Este documento presenta el tema de los límites de funciones. Introduce los límites de forma intuitiva a través de ejemplos y tablas de valores. Luego define el límite formalmente como una relación entre las proximidades ε y δ. Finalmente, muestra demostraciones formales de límites como lím(2x+1)=5 y lím(x2/x-1)=7 usando la definición formal.
Este documento presenta un resumen de los conceptos fundamentales de límites de funciones. Introduce los límites de forma intuitiva a través de ejemplos y tablas de valores. Luego define el límite formalmente como la aproximación del valor de una función cuando la variable independiente se aproxima a un punto. Finalmente, muestra cómo demostrar límites formalmente mediante la desigualdad ε-δ.
Este documento introduce el concepto de límite de funciones. Explica la definición intuitiva de límite a través de ejemplos y tablas de valores. Luego presenta la definición formal de límite mediante la cual se puede realizar demostraciones rigurosas. Finalmente, muestra demostraciones formales de los límites de tres funciones para ilustrar cómo aplicar la definición. El objetivo es definir límites, realizar demostraciones formales y calcular límites.
Este documento describe la continuidad de funciones. Define la continuidad en un punto, operaciones con funciones continuas, continuidad lateral y continuidad en un intervalo. Incluye ejemplos y demostraciones para ilustrar estos conceptos. El objetivo es definir formalmente la continuidad de funciones de una variable real y construir funciones continuas.
Este documento presenta información sobre el tema de continuidad de funciones en matemáticas. Explica conceptos como continuidad en un punto, criterio de continuidad, y tipos de discontinuidad. Incluye ejemplos de funciones continuas y discontinuas, y reglas para determinar la continuidad de funciones compuestas y racionales. El documento concluye sugiriendo actividades de investigación relacionadas al tema.
Este documento trata sobre los conceptos fundamentales de límites y continuidad de funciones. Explica las definiciones de límite de una función, límite por la izquierda y derecha, funciones que crecen o decrecen sin límite y límites indeterminados. También presenta ejemplos para ilustrar cómo calcular límites mediante la definición formal y el uso de teoremas como el límite de una función lineal o constante.
1. El documento presenta una guía de estudio sobre límites y continuidad de funciones. Incluye 12 actividades con ejercicios para calcular límites, determinar la continuidad de funciones y relacionar límites con la continuidad.
2. Las actividades abarcan cálculo de límites algebraicos y gráficos, determinación de valores para que funciones sean continuas, y preguntas conceptuales sobre la relación entre límites y continuidad.
3. El documento provee una guía práctica para que estudiantes
Este documento presenta 13 ejercicios de cálculo de límites utilizando diferentes métodos como el método δ-ε, evaluación directa cuando la función es continua en el punto de interés, y factorización cuando la función no es definida en dicho punto. Los ejercicios cubren una variedad de funciones y puntos límite para ilustrar los conceptos fundamentales involucrados en el cálculo de límites.
Este documento contiene las respuestas a varios ejercicios propuestos sobre ecuaciones diferenciales de primer orden. Se dividen en 8 secciones que abordan temas como ecuaciones diferenciales separables, homogéneas, de Bernoulli, lineales y no lineales. Cada sección contiene entre 1 y 14 ejercicios resueltos con detalle.
Este documento presenta un resumen de los conceptos fundamentales de límites de funciones. Introduce los límites de forma intuitiva a través de ejemplos y tablas de valores. Luego define el límite formalmente como la aproximación del valor de una función cuando la variable independiente se aproxima a un punto. Finalmente, muestra cómo demostrar límites formalmente mediante la desigualdad ε-δ.
Este documento introduce el concepto de límite de funciones. Explica la definición intuitiva de límite a través de ejemplos y tablas de valores. Luego presenta la definición formal de límite mediante la cual se puede realizar demostraciones rigurosas. Finalmente, muestra demostraciones formales de los límites de tres funciones para ilustrar cómo aplicar la definición. El objetivo es definir límites, realizar demostraciones formales y calcular límites.
Este documento describe la continuidad de funciones. Define la continuidad en un punto, operaciones con funciones continuas, continuidad lateral y continuidad en un intervalo. Incluye ejemplos y demostraciones para ilustrar estos conceptos. El objetivo es definir formalmente la continuidad de funciones de una variable real y construir funciones continuas.
Este documento presenta información sobre el tema de continuidad de funciones en matemáticas. Explica conceptos como continuidad en un punto, criterio de continuidad, y tipos de discontinuidad. Incluye ejemplos de funciones continuas y discontinuas, y reglas para determinar la continuidad de funciones compuestas y racionales. El documento concluye sugiriendo actividades de investigación relacionadas al tema.
Este documento trata sobre los conceptos fundamentales de límites y continuidad de funciones. Explica las definiciones de límite de una función, límite por la izquierda y derecha, funciones que crecen o decrecen sin límite y límites indeterminados. También presenta ejemplos para ilustrar cómo calcular límites mediante la definición formal y el uso de teoremas como el límite de una función lineal o constante.
1. El documento presenta una guía de estudio sobre límites y continuidad de funciones. Incluye 12 actividades con ejercicios para calcular límites, determinar la continuidad de funciones y relacionar límites con la continuidad.
2. Las actividades abarcan cálculo de límites algebraicos y gráficos, determinación de valores para que funciones sean continuas, y preguntas conceptuales sobre la relación entre límites y continuidad.
3. El documento provee una guía práctica para que estudiantes
Este documento presenta 13 ejercicios de cálculo de límites utilizando diferentes métodos como el método δ-ε, evaluación directa cuando la función es continua en el punto de interés, y factorización cuando la función no es definida en dicho punto. Los ejercicios cubren una variedad de funciones y puntos límite para ilustrar los conceptos fundamentales involucrados en el cálculo de límites.
Este documento contiene las respuestas a varios ejercicios propuestos sobre ecuaciones diferenciales de primer orden. Se dividen en 8 secciones que abordan temas como ecuaciones diferenciales separables, homogéneas, de Bernoulli, lineales y no lineales. Cada sección contiene entre 1 y 14 ejercicios resueltos con detalle.
Este documento presenta información sobre las funciones potencia y logarítmica. Introduce las funciones potencia de la forma f(x) = axn, donde a es un número real y n = 0, 1, 2, 3, etc. Explica que el dominio de estas funciones es R y su recorrido depende del valor de n y a. Luego analiza las gráficas de las funciones potencia para n par e impar, y cómo se ven afectadas por los valores de a. Finalmente, introduce la función logarítmica f(x) = logb(x)
Este documento presenta el capítulo 3 sobre la integral definida. Introduce la definición de integral definida como el límite de la suma de Riemann al dividir el área bajo una curva en rectángulos e ir sumando sus áreas. También expone el teorema de integrabilidad para determinar cuándo una función es integrable, y proporciona un ejemplo de cálculo de área bajo una curva.
Este documento presenta un resumen del Capítulo 3 sobre la derivada. Explica la definición de derivada como el límite de la pendiente de la recta secante cuando el intervalo se hace más pequeño. También cubre temas como la velocidad instantánea, diferentes formas de calcular derivadas, reglas de derivación y derivadas de funciones hiperbólicas. El objetivo es definir la derivada y usarla para calcular ecuaciones de rectas tangentes y normales.
Este documento describe diferentes operaciones con conjuntos difusos como la unión, intersección y negación. Explica t-normas y s-normas comunes como el mínimo, máximo, producto y suma. También cubre agregaciones, operadores compensatorios, sumas simétricas y operadores OWA para combinar conjuntos difusos.
Este documento trata sobre campos vectoriales y sus propiedades. Introduce conceptos como campos vectoriales, gradiente, divergencia, rotacional, integrales de línea y superficie. Explica cómo calcular integrales de línea y superficie para campos escalares y vectoriales. Además, define campos conservativos y presenta teoremas como el de Green y Stokes. El objetivo es que los estudiantes aprendan a calcular diferentes tipos de integrales y aplicar los teoremas mencionados.
1. Introducción: de los conjuntos clásicos a
los conjuntos difusos.
2. Conjuntos difusos.
1. Definición.
2. Tipos de funciones de pertenencia.
3. Resumen.
3. Relaciones difusas.
1. De las relaciones clásicas a las difusas.
2. Definición.
4. Propiedades de los conjuntos difusos.
5. Operaciones con conjuntos difusos.
6. De las reglas difusas a las relaciones
difusas.
El documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes. Explica que este tipo de ecuaciones pueden ser homogéneas u no homogéneas. Luego, describe el método para encontrar las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales de segundo orden homogéneas constantes, el cual involucra hallar las raíces de la ecuación auxiliar asociada. Finalmente, presenta ejemplos para ilustrar cómo aplicar el método.
