Este documento presenta el polinomio de Taylor y cómo se puede usar para aproximar funciones. En la primera sección, desarrolla el polinomio de Taylor para la función ex alrededor de x0 = 0 y encuentra el valor de n necesario para obtener 5 cifras significativas. Luego, proporciona un script de Octave para calcular el polinomio de Taylor para cualquier función y valor de n, usando un bucle for para iterar desde 1 hasta n. Finalmente, ejecuta el script con diferentes valores para verificar los resultados.

1. Análisis numérico I
Unidad 1.Fundamentos
EducaciónAbiertaya Distancia* CienciasExactas,IngenieríasyTecnologías
1
Evidencia de aprendizaje. Fundamentos de análisis numérico
1. Recordando que el polinomio de Taylor alrededor del punto 𝑥0 para algún
número 𝜉( 𝑥) es de la forma 𝑃𝑛(𝑥)
𝑃𝑛( 𝑥) = 𝑓( 𝑥0)+ 𝑓′( 𝑥0)( 𝑥 − 𝑥0)+
𝑓′′( 𝑥)
2!
( 𝑥 − 𝑥0) + ⋯+
𝑓 𝑛( 𝑥0)
𝑛!
( 𝑥 − 𝑥0) 𝑛
= ∑
𝑓 𝑘( 𝑥0)
𝑘!
( 𝑥 − 𝑥0) 𝑘.
𝑛
𝑘=0
a) desarrolla el polinomio de Taylor para la siguiente función:
𝑓( 𝑥) = 𝑒 𝑥
Alrededor del punto 𝑥0 = 0
b) Encuentra n tal que la cantidad de cifras significativas del resultado sean 5
Calculando para n=1suponiendo x=1
1+1=2
Calculando para n=2
1+1+1/2 = 2.5
Para n=3
1+1+1/2+1/6=2.66667
Por lo que tenemos 5 cifras significativas, aunque el valor todavía no es el
esperado.
2. Haz un script de Octave (función que deberá ser guardada en un archivo .m)
que calcule el valor del polinomio de Taylor para cualquier n (es decir, n
también es un parámetro).
Tip: Para hacer un bucle en Octave en el que se ejecutaran las instrucciones que
desees n veces tienes que ocupar la instrucción for con la siguiente sintaxis:
for i=1:n
Instrucciones
end
La variable i irá tomando cada uno de los valores entre 1 y n de uno en uno en
cada ciclo.
function t=taylore0(n,x)
t=1

2. Análisis numérico I
Unidad 1.Fundamentos
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for i=1:n
t=t+1/factorial(i) *x^i;
end
endfunction
Para diferentes valores:

3. Análisis numérico I
Unidad 1.Fundamentos
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Esta es una corrida con comprobación del mismo octave
Aquí con otros valores:
Vemos que mientras más iteraciones, tenemos un resultado más preciso.