Funciones Polinomiales grado 3 y 4. Matemática

“Con números se puede demostrar cualquier
cosa” -Thomas Carlyle (1795-1881)
Historiador, pensador y ensayista inglés
Funciones Polinomiales grado 3 y 4 1
UNIVERSIDAD
FRANCISCO GAVIDIA
LIC. PATRICIA CHAFOYA
MATEMÁTICA I GRUPO 01
TEMA: FUNCIONES
POLINOMIALES DE GRADO 3 Y 4
FECHA: 15/OCT/2014
Nombres Carné
Hernández Arias, Mayra Verónica HA100213
Huezo Fuentes, Raúl Gonzalo HF100314
Maldonado Espino, Carlos Alexander ME100613
Pinzón Menjivar, Gloria Stephanie PM101812

índice

Introducción
El presente trabajo fue realizado por estudiantes de las facultades de
economía e ingeniería profundizando en parte; las funciones de tercer y
cuarto grado, recordando que una función es una correspondencia entre
los elementos de un conjunto de partida, llamado Dominio, y los elementos
de un conjunto de llegada, llamado Rango, de forma tal que a cada
elemento del dominio le corresponde uno, y solo uno, en el Rango. Para el
complemento de este trabajo, hemos realizado una exhaustiva
investigación y creado ejercicios que forman parte de nuestra vida
cotidiana, específicamente de nuestras carreras, ya sea de economía o
ingeniería, facilitando el estudio a cualquier persona que leyera este
trabajo universitario.

General:
 Conocer y ampliar más el tema de las funciones polinomiales de 3° y 4° y las
aplicaciones que se les pueden dar en el área de economía y área de ingeniería.
Específicos:
 Ampliar más el desarrollo de un ejercicio de funciones polinomial de grado 3 y 4 en
áreas de ciencias aplicadas como ingeniería y la económica.
 Aprender a diferenciar entre una función polinomial de 3 y 4 con otras funciones de
grados diferentes.
Objetivos general y
específicos

Funciones
Polinomiales
Funciones polinomiales de grado 3
 Las funciones polinómicas vienen definidas por un polinomio.
 f(x) = a0 + a1 x + a1 x² + a1 x³ +··· + an xn
 Su dominio es, es decir, cualquier número real tiene imagen.
 Ahora vamos a estudiar los casos de funciones polinomiales de grados tres y cuatro.
 Vamos a empezar con sus gráficas y después vamos a estudiar algunos resultados
teóricos.
 Las siguientes funciones SI son cúbicas:
Función polinomial de tercer grado
La función polinomial de tercer grado es toda aquella función que se puede
escribir de la forma:
𝑦 = 𝑎3 𝑥3
+ 𝑎2 𝑥2
+ 𝑎1 𝑥 + 𝑎0
Donde 𝑎3 ≠ 0
La función polinomial de tercer grado también se conoce como función cúbica.
Definición 1
¿Qué es una función?
Una función polinomial es una función cuya regla
está dada por un polinomio en una variable. El
grado de una función polinomial es el grado del
polinomio en una variable, es decir, la potencia
más alta que aparece de x
Funciones Polinomiales grado 3 y 4
5
5

 Observar que la última función puede expresarse de la forma:
 Las siguientes funciones NO son funciones cubicas:
 En cada caso, no es posible reducir la expresión que describe la función dada a la forma dad en
la definición de función cúbica.
La función polinomial de tercer grado más sencilla es:
𝒚 = 𝒙 𝟑
Grafícala, encuentra sus raíces, dominio y contra dominio.
Ejemplo 1
 Empezamos calculando sus raíces.
 Para que y = 0 se requiere que x3 = 0.
 En palabras esto nos está diciendo que debemos encontrar los números que al
multiplicarlos por sí mismo tres veces obtengamos cero.
 El único número que satisface la condición anterior es x = 0.
 Esta es la única raíz de la función.
 Para encontrar el dominio recuerda que el dominio de cualquier función polinomial es
el conjunto de los números reales.

