El documento describe métodos para obtener expresiones de π y el logaritmo natural de 2 a partir del triángulo numérico de Pascal. Explica que el triángulo de Pascal puede representar los coeficientes del binomio de Newton y que sus elementos pueden escribirse como números combinatorios. También describe sucesiones diagonales en el triángulo y cómo la suma de sus términos está relacionada con combinaciones con repetición. Finalmente, menciona una fórmula antigua para obtener π a partir de una serie infinita de fracciones basadas
Coeficientes multinomiales y desarrollo de un polinomio elevado a la m .teore...Enrique Ramon Acosta Ramos
1) El documento describe el teorema multinomial y cómo se pueden calcular los coeficientes multinomiales para expandir un polinomio elevado a la potencia m. 2) Presenta una nueva versión del teorema multinomial que especifica los valores que toman las variables ni de manera explícita. 3) Muestra un ejemplo numérico para r=4 y m=6.
Este documento describe la distribución tetraédrica de los coeficientes de un tetranomio (x1 + x2 + x3 + x4) elevado a la potencia m. Explica que estos coeficientes, llamados coeficientes tetranomiales, se distribuyen en uno o más tetraedros regulares de caras y base triangular. Presenta gráficos de esta distribución para valores de m de 1 a 8, mostrando cómo los coeficientes se agrupan en tetraedros principales y secundarios de acuerdo con el número de veces que aparecen.
El documento explica cómo generalizar el triángulo de Pascal mediante el uso de coeficientes multinomiales. Define multinomiales como el producto de coeficientes binomiales sucesivos y muestra cómo esto permite construir triángulos de coeficientes para trinomiales, tetranomiales y polinomiales más altos como análogos del triángulo de Pascal. También resume brevemente la historia y propiedades básicas del triángulo de Pascal.
El documento describe diferentes formas de representar una recta en el plano, incluyendo la ecuación vectorial, paramétrica, continua y general. También explica cómo determinar la posición relativa de dos rectas y calcular distancias entre puntos y un punto a una recta.
Este documento presenta la solución a un examen parcial de matemáticas II que incluye tres problemas. El primer problema involucra calcular los valores de a, b y c para que una matriz cumpla una relación y determinar la solución de un sistema homogéneo. El segundo problema pide hallar la ecuación de un plano perpendicular a una recta, calcular la distancia entre un punto y la recta, y encontrar el punto simétrico de un punto con respecto a la recta. El tercer problema solicita graficar una función racional estudiando sus propiedades
Este documento presenta 5 ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales resueltos utilizando matrices. En cada ejemplo se describe el proceso de convertir el sistema en una matriz aumentada y luego aplicar operaciones de filas hasta obtener la forma reducida de la matriz que proporciona la solución. Los valores de las variables se obtienen al convertir la matriz reducida de nuevo a ecuaciones.
Coeficientes multinomiales y desarrollo de un polinomio elevado a la m .teore...Enrique Ramon Acosta Ramos
1) El documento describe el teorema multinomial y cómo se pueden calcular los coeficientes multinomiales para expandir un polinomio elevado a la potencia m. 2) Presenta una nueva versión del teorema multinomial que especifica los valores que toman las variables ni de manera explícita. 3) Muestra un ejemplo numérico para r=4 y m=6.
Este documento describe la distribución tetraédrica de los coeficientes de un tetranomio (x1 + x2 + x3 + x4) elevado a la potencia m. Explica que estos coeficientes, llamados coeficientes tetranomiales, se distribuyen en uno o más tetraedros regulares de caras y base triangular. Presenta gráficos de esta distribución para valores de m de 1 a 8, mostrando cómo los coeficientes se agrupan en tetraedros principales y secundarios de acuerdo con el número de veces que aparecen.
El documento explica cómo generalizar el triángulo de Pascal mediante el uso de coeficientes multinomiales. Define multinomiales como el producto de coeficientes binomiales sucesivos y muestra cómo esto permite construir triángulos de coeficientes para trinomiales, tetranomiales y polinomiales más altos como análogos del triángulo de Pascal. También resume brevemente la historia y propiedades básicas del triángulo de Pascal.
El documento describe diferentes formas de representar una recta en el plano, incluyendo la ecuación vectorial, paramétrica, continua y general. También explica cómo determinar la posición relativa de dos rectas y calcular distancias entre puntos y un punto a una recta.
Este documento presenta la solución a un examen parcial de matemáticas II que incluye tres problemas. El primer problema involucra calcular los valores de a, b y c para que una matriz cumpla una relación y determinar la solución de un sistema homogéneo. El segundo problema pide hallar la ecuación de un plano perpendicular a una recta, calcular la distancia entre un punto y la recta, y encontrar el punto simétrico de un punto con respecto a la recta. El tercer problema solicita graficar una función racional estudiando sus propiedades
Este documento presenta 5 ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales resueltos utilizando matrices. En cada ejemplo se describe el proceso de convertir el sistema en una matriz aumentada y luego aplicar operaciones de filas hasta obtener la forma reducida de la matriz que proporciona la solución. Los valores de las variables se obtienen al convertir la matriz reducida de nuevo a ecuaciones.
Este documento describe el método de Frobenius para encontrar soluciones en serie de potencias para ecuaciones diferenciales ordinarias con singularidades regulares. Explica que las singularidades son puntos donde las funciones de la ecuación no son analíticas y divide las singularidades en regulares e irregulares. Para singularidades regulares, el método de Frobenius busca soluciones en la forma de una serie de Frobenius centrada en el punto singular, lo que permite determinar valores para los coeficientes que hacen que la serie sea una solución válida localmente.
Este documento presenta el tema de los sistemas de ecuaciones lineales. Explica qué son los sistemas de ecuaciones lineales, cómo se escriben y clasifican. Luego, describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo sustitución, igualación y reducción. Finalmente, aplica estos métodos para resolver un problema de la vida real sobre los costos de cuadernos y plumones comprados.
Este documento contiene 46 ejercicios de álgebra resueltos. Los ejercicios cubren temas como expresiones algebraicas, operaciones con polinomios, identidades notables, ecuaciones de primer y segundo grado, y sistemas de ecuaciones. Los ejercicios van desde traducir expresiones verbales a lenguaje algebraico hasta resolver ecuaciones cuadráticas y sistemas de ecuaciones lineales y cuadráticas.
Este documento presenta un temario sobre matrices. Define una matriz, sus elementos como filas y columnas, y ofrece ejemplos como matrices nulas, cuadradas y diagonales. Explica cómo calcular el determinante de una matriz mediante reglas específicas para matrices de diferentes dimensiones y el uso de submatrices y cofactores. También cubre clases de matrices como simétricas y triangulares, y operaciones básicas como suma, resta, multiplicación por escalar y producto de matrices.
El documento define los números complejos, incluyendo su parte real e imaginaria. Explica cómo sumar, restar, multiplicar y dividir números complejos, así como expresarlos en forma polar usando el módulo y argumento. También cubre propiedades como el conjugado, opuesto y potencias de i.
Taller de aplicación sistemas ecuaciones linealesAna Maria Luna
Este documento presenta varios ejercicios de sistemas de ecuaciones lineales. Instruye a los estudiantes a resolver sistemas de 2 ecuaciones y 2 incógnitas utilizando métodos gráficos, sustitución, reducción, igualación y regla de Cramer. Proporciona múltiples ejemplos para practicar cada método.
Este documento presenta conceptos clave sobre ecuaciones lineales, incluyendo: (1) la forma pendiente-intercepto y=mx+b para ecuaciones lineales, (2) cómo identificar la pendiente y el intercepto de una ecuación dada, y (3) cómo escribir una ecuación lineal dados la pendiente e intercepto o dos puntos en la recta. También cubre cómo representar gráficamente ecuaciones lineales y resolver problemas de velocidad constante usando ecuaciones lineales.
El documento presenta información sobre progresiones aritméticas y geométricas. Define cada tipo de progresión, sus elementos y propiedades. Explica la diferencia entre progresión aritmética, donde cada término se obtiene sumando una cantidad constante a la anterior, y progresión geométrica, donde cada término se obtiene multiplicando el anterior por una razón constante. También cubre conceptos como término general, sumas, medios aritméticos y geométricos, e incluye ejemplos y ejercicios prácticos sobre
Este documento trata sobre sistemas de ecuaciones lineales. Explica los conceptos básicos de sistemas de ecuaciones, métodos para resolver sistemas como sustitución, igualación y reducción, y aplicaciones de sistemas para resolver problemas. También introduce sistemas de inecuaciones con una incógnita.
El documento explica cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas utilizando el método de Gauss. Se presenta un ejemplo numérico con tres ecuaciones y tres incógnitas que se resuelve aplicando el método de Gauss para obtener los valores de las incógnitas. Finalmente, se proporcionan enlaces a recursos adicionales sobre cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales con más de dos incógnitas.
El documento explica cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante tablas. El método implica asignar valores a una incógnita, despejar la otra incógnita de una ecuación, y sustituir los valores en la otra ecuación para encontrar la igualdad numérica que representa la solución. Se proveen dos ejemplos ilustrativos aplicando los pasos.
El documento trata sobre ecuaciones lineales y cómo las constantes m y b afectan la gráfica de ecuaciones de la forma y = mx + b. Explica que la constante b representa el intercepto-y, o el punto donde la línea cruza el eje y, y que cambia el valor de b mueve la línea paralela a sí misma arriba o abajo. También explica que la constante m representa la pendiente de la línea.
1. El documento presenta una práctica propuesta de 20 preguntas sobre conceptos de álgebra superior relacionados con polinomios. Las preguntas cubren temas como evaluación de polinomios, división de polinomios, grado de polinomios, y factores y raíces de polinomios. El objetivo es que los estudiantes identifiquen y elijan la definición o procedimiento correcto en cada caso.
Documento que desarrolla el contenido de Sistema De Ecuaciones y los diferentes métodos empleados para la solución de Sistemas De Ecuaciones 2x2 y Sistemas De Ecuaciones 3x3, además de su aplicación en la resolución de problemas.
El documento presenta información sobre funciones lineales, incluyendo cómo graficar ecuaciones lineales, determinar la pendiente y el intercepto en el eje y a partir de la ecuación de una recta, y distinguir entre rectas horizontales y verticales. Se proveen ejemplos y ejercicios prácticos para reforzar los conceptos.
Este documento trata sobre inecuaciones y sistemas de inecuaciones. Define inecuaciones como desigualdades entre expresiones algebraicas y explica las reglas de equivalencia para mantener o cambiar el sentido de la desigualdad. Luego, cubre cómo resolver inecuaciones lineales, polinómicas y racionales de una incógnita, así como sistemas de inecuaciones.
Este documento presenta un proyecto final sobre álgebra lineal realizado por tres estudiantes. Resume varios temas clave como matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales y métodos para resolverlos. El proyecto explica conceptos matemáticos importantes y cómo aplicarlos para resolver problemas de la vida real.
Este documento presenta información sobre sistemas de ecuaciones lineales de dos variables. En la primera sección, se define una ecuación lineal y se explica que una solución de una ecuación lineal con dos incógnitas es un par de valores que hacen cierta la igualdad. La segunda sección define un sistema de ecuaciones lineales como dos ecuaciones lineales y explica que puede tener una solución única, infinitas soluciones o ninguna solución. La tercera sección presenta tres métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales: reducción, sust
El documento describe ecuaciones de primer grado y sistemas de ecuaciones lineales. Explica cómo resolver ecuaciones de primer grado mediante el despeje de la incógnita y proporciona ejemplos. También define sistemas de ecuaciones lineales y explica que la solución es el valor de las variables que satisfacen ambas ecuaciones.
En este trabajo, sacamos a la luz algunas propiedades prácticamente desconocidas del triángulo de Pascal en referencia a ciertos productos internos curiosos como el producto escalar de las sucesiones paralelas y la multiplicación triangular, y a algunos productos externos importantes como el producto de ampliación dimensional, donde establecemos una forma práctica y sencilla de obtener los coeficientes de un polinomio de r elementos, elevado a una potencia m, a partir de los coeficientes de un polinomio de r-1 elementos elevado a la misma potencia m, aplicado a la cadena de coeficientes binomiales-trinomiales y tetranomiales, y su generalización dada por la propiedad extensiva del producto de ampliación dimensional. Adicionalmente, abordamos el producto de nivel incremental, que nos permite pasar de un plano ∆_k, a otro de un valor superior de k.
Trata de la distribución 3D de las permutaciones con repetición en un espacio prismático, ello permite entre otras aplicaciones la obtención del n⁰ de posibles caminos unitarios, en redes espaciales cúbicas o prismáticas.
