El documento describe diferentes tipos de funciones matemáticas, incluyendo funciones racionales, trigonométricas, de valor absoluto, exponenciales y logarítmicas. Explica cómo calcular el dominio y rango de cada tipo de función y cómo graficarlas, señalando características clave como asíntotas, intersecciones y forma general de la curva.

1. Republica Bolivariana De Venezuela
Instituto Universitario De Tecnologia
Antonio Jose De Sucre
ExtenSion - Puerto La Cruz
FUNCIONES MATEMATICAS
(Parte II)
Alumno:
Jonny Vidal
26717295
Funcion Racional:
Una función racional es una función que puede escribirse como cociente de dos polinomios. Si el
denominador es un número (un polinomio de grado 0), entonces la función es un polinomio. Por
lo tanto, las funciones polinómicas son funciones racionales.

2. Donde P(x) y Q(x) son polinomios. Además, P(x) y Q(x) no tienen factor común.
La palabra "racional" hace referencia a que la función racional es una razón o cociente (de dos
polinomios); los coeficientes de los polinomios pueden ser números racionales o no.
Las funciones racionales tienen diversas aplicaciones en el campo del análisis numérico para
interpolar o aproximar los resultados de otras funciones más complejas, ya que son
computacionalmente simples de calcular como los polinomios, pero permiten expresar una
mayor variedad de comportamientos.
Grafica De Una Funcion Racional:
Las funciones racionales son de la forma y = f ( x ), donde f ( x ) es una expresión racional . Las
gráficas de las funciones racionales pueden ser difíciles de dibujar. Para dibujar una gráfica de
una función racional, puede comenzar encontrando las asíntotas y las intercepciones.
La asíntota vertical de una función racional es el valor de x donde el denominador de la función
es cero. Iguale el denominador a cero y encuentre el valor de x .
2 x + 1 = 0
x = -1/2
La asíntota vertical de la función racional es x = -0.5.

3. Esta función tiene la intercepción en x en (-1/4, 0) y la intercepción en y en (0, 1). Encuentre más
puntos en la función y grafique la función.
Algunas veces la función racional dada tiene que ser simplificada, antes de graficarla. En ese
caso, si hay algunos valores excluidos (donde la función no esté definida) diferentes de las
asíntotas, entonces hay un paso adicional involucrado al graficar la función.
Para representar la función no definida, asegúrese que la función no es una curva lisa continua
en el valor excluido. Este valor excluido es usualmente referido como un hoyo en la función
racional.
Por ejemplo, la función racional
tiene un hoyo en x = 0.
Dese cuenta por favor que las gráficas de las funciones racionales satisfacen la prueba de la
recta vertical .
Dominio y Rango de una Funcion Racional:
Para calcular el dominio de este tipo de funciones el primer paso es igualar el denominador a
cero y resolver esa ecuación, una vez resuelta esa ecuación el dominio estará formado por todos
los reales excepto las soluciones de la ecuación.
Determinar Dominio y Rango De :

4. Igualando el denominador a cero
X – 3 = 0 ; X = 3
esto significa que para x=3 la función no está definida.
Por tanto, el dominio estará formado por todos los reales excepto para x=3. Es decir, habrá una
asintota vertical en x=3 y además será punteada, porque la función se acerca a este valor pero
nunca lo toca.
Dom f(x) = R – {3} ; También podemos expresar el Dominio como
Dom f(x) = (– ∞ , 3) U (3 , + ∞ )
Ahora tabulamos valores de los pares ordenados x,y para representarlos en el plano cartesiano y
ver qué forma tiene nuestra gráfica
Para calcular el valor del Rango, vamos ahora a despejar a X y averiguar si existen valores de "y"
para los cuales no esté definida la función. Para ello vamos a reemplazar f(x) por y, para
simplificar las operaciones:
Para que se cumpla la regla de que el denominador sea diferente de cero, hacemos que y -1=0 ,
de donde tenemos que Y =1. Esto significa que habrá una asíntota horizontal (punteada) en y=1,
lo cual significa que la función se acercará cada vez más a este valor pero nunca lo tocará.
Esto podemos comprobarlo fácilmente en la gráfica.
Luego, la función estará definida en todos los valores de Y menos en “y = 1”.
Rango = R – {1} ; (– ∞ , 1) U (1 , + ∞ )

5. Funcion Trigonometrica:
Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de
razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio
unidad).
Para identificar una Funcion Trigonometrica se tiene que ver si está desplazada hacia arriba ó
abajo (es decir si no es simétrica respecto al eje 'x').
Grafica de una Funcion Trigonometrica:
Variación y gráficas de las funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, cotangente,
secante y cosecante) Las funciones trigonométricas de un triángulo rectángulo son las razones o
relaciones entre sus lados.
Definición de círculo trigonométrico:
El círculo unitario es un círculo de radio 1 con centro en el origen del sistema de coordenadas,
esto es, el punto (0,0)
Como el radio del círculo unitario es 1, entonces la circunferencia del círculo es, entonces, el eje
real positivo se enrolla en sentido contrario a las manecillas del reloj y el eje real negativo se
enrolla en el sentido de las manecillas del reloj. De manera, que cada número real de la recta
real se asocia con un sólo punto circular del círculo unitario.
Las funciones trigonométricas son algunas aplicaciones que nos ayudan en la resolución de
triángulos rectángulos
Un triángulo tiene seis elementos: tres lados y tres ángulos. Resolver un triángulo consiste en

6. calcular tres de los elementos cuando se conocen los otros tres, siempre que uno de ellos sea un
lado.
Si queremos representar en forma gráfica una función trigonométrica tomamos los valores de la
variable independiente como abscisas y los valores de la función como ordenadas, obteniendo
así una serie de puntos, los que al unirlos nos dará una línea que será la representación gráfica
de la función.