Este documento presenta la transformada de Laplace como un método para resolver ecuaciones diferenciales lineales mediante la conversión de problemas de valores iniciales en problemas algebraicos. Primero introduce el concepto de integral impropia y criterios de convergencia. Luego define la transformada de Laplace y sus propiedades. Finalmente, explica cómo aplicar la transformada inversa de Laplace para obtener la solución de una ecuación diferencial a partir de la solución algebraica del problema transformado. El documento contiene numerosos ejemplos y ejercicios resueltos.
1) El documento introduce el concepto de ecuaciones diferenciales exactas y explica cómo resolverlas mediante el método de diferencial total. 2) Se definen las ecuaciones diferenciales exactas y se presenta el criterio de exactitud para verificar si una ecuación lo es. 3) Se explican los pasos para resolver ecuaciones diferenciales exactas mediante la integración.
Este documento presenta temas adicionales sobre la derivada, incluyendo la monotonía, máximos y mínimos, concavidad, gráficas sofisticadas, y teoremas como el valor medio, Rolle y L'Hôpital. Explica cómo usar la derivada para determinar intervalos de crecimiento y decrecimiento, puntos críticos como máximos y mínimos locales, y provee ejemplos y ejercicios resueltos.
Este documento presenta un capítulo sobre ecuaciones diferenciales de primer orden. Introduce conceptos clave como orden, grado, linealidad y solución de ecuaciones diferenciales. Explica cómo resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden mediante el método de la función integrante y proporciona varios ejemplos resueltos. También establece un teorema sobre la existencia y unicidad de soluciones para este tipo de ecuaciones.
Este documento explica las definiciones de preimágenes e imágenes de una función, y cómo calcularlas. Define que las preimágenes son los elementos del dominio y las imágenes son los elementos del codominio. Explica que para calcular la imagen de un elemento del dominio se sustituye en el criterio de la función, y para calcular la preimagen se iguala el criterio a la imagen dada y se resuelve. Proporciona ejemplos numéricos para ilustrar los procedimientos.
Este documento describe métodos para resolver ecuaciones diferenciales, incluyendo variables separables y ecuaciones homogéneas. Explica cómo separar variables para convertir una ecuación diferencial en una integral y cómo reducir una ecuación homogénea mediante sustitución a una forma en variables separables. Luego, presenta ejemplos y ejercicios resueltos para ilustrar estos métodos.
El documento presenta varios ejercicios y problemas resueltos sobre límites y continuidad de funciones. El primer ejercicio comprueba que el límite de una función cuando x tiende a 2 es 4. El segundo ejercicio analiza la continuidad de una función dada su gráfica. El tercer ejercicio determina los puntos donde la función no tiene límite.
Este documento presenta las medidas formativas y sanciones que se aplican a los aprendices del SENA. Entre las medidas formativas se encuentran el llamado de atención verbal, el plan de mejoramiento académico y el plan de mejoramiento disciplinario. Las sanciones incluyen llamado de atención escrito, condicionamiento de la matrícula y cancelación de la matrícula. Al aplicar sanciones se deben seguir principios como publicidad, contradicción, presunción de inocencia, valoración de pruebas, motivación de la decisión y propor
Este documento avalia um jogo educacional de teatro de fantoches para crianças. O jogo permite que as crianças criem vídeos usando personagens, adereços e cenários virtuais para despertar a imaginação. A análise conclui que o jogo promove a criatividade sem riscos e pode ser usado em atividades pedagógicas sobre economia de água.
O documento discute os conceitos e estruturas da dissertação, editorial e artigo de opinião. Também apresenta exemplos de redações e textos de opinião sobre as eleições presidenciais brasileiras de 2014.
O documento descreve o processo de brunimento, usado para dar acabamento a furos usinados e corrigir erros dimensionais. Explica que o brunimento é feito com uma ferramenta abrasiva que gira e se movimenta axialmente para remover material. Também destaca as vantagens do processo como melhoria da superfície, maior produtividade e precisão dimensional.
Este documento é um guia para rádios comunitárias que contém informações sobre:
1) Uma breve história das rádios comunitárias
2) Como montar uma rádio comunitária
3) Diferentes tipos de emissoras comunitárias e desafios burocráticos
4) Planejamento e produção de conteúdos para rádio, incluindo gêneros, locução e preparação de programas.
O documento discute os seguintes tópicos da análise textual: 1) Tipologia e gêneros textuais; 2) Estrutura do parágrafo; 3) Raciocínio argumentativo; 4) Produção e efeitos de sentido através de figuras de linguagem.
O documento discute a estruturação de textos científicos e como softwares podem facilitar sua produção. Ele explica que textos científicos devem seguir padrões estabelecidos para serem universais e divide esses textos em resumos expandidos, artigos científicos, TCCs, teses, dissertações e relatórios técnicos. Além disso, recomenda criar modelos de estrutura desses textos nos softwares para economizar tempo na produção.
Clubes, basquet y carnaval.Lic.Soccorso VolpeSoccorso Volpe
Dos interesantes pps sobre Basquetball de Rosario y los carnavales en los clubes de barrio. Taller de Historia de los clubes de barrio.Municialidad de Rosario.Dirección de Educacion.Lic. Soccorso Volpe
Este documento presenta información sobre las funciones potencia y logarítmica. Introduce las funciones potencia de la forma f(x) = axn, donde a es un número real y n = 0, 1, 2, 3, etc. Explica que el dominio de estas funciones es R y su recorrido depende del valor de n y a. Luego analiza las gráficas de las funciones potencia para n par e impar, y cómo se ven afectadas por los valores de a. Finalmente, introduce la función logarítmica f(x) = logb(x)
Este documento presenta el capítulo 3 sobre la integral definida. Introduce la definición de integral definida como el límite de la suma de Riemann al dividir el área bajo una curva en rectángulos e ir sumando sus áreas. También expone el teorema de integrabilidad para determinar cuándo una función es integrable, y proporciona un ejemplo de cálculo de área bajo una curva.
Este documento presenta un resumen del Capítulo 3 sobre la derivada. Explica la definición de derivada como el límite de la pendiente de la recta secante cuando el intervalo se hace más pequeño. También cubre temas como la velocidad instantánea, diferentes formas de calcular derivadas, reglas de derivación y derivadas de funciones hiperbólicas. El objetivo es definir la derivada y usarla para calcular ecuaciones de rectas tangentes y normales.
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Este documento trata sobre campos vectoriales y sus propiedades. Introduce conceptos como campos vectoriales, gradiente, divergencia, rotacional, integrales de línea y superficie. Explica cómo calcular integrales de línea y superficie para campos escalares y vectoriales. Además, define campos conservativos y presenta teoremas como el de Green y Stokes. El objetivo es que los estudiantes aprendan a calcular diferentes tipos de integrales y aplicar los teoremas mencionados.
1. Introducción: de los conjuntos clásicos a
los conjuntos difusos.
2. Conjuntos difusos.
1. Definición.
2. Tipos de funciones de pertenencia.
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3. Relaciones difusas.
1. De las relaciones clásicas a las difusas.
2. Definición.
4. Propiedades de los conjuntos difusos.
5. Operaciones con conjuntos difusos.
6. De las reglas difusas a las relaciones
difusas.
El documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes. Explica que este tipo de ecuaciones pueden ser homogéneas u no homogéneas. Luego, describe el método para encontrar las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales de segundo orden homogéneas constantes, el cual involucra hallar las raíces de la ecuación auxiliar asociada. Finalmente, presenta ejemplos para ilustrar cómo aplicar el método.
Este documento presenta la transformada de Laplace como un método para resolver ecuaciones diferenciales lineales mediante la conversión de problemas de valores iniciales en problemas algebraicos. Primero introduce el concepto de integral impropia y criterios de convergencia. Luego define la transformada de Laplace y sus propiedades. Finalmente, explica cómo aplicar la transformada inversa de Laplace para obtener la solución de una ecuación diferencial a partir de la solución algebraica del problema transformado. El documento contiene numerosos ejemplos y ejercicios resueltos.
1) El documento introduce el concepto de ecuaciones diferenciales exactas y explica cómo resolverlas mediante el método de diferencial total. 2) Se definen las ecuaciones diferenciales exactas y se presenta el criterio de exactitud para verificar si una ecuación lo es. 3) Se explican los pasos para resolver ecuaciones diferenciales exactas mediante la integración.
Este documento presenta temas adicionales sobre la derivada, incluyendo la monotonía, máximos y mínimos, concavidad, gráficas sofisticadas, y teoremas como el valor medio, Rolle y L'Hôpital. Explica cómo usar la derivada para determinar intervalos de crecimiento y decrecimiento, puntos críticos como máximos y mínimos locales, y provee ejemplos y ejercicios resueltos.
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O documento discute a estruturação de textos científicos e como softwares podem facilitar sua produção. Ele explica que textos científicos devem seguir padrões estabelecidos para serem universais e divide esses textos em resumos expandidos, artigos científicos, TCCs, teses, dissertações e relatórios técnicos. Além disso, recomenda criar modelos de estrutura desses textos nos softwares para economizar tempo na produção.