La distribución espacial de permutaciones con repetición, asociadas a la distribución de puntos de coordenadas enteras y positivas en un espacio 3D, es interpretada como el número de caminos posibles y diferentes, que se pueden formar o recorrer con i+j+k=m, elementos o trazos unitarios tomados m a m para desplazarse siempre en sentido de avance(+),desde un punto elegido como origen de coordenadas, hasta otro punto considerado, de coordenadas enteras y positivas, (i,j,k),donde el total(m) de trazos unitarios en cada grupo o camino, siempre se construye al recorrer i trazos en dirección X⁺ ,j trazos en dirección Y⁺ y, k trazos en dirección Z⁺.
Esta distribución prismática de permutaciones con repetición resulta confinada en planos ∆_k, paralelos al plano 〖0X⁺Y〗^+ , y puede interpretarse como una expansión 3D de los números figurados o combinatorios, donde la distribución plana correspondiente a ∆_0, o triángulo de Pascal, corresponde solo al caso particular, cuando k=0.
Los resultados obtenidos, conectan directamente al “Prisma Combinatorio”, con las Sucesiones Paralelas que conforman la estructura interna de ∆_0, (y la del propio Prisma), y también con los procedimientos ya estudiados, respecto a la determinación y cálculo de los coeficientes básicos de un polinomio potenciado, y del n⁰ de veces en que aparece c/u de ellos en el desarrollo del mismo.
Este documento describe el método de Frobenius para encontrar soluciones en serie de potencias para ecuaciones diferenciales ordinarias con singularidades regulares. Explica que las singularidades son puntos donde las funciones de la ecuación no son analíticas y divide las singularidades en regulares e irregulares. Para singularidades regulares, el método de Frobenius busca soluciones en la forma de una serie de Frobenius centrada en el punto singular, lo que permite determinar valores para los coeficientes que hacen que la serie sea una solución válida localmente.
Este documento presenta el tema de los sistemas de ecuaciones lineales. Explica qué son los sistemas de ecuaciones lineales, cómo se escriben y clasifican. Luego, describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo sustitución, igualación y reducción. Finalmente, aplica estos métodos para resolver un problema de la vida real sobre los costos de cuadernos y plumones comprados.
Este documento contiene 46 ejercicios de álgebra resueltos. Los ejercicios cubren temas como expresiones algebraicas, operaciones con polinomios, identidades notables, ecuaciones de primer y segundo grado, y sistemas de ecuaciones. Los ejercicios van desde traducir expresiones verbales a lenguaje algebraico hasta resolver ecuaciones cuadráticas y sistemas de ecuaciones lineales y cuadráticas.
Este documento presenta un temario sobre matrices. Define una matriz, sus elementos como filas y columnas, y ofrece ejemplos como matrices nulas, cuadradas y diagonales. Explica cómo calcular el determinante de una matriz mediante reglas específicas para matrices de diferentes dimensiones y el uso de submatrices y cofactores. También cubre clases de matrices como simétricas y triangulares, y operaciones básicas como suma, resta, multiplicación por escalar y producto de matrices.
El documento define los números complejos, incluyendo su parte real e imaginaria. Explica cómo sumar, restar, multiplicar y dividir números complejos, así como expresarlos en forma polar usando el módulo y argumento. También cubre propiedades como el conjugado, opuesto y potencias de i.
Taller de aplicación sistemas ecuaciones linealesAna Maria Luna
Este documento presenta varios ejercicios de sistemas de ecuaciones lineales. Instruye a los estudiantes a resolver sistemas de 2 ecuaciones y 2 incógnitas utilizando métodos gráficos, sustitución, reducción, igualación y regla de Cramer. Proporciona múltiples ejemplos para practicar cada método.
Este documento presenta conceptos clave sobre ecuaciones lineales, incluyendo: (1) la forma pendiente-intercepto y=mx+b para ecuaciones lineales, (2) cómo identificar la pendiente y el intercepto de una ecuación dada, y (3) cómo escribir una ecuación lineal dados la pendiente e intercepto o dos puntos en la recta. También cubre cómo representar gráficamente ecuaciones lineales y resolver problemas de velocidad constante usando ecuaciones lineales.
El documento presenta información sobre progresiones aritméticas y geométricas. Define cada tipo de progresión, sus elementos y propiedades. Explica la diferencia entre progresión aritmética, donde cada término se obtiene sumando una cantidad constante a la anterior, y progresión geométrica, donde cada término se obtiene multiplicando el anterior por una razón constante. También cubre conceptos como término general, sumas, medios aritméticos y geométricos, e incluye ejemplos y ejercicios prácticos sobre
Este documento trata sobre sistemas de ecuaciones lineales. Explica los conceptos básicos de sistemas de ecuaciones, métodos para resolver sistemas como sustitución, igualación y reducción, y aplicaciones de sistemas para resolver problemas. También introduce sistemas de inecuaciones con una incógnita.
El documento explica cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas utilizando el método de Gauss. Se presenta un ejemplo numérico con tres ecuaciones y tres incógnitas que se resuelve aplicando el método de Gauss para obtener los valores de las incógnitas. Finalmente, se proporcionan enlaces a recursos adicionales sobre cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales con más de dos incógnitas.
El documento explica cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante tablas. El método implica asignar valores a una incógnita, despejar la otra incógnita de una ecuación, y sustituir los valores en la otra ecuación para encontrar la igualdad numérica que representa la solución. Se proveen dos ejemplos ilustrativos aplicando los pasos.
El documento trata sobre ecuaciones lineales y cómo las constantes m y b afectan la gráfica de ecuaciones de la forma y = mx + b. Explica que la constante b representa el intercepto-y, o el punto donde la línea cruza el eje y, y que cambia el valor de b mueve la línea paralela a sí misma arriba o abajo. También explica que la constante m representa la pendiente de la línea.
1. El documento presenta una práctica propuesta de 20 preguntas sobre conceptos de álgebra superior relacionados con polinomios. Las preguntas cubren temas como evaluación de polinomios, división de polinomios, grado de polinomios, y factores y raíces de polinomios. El objetivo es que los estudiantes identifiquen y elijan la definición o procedimiento correcto en cada caso.
Documento que desarrolla el contenido de Sistema De Ecuaciones y los diferentes métodos empleados para la solución de Sistemas De Ecuaciones 2x2 y Sistemas De Ecuaciones 3x3, además de su aplicación en la resolución de problemas.
El documento presenta información sobre funciones lineales, incluyendo cómo graficar ecuaciones lineales, determinar la pendiente y el intercepto en el eje y a partir de la ecuación de una recta, y distinguir entre rectas horizontales y verticales. Se proveen ejemplos y ejercicios prácticos para reforzar los conceptos.
Este documento trata sobre inecuaciones y sistemas de inecuaciones. Define inecuaciones como desigualdades entre expresiones algebraicas y explica las reglas de equivalencia para mantener o cambiar el sentido de la desigualdad. Luego, cubre cómo resolver inecuaciones lineales, polinómicas y racionales de una incógnita, así como sistemas de inecuaciones.
Este documento presenta un proyecto final sobre álgebra lineal realizado por tres estudiantes. Resume varios temas clave como matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales y métodos para resolverlos. El proyecto explica conceptos matemáticos importantes y cómo aplicarlos para resolver problemas de la vida real.
Este documento presenta información sobre sistemas de ecuaciones lineales de dos variables. En la primera sección, se define una ecuación lineal y se explica que una solución de una ecuación lineal con dos incógnitas es un par de valores que hacen cierta la igualdad. La segunda sección define un sistema de ecuaciones lineales como dos ecuaciones lineales y explica que puede tener una solución única, infinitas soluciones o ninguna solución. La tercera sección presenta tres métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales: reducción, sust
El documento describe ecuaciones de primer grado y sistemas de ecuaciones lineales. Explica cómo resolver ecuaciones de primer grado mediante el despeje de la incógnita y proporciona ejemplos. También define sistemas de ecuaciones lineales y explica que la solución es el valor de las variables que satisfacen ambas ecuaciones.
En este trabajo, sacamos a la luz algunas propiedades prácticamente desconocidas del triángulo de Pascal en referencia a ciertos productos internos curiosos como el producto escalar de las sucesiones paralelas y la multiplicación triangular, y a algunos productos externos importantes como el producto de ampliación dimensional, donde establecemos una forma práctica y sencilla de obtener los coeficientes de un polinomio de r elementos, elevado a una potencia m, a partir de los coeficientes de un polinomio de r-1 elementos elevado a la misma potencia m, aplicado a la cadena de coeficientes binomiales-trinomiales y tetranomiales, y su generalización dada por la propiedad extensiva del producto de ampliación dimensional. Adicionalmente, abordamos el producto de nivel incremental, que nos permite pasar de un plano ∆_k, a otro de un valor superior de k.
Trata de la distribución 3D de las permutaciones con repetición en un espacio prismático, ello permite entre otras aplicaciones la obtención del n⁰ de posibles caminos unitarios, en redes espaciales cúbicas o prismáticas.
La distribución espacial de permutaciones con repetición, asociadas a la distribución de puntos de coordenadas enteras y positivas en un espacio 3D, es interpretada como el número de caminos posibles y diferentes, que se pueden formar o recorrer con i+j+k=m, elementos o trazos unitarios tomados m a m para desplazarse siempre en sentido de avance(+),desde un punto elegido como origen de coordenadas, hasta otro punto considerado, de coordenadas enteras y positivas, (i,j,k),donde el total(m) de trazos unitarios en cada grupo o camino, siempre se construye al recorrer i trazos en dirección X⁺ ,j trazos en dirección Y⁺ y, k trazos en dirección Z⁺.
Esta distribución prismática de permutaciones con repetición resulta confinada en planos ∆_k, paralelos al plano 〖0X⁺Y〗^+ , y puede interpretarse como una expansión 3D de los números figurados o combinatorios, donde la distribución plana correspondiente a ∆_0, o triángulo de Pascal, corresponde solo al caso particular, cuando k=0.
Los resultados obtenidos, conectan directamente al “Prisma Combinatorio”, con las Sucesiones Paralelas que conforman la estructura interna de ∆_0, (y la del propio Prisma), y también con los procedimientos ya estudiados, respecto a la determinación y cálculo de los coeficientes básicos de un polinomio potenciado, y del n⁰ de veces en que aparece c/u de ellos en el desarrollo del mismo.
Trata de la distribución 3D de las permutaciones con repetición en un espacio prismático, ello permite entre otras aplicaciones la obtención del n⁰ de posibles caminos unitarios, en redes espaciales cúbicas o prismáticas.
La distribución espacial de permutaciones con repetición, asociadas a la distribución de puntos de coordenadas enteras y positivas en un espacio 3D, es interpretada como el número de caminos posibles y diferentes, que se pueden formar o recorrer con i+j+k=m, elementos o trazos unitarios tomados m a m para desplazarse siempre en sentido de avance(+),desde un punto elegido como origen de coordenadas, hasta otro punto considerado, de coordenadas enteras y positivas, (i,j,k),donde el total(m) de trazos unitarios en cada grupo o camino, siempre se construye al recorrer i trazos en dirección X⁺ ,j trazos en dirección Y⁺ y, k trazos en dirección Z⁺.
Esta distribución prismática de permutaciones con repetición resulta confinada en planos ∆_k, paralelos al plano 〖0X⁺Y〗^+ , y puede interpretarse como una expansión 3D de los números figurados o combinatorios, donde la distribución plana correspondiente a ∆_0, o triángulo de Pascal, corresponde solo al caso particular, cuando k=0.
Los resultados obtenidos, conectan directamente al “Prisma Combinatorio”, con las Sucesiones Paralelas que conforman la estructura interna de ∆_0, (y la del propio Prisma), y también con los procedimientos ya estudiados, respecto a la determinación y cálculo de los coeficientes básicos de un polinomio potenciado, y del n⁰ de veces en que aparece c/u de ellos en el desarrollo del mismo.
Este documento describe las particiones de números enteros, incluyendo particiones con repetición (composición de enteros) y particiones discretas. Explica que una partición es la forma de descomponer un número en una suma de uno o más sumandos positivos. Luego presenta una tabla triangular que muestra el número de particiones discretas de un número entero m en r cifras para cada caso de 0 < r ≤ m.
Este documento presenta una tabla que muestra las particiones de números enteros positivos m en r cifras significativas, para valores de m entre 0 y 18 y valores de r entre 1 y m. La tabla permite obtener tres tipos de particiones de un número entero m: particiones de m, particiones de m en r cifras significativas, y particiones discretas de m en r cifras. El documento analiza propiedades matemáticas de la tabla como patrones, sucesiones y relaciones entre los valores.
