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![Ejemplos: Escribir dominio, rango y graficar cada función.
𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟑
𝑦
0 𝑥
(1, 5)5
(0, 3)
1 2
2) 𝒈 𝒙 = − 𝒙 + 𝟐, 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟒)1)𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟑
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ
𝑅𝑎𝑛 𝑓 = ℝ
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = [−1, 4)
𝑅𝑎𝑛 𝑓 = (−2, 3]
(4, −2)
(−1, 3)
𝒚 = − 𝒙 + 𝟐, 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟒)
𝑦
0 𝑥
4−1
−2
3
°](https://image.slidesharecdn.com/resumendefunciones-151124195420-lva1-app6892/85/Repaso-de-Funciones-8-320.jpg)
![Función Cuadrática
Una función cuadrática tiene la forma
𝑦 = 𝑎 𝑥 – 𝑏 2
+ 𝑐, 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 , 𝑎 ≠ 0.
Dominio: ℝ
Rango: (−, 𝑐] si 𝑎 < 0 y [𝑐, +) si 𝑎 > 0.
La gráfica de una función cuadrática es una curva
llamada parábola y tiene vértice 𝑉(𝑏, 𝑐).
El eje de simetríade la parábola es la recta vertical que
divide a esta en dos partes iguales.](https://image.slidesharecdn.com/resumendefunciones-151124195420-lva1-app6892/85/Repaso-de-Funciones-9-320.jpg)
Subido porMichael Perez
Repaso de Funciones
El documento detalla las funciones matemáticas, incluyendo constantes, lineales, cuadráticas, exponenciales y logarítmicas, así como sus propiedades, dominios y rangos. También se abordan identidades y ecuaciones trigonométricas, incluyendo la ley de los senos y cosenos. Se ilustran ejemplos de graficación y análisis de diferentes tipos de funciones.
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- 1. Tema: Repaso defunciones Docente Geovanny Gutiérrez
- 2. Contenidos Funciones. Constante Lineal Valor absoluto Cuadrática Exponencial Logarítmica Raíz cuadrada Por partes Trigonométricas Identidades y ecuaciones trigonométricas. Ley de los senos. Ley de los cosenos.
- 3. 𝐴 × 𝐵= { 𝑎, 𝑏 : 𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵} Definición: El producto cartesiano 𝑨 × 𝑩 de los conjuntos no vacíos 𝐴 y 𝐵 es el conjunto de todos los pares ordenados (𝑎, 𝑏) , con 𝑎 en 𝐴 y 𝑏 en 𝐵 . Simbólicamente: Definición: Una relación 𝑅 de 𝐴 en 𝐵 es todo subconjunto del producto cartesiano 𝐴 × 𝐵. Dominio de 𝑹: 𝐷𝑜𝑚 𝑅 = {𝑥 ∈ 𝐴: 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅 para cierto 𝑦 ∈ 𝐵} Imagen o Rango de 𝑹: 𝑅𝑎𝑛 𝑅 = 𝑦 ∈ 𝐵: 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅, para cierto 𝑥 ∈ 𝐴 .
- 4. Definición: Sean dosconjuntos no vacíos 𝐴 y 𝐵, una función es la relación 𝑓 que asocia a todo elemento 𝑥𝐴, un único elemento 𝑦 𝐵.El conjunto 𝐴 se llama dominio de la función. . . . . . . . . 𝐵𝐴 𝑓 𝑓 es una función . . . . . . . . 𝐵𝐴 𝑓 𝑓 es una relación, no es función
- 5. Función Constante Tiene laforma 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝐶 , donde 𝐶 es constante. Dominio = ℝ Rango = {𝐶 } Su gráfica es una recta paralela al eje 𝑥. 𝑥 0 𝑦 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝐶, 𝐶 > 0 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝐶, 𝐶 < 0
- 6. Ejemplos: Escribir dominio,rango y graficar cada función. 1) 𝑓(𝑥) = 3 𝐷𝑜𝑚𝑓 = ℝ 𝑅𝑎𝑛 𝑓 = 3 2) 𝑓(𝑥) = − 5, −3 < 𝑥 ≤ 2 𝐷𝑜𝑚𝑓 = 𝑥 𝑅 ∶ − 3 < 𝑥 ≤ 2 𝑅𝑎𝑛 𝑓 = − 5 𝒚 = 𝒇 (𝒙) = − 𝟓 𝑥 0 𝑦 − 5 − 3 2 ° 𝑥0 𝑦 3 𝒚 = 𝒇 (𝒙) = 𝟑
- 7. Función Lineal Tiene laforma 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑏, 𝑚 ≠ 0 Dominio: ℝ, Rango: ℝ. Su gráfica es una recta con pendiente 𝑚. Pasa por el punto (0, 𝑏). Creciente (0, 𝑏) 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃, 𝒎 > 𝟎 𝜃 < 90° 𝑦 0 𝑥 Decreciente (0, 𝑏) 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃, 𝒎 < 𝟎 𝜃 > 90° 𝑦 0 𝑥
- 8. Ejemplos: Escribir dominio,rango y graficar cada función. 𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟑 𝑦 0 𝑥 (1, 5)5 (0, 3) 1 2 2) 𝒈 𝒙 = − 𝒙 + 𝟐, 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟒)1)𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟑 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ 𝑅𝑎𝑛 𝑓 = ℝ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = [−1, 4) 𝑅𝑎𝑛 𝑓 = (−2, 3] (4, −2) (−1, 3) 𝒚 = − 𝒙 + 𝟐, 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟒) 𝑦 0 𝑥 4−1 −2 3 °
- 9. Función Cuadrática Una funcióncuadrática tiene la forma 𝑦 = 𝑎 𝑥 – 𝑏 2 + 𝑐, 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 , 𝑎 ≠ 0. Dominio: ℝ Rango: (−, 𝑐] si 𝑎 < 0 y [𝑐, +) si 𝑎 > 0. La gráfica de una función cuadrática es una curva llamada parábola y tiene vértice 𝑉(𝑏, 𝑐). El eje de simetríade la parábola es la recta vertical que divide a esta en dos partes iguales.