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A aula apresentou 12 recursos informacionais disponíveis na web que podem auxiliar na busca por informações confiáveis e de qualidade, incluindo plataformas Lattes para encontrar especialistas, instituições de pesquisa, rankings de universidades, publicações científicas, artigos, teses, patentes e normas técnicas.
O documento discute o uso de mídias sociais e celulares na escola. Atualmente, alguns professores usam o Facebook para disponibilizar materiais, mas seu potencial ainda não é totalmente compreendido. Proibiu-se o uso de celulares em sala de aula por causa de colas e distrações, mas o documento argumenta que os celulares podem ser aliados se usados de forma orientada para atividades como gravar explicações ou usar aplicativos educacionais.
Prot. 2583 15 pl 052-2015 - cria e altera cargos no quadro técnico e admini...Claudio Figueiredo
Este documento propõe a criação e alteração de cargos no quadro técnico e administrativo do município de Vila Velha. São criados cargos como Técnico de Informática, Regente de Banda, Guarda-vidas, entre outros. Além disso, são alterados os quantitativos de cargos como Bibliotecário e Cuidador Escolar. São definidas também as atribuições e requisitos para os novos cargos.
PL1886_15 - Implantação do prontuário eletrônico na rede pública de saúde - r...Claudio Figueiredo
O documento propõe a criação do Prontuário Eletrônico do Paciente (PEP) na rede pública de saúde de Vila Velha para unir dados dos pacientes, profissionais e locais usando assinatura digital. O PEP eliminaria papelada, reduziria tempo de busca por informações e melhoraria a qualidade dos serviços de saúde com menos custos. A proposta está de acordo com a competência do município para legislar sobre assuntos de interesse local relacionados à saúde.
La sesión de aprendizaje trata sobre el movimiento de rotación de la Tierra. Los estudiantes aprenden sobre la existencia del día y la noche a través de observaciones, investigaciones con recursos tecnológicos e intercambio de información. También comprenden conceptos como horas, minutos y segundos, y cómo están relacionados con los astros como el Sol y la Luna.
O documento discute teoria organizacional e conceitos como organização linear e funcional, funções do departamento de staff, vantagens e desvantagens de estruturas organizacionais. Também apresenta exemplos de missão e visão de empresas como Fiat, HSBC e Gerdau.
Este documento presenta la agenda y contenido de un curso sobre bases de datos relacionales. El curso consta de 6 sesiones presenciales que cubrirán la historia de las bases de datos, conceptos básicos como tablas y relaciones, y los lenguajes DML y DDL. También incluye tareas como instalar un motor de base de datos y crear un modelo entidad-relación para una veterinaria.
Marco comun europeo referencia lengua scvc mer[1]Maria Hernandez
Este documento presenta el Marco Común Europeo de Referencia para las Lenguas. El Marco establece parámetros comunes para enseñar y evaluar lenguas en Europa. Define seis niveles de dominio de lenguas (A1 a C2) y describe lo que una persona puede hacer con el idioma en cada nivel. El Marco también promueve un enfoque orientado a las competencias y centrado en el usuario, en lugar de centrarse únicamente en los conocimientos gramaticales. Su objetivo final es fomentar el plurilingüismo en Europa.
El documento presenta la discografía de la banda española El Canto del Loco. Incluye 11 álbumes de estudio lanzados entre 2000 y 2009, con sus respectivas listas de canciones. El grupo alcanzó gran popularidad en España y Latinoamérica con canciones pop rock que tratan sobre temas como el amor y las relaciones.
El documento describe diferentes tipos de conceptos que las personas forman: conceptos analógicos existentes, conceptos transmitidos socialmente y conceptos espontáneos adquiridos a través de los sentidos. También describe criterios para evaluar incluyendo lluvias de ideas, dibujos, grupos de discusión y maquetas.
La niña Luisa está triste porque sus padres están discutiendo. Su amigo Sebastian la invita a salir para distraerla y animarla. Sebastian le aconseja que cuando sus padres peleen, lo mejor es irse a su cuarto o salir para no afectarse, consejo que Luisa agradece. Luisa aprecia mucho la amistad y apoyo de Sebastian.
Este documento presenta un resumen de los conceptos fundamentales de límites de funciones. Introduce la definición intuitiva de límite a través de ejemplos y luego procede a definir el límite formalmente. Explica cómo demostrar límites utilizando esta definición formal a través de tres ejemplos. El objetivo principal es definir límites y realizar demostraciones formales de los mismos.
Limite de funciones"capitulo 1 Moises Villena"Edison Alban
Este documento presenta un resumen de los conceptos fundamentales de límites de funciones. Introduce los límites de forma intuitiva a través de ejemplos y tablas de valores. Luego define el límite formalmente como la aproximación del valor de una función cuando la variable independiente se aproxima a un punto. Finalmente, muestra cómo demostrar límites formalmente mediante la desigualdad ε-δ.
El documento trata sobre los límites de funciones. Explica la definición intuitiva de límite en un punto y cómo se puede observar el comportamiento de una función cuando su variable independiente se aproxima a un valor determinado. Luego introduce la definición formal de límite mediante el uso de intervalos o vecindades centradas en el punto y en el valor al que se aproxima la función. Finalmente, muestra ejemplos de cálculo de límites aplicando esta definición formal.
El documento presenta los conceptos básicos de límites de funciones, incluyendo definiciones intuitiva y formal de límite, así como ejemplos para ilustrar cómo calcular límites y demostrarlos formalmente. Los objetivos son definir límites, realizar demostraciones formales, describir límites gráficamente y calcular límites.
Este documento trata sobre los límites de funciones. Introduce el concepto de límite en un punto de manera intuitiva a través de ejemplos. Luego define el límite formalmente como la aproximación de una función a un valor L cuando la variable independiente se aproxima a un punto, de tal forma que para cualquier proximidad ε se pueda encontrar un intervalo δ que garantice que la función permanezca dentro de ε del valor L. Finalmente, demuestra tres ejemplos de cálculo de límites usando esta definición formal.
Este documento trata sobre los límites de funciones. Introduce el concepto de límite de manera intuitiva a través de ejemplos, luego define formalmente el límite mediante una relación entre ∂ y ε. Explica cómo demostrar formalmente los límites utilizando esta definición, ilustrando con tres ejemplos de demostraciones formales de límites.
El documento presenta los conceptos básicos de límites de funciones. Introduce los límites en un punto de manera intuitiva a través de ejemplos y tablas de valores. Luego define formalmente el límite en un punto estableciendo una relación entre ε y δ que garantice que la función f se aproxime al valor L cuando la variable x se aproxime a un punto x0. Finalmente, demuestra formalmente algunos límites aplicando esta definición rigurosa.
El documento presenta el capítulo 1 sobre límites de funciones. Introduce el concepto de límite de manera intuitiva a través de ejemplos y luego formalmente mediante una definición precisa. Explica cómo calcular límites y demostrarlos formalmente usando la definición. El objetivo es definir límites, realizar demostraciones formales de ellos, describirlos gráficamente y calcularlos.
El documento presenta el capítulo 1 sobre límites de funciones. Introduce los conceptos de límite en un punto, límites laterales y cálculo de límites de manera intuitiva y formal. Explica cómo definir y calcular límites mediante tablas de valores, gráficas y demostraciones formales. El objetivo es definir límites y realizar cálculos y demostraciones de límites de funciones.
El documento presenta el tema de los límites de funciones, definiendo primero el concepto de límite de manera intuitiva a través de ejemplos y luego formalmente. Explica cómo calcular límites mediante demostraciones formales y muestra tres ejemplos resueltos de cálculo de límites usando la definición formal. El objetivo es definir límites, realizar demostraciones formales de límites y calcular límites.
Este documento explica los conceptos básicos de límites de funciones. Define el límite como el valor al que se aproxima una función cuando la variable independiente se aproxima a un valor particular. Explica que para que un límite exista, los límites laterales izquierdo y derecho deben coincidir y ser finitos. También presenta algunas reglas y propiedades para calcular límites, incluyendo el uso del teorema del sandwich y cómo lidiar con indeterminaciones como 0/0.
Este documento presenta la estructura y contenido de un texto sobre cálculo diferencial e integral en una o más variables. El texto contiene 14 capítulos que cubren temas como límites de funciones, continuidad, derivada, integral indefinida e integral definida. Cada capítulo incluye objetivos, contenido teórico, ejemplos ilustrativos, ejercicios resueltos y propuestos, para que los estudiantes puedan avanzar gradualmente en su aprendizaje y prepararse adecuadamente para las evaluaciones.
Este documento trata sobre los conceptos de límite y continuidad en matemáticas. Explica que el límite de una función en un punto es el valor al que se aproxima la función cuando la variable independiente se acerca a ese punto. También define las diferentes clases de límites como límites laterales, límites en el infinito y límites infinitos. Por último, analiza la noción de continuidad de una función basada en los límites y las diferentes formas en que una función puede ser discontinua.