El triangulo de pascal o triangulo aritmetico y sus propiedades o caracterist...Enrique Ramon Acosta Ramos
Características o propiedades clásicas del Triángulo de Pascal recogidas en su tratado sobre el Triángulo Aritmético, en una version actualizada adaptada al lenguaje moderno de la combinatoria
El documento presenta una investigación sobre matrices realizada por estudiantes de ingeniería electromecánica. Define qué es una matriz y diferentes tipos como matrices cuadradas, triangulares, identidad y sus propiedades. Explica operaciones básicas con matrices como suma, resta e igualdad.
Métodos para obtener los coeficientes y/o el desarrollo de un polinomio eleva...Enrique Ramon Acosta Ramos
Este documento presenta tres métodos para obtener los coeficientes de un polinomio elevado a una potencia entera: 1) Usando la forma newtoniana del teorema multinomial, 2) Mediante particiones discretas de un entero en un número fijo de cifras, y 3) A través de la cadena multidimensional entre los coeficientes de polinomios con diferentes números de elementos. Se ilustran los métodos con ejemplos como (x1 + x2 + x3)5 y se explica cuando cada uno es más adecuado.
Este documento presenta los contenidos de la asignatura Fundamentos Matemáticos de Ciencias de la Computación para el segundo bimestre. Cubre temas como funciones exponenciales y logarítmicas, sistemas de ecuaciones, matrices y determinantes, y sucesiones y series. Explica conceptos clave, propiedades y métodos para resolver problemas relacionados con cada uno de estos temas.
Este documento explica cómo calcular determinantes de matrices y matrices inversas. Define el determinante como una función que asigna un número real a cada matriz cuadrada. Explica cómo calcular determinantes para matrices de orden 1, 2 y 3, y provee ejemplos. También cubre propiedades de determinantes como que el determinante de una matriz es igual al de su transpuesta, y que si una matriz tiene una fila o columna de ceros, su determinante es cero.
Este documento presenta información sobre sucesiones y progresiones. Explica que una sucesión es un conjunto ordenado de términos matemáticos que presentan una regularidad, y que las progresiones aritméticas y geométricas son tipos importantes de sucesiones. Describe las características de las progresiones aritméticas, incluyendo cómo calcular el término general, y también presenta información básica sobre progresiones geométricas. El documento contiene varios ejemplos y ejercicios para practicar el cálculo de t
Este documento describe el método de interpolación polinómica de Newton en diferencias divididas. Explica que dado un conjunto de puntos (x, f(x)), existe un único polinomio de grado n que pasa por todos los puntos. Luego detalla cómo calcular los coeficientes del polinomio de interpolación usando diferencias divididas finitas de los valores de la función en los puntos de datos. Finalmente, muestra un ejemplo numérico donde se aplica el método para diferentes grados de polinomios e interpolar un valor intermedio.
Este documento presenta el solucionario de un examen parcial de matemáticas de una universidad en Bolivia. Incluye la resolución de 5 problemas matemáticos como hallar un número de tres cifras con ciertas propiedades, calcular un término de un desarrollo binomial, simplificar expresiones algebraicas y resolver un sistema de ecuaciones. También contiene información sobre el curso y el desarrollador del solucionario.
Solución de sistemas de ecuaciones lineales.docxalbertoperozo123
Este documento resume diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo los métodos de Gauss-Jordan, Gauss y descomposición LU. Explica los pasos para aplicar cada método y resuelve un ejemplo paso a paso usando Gauss-Jordan para encontrar las soluciones x=1, y=-1, z=2.
El documento presenta información sobre sucesiones y progresiones matemáticas. Explica conceptos como secuencias, términos generales, progresiones aritméticas y geométricas. También cubre sumas de términos consecutivos, modelos de crecimiento y teoría de juegos. Finalmente, introduce brevemente temas como sistemas binarios, códigos de barras y aritmética modular.
Este documento presenta cuatro temas de matemáticas para estudiantes de 11° grado de letras: matrices, determinantes de orden 2 y 3, números complejos y distancia entre puntos. Explica conceptos como matrices, sus tipos y operaciones. También define determinantes de orden 2 y 3, resolviéndolos mediante la regla de Sarrus. Incluye ejemplos y actividades prácticas para cada tema.
1) El documento presenta información sobre sucesiones numéricas, incluyendo definiciones de sucesiones polinomiales, aritméticas y de segundo orden.
2) Explica cómo calcular términos individuales, la suma de términos y el número de términos en sucesiones aritméticas.
3) Proporciona ejemplos para ilustrar los conceptos y fórmulas presentados.
Este documento define las sucesiones matemáticas y describe diferentes tipos como progresiones aritméticas, progresiones geométricas, sucesiones especiales y la sucesión de Fibonacci. Explica que una sucesión es un conjunto de números ordenados y define el término general. Luego describe las características de las progresiones aritméticas y geométricas, incluyendo cómo calcular la suma de sus términos. También presenta ejemplos de aplicaciones de las sucesiones.
Este documento presenta conceptos básicos sobre sucesiones, incluyendo sucesiones aritméticas y geométricas. Explica la notación de sumatoria y provee ejemplos de su uso. También cubre temas como la inducción matemática y el teorema del binomio.
Similar a Como obtener expresiones que contengan al número π y al logaritmo natural de 2, a partir del triangulo numérico o de Pascal (20)
Combinatorios con numerador fraccionario o negativo y binomio de newton (Repa...Enrique Ramon Acosta Ramos
Explicación y ejemplos sobre los coeficientes binomiales de "numerador" fraccionario, o negativo. Gráfica de la distribución de los coeficientes binomiales en el plano real. Binomios de Newton asociados
Este documento describe los pasos para construir una espiral verdadera a partir de la caracola pitagórica usando solo una regla y un compás. Explica que se trazan ejes cartesianos y se construyen triángulos rectángulos con lados crecientes de 1, √2, √3, √4, etc., determinando así puntos sucesivos sobre los que se trazan arcos circulares de radios incrementales que forman la espiral.
La distribución hiperespacial de los coeficientes de un pentanomio potenciado, en un cuerpo 4D, o Híper-tetraedro, es una inferencia casi automática de la cadena previa, establecida para la distribución lineal en el caso del binomio, la distribución plana triangular en el caso del trinomio, y la distribución tetraédrica 3D en el caso del tetranomio. El encadenamiento analógico, nos permitió plantear esta hipótesis, la cual pudo comprobarse (de una manera práctica), desglosando la estructura de cebolla de dicho híper-tetraedro, ya esbozada en el desarrollo del triángulo de Pascal extendido al caso pentanomial, para el cual, ya habíamos determinado todos los valores de cada nivel.
Es “evidente”, que para el caso de un hexsanomio potenciado, la distribución de sus coeficientes seguirá un patrón híper-híper tetraédrico, y así sucesivamente, para cualquier caso, un grado mayor.
Prisma combinatorio y su relacion con los coeficientes trinomiales 2016 revis...Enrique Ramon Acosta Ramos
Este documento describe el prisma combinatorio y su relación con los coeficientes trinomiales. Explica que el prisma combinatorio representa las permutaciones con repetición para avanzar en tres dimensiones (X+, Y+, Z+), y que la capa triangular Δ0 corresponde al triángulo de Pascal. También muestra que los coeficientes del desarrollo del trinomio (x1 + x2 + x3)m corresponden a los valores combinatorios espaciales en el prisma, relacionando así el prisma con los coeficientes trinomiales.
El triangulo de pascal o triangulo aritmetico sus 19 propiedades clasicas y s...Enrique Ramon Acosta Ramos
La idea central de este nuevo trabajo, es intentar hacer una analogía, entre las 19 “características” o propiedades del “Triángulo Aritmético” (que referiremos como T.A., y simbolizaremos como ∆_0), que describe Pascal en su famoso tratado, y las propiedades equivalentes, que podemos describir en nuestro “Prisma Combinatorio” (que referiremos como P.C.), considerado como una expansión espacial a la 3D, de dicho triángulo. *
Estas 19 propiedades o características del T.A., las hemos enunciado y demostrado, en un trabajo anterior (2018), que referenciaremos como “Actualizando las fuentes”, que pretende presentar y desarrollar dichas propiedades en un lenguaje matemático más actual, y característico de la ciencia Combinatoria, introduciendo algunas originalidades con respecto a la nomenclatura utilizada para el caso correspondiente de las sucesiones paralelas (S_m), o elementos básicos que conforman la estructura interna de dicho T.A.
Notas sobre combinattttttoria con repetición, series paralelas, triángulo de Pascal,series aritmeticas de orden superior, series de potencias m-esimas de los números naturales, números de Stirling de primera especie y números de Bernoulli
1) Un viajero se encuentra con tres niñas y su padre sentados en la calle. El padre dice que la suma de las edades de las niñas es igual al número de la casa de enfrente.
2) Existen dos posibles casos para resolver el problema: que las niñas tengan edades iguales o diferentes.
3) Solo hay soluciones únicas cuando el número de la casa es un múltiplo de 3 o es un múltiplo de 3 más 1, y las ecuaciones que relacionan la edad mayor con el número de la casa son y=N
Este documento contiene varios cuentos cortos narrados por la abuela del autor sobre sus experiencias de vida en su pueblo natal en Venezuela a principios del siglo XX. Los cuentos transmiten expresiones culturales, costumbres y prejuicios de la época y contienen moralejas y enseñanzas.
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Como obtener expresiones que contengan al número π y al logaritmo natural de 2, a partir del triangulo numérico o de Pascal
1. Métodos para obtener 𝜋 y logaritmo natural de 2, a
partir del Triangulo numérico o de Pascal ∆0
𝑆𝑚
𝜋, 𝐿𝑛2
2. Como obtener expresiones que contengan al número 𝝅 y/o a Ln2
a partir del triángulo de Pascal o triángulo numérico (∆𝟎)
Comencemos con la grafica Nº1 representativa de ∆0, desde la fila n=0, hasta la fila n=10, y
donde también se indican las sucesiones diagonales correspondientes desde 𝑆1, hasta 𝑆11
𝑺𝟏 Filas
1 𝑺𝟐 0
1 1 𝑺𝟑 1
1 2 1 𝑺𝟒 2
1 3 3 1 𝑺𝟓 3
1 4 6 4 1 𝑺𝟔 4
1 5 10 10 5 1 𝑺𝟕 5
1 6 15 20 15 6 1 𝑺𝟖 6
1 7 21 35 35 21 7 1 𝑺𝟗 7
1 8 28 56 70 56 28 8 1 𝑺𝟏𝟎 8
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 𝑺𝟏𝟏 9
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 10
. . . . . . . . . . . .
Gráfica Nº 1: Triángulo numérico o de Pascal, ∆0 desde n=0, hasta n=10
El triangulo numérico o de Pascal, puede considerarse tradicionalmente como el conjunto de
filas correspondientes a los coeficientes del conocido binomio de Newton:
(1 + 𝑥)𝑛
= 1 + 𝑛𝑥 +
𝑛(𝑛−1)
2!
𝑥2
+
𝑛(𝑛−1)(𝑛−2)
3!
𝑥3
+
𝑛(𝑛−1)(𝑛−2)(𝑛−3)
4!
𝑥4
+…, cuando n, va
tomando los valores sucesivos de los números naturales, p.ej. si n=4 resultara:
(1 + 𝑥)4
= 1 + 4𝑥 + 6𝑥2
+ 4𝑥3
+ 1𝑥4
. (𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑟𝑡𝑎 𝑓𝑖𝑙𝑎 𝑑𝑒 ∆0 ) .
