunción lineal del loga·
ritmo del estimulo. Por ejemplo. nuestro oído percibe un sonido dos
veces más fucrtc que otro de la mlSffia frecu,.:ncia. cuando su intensi-
dad física es 1 O veces mavorque la de otro; percibe un sonido tres 'CCCS
más fuerte si su iniensidad física es 1()() veces, etc.
Unldadtt de medid• de
lntmsklad •udlUVII
De acuerdo con lo anterior, la intl'TlSidad auditiva {B) que: produce un
sonido determinado será propon;ional al logantmodccimal dc la reta-
dón cnrrc.ta intensidad fistca (l) del sonido que se quiere medir v la
intensidad (t.) del sonido minimo audible parad hombrc, o se-a:
B = log t donde
w
t. .. 10-11w/mlol.,• I0-1• cmi
U) cantidad B se suele llamar ni'Cl de intensidad del so�idu
El nivel de intensidad de un sonido se mide l'fl hck.., (b) u en
dccibcles (db): por lo tanto-
B•IOlog ¿db
.....
-
-·---
........-
r-=
... 1-=:".!'
!-":".� -
.•'
••
•
-·· • 11-�
- •
-- •
...�...
- •
-
- •
f!:-"'"";:.· •
•
-·
• -
-·
-·· ••
42
En el esqucrna se indica la intensidad audible de algunos sonidos
comuncs a nuestra cxp1:ril·nc1a:
Timbre
Si dos objetes diferentes emiten simult.'ineamentc !,OrlidO'i del mi=
tono e in!cnsldad podemos djfcrcnciar el sonido producido por cada
uno. Ett1 ai1lid1d que llenen los sonidos producklot por dlíerent"
cuerpos" ti timbre.
. Flsrcarncntc el timbre de un sonido depende de la Iorma de tas
ondas presentes en cada uno La figura muestra !a fonna dl' dos oodas
del mísmo tono e imcnsidnd producidas por un diapasón y un violin.
Fuentes sonoras
Una fuente de sonido <."'S todocuerpo l'1brante capa1 de producir onda,
dástica.'> en el medkr que lo rodea. A com inuación vamosa esrudtnrdos
de las fucntcs m.'ls simples de ondas sonoras. estas son las cuerdas v los
1ubo<; SOrlOl"Ui•
Cuerdas sononis
veamos cuál es el comportamiento de una'. cuerda de longl1ud (L)
sujeta f?l}I' lose�ln.:mos. Cuando se hace que vibre la cuerda, se prcdu-
cen en cita ondas estacionarias debidas a la int<.•rf1.-n:ncia qll<." 11<."TlC

44. .-,-íl
�
Fig. 3.8
Primer armónico
o fundamental
Fig. 3.9
Segundo armónico
Fig.3.10
Tercer armónico
Fig. 3.11
Cuarto armónico
E=rr·Jtl
lugar, entre ondas que avanzan en sentidos opuestos (ondas incidentes
y reflejadas), con la particularidad de que cada uno de los extremos se
encuentra un nodo: y en la parte central de la cuerda se fonna un
vientre.
éuando la cuerda vibra de esta forma con una frecuencia (Í1) se le
denomina primer armónico o fundamental.
En la misma cuerda se puede prcxlucir una onda estacionaria con
tres nodos. La frecuencia (Í2)correspondicnte a esta segunda vibración
será dos veces mayor que la frecuencia de la primera, y se denomina
2do. armónico. De la misma forma se pueden prcxlucir ondas estacio-
narias con cuatro nodos cuya frecuencia f3 = 3 Í1, llamada tercer
armónico. En general, cuando una cuerda vibra se forma una serie de
ondas estacionarias emitiendo, además del tono fundamental, varios
armónicos, cuyas intensidades son menores que las de las vibraciones
de la frecuencia fundamental.
Ecuación de la frecuencia del sonido producido
por una cuerda ·
De acuerdo con la ecuación de velocidad de propagación de las ondas
se tiene que:
v=x . f
Cuando se produce la frecuencia correspondiente al primer armó-
nico en la longitud de la cuerda se produce media longitud de onda:
L-�
- 2
Por lo tanto, F, = 2"L paran= 1. En el segundo armónico,
n = 2, se tiene: L = A.1 de donde f2 = T
Para el tercer armónico, n = 3, L = 1>,. por lo tanto, r, = f= � �
. . v 2v 4v
Para el cuarto arrnomco n = 4 L = 2 A de donde Í4 = ¡=T= IT
En general, para el n-ésimo armónico;
nv
f.=2L(2)
Recuerda que la velocidad de propagación de una onda en una
cuerda viene dada por la expresión v = · ft(3) (Ver capítulo de ondas).
vT .