Continuidad de funciones "Capitulo 2 Moises Villena"Edison Alban
Este documento describe la continuidad de funciones. Define la continuidad en un punto, operaciones con funciones continuas, continuidad lateral y continuidad en un intervalo. Incluye ejemplos y demostraciones para ilustrar estos conceptos. El objetivo es definir formalmente la continuidad de funciones de una variable real y construir funciones continuas.
Este documento presenta la definición formal de un límite, analiza un ejemplo de función y calcula su límite cuando x se aproxima a 1, y resume las propiedades básicas de los límites como los límites constantes, las operaciones con límites, límites de funciones polinómicas y racionales, límites de funciones trigonométricas y radicaciones.
Este documento explica el concepto de límite de funciones. Define límite informalmente como el valor al que se aproximan las imágenes de una función cuando los valores de la variable independiente se aproximan a un valor dado. Explica cómo calcular límites laterales y que el límite existe solo si ambos límites laterales son iguales. Proporciona ejemplos de cálculo de límites y propiedades de límites.
Este documento introduce el concepto de límite matemático y cómo surgió para resolver problemas en el cálculo del siglo XVII. Explica el concepto de límite a través de sucesiones y ejemplos de funciones, y analiza propiedades como el límite de una constante por una función, la suma y el producto de funciones, y límites indeterminados.
Este documento presenta algunos ejemplos básicos de cálculo de límites de funciones. Explica conceptos como el límite de una función y cómo determinar si un límite existe o no. Luego, presenta 5 ejemplos numéricos de cálculo de límites y analiza gráficamente el comportamiento de cada función cuando x se aproxima a un valor crítico. Finalmente, introduce el método formal de -δ para demostrar la existencia de límites y resuelve 4 ejercicios aplicando esta técnica.
Definición de límites, continuidad y derivadasEduca-training
El documento explica los conceptos fundamentales de límites, continuidad y derivadas. Introduce la noción de límite de una función en un punto y diferentes tipos de límites como límites infinitos y laterales. Explica las indeterminaciones como el caso 0/0 y cómo resolverlas. Define la continuidad de una función en un punto y diferentes tipos de discontinuidades. Finalmente introduce el concepto de derivada de una función en un punto como el límite de un cociente incremental cuando el incremento tiende a cero.
uniguajira limites- Universidad de la Guajira, Calculo Diferencialdanis_garcia
Este documento presenta una introducción al concepto de límite en cálculo diferencial. Explica que un límite describe cómo se comporta una función o sucesión cuando sus parámetros se acercan a un valor determinado. Luego describe cómo calcular el límite de una función en un punto específico, reemplazando el valor al que tienden las variables independientes en la función. Finalmente, enumera algunas propiedades de los límites, como que el límite de una suma es la suma de los límites, y el límite de un producto es el producto de los límites.
José Luis Jiménez Rodríguez
Junio 2024.
“La pedagogía es la metodología de la educación. Constituye una problemática de medios y fines, y en esa problemática estudia las situaciones educativas, las selecciona y luego organiza y asegura su explotación situacional”. Louis Not. 1993.
SEMIOLOGIA DE HEMORRAGIAS DIGESTIVAS.pptxOsiris Urbano
Evaluación de principales hallazgos de la Historia Clínica utiles en la orientación diagnóstica de Hemorragia Digestiva en el abordaje inicial del paciente.
1. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
1
1.1 LÍMITE EN UN PUNTO
1.2 LÍMITES LATERALES
1.3 TEOREMAS SOBRE LÍMITES
1.4 CÁLCULO DE LÍMITES
1.5 LÍMITES AL INFINITO
1.6 LÍMITES INFINITOS
1.7 OTROS LÍMITES
OBJETIVOS:
• Definir Límites.
• Realizar demostraciones formales de límites.
• Describir gráficamente los límites.
• Calcular límites.
1
2. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
1.1 LÍMITE EN UN PUNTO
El Cálculo, básicamente está fundamentado en los límites, por tanto este
tema es trascendental para nuestro estudio. De hecho, veremos más adelante
que los dos conceptos principales del Calculo, la Derivada y la Integral
Definida, están basados en límites.
Conceptualizar límites determinando el comportamiento de una función e
interpretarlo en su gráfica, ayudará bastante en el inicio de nuestro estudio.
1.1.1 DEFINICIÓN INTUITIVA
Ciertas funciones de variable real presentan un comportamiento un tanto
singular en la cercanía de un punto, precisar sus características es nuestra
intención y el estudio de los límites va a permitir esto.
Empecemos analizando ejemplos sencillos; en los que podamos por simple
inspección concluir y tener una idea del concepto de límite.
Ejemplo 1
Veamos como se comporta la función f con regla de correspondencia f ( x) = 2 x + 1 en
la cercanía de x = 2 .
Evaluando la función para algunos valores de x , próximos (acercándose) a 2 :
x y = 2x + 1
1.90 4.80
1.95 4.90
1.99 4.98
2.01 5.02
2.05 5.10
2.10 5.20
En la tabla de valores se han ubicado unas flechas para dar a entender que tomamos a la x
aproximándose a 2 en ambas direcciones y se observa que los valores de y se van acercando a 5.
Aunque son sólo seis valores, por ahora sin ponernos exigentes vamos a concluir diciendo que la función
se aproxima a 5 cada vez que su variable independiente x se aproxima a 2. Este comportamiento lo
escribiremos de la siguiente forma:
lím (2 x + 1) = 5
x→2
Lo anterior se puede ilustrar desde la gráfica, observe la figura 1.1:
Fig. 1.1
2
3. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
Ejemplo 2
Ahora veamos el comportamiento de esta otra función f con regla de correspondencia
x 2 + 5x − 6
f ( x) = , en la cercanía de x = 1 .
x −1
Evaluando la función para ciertos valores de x , cada vez más próximos a 1, tenemos:
x2 + 5x − 6
x y=
x −1
0.90 6.90
0.95 6.95
0.99 6.99
1.01 7.01
1.05 7.05
1.10 7.10
Parece ser que esta función se aproxima a tomar el valor de 7 cada vez que la variable independiente x
x 2 + 5x − 6
se aproxima a tomar el valor de 1, es decir lím =7.
x →1 x −1
Note que no es necesario que la función esté definida en el punto de aproximación.
x 2 + 5x − 6
Por otro lado, la regla de correspondencia f ( x) = es equivalente a
x −1
f ( x) = x + 6 ; x ≠ 1 (¿POR QUÉ?).
Este comportamiento se lo puede visualizar desde su gráfica, observe la figura 1.2:
Fig. 1.2
De lo expuesto en los dos ejemplos anteriores, sin ser tan riguroso todavía,
podemos emitir la siguiente definición:
3
4. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
Una función f tiene límite L en un punto
x0 , si f se aproxima a tomar el valor L
cada vez que su variable x se aproxima a
tomar el valor x0 . Esto se denota como:
lím f ( x) = L
x→ x0
Para los dos ejemplos anteriores el comportamiento de las funciones se
puede determinar analizando sus gráficas; pero esto podría ser no tan sencillo;
es más, suponga que se necesite bosquejar la gráfica teniendo características
de su comportamiento. De ahí la necesidad del estudio de límite de funciones.
1.1.2 DEFINICIÓN FORMAL
Suponga que se plantea el problema de demostrar que lím 2 x + 1 = 5 o que
x →2
x + 5x − 6
2
lím = 7. Para esto, debemos garantizar formalmente el
x →1 x −1
acercamiento que tiene la función a su correspondiente valor cada vez que su
variable independiente se aproxime al valor especificado. Ya la tabla de valores
no nos sirve, el hecho que se cumpla para algunos valores no indica que se
cumpla para todos los valores próximos al punto. La demostración consistirá
en escribir matemáticamente, lenguaje formal, la metodología del proceso, lo
cual nos lleva a la necesidad de tener una definición formal de límite y no sólo
para estos dos ejemplos, sino para cualquier función.
Antes, de llegar a la definición requerida, precisemos lo siguiente:
PRIMERO, para un lenguaje formal, decir que x toma valores próximos a un
punto x0 (que x está en torno a x0 ), bastará con considerarla perteneciente a
un intervalo o vecindad, centrado en x0 , de semiamplitud muy pequeña, la
cual denotaremos con la letra griega ∂ (delta). Es decir:
x0 − ∂ < x < x 0 + ∂
Transformando la expresión anterior tenemos:
x0 − ∂ < x < x0 + ∂
x0 − ∂ − x0 < x − x0 < x0 + ∂ − x0
Restando " x0 "
− δ < x − x0 < δ
Empleando la definición
x − x0 < δ de valor absoluto
4
5. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
Y, para que x no sea x0 , bastará con proponer que 0 < x − x0 < ∂ ¿POR
QUÉ?.