Los coeficientes resultantes, pueden expresarse como números combinatorios, de manera
que también podemos escribir:
(1 + 𝑥)𝑛
= ∑ (
𝑛
𝑖
) 1𝑛−𝑖
𝑥𝑖
= (
𝑛
0
) 1𝑛−0
𝑥0
𝑛
𝑖=0 + (
𝑛
1
) 1𝑛−1
𝑥1
+ (
𝑛
2
) 1𝑛−2
𝑥2
+ (
𝑛
3
) 1𝑛−3
𝑥3
+ ⋯,
es decir: (1 + 𝑥)𝑛
= ∑ (
𝑛
𝑖
) 𝑥𝑖
= (
𝑛
0
) 𝑥0
𝑛
𝑖=0 + (
𝑛
1
) 𝑥1
+ (
𝑛
2
) 𝑥2
+ (
𝑛
3
) 𝑥3
+ ⋯,
3. Lo que permite escribir a ∆0, como un conjunto ordenado de filas correspondientes a los
coeficientes del binomio, pero expresados en términos combinatorios:
Dichas filas se expresan como: 𝐹𝑖
𝑛
= {(
𝑛
𝑖
)} = {(
𝑛
0
) , (
𝑛
1
) , (
𝑛
2
) , (
𝑛
3
) , … , (
𝑛
𝑛
)}, donde n,
representa la fila a considerar, e i=0,1,2,3,…,n es un contador
𝑺𝟏
fila
(
𝟎
𝟎
) 𝑺𝟐
0
(
𝟏
𝟎
) (
𝟏
𝟏
) 𝑺𝟑
1
(
𝟐
𝟎
) (
𝟐
𝟏
) (
𝟐
𝟐
) 𝑺𝟒
2
(
𝟑
𝟎
) (
𝟑
𝟏
) (
𝟑
𝟐
) (
𝟑
𝟑
) 𝑺𝟓
3
(
𝟒
𝟎
) (
𝟒
𝟏
) (
𝟒
𝟐
) (
𝟒
𝟑
) (
𝟒
𝟒
) 𝑺𝟔
4
(
𝟓
𝟎
) (
𝟓
𝟏
) (
𝟓
𝟐
) (
𝟓
𝟑
) (
𝟓
𝟒
) (
𝟓
𝟓
) 𝑺𝟕
5
(
𝟔
𝟎
) (
𝟔
𝟏
) (
𝟔
𝟐
) (
𝟔
𝟑
) (
𝟔
𝟒
) (
𝟔
𝟓
) (
𝟔
𝟔
) 𝑺𝟖
6
(
𝟕
𝟎
) (
𝟕
𝟏
) (
𝟕
𝟐
) (
𝟕
𝟑
) (
𝟕
𝟒
) (
𝟕
𝟓
) (
𝟕
𝟔
) (
𝟕
𝟕
) 𝑺𝟗 7
(
𝟖
𝟎
) (
𝟖
𝟏
) (
𝟖
𝟐
) (
𝟖
𝟑
) (
𝟖
𝟒
) (
𝟖
𝟓
) (
𝟖
𝟔
) (
𝟖
𝟕
) (
𝟖
𝟖
) 8
Gráfica Nº2: ∆𝟎 , desde n=0, hasta n=8 en términos combinatorios
Un combinatorio cualquiera, puede expresarse como: (
𝑛
𝑖
) =
𝑛!
(𝑛−𝑖)!𝑖!
, entonces para el mismo
ejemplo de la cuarta fila de ∆0, con i=0,1,2,3,4 resultaran: (
4
0
) =
4!
(4−0)!0!
= 1,
(
4
1
) =
4!
(4−1)!1!
= 4 , (
4
2
) =
4!
(4−2)!2!
= 6 , (
4
3
) =
4!
(4−3)!3!
= 4, (
4
4
) =
4!
(4−4)!4!
= 1,
Evidentemente los mismos coeficientes ya determinados.
Pero también podemos considerar al triangulo numérico ∆𝟎, como un conjunto de sucesiones
paralelas o diagonales 𝑺𝒎, que en términos combinatorios vine dada por la expresión:
𝑺𝒎 = {(
𝒊
𝒎 − 𝟏
)} =
{(
𝒎 − 𝟏
𝒎 − 𝟏
) , (
𝒎
𝒎 − 𝟏
) , (
𝒎 + 𝟏
𝒎 − 𝟏
) , … , (
𝒎 + 𝒏 − 𝟐
𝒎 − 𝟏
)}={𝟏,
𝒎
𝟏!
,
(𝒎+𝟏)𝒎
𝟐!
,
(𝒎+𝟐)(𝒎+𝟏)𝒎
𝟑!
, … ,
[𝒏+(𝒎−𝟐)][𝒏+(𝒎−𝟑)]…𝒏
(𝒎−𝟏)!
},
Para cada m=1,2,3,...n, donde n, representa el lugar del término en la sucesión ( y no la fila
de ∆𝟎),y donde i varia de esta forma: i=m-1, m, m+1,…,(m+n-2)
Mientras que la suma de los términos de cada sucesión, o valor suma, 𝑺𝒎
+
, corresponde a las
combinaciones con repetición de n números naturales, tomados m a m, que simbolizamos
como:𝑪𝒓𝒏,𝒎 .
Luego para m=1 , con i= 0,1,…,(n-1) resulta:
4. 𝑆1 = {(
𝑖
0
)} = {(
0
0
) , (
1
0
) , (
2
0
) , … , (
𝑛 − 1
0
)} = {1,1,1,1,1, … ,1} , y: 𝑆1
+
= 𝐶𝑟𝑛,1 = ∑ (
𝑖
0
) = (
𝑛
1
)
𝑛−1
𝑖=0
Si m=2 , con i=1,2,…,n
𝑆2 = {(
𝑖
1
)} = {(
1
1
) , (
2
1
) , (
3
1
) , … , (
𝑛
1
)} = {1,2,3,4,5,6, … , 𝑛}, y: 𝑆2
+
= 𝐶𝑟𝑛,2 = ∑ (
𝑖
1
)
𝑛
𝑖=1 = (
𝑛 + 1
2
)
Notamos que 𝐶𝑟𝑛,1 = (
𝑛
1
), representa el término n-ésimo de 𝑆2
Si m=3, con i=2,3,…,(n+1)
𝑆3 = {(
𝑖
2
)} = {(
2
2
) , (
3
2
) , (
4
2
) , … , (
𝑛 + 1
2
)} = {1,3,6,10,15,21, … ,
(𝑛+1)𝑛
2!
},y: 𝑆3
+
= 𝐶𝑟𝑛,3 = ∑ (
𝑖
2
)
𝑛+1
𝑖=2 =
(
𝑛 + 2
3
)
Notamos que 𝐶𝑟𝑛,2 = (
𝑛 + 1
2
), representa el término n-ésimo de 𝑆3
Para m=4, con i=3,4,…,(n+2)
𝑆4 = {(
𝑖
3
)} = {(
3
3
) , (
4
3
) , (
5
3
) , … , (
𝑛 + 2
3
)} = {1,4,10,20,35,56, … ,
(𝑛+2)(𝑛+1)𝑛
3!
}, y:𝑆4
+
= 𝐶𝑟𝑛,4 = ∑ (
𝑖
3
)
𝑛+2
𝑖=3 =
(
𝑛 + 3
4
)
Notamos que 𝐶𝑟𝑛,3 = (
𝑛 + 2
3
), representa el término n-ésimo de 𝑆4
………………………………………………………………………………..
La expresión general será:
Para m, con i=m-1, m, m+1,…,(m+n-2)
𝑺𝒎 = {(
𝒊
𝒎 − 𝟏
)} =
{(
𝒎 − 𝟏
𝒎 − 𝟏
) , (
𝒎
𝒎 − 𝟏
) , (
𝒎 + 𝟏
𝒎 − 𝟏
) , … , (
𝒎 + 𝒏 − 𝟐
𝒎 − 𝟏
)}={𝟏,
𝒎
𝟏!
,
(𝒎+𝟏)𝒎
𝟐!
,
(𝒎+𝟐)(𝒎+𝟏)𝒎
𝟑!
, … ,
[𝒏+(𝒎−𝟐)][𝒏+(𝒎−𝟑)]…𝒏
(𝒎−𝟏)!
},
y:𝑆𝑚
+
= 𝐶𝑟𝑛,𝑚 = ∑ (
𝑖
𝑚 − 1
)
𝑛+𝑚−2
𝑖=𝑚−1 = (
𝑛 + 𝑚 − 1
𝑚
),
de manera análoga, concluimos que 𝑪𝒓𝒏,𝒎 = (
𝒏 + 𝒎 − 𝟏
𝒎
), representa el término n-ésimo
de 𝑺𝒎+𝟏, y a su vez, representa la suma de los n primeros términos de 𝑺𝒎
+
.
Cada elemento de ∆𝟎 , puede escribirse como un número combinatoriode la forma (
𝑛
𝑚 − 1
),
donde n representa la fila considerada de ∆𝟎, y m, la sucesión diagonal 𝑺𝒎 correspondiente, así
p. ej. la intersección de la sucesión 𝑆5, con la fila 8, estará dada por (
8
5 − 1
) = (
8
4
) = 70, como
puede comprobarse en el primero de los gráficos dado anteriormente.
5. La primera “formula” conocida, correspondiente a la obtención del Nº 𝜋, a partir de ∆0, se
remonta al siglo XV de nuestra era, y se debe al astrónomo matemático hindú Kejallur
Nilakantha Somayaji, uno de los mejores exponentes de la escuela de Kerala de aquellos
tiempos.
Dicha expresión está dada por la serie infinita alternada:
4 (
1
2.3.4
−
1
4.5.6
+
1
6.7.8
−
1
8.9.10
± ⋯ ), multiplicando y dividiendo convenientemente por 6 cada
fracción, la podemos escribir como:
4
6
(
1.2.3
2.3.4
−
1.2.3
4.5.6
+
1.2.3
6.7.8
−
1.2.3
8.9.10
± ⋯ ), que al simplificar los
términos fraccionarios, resulta:
2
3
(
1
4
−
1
20
+
1
56
−
1
120
+
1
220
−
1
364
± ⋯ ), donde podemos notar
que los denominadores de los términos fraccionarios resultantes, se corresponden con los
términos de la sucesión paralela 𝑆4 = 1,4,10,20,35,56,84,120,165,220,286,364, …,
comenzando en 4, y dejando cada vez un lugar por medio sucesivamente.
Como ya podemos colegir, los valores de 𝑺𝒎 = {(
𝒊
𝒎 − 𝟏
)} , coinciden con los combinatorios del
gráfico Nº2, para un determinado valor de m, cuando i varía desde i=m-1, hasta i=n, entonces
los valores para 𝑆4 = {(
𝑖
3
)} = {(
3
3
) , (
4
3
) , (
5
3
) , (
6
3
) , … , (
𝑛
3
)} , corresponden en la
nomenclatura establecida para las filas de ∆0 a los combinatorios (
𝑛
3
) = 𝐶𝑛,3, de cada fila de
∆0, a partir de la fila n=3, y en este caso por estar separados un lugar por medio en la
sucesión, deberemos solo considerar los valores pares de n, es decir las filas 4,6,8,10,12, …de
∆0.
Como en el caso genérico (
𝑛
𝑖
) =
𝑛!
(𝑛−𝑖)!𝑖!
, se trata entonces de los valores siguientes:
(
4
3
) =
4!
1!3!
=
1.2.3.4
1.1.2.3
=
2.3.4
1.2.3
= 4 = 𝐶4,3, y por ende la fracción
1.2.3
2.3.4
de la sucesión entre
paréntesis, corresponde al valor:
1
𝐶4,3
(
6
3
) =
6!
3!3!
=
1.2.3.4.5.6
1.2.3.1.2.3
=
4.5.6
1.2.3
= 20 = 𝐶6,3, y por ende la fracción
1.2.3
4.5.6
de la sucesión entre
paréntesis, corresponde al valor:
1
𝐶6,3
(
8
3
) =
8!
5!3!
=
1.2.3.4.5.6.7.8
1.2.3.4.5.1.2.3
=
6.7.8
1.2.3
= 56 = 𝐶8,3, y por ende la fracción
1.2.3
6.7.8
de la sucesión entre
paréntesis, corresponde al valor:
1
𝐶8,3
Y así sucesivamente, por lo tanto nuestra serie puede escribirse también como:
2
3
(
1
𝐶4,3
−
1
𝐶6,3
+
1
𝐶8,3
−
1
𝐶10,3
+
1
𝐶12,3
−
1
𝐶14,3
± ⋯ ), trataremos ahora de hallar una expresión sigma
para intentar el cálculo de dicha serie.