Donde F es la tensión a que está. sometida la cuerda yµ la masa
por unidad de longitud.
Al reemplazar la ecuación (3) en la ecuación (2) se obtiene la
ecuación que nos hemos propuesto.
43

45. L.• 10-" W/m'
B�28db
Se sabe que:
Para cakular l, se despeja de la ecuaci6n:
B • 101og ¿ db de donde; 2.8 • log -t-
lO'-" •
10-11�/m'
Rttmplaz.ando los valores dados 5C obt�
Q¡¡ea: '
1- 10-". 10' • W/m' - 0.63 >< 10-º W/m'
l. Resp(lnde las ..;guicntes preguntas
a. ,Oué variación experimenta la frecuencia
del sonido emitido por una membrana de un
tambor al variar la Intensidad de los golpes
qiu: 5C Je ele?
_h. ,:Depended 1onodcloonido�m,!idoporun
cuerpo de la amplitud con quese hl'ga vibrar?
(Porque?
s, ¿Qué ,·anación experimenta e! tono de un
sopido al pasar del a,re al agua?
d. Una pcnona sumergida en una ptse1na
percibe la mLti'ic:a transmitida por un autopar·
lanic. ,Habri alguna alteración en La inh.'TISI·
dad de las no1u pc.-n:1bidas por la penona?
e En un coro. nose poedcdi�nngu,rla vo7de
un determinado integrante <Qué pucdesdec,r
acerca del tono. inlensidad y timbre de la,,
voces de los panic:ipantcs'
3. Resuel,·e los sigwentcs problemas:
.!,. Un s,xudo tiene una intensidad de
2 >< 10 'W/m>. ¿Coál es su nivel de intcnsid.ld
mdec:ibdes?
h. EJ nivel de intensidad de un sonido es
19.32 db. ¿cu.il es so intensidad Fisica?
c. Una persona aumenta el nivclsonorodcsu
,01.de 30db a 60 db. ¿Cuántas veces aumentó
La intensidad del somdo emnido'
d Lamtens1dad deun sonidoesel triple de La
intensidad del $0mdo mm,rno audible por el
hombre. ,Cuál es su nivel de imensidad?
c. Teniendo en cocma qu� a intensidad del
'sonido minimo audible por el hombrt' es de
10 ,: W/mót ¿Ouédls1anc1amrmm�dcbc
akjar5e una persona de una fuente ..,,oc,ra
puntual de potencia acÍlsuca ó ,r x 10-B /
para noo,rla?
d. lJn sonrdo rkne "" nlvt:I de 111/ensidad de
28 db:¿cudl u s" in11nsrdad /fsial?
Solución:
( TALLER 3)
L,• 10-"W/m'
1-Jx 10--W/m•
Para calcular B uu!turnos la relación:
Se conoce:
3b•log.l...
t,
Se expresa en fom,a exponencial.
10'. ¿
Sc despeja I J • l., !O', luego
J • 10-11. 10' Y:L_. 10·• ::!!_
m' m'
La intensidad física es 10-•.Y!'...
m'
<.. c..t.. ul,11 .,/,,;v.,/Je mt.,11,úJ,,,l,1., "" ,.,.,a,
Cll)'llirllemidodflsrcot,J>< so- W/m'.
Solución,
8•101os-i-db
Porlotanto:B-101og 3><10-'W/m'db
10-" W/m'
B• 10{log3>< IO')db
8•8477db
Soludón:
De acuerdo con la c..:uadón que relaciona la
inlcruidad auditha con la in1cnsidad fl:sica.
Soludón:
Debido a que la fuente el> puntual. la encrgla
emitida se distribuye en una esfera de radio
{r)cuya superfkic es 4,.,. r'.
De acuerdo con lo anterior, la unidad de su-·
perflCIC será: .
A-4,r r'•4,r,(6m)'•44,r .m'
La intrrtSKlad la cakulamoi; por la relación.
1.L. Z1rxl0-'W
A 144,r m'
de donde J • 1.38 x 1 0-1
''
m
b. ¿Cuál es la intensidad fis,co de un sonido
que t�ne una ,nrensrdad oudrln'íl igutJla J b?
l. Ol:,,sttva la solución dada a ]05 siguientes
problemas:
a. Um, /uen/e sonora produ� uno polenntJ
acUSricodeZ,r x /{j' W.¿Cuáles lainrensidad
de e<le sonida a'""' drslllm:in de 6 m'
Problemas sobre
cualidades del sonido