7. Entre Otras...
Dominio y Rango de una Funcion Trigonometrica:
Las relaciones trigonométricas también pueden ser consideradas como funciones de una
variable que es la medida de un ángulo.
Esta medida de ángulo puede ser dada en grados o radianes . Aquí, usaremos radianes. Ya que

8. cualquier ángulo con una medida mayor que 2 π radianes o menor que 0 es equivalente a algún
ángulo con medida 0 ≤ θ < 2 π , todas las funciones trigonométricas son periódicas .
La gráfica de la función seno se ve así:
Dese cuenta que el dominio de la función y = sin x es todos los números reales (el seno está
definido para cualquier medida de ángulo), el rango es −1 ≤ y ≤ 1.
La gráfica de la función coseno se ve así:
El dominio de la función y = cos x es todos los números reales (el coseno está definido para
cualquier medida de ángulo), el rango es −1 ≤ y ≤ 1.

9. La gráfica de la función tangente se ve así:
El dominio de la función y = tan x es todos los números reales except o los valores donde el cos x
es igual a 0, esto es, los valores para todos los enteros n . El rango de la función tangente es
todos los números reales.
La gráfica de la función secante se ve así:
El dominio de la función es otra vez todos los números reales excepto los valores donde el cos x
es igual a 0, esto es, los valores para todos los enteros n . El rango de la función es y ≤ −1 o y ≥ 1.
Funcion Valor Absoluto:
Una función de valor absoluto es una función que contiene una expresión algebraica dentro de

10. los símbolos de valor absoluto. Recuerde que el valor absoluto de un número es su distancia
desde 0 en la recta numérica .
Para graficar una función de valor absoluto, escoja diferentes valores de x y encuentre algunas
parejas ordenadas .
Grafica de Una Funcion Valor Absoluto:
Grafique los puntos en una plano coordenado y unálos.
La gráfica es de la forma V.
El vértice de la gráfica es (0, 0).
El eje de simetria ( x = 0 o eje de las y ) es la recta que divide la gráfica en dos mitades
congruentes.
El dominio es el conjunto de todos los números reales.
El rango es el conjunto de todos los números reales mayores que o iguales a 0.
La intercepción en x y la intercepción en y ambas son 0.
Dominio y Rango De una Funcion Valor Absoluto:

11. El rango está dado por el intervalo [0, + infinito), el dominio es el conjunto de todos los
números reales, la intersección está en (0, 2) y la intersección x en (2, 0).
Funcion Exponencial:
La función exponencial, es conocida formalmente como la función real ex, donde e es el número
de Euler, aproximadamente 2.71828.; esta función tiene por dominio de definición el conjunto
de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se
denota equivalentemente como f(x)=ex o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales
y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.
La función exponencial es del tipo:
Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la
potencia ax se llama función exponencial de base a y exponente x.
Grafica de Una Funcion Exponencial:
Una Función exponencial sencilla para graficar es:

12. La gráfica Tiene al eje de las x Como una asíntota en la Izquierda, y Aumenta muy Rápido en La
Derecha.
Dominio y Rango De una Funcion Exponencial:
Todas las funciones exponenciales tienen como Dominio todos los números reales.
Todas las funciones exponenciales tienen como Rango todos los números reales positivos sin
incluir el cero.
Tomando en cuenta lo indicado anteriormente no es necesario realizar ningún análisis para
determinar el Dominio y Rango de una función exponencial.
Funcion Logaritmica:

13. Los logarítmos de números negativos y el de 0 no existen. Luego, todaslas expresiones a las que
se le pretenda calcular su logaritmo deben ser mayores a cero.
El procedimiento para calcular su dominio es bastante similar al de las funciones irracionales.
Tomamos lo que hay dentro del logaritmo y hacemos que sea mayor que cero. A continuación
resolvemos la inecuación y la solución nos da el dominio. El Rango estará representado por el
conjunto de todos los números reales
Grafica de una Funcion Logaritmica:
La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.
*
*
Ejemplos:
X Y=Log2x
1/8 -3
1/4 -2
1/2 -1
1 0
2 1
4 2
8 3

14. Dominio y Rango de una Funcion Logaritmica:
-Su Dominio Son Todos los Numeros Reales.
-Su Rango Son todos los Numeros Reales.
-Es continua.
-Es inyectiva.
-Creciente si a>1.
-Decreciente si a<1.
Las gráfica de la función logarítmica es simétrica (respecto a la bisectriz del 1er y 3er cuadrante)
de la gráfica de la función exponencial, ya que son funciones reciprocas o inversas entre sí.
a>0 ; Creciente

15. a<0; Decreciente.