Para ello, agruparemos separadamente todos los términos positivos y todos los términos
negativos de la serie original entre paréntesis (
1
2.3.4
−
1
4.5.6
+
1
6.7.8
−
1
8.9.10
± ⋯ ), sin la
multiplicación por 4. En dos series A, y –B tales como:
6. 𝐴 = [
1
2.3.4
+
1
6.7.8
+
1
10.11.12
+ ⋯ ], y – 𝐵 = [
1
4.5.6
+
1
8.9.10
+
1
12.13.14
+ ⋯ ]
Deberemos calcular el denominador genérico o enésimo, para cada grupo de fracciones en
cada serie. Para ello utilizaremos el procedimiento ya conocido en base a nuestras expresiones
para las sucesiones aritméticas de orden superior (referencia Nº1). En el caso del conjunto A,
consideremos los triples productos de los primeros tres denominadores fraccionarios: 2.3.4,
6.7.8, 10.11.12, y aplicaremos el método ya definido para estos, en dicha referencia. Para ello
construimos la triple tabla:
factor 1ªdif factor 1ªdif factor 1ªdif
2 3 4
4 4 4
6 7 8
4 4 4
10 11 12
Para la primera tabla factor-1ªdif, tendremos: 𝑎𝑛 = 2 + (𝑛 − 1)4 = 4𝑛 − 2
Para la segunda tabla factor-1ªdif, tendremos: 𝑎𝑛 = 3 + (𝑛 − 1)4 = 4𝑛 − 1
Para la tercera tabla factor-1ªdif, tendremos: 𝑎𝑛 = 4 + (𝑛 − 1)4 = 4𝑛
Entonces el denominador común será: 4𝑛(4𝑛 − 1)(4𝑛 − 2)
Para el conjunto –B, los triples productos de los primeros tres denominadores fraccionarios
son: 4.5.6, 8.9.10, 12.13.14, y las tablas correspondientes serán:
factor 1ªdif factor 1ªdif factor 1ªdif
4 5 6
4 4 4
8 9 10
4 4 4
12 13 14
Para la primera tabla factor-1ªdif, tendremos: 𝑎𝑛 = 4 + (𝑛 − 1)4 = 4𝑛
Para la segunda tabla factor-1ªdif, tendremos: 𝑎𝑛 = 5 + (𝑛 − 1)4 = 4𝑛 + 1
Para la tercera tabla factor-1ªdif, tendremos: 𝑎𝑛 = 6 + (𝑛 − 1)4 = 4𝑛 + 2
Entonces el denominador común será: 4𝑛(4𝑛 + 1)(4𝑛 + 2)
Luego el término general o enésimo de la serie A+(-B) está dado por:
1
4𝑛(4𝑛 − 1)(4𝑛 − 2)
−
1
4𝑛(4𝑛 + 1)(4𝑛 + 2)
=
6
(16𝑛2 − 1)(16𝑛2 − 4)
7. Y el sigma a calcular será (multiplicando por4): ∑
24
(16𝑛2−1)(16𝑛2−4)
∞
𝑛=1 , serie infinita que
converge al valor : ∑
24
(16𝑛2−1)(16𝑛2−4)
∞
𝑛=1 = 𝜋 − 3, calculada con la ayuda del algoritmo de
Wolfram Alpha (W.A.), y que corresponde como esperábamos, al valor hallado por el gran
matemático hindú.
Descartando el caso de 𝑆1, intentaremos estudiar los casos donde se parte de 𝑆𝑚, con valores
de m menores o mayores que cuatro.
1ª Parte:
Caso correspondiente a 𝑺𝟐
Siendo 𝑆2 = (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 … ), sucesión de los naturales o 2ª diagonal de ∆0
Para analizar este caso utilizaremos una sucesión auxiliar dada por:
(
1
1.2
,
1
2.3
,
1
3.4
,
1
4.5
,
1
5.6
, … ), la cual deberemos multiplicar por (𝑚 − 1)!, que en este caso sería
por (2-1)!=1!=1, es decir que la sucesión quedaría idéntica a la ya indicada.
Esta sucesión auxiliar corresponde a (
1
2
,
1
6
,
1
12
,
1
20
,
1
30
, … ), donde los denominadores
2,6,12,20,30,42,…, constituyen un subconjunto de de 𝑆2, en términos separados a partir del
inicio en 1,3,5,7,9,..lugares por medio.
Consideremos ahora la serie alternada: [
1
2
−
1
6
+
1
12
−
1
20
+
1
30
−
1
42
± ⋯ ], y agrupemos los
términos positivos y los términos negativos en dos subconjuntos separados, tales como:
𝐴 = [
1
2
+
1
12
+
1
30
+ ⋯ ], y −𝐵 = [
1
6
+
1
20
+
1
42
+ ⋯ ]
Factoricemos los denominadores de cada fracción y calculemos el denominador común para
cada caso:
Para A, tendremos: 1.2, 3.4, 5.6
factor 1ªdif factor 1ªdif
1 2
2 2
3 4
2 2
5 6
Para la primera tabla factor-1ªdif, tendremos: 𝑎𝑛 = 1 + (𝑛 − 1)2 = 2𝑛 − 1
Para la segunda tabla factor-1ªdif, tendremos: 𝑎𝑛 = 2 + (𝑛 − 1)2 = 2𝑛
Resulta: 2n (2n-1)
8. Para -B, tendremos: 3.2, 5.4, 7.6
factor 1ªdif factor 1ªdif
3 2
2 2
5 4
2 2
7 6
Para la primera tabla factor-1ªdif, tendremos: 𝑎𝑛 = 3 + (𝑛 − 1)2 = 2𝑛 + 1
Para la segunda tabla factor-1ªdif, tendremos: 𝑎𝑛 = 2 + (𝑛 − 1)2 = 2𝑛
Resulta: 2n (2n+1)
Entonces el termino general de la serie A+(-B), será:
1
2n (2n−1)
−
1
2n (2n+1)
=
1
𝑛(4𝑛2−1)
, y el sigma a calcular será: ∑
1
𝑛(4𝑛2−1)
∞
𝑛=1 , serie infinita que
calculada con ayuda del algoritmo de W.A., converge al valor:
∑
1
𝑛(4𝑛2 − 1)
∞
𝑛=1
= 2𝐿𝑛2 − 1
Si calculamos el mismo caso, pero multiplicando la serie auxiliar por m!=2!=2, nos resultara un
sigma igual al doble del anterior, y por tanto obtendríamos que la serie infinita convergería al
valor 4Ln2 -2, porque aunque los términos de la sucesión subconjunto de 𝑆2 de este segundo
caso, son todos diferentes los del caso tratado anteriormente, resultan en fracciones c/u el
doble de su correspondiente en la sucesión auxiliar.
Inspirándonos en el caso atribuido al sabio hindú, hemos desarrollado un método general
que nos permite obtener las series infinitas correspondientes a cada caso de 𝑺𝒎, o sucesión
diagonal o paralela de ∆𝟎, que convergen a valores numéricos que involucran a ln2 y/o π.
Para ello utilizaremos la sucesión auxiliar:
(
1
2 … 𝑚
,
1
𝑚 … (2𝑚 − 2)
,
1
(2𝑚 − 2) … (3𝑚 − 4)
,
1
(3𝑚 − 4) … (4𝑚 − 6)
, … )
Cuyos valores deben multiplicarse por (m-1)! , para obtener una sucesión de fracciones, cuyos
denominadores corresponden a un subconjunto de la sucesión 𝑆𝑚, separados m-3 lugares por
medio. Este método es válido siempre que 𝑚 ≥ 3.
Caso correspondiente a 𝑺𝟑
Siendo 𝑆3 = (1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91, … ), la tercera diagonal de ∆0
9. Y nuestra sucesión auxiliar será: (
1
2.3
,
1
3.4
,
1
4.5
,
1
5.6
,
1
6.7
,
1
7.8
, … ), que debemos multiplicar por 2!,
resultando: (
1.2
2.3
,
1.2
3.4
,
1.2
4.5
,
1.2
5.6
,
1.2
6.7
,
1.2
7.8
, … ), que puede escribirse como:(
1
3
,
1
6
,
1
10
,
1
15
,
1
21
,
1
28
, … )
Sucesión donde los denominadores, constituyen una sucesión idéntica a la original 𝑆3 , a partir
del valor 3, porque en este caso la separación entre valores estaría dada por m-3 y siendo m=3
resulta en cero lugares por medio.
Ahora agruparemos los términos positivos y los términos negativos de la serie alternada:
[
1
3
−
1
6
+
1
10
−
1
15
+
1
21
−
1
28
± ⋯ ], en dos conjuntos separados, tales como:
𝐴 = [
1
3
+
1
10
+
1
21
+ ⋯ ], y – 𝐵 = [
1
6
+
1
15
+
1
28
+ ⋯ ], y calculemos los denominadores comunes
en cada caso.
Para A, tenemos: 1.3, 2.5, 3.7, y las tablas factor-1ªdif , correspondientes serán:
factor 1ªdif factor 1ªdif
1 3
1 2
2 5
2 2
3 7
Para la primera tabla factor-1ªdif, tendremos: 𝑎𝑛 = 1 + (𝑛 − 1)1 = 𝑛
Para la segunda tabla factor-1ªdif, tendremos: 𝑎𝑛 = 3 + (𝑛 − 1)2 = 2𝑛 + 1
Resulta: n (2n+1)
Para -B, tenemos: 2.3, 3.5, 4.7, y las tablas factor-1ªdif , correspondientes serán:
factor 1ªdif factor 1ªdif
2 3
1 2
3 5
1 2
4 7
Para la primera tabla factor-1ªdif, tendremos: 𝑎𝑛 = 2 + (𝑛 − 1)1 = 𝑛 + 1
Para la segunda tabla factor-1ªdif, tendremos: 𝑎𝑛 = 3 + (𝑛 − 1)2 = 2𝑛 + 1
Resulta: (n+1) (2n+1)
Entonces el termino general de la serie A+(-B), será:
1
n (2n+1)
−
1
(n+1) (2n+1)
=
1
𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1)
, y el sigma a calcular será: ∑
1
𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1)
∞
𝑛=1 , serie
infinita que calculada con ayuda del algoritmo de W.A. converge al valor:
10. ∑
1
𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)
∞
𝑛=1
= 3 − 4𝐿𝑛2
Caso correspondiente a 𝑺𝟒
Sea 𝑆4 = (1,4,10,20,35,56,84,120,165,220,286,364, … ), 4ª diagonal de ∆0, y la sucesión
auxiliar: (
1
2.3.4
,
1
4.5.6
,
1
6.7.8
,
1
8.9.10
,
1
10.11.12
,
1
12.13.14
, … ), multipliquemos esta sucesión auxiliar por
(m-1)! Es decir , para m=4, por 3!=1.2.3, y nos resulta la sucesión :
(
1.2.3
2.3.4
,
1.2.3
4.5.6
,
1.2.3
6.7.8
,
1.2.3
8.9.10
,
1.2.3
10.11.12
,
1.2.3
12.13.14
, … ), que simplificando, puede escribirse como:
(
1
4
,
1
20
,
1
56
,
1
120
,
1
220
,
1
364
, … ), sucesión donde los denominadores constituyen un subconjunto de
𝑆4, tales que se corresponden con los términos de la misma a partir de 4, dejando un valor por
medio (que coincide con la separación prevista: m-3= 4-3=1)
Ahora consideremos la serie alternada: [
1
4
−
1
20
+
1
56
−
1
120
+
1
220
−
1
364
± ⋯ ], que deberemos
multiplicar por 3!, y que podemos escribir sin alterar como:
3! (
1
2.3.4
−
1
4.5.6
+
1
6.7.8
−
1
8.9.10
+
1
10.11.12
−
1
12.13.14
± ⋯ ). Consideremos por conveniencia la
multiplicación por 3!, al final del cálculo, y agrupemos los términos positivos y los términos
negativos de la sucesión entre paréntesis en dos conjuntos separados, tales como:
𝐴 = [
1
2.3.4
+
1
6.7.8
+
1
10.11.12
+ ⋯ ], y −𝐵 = [
1
4.5.6
+
1
8.9.10
+
1
12.13.14
+ ⋯ ]
Como podemos darnos cuenta, estas sucesiones son idénticas a las del caso inicial o caso del
gran matemático hindú, es decir constituyen una confirmación de la valides del método
planteado.
El termino general de la serie A+(-B), vendrá dado por:
1
4𝑛(4𝑛 − 1)(4𝑛 − 2)
−
1
4𝑛(4𝑛 + 1)(4𝑛 + 2)
=
6
(16𝑛2 − 1)(16𝑛2 − 4)
Y como deberemos multiplicar por 3!=6, el sigma a calcular seria:∑
36
(16𝑛2−1)(16𝑛2−4)
∞
𝑛=1 , serie
infinita que calculada con ayuda del algoritmo de W.A., converge al valor:
∑
36
(16𝑛2 − 1)(16𝑛2 − 4)
∞
𝑛=1
=
2
3
(𝜋 − 3)
Caso correspondiente a 𝑺𝟓
Sean:
𝑆5 = (1,5,15,35,70,126,210,330,495,715,1001,1365,1820,2380,3060,3876, … )5ª diagonal
de ∆0, y la sucesión auxiliar:(
1
2.3.4.5
,
1
5.6.7.8
,
1
8.9.10.11
,
1
11.12.13.14
,
1
14.15.16.17
,
1
17.18.19.20
, … ), que
deberemos multiplicar por 4!, para obtener:
11. (
1.2.3.4
2.3.4.5
,
1.2.3.4
5.6.7.8
,
1.2.3.4
8.9.10.11
,
1.2.3.4
11.12.13.14
,
1.2.3.4
14.15.16.17
,
1.2.3.4
17.18.19.20
, … ), que puede escribirse como:
(
1
5
,
1
70
,
1
330
,
1
1001
,
1
2380
,
1
4845
, … ), podemos notar que los denominadores de la ultima sucesión
obtenida, constituyen un subconjunto de 𝑆5, y corresponden a los valores de la misma,
dejando m-3=5-3=2 espacios por medio, a partir del segundo elemento (5).