SEGUNDO, para decir que f está próxima a L (en torno a L ), podemos
expresar que pertenece a un intervalo o vecindad, centrado en L de
semiamplitud muy pequeña, la cual denotaremos con la letra griega ε
(épsilon). Es decir:
L − ε < f ( x) < L + ε
Transformando la expresión anterior tenemos:
L − ε < f ( x) < L + ε
− ε < f ( x ) − L < +ε Restando " L "
f ( x) − L < ε Aplicando la definición de valor absoluto
Con todo lo anterior, definimos formalmente límite de una función en un
punto, de la siguiente manera:
Sea f una función de variable real y sean ε y ∂
cantidades positivas muy pequeñas.
Suponga que f se aproxima a L cuando x se
aproxima a x0 , denotado como lím f ( x) = L , esto
x→ x0
significa que para toda proximidad que se desee
estar con f en torno a L , deberá poderse
definir un intervalo en torno a x0 en el cual
tomar x , sin que necesariamente x = x0 , que nos
garantice el acercamiento.
Es decir:
( lím f ( x) = L ) ≡ ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que 0 < x − x
x → x0
0 < δ ⇒ f ( x) − L < ε
La definición indica que para asegurar que una función tiene límite
deberíamos establecer una relación entre ∂ y ε .
Una manera de interpretar gráficamente lo mencionado es:
5
6. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
Fig. 1.3
Con esta definición, ya podemos realizar demostraciones formales.
Ejemplo 1
Demostrar formalmente que lím (2 x + 1) = 5 .
x →2
SOLUCIÓN:
Cuando hicimos la tabla de valores, sólo para seis valores percibimos que el límite de esta función era 5, se
trata ahora de demostrarlo. Debemos garantizar que cuando tomemos a la x como cualquier número
cercano a 2 el valor de y correspondiente es un número cercano a 5, y mientras la x esté más cerca de 2
la y estará más cerca de 5; esto quiere decir que la diferencia entre los valores que resultan en
2 x + 1 con 5 deberán ser cantidades muy pequeñas, menores que cualquiera tolerancia ε que nos
fijemos.
Es decir, que debemos poder estar tan cerca de 5 con y = 2 x + 1 , tanto como nos propusiéramos estar
(para todo ε ). Si esto es posible deberá poderse definir el correspondiente intervalo (existe ∂ ) en el cual
tomar x que garantice aquello, es decir:
∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que 0 < x − 2 < δ ⇒ (2 x + 1) − 5 < ε
En la implicación, vamos a transformar el antecedente hasta llevarlo a la forma del consecuente.
Observe el consecuente, su forma algebraica nos guiará en el procedimiento a seguir:
(0 < x−2 <δ ) ⇒ 0 < 2 x − 2 < 2δ Multiplicamos por 2 (porque en el
consecuente aparece 2x )
⇒ 0 < 2 x − 2 < 2δ
⇒ 0 < 2 ( x − 2 ) < 2δ Propiedades del valor absoluto
⇒ 0 < 2 x − 4 < 2δ
Sumamos y restamos 5 (debido a que
⇒ 0 < 2 x − 4 + 5 − 5 < 2δ aparece -5 en el consecuente)
⇒ 0 < ( 2 x + 1) − 5 < 2δ Agrupamos
ε
Ahora, podemos decir que δ = sirve (puede ser un valor menor); es decir, que si tomamos
2
2 − ε < x < 2 + ε nos permite asegurar lo propuesto.
2 2
Suponga que ε = 0.1 ; es decir, si quisiéramos que y = 2 x + 1 esté a menos de 0.1 de 5, será posible si
0.1
tomamos a la que x , en torno a 2 a una distancia no mayor de δ = = 0.05 . Es decir para que f
2
esté entre 4.9 y 5.1 bastará con tomar a la x un número entre 1.95 y 2.05.
6
7. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
No olvide que proponer una relación entre ε y ∂ , garantiza que f estará tan cerca de L , como se
0.01
quiera estar. Veamos, más cerca ε = 0.01 , bastará con tomar a la x a no menos de δ = = 0.005
2
de 2. Es decir que si tomamos 1.995 < x < 2.005 garantiza que 4.99 < f ( x) < 5.01 .
Ejemplo 2
x2 + 5x − 6
Demostrar formalmente que lím =7.
x →1 x −1
SOLUCIÓN:
x2 + 5x − 6
Debemos asegurar que y = se aproxima a tomar el valor de 7 cada vez que la x esté
x −1
x2 + 5x − 6
próxima de 1. Es decir, que debemos poder estar tan cerca de 7 con y = , tanto como nos
x −1
propusiéramos estar (para todo ε ). Si esto es posible deberá poderse definir el correspondiente intervalo
(existe ∂ ) en el cual tomar x que garantice aquello, es decir:
x 2 + 5x − 6
∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que 0 < x − 1 < δ ⇒ −7 <ε
x −1
Ahora transformamos el antecedente:
Sumamos y restamos 7 (debido a que
(0 < x −1 < δ ) ⇒ 0 < x −1+ 7 − 7 < δ aparece -7 en el consecuente)
⇒ 0 < ( x + 6) − 7 < δ Agrupamos ( x + 6 ) y la
⇒
( x + 6 )( x − 1) − 7 <∂ dividimos y multiplicamos por ( x − 1)
x −1 (debido a que el primer término del consecuente
x2 + 5x − 6 aparece dividido por ( x − 1) )
⇒ −7 <∂
x −1
Con δ = ε , aseguramos lo propuesto; es decir, tomando 1 − ε < x < 1 + ε .
Ejemplo 3
Demostrar formalmente que lím x 2 = 4 .
x→2
SOLUCION:
Debemos garantizar que ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que 0< x−2 <δ ⇒ x2 − 4 < ε
Entonces:
Multiplicamos por x + 2 (debido a que
(0 < x−2 <δ)⇒0< x−2 x+2 <δ x+2 el consecuente tiene una diferencia de
⇒ 0 < ( x − 2 )( x + 2 ) < δ x + 2 cuadrados perfectos)
Aplicamos la propiedad del producto
⇒ 0 < x2 − 4 < δ x + 2 del valor absoluto
Ahora acotemos x + 2 . Exijamonos ∂ ≤ 1 , esto quiere decir que la x estaría a una distancia no mayor
de 1, en torno a 2, es decir 1 ≤ x ≤ 3 , lo cual implica que:
2≤ x+2≤5⇒ x+2 ≤5
El último resultado implica que:
∂ x + 2 ≤ 5∂
7
8. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
Continuando con la demostración:
x 2 − 4 < δ x + 2 ≤ 5∂ ⇒ x 2 − 4 < 5∂
ε ε ε
Por tanto, δ = sirve; es decir, al considerar 2 − < x<2+ aseguramos lo que se quiere
5 5 5
⎧ ε⎫
demostrar, siempre y cuando escojamos un ε tal que ∂ ≤ 1 , es decir δ = min ⎨1 , ⎬ (el menor entre
⎩ 5⎭
ε
1y ).
5
Ejemplo 4
Demostrar formalmente que lím x 2 = 9 .
x →−3
SOLUCION:
Debemos garantizar que ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que 0< x+3 <δ ⇒ x2 − 9 < ε
Por lo tanto:
Multiplicamos por x − 3 (debido a que el consecuente
(0 < x+3 <δ)⇒ 0< x+3 x−3 <δ x−3
tiene una diferencia de cuadrados perfectos)
⇒ 0 < ( x + 3)( x − 3) < δ x − 3
Aplicamos la propiedad del producto
⇒ 0 < x2 − 9 < δ x − 3 del valor absoluto
Acotamos x − 3 . Si nos proponemos un ∂ ≤ 1 , entonces −4 ≤ x ≤ −2 , lo cual implica que:
−4 − 3 ≤ x − 3 ≤ −2 − 3 ⇒ − 7 ≤ x − 3 ≤ −5
⇒ x −3 ≤ 7
⇒ ∂ x − 3 ≤ 7∂
Entonces:
x 2 − 9 < δ x − 3 ≤ 7∂ ⇒ x 2 − 9 < 7∂
ε ε ε
Por tanto, δ = sirve; es decir tomar −3 − < x < −3 + asegura lo que se quiere demostrar,
7 7 7
⎧ ε⎫
siempre y cuando escojamos un ε tal que ∂ ≤ 1 , es decir δ = min ⎨1 , ⎬ .
