El documento analiza cómo logo, un lenguaje de programación con un entorno gráfico, permite la exploración y comprensión de la geometría a través de transformaciones y análisis de propiedades geométricas. Se plantea que logo no enseña geometría en sí, sino que potencia el análisis geométrico a través de un enfoque computacional, diferenciando entre el análisis y la enseñanza de la geometría. Además, se sugiere que logo puede ser una herramienta valiosa en la educación, fortaleciendo el pensamiento geométrico y fomentando un enfoque de investigación basada en proyectos.

1. Enrique Araújoviedo.
La Geometría de Logo es una geometría que muchos autores denominan “dinámica”. Por
dinámico debería entendérsela capacidad de transformarse de alguna manera conservando
sus propiedades esenciales y sin dejar de ser la figura en sí misma; en tal caso lo que
analizaríamos serían propiedades topológicas de un objeto: a través de unas transformaciones
bicontínuas un objetos como un donna (un toro) puede convertirse en un pocillo (una taza de
café con una oreja). Topológicamente hablando, si el uno se convirtió en el otro realmente son
el mismo objeto. Otra cosa son objetos que comparten las mismas propiedades.
Pero para no ir tan lejos: en Logo podemos trazar un triángulo y mediante una leve
modificación podemos convertirlo en un cuadrado; figuras ya no equivalentes, aunque
comparten algunas propiedades. Quiere esto decir que el concepto de “Geometría dinámica”
está referido a lo computacional y no a lo geométrico propiamente dicho. Y esa es
precisamente una de las virtudes del tratamiento computacional de la geometría tanto en ésta
herramienta como en otras dedicadas exclusivamente a la enseñanza y tratamiento de la
Geometría como GeoNext, Cinderella, GeoGebra y Cabri entre otros.
Esto quiere decir que Logo no pretende enseñar geometría propiamente sino hacer uso de ella
y potenciar el análisis geométrico mediante el desarrollo computacional de las propiedades
geométricas. Aquí hacemos una diferenciación entre el análisis geométrico y la enseñanza de
la Geometría; pareciera un presupuesto contradictorio, pero no. Surge claro la pregunta, ¿se
puede desarrollar capacidades de análisis geométrico sin enseñar Geometría? Aunque éste
trabajo no es el lugar para demostrarlo, afirmamos rotundamente que sí y un ejemplo
particular, pero general, es el diseño en la educación en tecnología.
Bien, entonces qué es lo que hace Logo?
Aclaremos primero que Logo es un lenguaje de programación que dispone de un entorno
gráfico; pero que por abuso de la expresión, nos referimos a ese entorno como si fuera el
Lenguaje en su totalidad. En el presente trabajo, infortunadamente mantendremos ese abuso:
nos referiremos al entorno gráfico del lenguaje como si fuera el lenguaje –sólo por comodidad
léxica-. Respondiendo pues a la pregunta: ¿qué es lo que hace Logo? Simple: ofrecernos un
entorno donde explorar las ideas geométricas basándonos en algunas de sus propiedades. Esto
quiere decir que hay que tener unas ideas geométricas previas; según la edad, pueden ser
intuitivas o formalmente elaboradas.
Antes de iniciar un taller con Logo, los docentes de informática deben explorar las ideas y
conocimientos geométricos de sus alumnos, particularmente las ideas formalmente
elaboradas; aunque con Logo se trabaje con un enfoque intuitivo y heurístico. Dicha
exploración debe tener en cuenta aspectos como el trazo y trazado de las figuras básicas, la
comprensión de los elementos constitutivos de una figura y propiedades de la figura (en otro
trabajo hemos elaborado un taller de diagnóstico). Debe igualmente, realizarse talleres previos
de elaboración de figuras a mano alzada y con instrumentos (en otro trabajo hemos elaborado
varias guías de dibujo a mano alzada y dibujo con instrumento).

2. Entre los aspectos de trazado debe considerarse la noción de curva, su sentido de trazado y la
orientación y propiedades tales como la concavidad y convexidad. Para ello es conveniente
trabajar a tres niveles: talleres a mano alzada (papel y lápiz), talleres de dibujo con
instrumentos (regla y compás, regla métrica y transportador, calibrador, coordenadas,
sistemas de referencia, proyecciones, transformaciones, simetrías, grupos, etc.) y talleres con
herramientas gráficas (editores simples tipo Paint, editores gráficos con herramientas de trazo
como curvas Bézier; en la web 2.0 hay muchas herramientas gráficas con éstas características).
Respecto a la noción de línea recta (que en adelante llamaremos sólo línea) debe considerarse
aspectos como el sentido, la dirección y orientación; cosa semejante con los segmentos. Es
conveniente introducir la noción de vector en un sentido intuitivo. De un segmento debe
tenerse claro elementos como extremos (vértices) y punto medio, que son elementos
intuitivamente perceptivos. A partir de la noción de segmento se pueden explorar ideas de
concurrencia, traslación rígida (isometría), deformaciones, transformaciones y
composiciones. A partir de la idea de composiciones se construyen las figuras básicas; y aquí
particularmente debe tenerse en cuenta la importancia de empezar a razonar con Logo. Por
ejemplo: construir un triángulo implica una secuencia de segmentos con una orientación y con
una dirección específica en cada vértice y con una consideración angular particular (el ángulo
externo) entre los segmentos que concurren en los vértices. Si se trata de componer un objeto
que represente una idea más cotidiana como una casa se pueden utilizar dos figuras base
(cuadrado y triángulo) siguiendo unas reglas de composición –y aquí precisamente está la
importancia de la enseñanza con Logo (en otro trabajo, hacemos la diferencia entre
“enseñanza de Logo” y “enseñanza con Logo”)-. Objetos menos cotidianos, requerirán
exploraciones de elementos más abstractos como variables, simetrías, grupos (recuérdese que
la simetría es un grupo de Klein), etc. Hay objetos exorbitantemente bellos como los fractales
que requieren de un tratamiento con propiedades específicas de iteración del Logo como la
recursión (autoinvocación de un procedimiento); pero ello para ir abonando el terreno es
conveniente realizar actividades previas en las que se muestre cómo se aplica una
transformación (por ejemplo una rotación) a un elemento simple (segmento), una figura
simple (triángulo), una figura compuesta (casa), una figura estructural (árbol fractal). Una vez
que estemos en condiciones de aplicar conceptos como “recurrencia” podemos comenzar a
explorar ideas de investigación a través de curvas como por ejemplo simular la radiación de
fondo; o el comportamiento de figuras asintóticas; o el comportamiento de ondas en
diferentes espacios de transmisión, etc.
Como se observa Logo no es un lenguaje para enseñar geometría sino para explotar a fondo
las ideas geométricas. Mucha gente tiene la idea errónea que Logo es un lenguaje para niños
porque ven a los estudiante haciendo “figuritas” –infortunadamente el enfoque asumido por
muchos docentes es ese-. Logo es una herramienta de investigación muy poderosa, que es
conveniente utilizarla en la Escuela -que no sólo en clase de informática- mediante la
metodología de proyectos para obtener resultados beneficiosos en el proceso de la
maduración cognitiva del estudiante, en particular de fortalecer el Pensamiento Geométrico.