Consideremos la serie alternada:
4! (
1
2.3.4.5
−
1
5.6.7.8
+
1
8.9.10.11
−
1
11.12.13.14
+
1
14.15.16.17
−
1
17.18.19.20
, … ), donde la multiplicación
por 4!, se tomara en cuenta al final del cálculo del sigma. Y agrupemos los términos positivos y
los términos negativos, en dos conjuntos separados, tales como:
𝐴 = [
1
2.3.4.5
+
1
8.9.10.11
+
1
14.15.16.17
+ ⋯ ], y – 𝐵 = [
1
5.6.7.8
+
1
11.12.13.14
+
1
17.18.19.20
+ ⋯ ], y
procedamos a calcular los denominadores comunes en cada caso
Para A, tendremos los cuádruples productos: 2.3.4.5, 8.9.10.11, 14.15.16.17 y podremos
elaborar las siguientes tablas factor-1ªdiferencia.
factor 1ªdif factor 1ªdif factor 1ªdif factor 1ªdif
2 3 4 5
6 6 6 6
8 9 10 11
6 6 6 6
14 15 16 17
Para la primera tabla factor-1ªdif, tendremos: 𝑎𝑛 = 2 + (𝑛 − 1)6 = 6𝑛 − 4
Para la segunda tabla factor-1ªdif, tendremos: 𝑎𝑛 = 3 + (𝑛 − 1)6 = 6𝑛 − 3
Para la tercera tabla factor-1ªdif, tendremos 𝑎𝑛 = 4 + (𝑛 − 1)6 = 6𝑛 − 2
Para la cuarta tabla factor-1ªdif, tendremos 𝑎𝑛 = 5 + (𝑛 − 1)6 = 6𝑛 − 1
Resulta: (6𝑛 − 1)(6𝑛 − 2)(6𝑛 − 3)(6𝑛 − 4)
Para -B, tendremos los cuádruples productos: 5.6.7.8, 11.12.13.14, 17.18.19.20 y podremos
elaborar las siguientes tablas factor-1ªdiferencia.
factor 1ªdif factor 1ªdif factor 1ªdif factor 1ªdif
5 6 7 8
6 6 6 6
11 12 13 14
6 6 6 6
17 18 19 20
Para la primera tabla factor-1ªdif, tendremos: 𝑎𝑛 = 5 + (𝑛 − 1)6 = 6𝑛 − 1
Para la segunda tabla factor-1ªdif, tendremos: 𝑎𝑛 = 6 + (𝑛 − 1)6 = 6𝑛
12. Para la tercera tabla factor-1ªdif, tendremos 𝑎𝑛 = 7 + (𝑛 − 1)6 = 6𝑛 + 1
Para la cuarta tabla factor-1ªdif, tendremos 𝑎𝑛 = 8 + (𝑛 − 1)6 = 6𝑛 + 2
Resulta: (6𝑛 + 2)(6𝑛 + 1)(6𝑛)(6𝑛 − 1)
Entonces el termino general o enésimo para A+(-B), será:
1
(6𝑛 − 1)(6𝑛 − 2)(6𝑛 − 3)(6𝑛 − 4)
−
1
(6𝑛 + 2)(6𝑛 + 1)(6𝑛)(6𝑛 − 1)
=
24(18𝑛2
− 6𝑛 + 1)
(6𝑛 − 1)(6𝑛 − 2)(6𝑛 − 3)(6𝑛 − 4)(6𝑛 + 2)(6𝑛 + 1)(6𝑛)
El numerador puede escribirse como 12[(6𝑛 − 1)2
+ 1], y como debemos multiplicar por
4!=24, el sigma a calcular puede escribirse como:
∑
288[(6𝑛 − 1)2
+ 1]
6𝑛(36𝑛2 − 1)(36𝑛2 − 4)(6𝑛 − 3)(6𝑛 − 4)
∞
𝑛=1
Serie infinita que calculada con ayuda del algoritmo de W.A. converge al valor:
∑
288[(6𝑛 − 1)2
+ 1]
6𝑛(36𝑛2 − 1)(36𝑛2 − 4)(6𝑛 − 3)(6𝑛 − 4)
=
2
9
(45 − 2√3. 𝜋 − 48𝐿𝑛2)
∞
𝑛=1
Caso correspondiente a 𝑺𝟔
Como último ejemplo de esta primera parte, consideraremos el caso correspondiente a 𝑆6, es
decir 𝑆6 = (1,6,21,56,126,252,462,792,1287,2002,3003,4368,6188,8568,11628, … ), y la
sucesión auxiliar (
1
2.3.4.5.6
,
1
6.7.8.9.10
,
1
10.11.12.13.14
,
1
14.15.16.17.18
,
1
18.19.20.21.22
,
1
22.23.24.25.26
, … ),
que deberá multiplicarse por 5!, para obtener la sucesión:
(
1.2.3.4.5
2.3.4.5.6
,
1.2.3.4.5
6.7.8.9.10
,
1.2.3.4.5
10.11.12.13.14
,
1.2.3.4.5
14.15.16.17.18
,
1.2.3.4.5
18.19.20.21.22
,
1.2.3.4.5
22.23.24.25.26
, … ), que puede
escribirse como: (
1
6
,
1
252
,
1
2002
,
1
8568
,
1
26334
,
1
65780
, … ), donde podemos notar que los
denominadores de esta sucesión, constituyen un subconjunto de 𝑆6, y se corresponden con los
términos de la misma dejando 6-3=3 espacios por medio a partir del segundo elemento (el 6).
Para no hacer de la aplicación del método, algo demasiado tedioso y repetitivo, y
considerando que ya el procedimiento está suficientemente explicado en los casos anteriores,
nos limitaremos en este caso a presentar el sigma resultante y proceder a su cálculo
∑
4800(256𝑛3−192𝑛2+68𝑛−9)
(8𝑛+2)(8𝑛+1)(8𝑛)(8𝑛−1)(8𝑛−2)(8𝑛−3)(8𝑛−4)(8𝑛−5)(8𝑛−6)
∞
𝑛=1 , serie infinita que calculada con
ayuda del algoritmo de W.A., converge al valor:
13. ∑
4800(256𝑛3
− 192𝑛2
+ 68𝑛 − 9)
(8𝑛 + 2)(8𝑛 + 1)(8𝑛)(8𝑛 − 1)(8𝑛 − 2)(8𝑛 − 3)(8𝑛 − 4)(8𝑛 − 5)(8𝑛 − 6)
∞
𝑛=1
=
5
2
[−7 + 𝐿𝑛2(3 − 2√2) + 4√2𝐿𝑛(2 + √2)]
2ª Parte:
Mediante un método semejante al anterior, pero con sus particularidades, intentaremos
estudiar los mismos casos desde 𝑆2, ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑆6, cuando se consideran sucesiones doblemente
alternadas.
Caso correspondiente a 𝑺𝟐
Siendo 𝑆2 = (1,2,3,4,5,6,7,8, … ) la 2ª sucesión diagonal o paralela de ∆0
Y consideremos directamente la serie auxiliar doblemente alternada siguiente:
[
1
1
+
1
2
−
1
3
−
1
4
+
1
5
+
1
6
−
1
7
−
1
8
+ + − − ⋯ ], que incluye en los denominadores, a todos los
elementos de 𝑆2, y agrupemos en dos grandes conjuntos de sumandos de pares de fracciones,
tales como: 𝐴 = [(
1
1
+
1
2
) + (
1
5
+
1
6
) + (
1
9
+
1
10
) + ⋯ ], y
−𝐵 = [(
1
3
+
1
4
) + (
1
7
+
1
8
) + (
1
11
+
1
12
) + ⋯ ]
Estudiemos ahora los denominadores comunes de cada conjunto de pares de fracciones:
Para A, tendremos los productos: 1.2, 5.6, 9.10, y las tablas correspondientes:
factor 1ªdif factor 1ªdif
1 2
4 4
5 6
4 4
9 10
Para la primera tabla factor-1ªdif, tendremos: 𝑎𝑛 = 1 + (𝑛 − 1)4 = 4𝑛 − 3
Para la segunda tabla factor-1ªdif, tendremos: 𝑎𝑛 = 2 + (𝑛 − 1)4 = 4𝑛 − 2
Resulta: (4n-2) (4n-3)
Para -B, tendremos los productos: 3.4, 7.8, 11.12, y las tablas correspondientes:
factor 1ªdif factor 1ªdif
3 4
4 4
7 8
4 4
11 12
14. Para la primera tabla factor-1ªdif, tendremos: 𝑎𝑛 = 3 + (𝑛 − 1)4 = 4𝑛 − 1
Para la segunda tabla factor-1ªdif, tendremos: 𝑎𝑛 = 4 + (𝑛 − 1)4 = 4𝑛
Resulta: (4n) (4n-1)
Entonces el término genérico para A, será:
(4𝑛−3)+(4𝑛−2)
(4𝑛−2)(4𝑛−3)
=
8𝑛−5
(4𝑛−2)(4𝑛−3)
Y para –B, será:
(4𝑛−1)+(4𝑛)
(4𝑛)(4𝑛−1)
=
8𝑛−1
(4𝑛)(4𝑛−1)
, y para la serie A+(-B), tendremos:
8𝑛−5
(4𝑛−2)(4𝑛−3)
−
8𝑛−1
(4𝑛)(4𝑛−1)
=
64𝑛2−48𝑛+6
(4𝑛)(4𝑛−1)(4𝑛−3)
, y la serie doblemente alternada original, puede
ser calculada de ∑
64𝑛2−48𝑛+6
(4𝑛)(4𝑛−1)(4𝑛−3)
= ∑
(8𝑛−3)2−3
(4𝑛)(4𝑛−1)(4𝑛−3)
∞
𝑛=1
∞
𝑛=1 , serie infinita que calculada con
ayuda del algoritmo de W.A., converge al valor:
∑
(8𝑛 − 3)2
− 3
(4𝑛)(4𝑛 − 1)(4𝑛 − 3)
∞
𝑛=1
= (
𝜋
4
+
𝐿𝑛2
2
)
Este mismo resultado, puede obtenerse considerando la suma de las conocidas series
simplemente alternadas:
[
1
1
−
1
3
+
1
5
−
1
7
+
1
9
−
1
11
± ⋯ ] = ∑
(−1)𝑛+1
(2𝑛−1)
∞
𝑛=1 =
𝜋
4
, que es la suma de Leibniz, y
[
1
2
−
1
4
+
1
6
−
1
8
+
1
10
−
1
12
± ⋯ ] =
1
2
∑
(−1)𝑛+1
𝑛
∞
𝑛=1 =
𝐿𝑛2
2
, que es
1
2
de la serie de Taylor para Ln2
Series simplemente alternadas que pueden obtenerse de la serie original agrupando
convenientemente los sumandos fraccionarios.