- 10. El punto deintersección con el eje 𝑦 es 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 2𝑥 − 3 𝑎 = 1, 𝑏 = −2, 𝑐 = −3 𝑉 = − 𝑏 2𝑎 , 𝑓 − 𝑏 2𝑎 𝑉 = − −2 2 1 , 𝑓 − −2 2(1) = (1, 𝑓 1 ) = (1, −4) Intercepto con el eje 𝑦: 𝑓 0 = 02 − 2 0 − 3 𝑓 0 = −3 0, −3 . Graficar la función definida por Ejemplo
- 11. 𝑥2 − 2𝑥− 3 = 0 Interceptos con el eje 𝑥: 𝑓 𝑥 = 0 𝑥 − 3 𝑥 + 1 = 0 𝑥 − 3 = 0 ∨ 𝑥 + 1 = 0 𝑥 = 3 ∨ 𝑥 = −1 (−1,0) 3,0 . Los puntos de intersección con el eje 𝑥 son: y
- 12. La gráfica dela función 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 2𝑥 − 3 es cóncava hacia arriba. 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ 𝑅𝑎𝑛 𝑓 = [−4, +∞) Eje de simetría: 𝑥 = 1
- 13. Función Exponencial La funciónexponencial de base 𝑎 es de la forma 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 donde 𝑎 es un número positivo distinto de 1 y 𝑥 es cualquier número real. 𝒂 > 𝟏 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ 𝑅𝑎𝑛 𝑓 = (0, +∞) 𝒂 > 𝟏 y 𝟎 < 𝒂 < 𝟏
- 14. 𝒚 = 𝟏 𝟐 𝒙 𝟎 <𝒂 < 𝟏, 𝒇 es decreciente 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ 𝑅𝑎𝑛 𝑓 = (0, +∞) 𝒙 𝒚 = 𝟏 𝟐 𝒙 −𝟑 𝟖 −𝟐 𝟒 −𝟏 𝟐 𝟎 𝟏 𝟏 𝟏 𝟐 𝟐 𝟏 𝟒
- 15. Función Logarítmica Logaritmo deun número es el exponente al que hay que elevar la base para que nos dé dicho número. 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 = 𝑦 ⇔ 𝑎 𝑦 = 𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥, 𝑎 > 1 𝑦 0 < 𝑎 < 1 Pasa por el 1,0 . 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = (0, +∞) 𝑅𝑎𝑛 𝑓 = ℝ
- 16. 𝑓 𝑥 =log2 𝑥 𝑓 1 = 𝑙𝑜𝑔2 1 = log 1 log 2 = 0 𝑓 2 = 𝑙𝑜𝑔2 2 = log 2 log 2 = 1 𝑓 4 = 𝑙𝑜𝑔2 4 = log 4 log 2 ≈ 2 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = (0, +∞) 𝑅𝑎𝑛 𝑓 = ℝ Graficar la función definida por Encuentre dominio y rango de 𝑓. Ejemplo 𝑓 1 2 = 𝑙𝑜𝑔2 1 2 = log 1 2 log 2 = −1 𝒂 = 𝟐 > 𝟏, 𝒇 es creciente
- 17. Función Raíz Cuadrada Lafunción raíz cuadradaes una función 𝑓 cuyo dominio es el conjunto de los números reales no negativos y está definida por la fórmula 𝑓 𝑥 = 𝑥. El rango de la función valor absoluto es 0, +∞ . La gráfica de una función raíz cuadrada corresponde a la mitad de una parábola como las que conocemos de la función cuadrática.
- 18. Ejemplo 𝑓 𝑥 =2𝑥 − 1Graficar la función definida por Encuentre dominio y rango de 𝑓. 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = 1 2 , )∞ 𝑅𝑎𝑛 𝑓 = ℝ+
- 19. Ejemplo Función definida porpartes 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = [−2, )∞ 𝑅𝑎𝑛 𝑓 = [−2, )5
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- 23. Función tangente Características de𝒚 = tan 𝒙
- 24. Gráfica de 𝒚= tan 𝒙
- 25. Identidades Trigonométricas Identidades Pitagóricas sen2 𝜃 +cos2 𝜃 = 1 1 + tan2 𝜃 = sec2 𝜃 1 + cot2 𝜃 = csc2 𝜃 Fórmulas de ángulo doble sen 𝑥 = 2 sen 𝑥 cos 𝑥 cos 2 𝑥 = cos2 𝑥 − sen2 𝑥 tan 2𝑥 = 2 tan 𝑥 1 − tan2 𝑥 cos 2 𝑥 = 1 − 2sen2 𝑥 cos 2 𝑥 = 2cos2 𝑥 −1 Fórmulas de ángulo medio sen 𝑥 2 = ± 1 − cos 𝑥 2 cos 𝑥 2 = ± 1 + cos 𝑥 2 tan 𝑥 2 = ± 1 − cos 𝑥 1 + cos 𝑥 = ± sen 𝑥 1 + cos 𝑥 = ± 1 − cos 𝑥 sen 𝑥
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