⎩ 7⎭
Ejemplo 5
Demostrar formalmente que lím x = 2 .
x →4
SOLUCION:
Debemos garantizar que ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que 0< x−4 <δ ⇒ x −2 <ε
entonces:
(0 < x−4 <δ)⇒ 0< ( x −2 )( x +2 <δ ) Factorizamos x − 4 para
diferencia de cuadrados
⇒0< ( x −2 ) x +2 <δ Aplicamos la propiedad del producto
del valor absoluto
1
⇒0< x −2 <δ Despejamos
x +2
8
9. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
1
Acotamos . Igual a los casos anteriores, consideramos ∂ ≤ 1 ; es decir debemos tomar a x a
x +2
una distancia no mayor de 1 entorno a 4, entonces 3 ≤ x ≤ 5 , esto implica que:
3≤ x≤ 5 ⇒ 3+2≤ x +2≤ 5+2
1 1 1
⇒ ≥ ≥
3+2 x +2 5+2
1 1
⇒ ≤
x +2 3+2
∂ ∂
⇒ ≤
x +2 3+2
Entonces:
1 ∂ ∂
x −2 <δ ≤ ⇒ x −2 <
x +2 3+2 3+2
( )
Por lo tanto, δ = ε 3 + 2 ; es decir, si tomamos 4 − ε 3 + 2 < x < 4 + ε 3 + 2 aseguramos lo ( ) ( )
que se quiere demostrar, siempre y cuando escojamos un ε tal que ∂ ≤ 1 , es decir
{ (
δ = min 1 , ε 3+2 )}
Ejemplo 6
Demostrar formalmente que lím 3 x = 3 .
x → 27
SOLUCION:
Debemos garantizar que ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que 0 < x − 27 < δ ⇒ 3
x −3 < ε
Entonces:
Factorizamos ( x − 27 )
(0 < )⇒0< ( x − 3 27 ⎛ ) ( x) ( )
27 ⎞ < δ
2 2
x − 27 < δ 3
⎜
3
+ 3 x 3 27 + 3
⎟
⎝ ⎠ para diferencia de cubos
( ) ( x)
⎛ + 3 x + 9⎞ < δ
2
⇒0< 3
x −3 ⎜
3 3
⎟ Propiedad del valor absoluto
⎝ ⎠
δ
⇒0< ( 3
x −3 < ) Despejamos
⎛
( x) + 3 x + 9⎞
2
⎜ ⎟
3 3
⎝ ⎠
1
Ahora bien, acotamos . Si tomamos a x a una distancia no mayor de 1 ( ∂ ≤ 1) ,
⎛
( x)
+ 33 x + 9 ⎞
2
⎜ ⎟
3
⎝ ⎠
en torno a 27, entonces 26 ≤ x ≤ 28 , esto implica que: Primero sacamos raíz cúbica,
luego multiplicamos por 3 y
finalmente sumamos 9
9
10. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
⎧3 3 26 + 9 ≤ 3 3 x + 9 ≤ 3 3 28 + 9
⎪
26 ≤ x ≤ 28 ⇒ ⎨
(
) ( ) ( ) Por otro lado sacamos raíz
2 2 2
⎪ 26 ≤ x ≤ 28
3 3 3
⎩ cúbica y elevamos al cuadrado
( 26 ) + 3 26 + 9 ≤ ( x ) + 3 ( )
2 2 2
⇒ 3 3 3 3
x +9≤ 3
28 + 3 3 28 + 9
1 1 1
⇒ ≥ ≥
( ) ( ) ( )
2 2 2
3
26 + 3 3 26 + 9 3
x + 33 x + 9 3
28 + 3 3 28 + 9
1 1
⇒ ≤
( x) ( )
2 2
3
+ 33 x + 9
3
26 + 3 3 26 + 9
∂ ∂
⇒ ≤
( x) ( )
2 2
3
+3 x +9 3 3
26 + 3 3 26 + 9
Entonces:
δ ∂ ∂
( 3
)
x −3 < ≤ ⇒ ( 3
x −3 < )
⎛
( x) + 3 x + 9⎞ ( ) ( )
2 2 2
⎜
3 3
⎟
3
26 + 3 26 + 9
3 3
26 + 3 3 26 + 9
⎝ ⎠
Por lo tanto, δ = ε ⎛ ( ) + 3 3 26 + 9 ⎞ ; es decir, si tomamos
2
⎜ ⎟
3
26
⎝ ⎠
27 − ε ⎛ ( ) + 3 3 26 + 9 ⎞ < x < 27 + ε ⎛ ( ) + 3 3 26 + 9 ⎞ aseguramos lo propuesto siempre y
2 2
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
3 3
26 26
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
cuando escojamos un ε tal que ∂ ≤ 1 , es decir δ = min 1 , ⎛
⎜
⎝ { ( 3
26 )
2
+ 3 3 26 + 9 ⎞ ε
⎟
⎠ }
Ejemplo 7
Demostrar formalmente que lím x − 1 = 1 .
x →1 x −1 2
SOLUCION:
x −1 1
Debemos garantizar que ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que 0 < x −1 < δ ⇒ − <ε
x −1 2
La expresión algebraica del consecuente tiene una apariencia un tanto compleja, por tanto en este caso es
mejor empezar analizando el consecuente, para tener referencia de los pasos a seguir para luego
transformar el antecedente.
x −1 1
− <ε
x −1 2
( x −1 ) 1
<ε
Factorizamos el denominador
− ( x − 1) para diferencia de cuadrados
( x −1 )( x +1 ) 2
( )
1 1
− <ε Simplificamos x −1
( x +1 ) 2
2− ( x +1 ) <ε Restamos
2 ( x +1 )
2 − x −1
<ε
2 ( x +1 ) Propiedad distributiva
10
11. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
1− x
<ε
2 ( x + 1) Resolvemos la resta del 2 con el 1
(1 − x )(1 + x ) < ε
2 ( x + 1)(1 + x )
(
Multiplicamos y dividimos por 1 + x )
1− x
<ε Producto notable
( )
2
2 x +1
1− x Aplicamos la propiedad del cociente
<ε
( ) del valor absoluto
2
2 x +1
1 − x < ε ⎡2 x + 1 ⎤ ( )
2
Despejamos
⎢
⎣ ⎥
⎦
Ahora para transformar el antecedente, se sigue una secuencia como la anterior pero desde el final:
(0 < x −1 < δ ) ⇒ 0 < 1− x < δ Propiedad del valor absoluto
(
⇒ 0 < 1− x 1+ x < δ )( ) Factorizamos para diferencia de
cuadrados
δ
⇒ 0 < 1− x < Despejamos
1+ x
1− x δ
⇒0< < Dividimos todos los términos
(
2 1+ x ) 2 1+ x 1+ x ( ) entre 2 (1 + x )
1− x δ
⇒0< <
(
2 1+ x ) (
2 1+ x )
2
2 − x −1 δ
⇒0< < Transformamos el 1 en (2 – 1)
(
2 1+ x ) (
2 1+ x )
2
⇒0<
2− ( x +1 )< δ
Agrupamos
2 1+ x ( ) (
2 1+ x )
2
⇒0<
2 ( x + 1) < δ
− Separamos en dos términos
2 1+( x ) 2 (1 + x ) 2 (1 + x )
2
1 1 δ
⇒0< − < Simplificamos
(1 + x ) 2 2 (1 + x ) 2
⇒0<
( x − 1) − 1 < δ
(1 + x )( x − 1) 2 2 (1 + x ) 2 Multiplicamos por la
conjugada el primer término
⇒0<
( x − 1) − 1 < δ
x −1
( )
2
2 2 1+ x
1
Acotamos . Ahora bien, si tomamos a x a una distancia no mayor de 1, entorno a 1,
( )
2
2 1+ x
entonces 0 ≤ x ≤ 2 , esto implica que:
11
12. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
0 ≤ x ≤ 2 ⇒ 1≤ x +1≤ 2 +1
( ) ( 2 + 1)
2 2
⇒ 1≤ x +1 ≤
2 ≤ 2 ( x + 1) ≤ 2 ( 2 + 1)
2 2
⇒
1 1 1
⇒ ≥ ≥
( ) ( )
2 2
2 2 x +1 2 2 +1
1 1
⇒ ≤
( )
2
2 x +1 2
∂ ∂
⇒ ≤
( )
2
2 x +1 2
Entonces:
( x −1 )−1 < δ
≤
∂
⇒
( x −1 )−1 <∂
x −1
( ) x −1
2
2 2 1+ x 2 2 2
Por lo tanto, δ = 2ε sirve; es decir, si tomamos 1 − 2ε < x < 1 + 2ε aseguramos lo propuesto, siempre y
cuando escojamos un ε tal que ∂ ≤ 1 , es decir δ = min {1 , 2ε }
Ejemplo 8
Demostrar formalmente que lím x − 4 = 4 .