Caso correspondiente a 𝑺𝟑
Siendo 𝑆3 = (1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91, … ), 3ª diagonal de ∆0, y consideremos
directamente la serie auxiliar doblemente alternada siguiente:
[
1
1
+
1
3
−
1
6
−
1
10
+
1
15
+
1
21
−
1
28
−
1
36
+
1
45
+
1
55
−
1
66
−
1
78
+ + − − ⋯ ]
Que incluye en sus denominadores, todos los elementos de 𝑆3, y agrupemos en dos grandes
conjuntos de sumandos de pares de fracciones, tales como:
𝐴 = [(
1
1
+
1
3
) + (
1
15
+
1
21
) + (
1
45
+
1
55
) + ⋯ ], y −𝐵 = [(
1
6
+
1
10
) + (
1
28
+
1
36
) + (
1
66
+
1
78
) + ⋯ ]
Estudiemos ahora los denominadores comunes de cada conjunto de pares de fracciones:
Para A, tendremos los productos previamente factorizados: (1.1.1.3), (3.5.3.7), (5.9.5.11), y
las tablas factor-1ªdiferencia correspondientes:
15. factor 1ªdif factor 1ªdif factor 1ªdif factor 1ªdif
1 1 1 3
2 4 2 4
3 5 3 7
2 4 2 4
5 9 5 11
Para la primera tabla factor-1ªdif, tendremos: 𝑎𝑛 = 1 + (𝑛 − 1)2 = 2𝑛 − 1
Para la segunda tabla factor-1ªdif, tendremos: 𝑎𝑛 = 1 + (𝑛 − 1)4 = 4𝑛 − 3
Para la tercera tabla factor-1ªdif, tendremos 𝑎𝑛 = 1 + (𝑛 − 1)2 = 2𝑛 − 1
Para la cuarta tabla factor-1ªdif, tendremos 𝑎𝑛 = 3 + (𝑛 − 1)4 = 4𝑛 − 1
El denominador enésimo común resulta: (2𝑛 − 1)2(4𝑛 − 3)(4𝑛 − 1)
Para -B, tendremos los productos previamente factorizados: (2.3.2.5), (4.7.4.9), (6.11.6.13), y
las tablas factor-1ªdiferencia correspondientes:
factor 1ªdif factor 1ªdif factor 1ªdif factor 1ªdif
2 3 2 5
2 4 2 4
4 7 4 9
2 4 2 4
6 11 6 13
Para la primera tabla factor-1ªdif, tendremos: 𝑎𝑛 = 2 + (𝑛 − 1)2 = 2𝑛
Para la segunda tabla factor-1ªdif, tendremos: 𝑎𝑛 = 3 + (𝑛 − 1)4 = 4𝑛 − 1
Para la tercera tabla factor-1ªdif, tendremos 𝑎𝑛 = 2 + (𝑛 − 1)2 = 2𝑛
Para la cuarta tabla factor-1ªdif, tendremos 𝑎𝑛 = 5 + (𝑛 − 1)4 = 4𝑛 + 1
El denominador enésimo común resulta: (2𝑛)2(4𝑛 − 1)(4𝑛 + 1) = 4𝑛2(16𝑛2
− 1)
La fracción genérica para A, estará dada por:
(2𝑛−1)(4𝑛−1)+(2𝑛−1)(4𝑛−3)
(2𝑛−1)2(4𝑛−3)(4𝑛−1)
=
16𝑛2−16𝑛+4
(2𝑛−1)2(4𝑛−3)(4𝑛−1)
. El numerador de esta fracción, puede
escribirse como: 16 (𝑛 −
1
2
)
2
= [4 (𝑛 −
1
2
)]
2
= (4𝑛 − 2)2
= 4(2𝑛 − 1)2
, luego la fracción
puede escribirse como:
4(2𝑛−1)2
(2𝑛−1)2(4𝑛−3)(4𝑛−1)
=
4
(4𝑛−3)(4𝑛−1)
La fracción genérica para -B, estará dada por:
(2𝑛)(4𝑛+1)+(2𝑛)(4𝑛−1)
4𝑛2(16𝑛2−1)
=
16𝑛2
4𝑛2(16𝑛2−1)
=
4
(16𝑛2−1)
=
4
(4𝑛+1)(4𝑛−1)
, luego la expresión enésima
para la serie A+(-B) , será:
16. 4
(4𝑛 − 3)(4𝑛 − 1)
−
4
(4𝑛 + 1)(4𝑛 − 1)
=
4(4𝑛 + 1) − 4(4𝑛 − 3)
(4𝑛 − 3)(4𝑛 − 1)(4𝑛 + 1)
=
16
(4𝑛 − 3)(16𝑛2 − 1)
Entonces el sigma correspondiente a este caso, vendrá dado por:
∑
16
(4𝑛−3)(16𝑛2−1)
∞
𝑛=1 , serie infinita, que calculada con ayuda del algoritmo de W.A., converge al
valor: ∑
16
(4𝑛−3)(16𝑛2−1)
∞
𝑛=1 = 𝜋 − 2
Este mismo resultado fue obtenido por el ingeniero español Jonás Castillo Tolosa en el año
2007, suponemos que por un procedimiento similar.
Caso correspondiente a 𝑺𝟒
Sea 𝑆4 = (1.4.10.20.35,56,84,120,165,220,286,364, … ), la 4ª diagonal de ∆0, y consideremos
la serie auxiliar, doblemente alternada:
[
1
1
+
1
4
−
1
10
−
1
20
+
1
35
+
1
56
−
1
84
−
1
120
+
1
165
+
1
220
−
1
286
−
1
364
+ + − − ⋯ ], que incluye en sus
denominadores, todos los elementos de 𝑆4, Pero en este caso agruparemos los elementos de
dicha serie en dos series subconjuntos simplemente alternadas, tales como:
𝐴 = [
1
1
−
1
10
+
1
35
−
1
84
+
1
165
−
1
280
± ⋯ ], y −𝐵 = [
1
4
−
1
20
+
1
56
−
1
120
+
1
220
−
1
364
± ⋯ ]
Podemos escribir tales series subconjuntos como* como:
𝐴 = 3! [
1
1.2.3
−
1
3.4.5
+
1
5.6.7
−
1
7.8.9
+
1
9.10.11
−
1
11.12.13
± ⋯ ]
−𝐵 = 3! [
1
2.3.4
−
1
4.5.6
+
1
6.7.8
−
1
8.9.10
+
1
10.11.12
−
1
12.13.14
± ⋯ ]
*En este caso la serie A, siempre comienza con un término de la forma
1
1.2.3….(𝑚−1)
, y los
denominadores de los términos siguientes se forman a partir del tercer factor del anterior,
formando cada uno un producto de (m-1) factores consecutivos. Mientras que la serie –B,
siempre comienza con un término de la forma
1
2.3.4…𝑚
, y los denominadores de los términos
siguientes se forman a partir del tercer factor del anterior, formando un producto de (m-1)
factores consecutivos.
Dividamos cada una de estas series A y –B, a su vez en otras dos series subconjuntos que
agrupan de forma separada los términos positivos y los términos negativos de cada una.
Sean: 𝐴 = 𝐴1 + 𝐴2 y 𝐵 = 𝐵1 + 𝐵2, series tales que:
𝐴1 = 3! [
1
1.2.3
+
1
5.6.7
+
1
9.10.11
+ ⋯ ]
−𝐴2 = 3! [
1
3.4.5
+
1
7.8.9
+
1
11.12.13
+ ⋯ ]
17. 𝐵1 = 3! [
1
2.3.4
+
1
6.7.8
+
1
10.11.12
+ ⋯ ]
−𝐵2 = 3! [
1
4.5.6
+
1
8.9.10
+
1
12.13.14
+ ⋯ ]
Calculemos ahora los denominadores comunes en cada una de estas series subconjuntos, sin
considerar el factor 3!
Para
1
3!
𝐴1, los denominadores factorizados serán: (1.2.3), (5.6.7), (9.10.11), y las tablas factor-
1ªdiferencia están dadas por:
factor 1ªdif factor 1ªdif factor 1ªdif
1 2 3
4 4 4
5 6 7
4 4 4
9 10 11
Para la primera tabla factor-1ªdif, tendremos: 𝑎𝑛 = 1 + (𝑛 − 1)4 = 4𝑛 − 3
Para la segunda tabla factor-1ªdif, tendremos: 𝑎𝑛 = 2 + (𝑛 − 1)4 = 4𝑛 − 2
Para la tercera tabla factor-1ªdif, tendremos 𝑎𝑛 = 3 + (𝑛 − 1)4 = 4𝑛 − 1
Resulta: (4𝑛 − 3)(4𝑛 − 2)(4𝑛 − 1)
Para −
1
3!
𝐴2, los denominadores factorizados serán: (3.4.5), (7.8.9), (11.12.13), y las tablas
factor-1ªdiferencia están dadas por:
factor 1ªdif factor 1ªdif factor 1ªdif
3 4 5
4 4 4
7 8 9
4 4 4
11 12 13
Para la primera tabla factor-1ªdif, tendremos: 𝑎𝑛 = 3 + (𝑛 − 1)4 = 4𝑛 − 1
Para la segunda tabla factor-1ªdif, tendremos: 𝑎𝑛 = 4 + (𝑛 − 1)4 = 4𝑛
Para la tercera tabla factor-1ªdif, tendremos 𝑎𝑛 = 5 + (𝑛 − 1)4 = 4𝑛 + 1
Resulta: (4𝑛 − 1)(4𝑛)(4𝑛 + 1)
Para
1
3!
𝐵1, los denominadores factorizados serán: (2.3.4), (6.7.8), (10.11.12), y las tablas
factor-1ªdiferencia están dadas por:
18. factor 1ªdif factor 1ªdif factor 1ªdif
2 3 4
4 4 4
6 7 8
4 4 4
10 11 12
Para la primera tabla factor-1ªdif, tendremos: 𝑎𝑛 = 2 + (𝑛 − 1)4 = 4𝑛 − 2
Para la segunda tabla factor-1ªdif, tendremos: 𝑎𝑛 = 3 + (𝑛 − 1)4 = 4𝑛 − 1
Para la tercera tabla factor-1ªdif, tendremos 𝑎𝑛 = 4 + (𝑛 − 1)4 = 4𝑛
Resulta: (4𝑛 − 2)(4𝑛 − 1)(4𝑛)
Para −
1
3!
𝐵2, los denominadores factorizados serán: (4.5.6), (8.9.10), (12.13.14), y las tablas
factor-1ªdiferencia están dadas por:
factor 1ªdif factor 1ªdif factor 1ªdif
4 5 6
4 4 4
8 9 10
4 4 4
12 13 14
Para la primera tabla factor-1ªdif, tendremos: 𝑎𝑛 = 4 + (𝑛 − 1)4 = 4𝑛
Para la segunda tabla factor-1ªdif, tendremos: 𝑎𝑛 = 5 + (𝑛 − 1)4 = 4𝑛 + 1
Para la tercera tabla factor-1ªdif, tendremos 𝑎𝑛 = 6 + (𝑛 − 1)4 = 4𝑛 + 2
Resulta: (4𝑛)(4𝑛 + 1)(4𝑛 + 2)
Entonces, la expresión del término enésimo de
1
3!
(𝐴 + 𝐵), será:
1
(4𝑛−3)(4𝑛−2)(4𝑛−1)
−
1
(4𝑛−1)(4𝑛)(4𝑛+1)
+
1
(4𝑛−2)(4𝑛−1)(4𝑛)
−
1
(4𝑛)(4𝑛+1)(4𝑛+2)
, expresión que si
llevamos a cabo las operaciones y simplificaciones posibles, se reduce a :
12(24𝑛2−4𝑛−1)
(4𝑛+2)(4𝑛+1)(4𝑛)(4𝑛−1)(4𝑛−2)(4𝑛−3)
, y como 3!=6, el sigma a calcular para determinar el valor de
la serie será:∑
72(24𝑛2−4𝑛−1)
(4𝑛+2)(4𝑛+1)(4𝑛)(4𝑛−1)(4𝑛−2)(4𝑛−3)
∞
𝑛=1 , serie infinita que calculada con ayuda del
algoritmo de W.A., converge al valor:
∑
72(24𝑛2
− 4𝑛 − 1)
(4𝑛 + 2)(4𝑛 + 1)(4𝑛)(4𝑛 − 1)(4𝑛 − 2)(4𝑛 − 3)
∞
𝑛=1
=
3
20
(−16 + 11𝜋 − 8𝐿𝑛2)
19. Nótese que para las series subconjuntos A, y B, por ser series simplemente alternadas, la
obtención de sus términos enésimos, involucran la utilización de series auxiliares y la
multiplicación por (m-1)!
Caso correspondiente a 𝑺𝟓
Sea 𝑆5 = (1,5,15,35,70,126,210,330,495,715,1001,1365,1820, … ), 5ª diagonal de ∆0
Y consideremos la serie infinita doblemente alternada:
[
1
1
+
1
5
−
1
15
−
1
35
+
1
70
+
1
126
−
1
210
−
1
330
+
1
495
+
1
715
−
1
1001
−
1
1365
+ + − − ⋯ ]
Serie que contiene en sus denominadores a todos los elementos de 𝑆5
Esta serie puede escribirse como:
4! [
1
1.2.3.4
+
1
2.3.4.5
−
1
3.4.5.6
−
1
4.5.6.7
+
1
5.6.7.8
+
1
6.7.8.9
− − + + ⋯ ]
Serie que puede reagruparse en otras dos series simplemente alternadas, tales como:
𝐴 = 4! [
1
1.2.3.4
−
1
3.4.5.6
+
1
5.6.7.8
−
1
7.8.9.10
± ⋯ ]
𝐵 = 4! [
1
2.3.4.5
−
1
4.5.6.7
+
1
6.7.8.9
−
1
8.9.10.11
± ⋯ ]
Dividamos cada una de estas series A, y B, a su vez, en dos series subconjuntos que agrupen
separadamente los términos positivos y los términos negativos de cada una.
Sean 𝐴 = 𝐴1 + 𝐴2, y 𝐵 = 𝐵1 + 𝐵2, tales que:
𝐴1 = 4! [
1
1.2.3.4
+
1
5.6.7.8
+
1
9.10.11.12
+ ⋯ ]
−𝐴2 = 4! [
1
3.4.5.6
+
1
7.8.9.10
+
1
11.12.13.14
+ ⋯ ]
𝐵1 = 4! [
1
2.3.4.5
+
1
6.7.8.9
+
1
10.11.12.13
+ ⋯ ]
−𝐵2 = 4! [
1
4.5.6.7
+
1
8.9.10.11
+
1
12.13.14.15
+ ⋯ ]
Calculemos ahora los denominadores comunes de cada subconjunto sin considerar el factor 4!
Para
1
4!