x →4
x −2
SOLUCION:
x−4
Debemos garantizar que ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que 0 < x − 4 < δ ⇒ −4 <ε
x −2
Igual que en el ejemplo anterior primero vamos a analizar el consecuente:
x−4
−4 <ε
x −2
Factorizamos el numerador ( x − 4 )
( x −2 )( x +2 ) −4 <ε para diferencia de cuadrados
x −2
( )
x +2 −4 <ε
Simplificamos ( x −2 )
x −2 <ε Restamos
( x −2 )( x +2 ) <ε Multiplicamos y dividimos por ( x +2 )
( x +2 )
x−4 Realizamos el Producto Notable
<ε
( x +2 )
x−4
<ε Aplicamos la propiedad del cociente del
x +2 valor absoluto
x−4 <ε x +2 Despejamos
Ahora para transformar el antecedente, se sigue una secuencia como la anterior pero desde el final:
12
13. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
x−4 δ
(0 < x−4 <δ)⇒ 0< <
Dividimos todos los términos entre ( x +2 )
x +2 x +2
⇒0<
( x −2 )( x+2 )< δ
( x +2 ) x+2 Factorizamos ( x − 4 ) para diferencia de
cuadrados
δ
⇒0< x −2 <
x +2 Simplificamos ( x+2 )
δ
⇒0< x −2+4−4 < Sumamos y restamos 4
x +2
δ
⇒0< ( )
x +2 −4 <
x +2 Agrupamos
⇒0<
( x +2 )( x −2 )−4 < δ
( x −2 ) x +2 Multiplicamos y dividimos ( x −2 )
x−4 δ
⇒0< −4 <
( x −2 ) x +2 Realizamos el Producto Notable
1
Acotamos . Si tomamos a x a una distancia no mayor de 1, entorno a 4, entonces 3 ≤ x ≤ 5 ,
x +2
esto implica que:
3≤ x≤ 5 ⇒ 3+2≤ x +2≤ 5+2
1 1 1
⇒ ≥ ≥
3+2 x +2 5+2
1 1
⇒ ≤
x +2 3+2
∂ ∂
⇒ ≤
x +2 3+2
Entonces:
x−4 δ ∂ x−4 ∂
−4 < ≤ ⇒ −4 <
( x −2 ) x +2 3+2 ( x −2 ) 3+2
Por lo tanto, δ = ε ( 3+2 ) sirve; es decir, si tomamos 4 − ε ( )
3 +2 < x < 4+ε ( 3+2 )
aseguramos lo que se quiere demostrar, siempre y cuando escojamos un ε tal que ∂ ≤ 1 , es decir
δ = min 1, ε{ ( 3+2 )}
13
14. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
Ejemplo 9
1 1
Demostrar formalmente que lím = .
x→ 2 x 2
SOLUCION:
1 1
Debemos garantizar que ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que 0< x−2 <δ ⇒ − <ε
x 2
Analicemos el consecuente:
1 1 2− x 2− x x−2
− = = =
x 2 2x 2x 2x
Ahora trabajando con el antecedente:
x−2 δ
(0 < x−2 <δ)⇒0<
2x
<
2x
Dividimos para 2 x
1 1 δ
⇒0< − <
2 x 2x
1 1 δ
⇒0< − <
x 2 2x
1
Acotamos . Considerando ∂ ≤ 1 ; tenemos 1 ≤ x ≤ 3 , esto implica que:
2x
1 1 1
2 ≤ 2x ≤ 6 ⇒ ≥ ≥
2 2x 6
1 1
⇒ ≤
2x 2
∂ ∂
⇒ ≤
2x 2
Entonces:
1 1 δ ∂ 1 1 ∂
− < ≤ ⇒ − <
x 2 2x 2 x 2 2
Por lo tanto, δ = 2ε sirve; es decir, si tomamos 2 − 2ε < x < 2 + 2ε aseguramos lo que se quiere
demostrar, siempre y cuando escojamos un ε tal que ∂ ≤ 1 , es decir δ = min {1 , 2ε }
Veamos ahora como proceder si en el ejemplo anterior tenemos a x cerca
de 0 .
Ejemplo 10
1
Demostrar formalmente que lím =1.
x →1 x
SOLUCION:
1
Debemos garantizar que ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que 0 < x −1 < δ ⇒ −1 < ε
x
Analicemos el consecuente:
14
15. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
1 1− x 1− x x −1
−1 = = =
x x x x
Ahora trabajando con el antecedente:
x −1 δ
(0 < x −1 < δ ) ⇒ 0 <
x
<
x
Dividimos para x
1 δ
⇒ 0 < 1− <
x x
1 δ
⇒0< −1 <
x x
1
Acotamos . Aquí si tomamos ∂ ≤ 1 tenemos problemas porque 0 ≤ x ≤ 2 y x no puede ser 0;
x
1 1 3
elijamos mejor ∂ ≤ (puede ser otro valor), ahora ≤ x ≤ , lo cual implica que:
2 2 2
1 2 1 ∂
2≥ ≥ ⇒ ≤2 ⇒ ≤ 2∂
x 3 x x
Entonces:
1 δ 1
− 1 < ≤ 2∂ ⇒ − 1 < 2∂
x x x
ε ε ε
Por lo tanto, δ = sirve; es decir, si tomamos 1 − < x < 1+ aseguramos lo que se quiere
2 2 2
1 ⎧1 ε ⎫
demostrar, siempre y cuando escojamos un ε tal que ∂ ≤ , es decir δ = min ⎨ , ⎬
2 ⎩2 2⎭
Podría no ser tan sencillo encontrar un ∂ en función de ε , eso no significa
que el límite no existe, todo depende de la regla de correspondencia de la
función.
Ejercicios Propuestos 1.1
1. Demostrar formalmente utilizando la definición de límite:
x2 − 9 e) lím 2 x = 2
a) lím =6 x→2
x →3 x − 3
x −1
b) lím ( 2 x − 5 ) = −1 f) lím =2
x→2 x →1
x −1
x + 5x − 6
2
lím 3 x = 2
c) lím = −7 g)
x →−6 x+6 x →8
2 x + 3x − 2 x − 3
3 2 h) lím 3 x = 3 a
d) lím =5 x →a
x →1 x2 −1
15
16. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
2. Determine un número “ ∂ ” para el valor de “ ε ” dado, tal que se establezca el límite de la función:
9x2 − 1 x
a) lím = 2 , ε = 0.01 c) lím = 2, ε = 0.08
x→
1 3x − 1 x →0
x +1 −1
3
x4 − a4
b) lím = 2a 2 , ε = 10−8
x→a x2 − a2
3. Sea f : ℜ + → ℜ tal que f ( x ) = x encuentre un valor de “ ∂ ” para que 2.99 < f ( x) < 3.01
siempre que 0 < x − 9 < ∂
4. Sea f ( x) = 3 x . Empleando la definición de límite, establezca un intervalo en el cual tomar " x " para
que f (x) esté a menos de 0.1 de 1
1.1.3 TEOREMA DE UNICIDAD DE LÍMITE.
Sea f una función de una variable real.
Si f tiene límite en x = x0 , entonces este
es único. Es decir, si lím f ( x) = L y
x→ x 0
lím f ( x) = M entonces L = M .
x→ x0
Demostración:
Por CONTRADICCIÓN. Supongamos que efectivamente f tiene dos límites L y M , entonces tenemos dos
hipótesis:
H1 : lím f ( x) = L ≡ ∀ε 1 > 0, ∃δ 1 > 0 tal que 0 < x − x 0 < δ 1 ⇒ f ( x) − L < ε 1
x → x0
H 2 : lím f ( x) = M ≡ ∀ε 2 > 0, ∃δ 2 > 0 tal que 0 < x − x 0 < δ 2 ⇒ f ( x) − M < ε 2
x → x0
Como se dice para todo ε 1 y para todo ε 2 entonces supongamos que ε 1 = ε 2 = ε .
Tomemos ∂ = min{∂1,∂ 2 } para estar con x , en la vecindad de x0 .
⎧ f ( x) − L < ε
⎪
Simultáneamente tenemos: ∀ε > 0, ∃δ > 0 talque 0 < x − x0 < δ ⇒ ⎨
⎪ f ( x) − M < ε
⎩
lo cual quiere decir también que:
∀ε > 0, ∃δ > 0 talque 0 < x − x0 < δ ⇒ f ( x) − L + f ( x) − M < 2ε
M − f ( x)
Por la desigualdad triangular a + b ≤ a + b , tenemos: f ( x) − L + M − f ( x ) ≤ f ( x) − L + M − f ( x)
a b a b
entonces como M − L ≤ f ( x) − L + M − f ( x) < 2ε podemos decir que M − L < 2ε
1
Ahora bien, suponiendo que ε= M −L se produce una contradicción porque tendríamos
2
M −L <2 (1 M − L ) lo cual no es verdad. Por lo tanto, se concluye que L = M .
2
L.Q.Q.D
16
17. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
Ejemplo (una función que no tiene límite en un punto)
Sea f ( x) = sen ( 1x )
Analicemos su comportamiento en la vecindad de “0”
x y = sen (1x )
−π 2 −1
−π 1 0
− 32
π
1
2
3π
−1
1 0
π
2 1
π
Se observa que la función en la vecindad de “0” tiene un comportamiento un tanto singular, sus valores
son alternantes. Por tanto, se concluye que esta función no tiene límite en cero.
Veamos su gráfica.
Fig. 1.4
⎛1⎞
y = sen⎜ ⎟
⎝ x⎠
1.2 LÍMITES LATERALES
Existen funciones que por la derecha de un punto tienen un comportamiento
y por la izquierda del punto tienen otro comportamiento. Esto ocurre
frecuentemente en funciones que tienen regla de correspondencia definida en
intervalos y que su gráfica presenta un salto en un punto. Para expresar
formalmente este comportamiento se hace necesario definir límites en un punto
por una sola dirección.
17
18. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
1.2.1 LÍMITE POR DERECHA
Cuando x se aproxima a tomar el valor de x0 ,
pero sólo por su derecha (x 0 < x < x 0 + ∂ ) , f se
aproxima a tomar el valor de L1 ; significa que f
puede estar tan cerca de L1 , tanto como se
pretenda ( ∀ε ), para lo cual deberá existir el
correspondiente ∂ , que indica el intervalo en el
cual tomar x que nos garantice aquello. Es decir:
⎛ lím f ( x) = L ⎞ ≡ ∀ε > 0, ∃∂ tal que 0 < x − x < ∂ ⇒ f ( x) − L < ε
⎜ x→ x + 1⎟
⎝ 0 ⎠
0 1
Ejemplo 1
Una función creciente en (x 0 , ∞ )
Fig. 1.5
Ejemplo 2
Una función decreciente en (x 0 , ∞ )
18
19. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
1.2.2 LÍMITE POR IZQUIERDA.
Cuando x se aproxima a tomar el valor de
x0 , pero sólo por su izquierda
( x0 − ∂ < x < x0 ) , f se aproxima a tomar el
valor de L2 ; significa que f puede estar
tan cerca de L2 , tanto como se pretenda
( ∀ε ), para lo cual deberá existir el
correspondiente ∂ , que indica el intervalo
en el cual tomar x que nos garantice
aquello. Es decir:
⎛ ⎞
⎜ xlím− f ( x) = L2 ⎟ ≡ ∀ε > 0, ∃∂ tal que 0 < x0 − x < ∂ ⇒ f ( x) − L2 < ε
⎝ → x0 ⎠
Ejemplo 1
Una función decreciente en (−∞,x 0 )
Fig. 1.6
Ejemplo 2
Una función creciente en (−∞, x 0 )
Fig. 1.7
19
20. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
Note que lo que se ha hecho es no otra cosa que separar la definición de
límite en un punto que fue dada al comienzo.
De las definiciones anteriores y por el Teorema de Unicidad de Límite surge
el siguiente teorema.
1.2.3 TEOREMA DE EXISTENCIA DE LÍMITE
Si f es una función con límite en x0
entonces se cumple que tanto por
izquierda como por derecha f tiende al
tomar el mismo valor. Es decir:
(lím f ( x) = L)≡ lím f ( x) = L ∧ lím f ( x) = L
x → x0 x → x0 + x → x0 −
Si se da que lím+ f ( x ) ≠ lím− f ( x ) , se dice que lím f ( x) no existe.
x → x0 x → x0 x→ x0
Ejemplo 1
x−2
Sea f ( x) = . Hallar lím f ( x) :
x−2 x→ 2
SOLUCIÓN:
Expresando la regla de correspondencia sin valor absoluto, resulta:
⎧x−2
⎪
x−2 ; x>2
⎪x−2 ⎧ 1 ; x>2
f ( x) = =⎨ =⎨
x − 2 ⎪ − (x − 2 ) ⎩− 1 ; x<2
; x<2
⎪ x−2
⎩
Esto quiere decir que su gráfica es:
Fig. 1.8
De la gráfica observamos que lím f ( x) = 1 y lím f ( x) = −1 ; entonces se concluye que
x→2 + x→2 −
lím f ( x) no existe .
x→2
20
21. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
Ejemplo 2
⎧2 x , x > 3
Demostrar formalmente que lím f (x ) = 6 si f (x ) = ⎪4 , x = 3
⎨
x→3 ⎪3 x − 3 , x < 3
⎩
SOLUCIÓN:
Note que la función tiene regla de correspondencia con una definición a la derecha de 3 y otra diferente a la
izquierda de 3, entonces es necesario demostrar que lím f (x ) = 6 y que lím f (x ) = 6 .
x →3 + x →3 −
+ ( x →3
)
PRIMERO, lím 2 x = 6 ≡ ∀ε > 0, ∃∂ > 0 tal que 0 < x − 3 < ∂ ⇒ 2x − 6 < ε
Ahora trabajando el antecedente:
(0 < x − 3 < ∂) ⇒ 0 < 2 ( x − 3) < 2∂
⇒ 0 < 2 x − 6 < 2∂
⇒ 0 < 2 x − 6 < 2∂
ε ε
Si ∂ = ; es decir, tomando 3 < x < 3 + garantizamos la afirmación que lím 2 x = 6 .
+
2 2 x →3
SEGUNDO,
( lím (3x − 3) = 6) ≡ ∀ε > 0, ∃∂ > 0 tal que
x → 3−
0 < 3 − x < ∂ ⇒ ( 3 x − 3) − 6 < ε
Ahora trabajando el antecedente:
( 0 < 3 − x < ∂ ) ⇒ 0 < 3( 3 − x ) < 3∂
⇒ 0 < 9 − 3 x < 3∂
⇒ 0 < 6 + 3 − 3 x < 3∂
⇒ 0 < − ( 3 x − 3) + 6 < 3∂
⇒ 0 < − ⎡( 3 x − 3) − 6⎤ < 3∂
⎣ ⎦
⇒ 0 < ( 3 x − 3) − 6 < 3∂
ε ε
Si ∂ = ; es decir, tomando 3− < x < 3 garantizamos que lím ( 3 x − 3) = 6 .
−
3 3 x →3
Ejemplo 3
⎧x − 1 , x ≥ 2
Demostrar formalmente que lím f (x ) no existe, si f (x ) = ⎨
x→2
⎩x + 1 , x < 2
SOLUCIÓN:
La función tiene regla de correspondencia con una definición a la derecha de 2 y otra diferente a la
izquierda de 2, entonces es necesario demostrar que ambas definiciones convergen a distintos valores, es
decir: lím f (x ) ≠ lím f (x ) .
x →2+ x→2−
Note que, lím ( x − 1) = 1 y que lím ( x + 1) = 3
+ −
x→2 x→2
PRIMERO,
( lím ( x − 1) = 1) ≡ ∀ε > 0, ∃∂ > 0 tal que
x → 2+
0 < x − 2 < ∂ ⇒ ( x − 1) − 1 < ε
Ahora trabajando el antecedente:
21
22. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
(0 < x − 2 < ∂ ) ⇒ 0 < x −1−1 < ∂
⇒ 0 < ( x − 1) − 1 < ∂
⇒ 0 < ( x − 1) − 1 < ∂
Si ∂ = ε ; es decir, tomando 2 < x < 2 + ε garantizamos que lím ( x − 1) = 1 .
+
x→2
SEGUNDO,
( lím ( x + 1) = 3) ≡ ∀ε > 0, ∃∂ > 0 tal que
x → 2−
0 < 2 − x < ∂ ⇒ ( x + 1) − 3 < ε
Ahora trabajando el antecedente:
(0 < 2 − x < ∂) ⇒ 0 < 3 − 1 − x < ∂
⇒ 0 < 3 − (1 + x ) < ∂
⇒ 0 < − ⎡( x + 1) − 3⎤ < ∂
⎣ ⎦
⇒ 0 < ( x + 1) − 3 < ∂
Si ∂ = ε ; es decir, tomando 2 − ε < x < 2 garantizamos que lím ( x + 1) = 3 .
−
x→2
Por lo tanto, al demostrar que f converge a distintos valores en la vecindad de 2 , estamos demostrando
que lím f (x ) no existe
x→2
Ejemplo 4
Demostrar formalmente que lím+ ( 2 x − x )=2
x→2
SOLUCIÓN:
( lím ( 2x − x ) = 2) ≡ ∀ε > 0, ∃∂ > 0 tal que
x → 2+
0 < x − 2 < ∂ ⇒ ( 2x − x ) − 2 < ε
No olvide que a la derecha de 2 el entero mayor de x es igual a 2, es decir x = 2 .
Trabajando el antecedente:
( 0 < x − 2 < ∂ ) ⇒ 0 < 2 x − 4 < 2∂
⇒ 0 < 2 x − 2 − 2 < 2∂
⇒ 0 < ( 2 x − x ) − 2 < 2∂
¨
⇒ 0 < ( 2 x − x ) − 2 < 2∂
ε ε
Si ∂ =
2
; es decir, tomando 2 < x < 2 +
2
(
garantizamos que lím 2 x − x
+
x→2
)=2.
22