𝐴1, los denominadores factorizados serán: (1.2.3.4), (5.6.7.8), (9.10.11.12), y las tablas
factor-1ªdiferencia están dadas por:
20. factor 1ªdif factor 1ªdif factor 1ªdif factor 1ªdif
1 2 3 4
4 4 4 4
5 6 7 8
4 4 4 4
9 10 11 12
Para la primera tabla factor-1ªdif, tendremos: 𝑎𝑛 = 1 + (𝑛 − 1)4 = 4𝑛 − 3
Para la segunda tabla factor-1ªdif, tendremos: 𝑎𝑛 = 2 + (𝑛 − 1)4 = 4𝑛 − 2
Para la tercera tabla factor-1ªdif, tendremos 𝑎𝑛 = 3 + (𝑛 − 1)4 = 4𝑛 − 1
Para la cuarta tabla factor-1ªdif, tendremos 𝑎𝑛 = 4 + (𝑛 − 1)4 = 4𝑛
Resulta: (4𝑛 − 3)(4𝑛 − 2)(4𝑛 − 1)(4𝑛)
Para −
1
4!
𝐴2, los denominadores factorizados serán: (3.4.5.6), (7.8.9.10), (11.12.13.14), y las
tablas factor-1ªdiferencia están dadas por:
factor 1ªdif factor 1ªdif factor 1ªdif factor 1ªdif
3 4 5 6
4 4 4 4
7 8 9 10
4 4 4 4
11 12 13 14
Para la primera tabla factor-1ªdif, tendremos: 𝑎𝑛 = 3 + (𝑛 − 1)4 = 4𝑛 − 1
Para la segunda tabla factor-1ªdif, tendremos: 𝑎𝑛 = 4 + (𝑛 − 1)4 = 4𝑛
Para la tercera tabla factor-1ªdif, tendremos 𝑎𝑛 = 5 + (𝑛 − 1)4 = 4𝑛 + 1
Para la cuarta tabla factor-1ªdif, tendremos 𝑎𝑛 = 6 + (𝑛 − 1)4 = 4𝑛 + 2
Resulta: (4𝑛 − 1)(4𝑛)(4𝑛 + 1)(4𝑛 + 2)
Para
1
4!
𝐵1, los denominadores factorizados serán: (2.3.4.5), (6.7.8.9), (10.11.12.13), y las
tablas factor-1ªdiferencia están dadas por:
factor 1ªdif factor 1ªdif factor 1ªdif factor 1ªdif
2 3 4 5
4 4 4 4
6 7 8 9
4 4 4 4
10 11 12 13
21. Para la primera tabla factor-1ªdif, tendremos: 𝑎𝑛 = 2 + (𝑛 − 1)4 = 4𝑛 − 2
Para la segunda tabla factor-1ªdif, tendremos: 𝑎𝑛 = 3 + (𝑛 − 1)4 = 4𝑛 − 1
Para la tercera tabla factor-1ªdif, tendremos 𝑎𝑛 = 4 + (𝑛 − 1)4 = 4𝑛
Para la cuarta tabla factor-1ªdif, tendremos 𝑎𝑛 = 5 + (𝑛 − 1)4 = 4𝑛 + 1
Resulta: (4𝑛 − 2)(4𝑛 − 1)(4𝑛)(4𝑛 + 1)
Para −
1
4!
𝐵2, los denominadores factorizados serán: (4.5.6.7), (8.9.10.11), (12.13.14.15), y las
tablas factor-1ªdiferencia están dadas por:
factor 1ªdif factor 1ªdif factor 1ªdif factor 1ªdif
4 5 6 7
4 4 4 4
8 9 10 11
4 4 4 4
12 13 14 15
Para la primera tabla factor-1ªdif, tendremos: 𝑎𝑛 = 4 + (𝑛 − 1)4 = 4𝑛
Para la segunda tabla factor-1ªdif, tendremos: 𝑎𝑛 = 5 + (𝑛 − 1)4 = 4𝑛 + 1
Para la tercera tabla factor-1ªdif, tendremos 𝑎𝑛 = 6 + (𝑛 − 1)4 = 4𝑛 + 2
Para la cuarta tabla factor-1ªdif, tendremos 𝑎𝑛 = 7 + (𝑛 − 1)4 = 4𝑛 + 3
Resulta: (4𝑛)(4𝑛 + 1)(4𝑛 + 2)(4𝑛 + 3)
Entonces la expresión del término enésimo de
1
4!
(𝐴 + 𝐵), será:
1
(4𝑛−3)(4𝑛−2)(4𝑛−1)(4𝑛)
−
1
(4𝑛−1)(4𝑛)(4𝑛+1)(4𝑛+2)
+
1
(4𝑛−2)(4𝑛−1)(4𝑛)(4𝑛+1)
−
1
(4𝑛)(4𝑛+1)(4𝑛+2)(4𝑛+3)
=
16𝑛2−10𝑛−6
(16𝑛2−9)(16𝑛2−4)(16𝑛2−1)𝑛
, y siendo 4!=24, el sigma para determinar el
valor de la serie para el caso de 𝑆5 vendrá dado por: ∑
24(16𝑛2−10𝑛−6)
(16𝑛2−9)(16𝑛2−4)(16𝑛2−1)𝑛
∞
𝑛=1 , valor que
calculado con ayuda del algoritmo de W.A., converge al valor:
∑
24(16𝑛2
− 10𝑛 − 6)
(16𝑛2 − 9)(16𝑛2 − 4)(16𝑛2 − 1)𝑛
∞
𝑛=1
=
1
60
(86 + 15𝜋 − 192𝐿𝑛2)
Caso correspondiente a 𝑺𝟔
Sea 𝑆6 = (1,6,21,56,126,252,462,792,1287,2002,3003,4368,6188,8568,11628, … ),6ª
diagonal de ∆0, y consideremos la serie infinita doblemente alternada:
22. [
1
1
+
1
6
−
1
21
−
1
56
+
1
126
+
1
252
−
1
462
−
1
792
+
1
1287
+
1
2002
− − + + ⋯ ], serie que en sus
denominadores, contiene todos los elementos de 𝑆6. Esta serie puede reescribirse como:
5! [
1
1.2.3.4.5
+
1
2.3.4.5.6
−
1
3.4.5.6.7
−
1
4.5.6.7.8
+
1
5.6.7.8.9
+
1
6.7.8.9.10
− − + + ⋯ ]
Serie que puede reagruparse como otras dos series simplemente alternadas, tales como:
𝐴 = 5! [
1
1.2.3.4.5
−
1
3.4.5.6.7
+
1
5.6.7.8.9
∓ ⋯ ]
𝐵 = 5! [
1
2.3.4.5.6
−
1
4.5.6.7.8
+
1
6.7.8.9.10
∓ ⋯ ]
Dividamos cada una de estas series A, y B, a su vez, en dos series subconjuntos que agrupen
separadamente los términos positivos y los términos negativos de cada una.
Sean 𝐴 = 𝐴1 + 𝐴2, y 𝐵 = 𝐵1 + 𝐵2, tales que:
𝐴1 = 5! [
1
1.2.3.4.5
+
1
5.6.7.8.9
+
1
9.10.11.12.13
+ ⋯ ]
−𝐴2 = 5! [
1
3.4.5.6.7
+
1
7.8.9.10.11
+
1
11.12.13.14.15
+ ⋯ ]
𝐵1 = 5! [
1
2.3.4.5.6
+
1
6.7.8.9.10
+
1
10.11.12.13.14
+ ⋯ ]
−𝐵2 = 5! [
1
4.5.6.7.8
+
1
8.9.10.11.12
+
1
12.13.14.15.16
+ ⋯ ]
Como en el caso de 𝑆6 en la parte uno de este trabajo, para no hacer de la aplicación del
método, algo demasiado tedioso y repetitivo, y considerando que ya el procedimiento está
suficientemente explicado en los casos anteriores, nos limitaremos en este caso a presentar el
sigma resultante y proceder a su cálculo.
∑
4800𝑛(8𝑛+1)
(4𝑛+4)(4𝑛+3)(4𝑛+2)(4𝑛+1)(4𝑛)(4𝑛−1)(4𝑛−2)(4𝑛−3)
∞
𝑛=1 =∑
4800𝑛(8𝑛+1)
(4𝑛+4)(16𝑛2−9)(16𝑛2−4)(16𝑛2−1)(4𝑛)
∞
𝑛=1 ,
Serie infinita que con ayuda del algoritmo de W.A., converge al valor:
∑
4800𝑛(8𝑛 + 1)
(4𝑛 + 4)(16𝑛2 − 9)(16𝑛2 − 4)(16𝑛2 − 1)(4𝑛)
∞
𝑛=1
=
10
3
(5𝐿𝑛2 − 𝜋)
Es interesante hacer notar que este 2º método es aplicable para cualquier valor de m≥ 2, en
𝑆𝑚, y en esta segunda parte, otra observación es que cuando trabajamos con las series
auxiliares doblemente alternadas, siempre obtenemos a 𝜋, en los resultados.
NOTA: La referencia Nº1 a la que hacemos mención en la pagina 6 al inicio de este trabajo es
uno de mis primeros títulos, publicada en internet en el año 2016, denominada:
“Combinatoria con repetición Series paralelas y Números naturales”
23. Como un anexo a este trabajo, procederemos a presentar las tablas de resultados y su versión
combinatoria:
Tabla de resultados 1ª parte:
Para las diagonales, o series paralelas de ∆0, considerando series auxiliares cuyos
denominadores no contienen todos los elementos de la diagonal
m=2 (2ª Diagonal de ∆0)
[
1
2
−
1
6
+
1
12
−
1
20
+
1
36
−
1
42
± ⋯ ] = 2𝐿𝑛2 − 1
m=3 (3ª Diagonal de ∆0)
[
1
3
−
1
6
+
1
10
−
1
15
+
1
21
−
1
28
± ⋯ ] = 3 − 4𝐿𝑛2
m=4 (4ª Diagonal de ∆0)
[
1
4
−
1
20
+
1
56
−
1
120
+
1
220
−
1
364
± ⋯ ] =
3
2
(𝜋 − 3) Nilakantha siglo XV
m=5 (5ª Diagonal de ∆0)
[
1
5
−
1
70
+
1
330
−
1
1001
+
1
2380
−
1
4845
± ⋯ ] =
2
9
(45 − 2√3. 𝜋 − 48𝐿𝑛2)
m=6 (6ª Diagonal de ∆0)
[
1
6
−
1
252
+
1
2002
−
1
8568
+
1
26334
−
1
65780
± ⋯ ] =
5
2
[−7 + 𝐿𝑛2(3 − 2√2) + 4√2𝐿𝑛(2 + √2)]
Versión combinatoria:
m=2 (2ª Diagonal de ∆0)
(
1
𝐶2,1
−
1
𝐶6,1
+
1
𝐶12,1
−
1
𝐶20,1
+
1
𝐶30,1
−
1
𝐶42,1
± ⋯ ) = 2𝐿𝑛2 − 1
m=3 (3ª Diagonal de ∆0)
(
1
𝐶3,2
−
1
𝐶4,2
+
1
𝐶5,2
−
1
𝐶6,2
+
1
𝐶7,2
−
1
𝐶8,2
± ⋯ ) = 3 − 4𝐿𝑛2
m=4 (4ª Diagonal de ∆0)
(
1
𝐶4,3
−
1
𝐶6,3
+
1
𝐶8,3
−
1
𝐶10,3
+
1
𝐶12,3
−
1
𝐶14,3
± ⋯ ) =
3
2
(𝜋 − 3) Nilakantha siglo XV
m=5 (5ª Diagonal de ∆0)
(
1
𝐶5,4
−
1
𝐶8,4
+
1
𝐶11,4
−
1
𝐶14,4
+
1
𝐶17,4
−
1
𝐶21,4
± ⋯ ) =
2
9
(45 − 2√3. 𝜋 − 48𝐿𝑛2)
25. m=5 (5ª Diagonal de ∆0)
(
1
𝐶4,4
−
1
𝐶5,4
+
1
𝐶6,4
−
1
𝐶7,4
+
1
𝐶8,4
−
1
𝐶9,4
± ⋯ ) =
1
60
(86 + 15𝜋 − 192𝐿𝑛2)
m=6 (6ª Diagonal de ∆0)
(
1
𝐶5,5
−
1
𝐶6,5
+
1
𝐶7,5
−
1
𝐶8,5
+
1
𝐶9,5
−
1
𝐶10,5
± ⋯ ) =
10
3
(5𝐿𝑛2 − 𝜋)
Creemos que con los ejemplos desarrollados, se ha comprobado la validez de los métodos
propuestos, y también de los recursos utilizados para obtener los sigmas sumatorios
correspondientes para cualquier valor de 𝑆𝑚 (con m≥2). Pero es evidente que la verdadera
dificultad está en predecir el resultado para un cierto valor de m
Enrique R. Acosta R. Marzo 2022