 El contra dominio se calcula de la siguiente manera:
 Observa que cuando x es positivo, el resultado de elevarlo al cubo es positivo
también.
 Cuando x es negativo el resultado de elevarlo al cubo es negativo.
Entonces, el contra dominio también es el conjunto de los números reales, porque
cuando x.
Crece mucho los resultados de elevarlo al cubo también crece mucho.
Esto mismo pasa con valores tanto positivos como negativos.
La gráfica de la función quedaría así:
Observa que la función f (x) = x3 puede factorizarse
como y = x • x • x. Para encontrar una raíz de la
función debemos contestar a la pregunta:
« ¿Qué número multiplicado por sí mismo tres veces es
igual a cero?»
Y la respuesta es obvia:
«El número cero multiplicado por sí mismo nos da
cero», (0)(0)(0) = 0.
Es decir, x = 0 es una raíz de la función, porque
f (0) = 0.
Ejemplo 2
Grafica la siguiente función polinomial:
𝑦 = 𝑥3
− 𝑥
Calcula, además, sus raíces y su dominio y contra dominio
Empezamos calculando sus raíces.
 Para eso factorizamos la expresión:
y = x • (x2 − 1) = x • (x + 1) • (x − 1)
De esta factorización calculamos fácilmente las raíces de la función.
Para que el producto de los tres factores sea cero se requiere que al menos uno de
ellos sea cero.
Tenemos tres casos: x = −1, x = 0, y x = 1.
Entonces, la función corta al eje x en x = −1, x = 0 y x = 1.
De nuevo, él dominio es el conjunto de los números reales, por cerradura.
Y el contra dominio también, porque cuando los valores de x crecen f (x) crece
Esto ocurre para valores positivos como negativos

 La gráfica de esta función es la siguiente:
Ahora observa que la función
evaluada en x = −1, o en x = 0, o en
x = 1 hace que f (x) = 0, y que la
factorización queda:
y = x3 − x = x · (x + 1) · (x + 1)
Es decir, si r es una raíz de la
función polinomial y = f (x) de
grado n, entonces podemos
factorizarla como
y = f (x) = (x − r) · g(x)
Donde g(x) es otra función
polinomial de grado n − 1.
 Ejercicio 𝒚 = 𝒙 𝟑
+ 1
La función nos dice: << El valor que me
dé lo vamos a multiplicar por sí mismo 3
veces y al resultado se le suma 1>>
Es decir corremos el grafico de la
función 𝑦 = 𝑥3
verticalmente una unidad
para obtener la función 𝑦 = 𝑥3
+ 1
Solo basta hacer una traslación vertical a
la grafica de 𝑦 = 𝑥3
para obtener la
grafica de la función 𝑦 = 𝑥3
+ 1

Función Polinomiales grado 4
Una ecuación de cuarto grado o ecuación cuartica con una
incógnita es una ecuación algebraica que se puede poner bajo la
forma canónica:
Donde a, b, c, d y e (siendo )
Son números que pertenecen a un cuerpo, usualmente a
los reales o los complejos .
Funciones
polinomiales
de grado 4
Gráfico de una función polinómicas de cuarto grado
Función de formula:
F(x) =
a≠ (distinto) 0.
b, c, d y e son números reales.
La función cuártica tiene un comportamiento parecido a la parábola, sólo que el crecimiento es
más rápido.

 Forma estándar. F(x)= a ( x - h )4
+k
 En la función cuartica el dominio es el conjunto de números reales, pero el rango
sólo es una parte de ellos, a diferencia de la función cúbica la cual cruza desde
hasta -∞ hasta ∞
 Los parámetros en el caso de que “a” sea positivo la función tiende infinitamente
hacia arriba, si el parámetro “a” es negativo, la función tiende infinitamente hacia
abajo.

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS: TRES Y CUATRO.
Propiedades geométricas de las funciones Polinomiales de 3°
Se debe tener presente que se trata de una función polinomial y que su trazo es continuo.
La función de grado tres tiene un gran parecido con una función lineal, en el caso de que el
coeficiente principal sea positivo, una rama se extiende por el tercer cuadrante y la otra por el
primer cuadrante del plano cartesiano.
En el caso de que el coeficiente principal sea negativo, entonces una rama se extiende desde
el segundo cuadrante y la otra por el cuarto cuadrante del plano cartesiano.
El dominio y el rango de la función cúbica son todos los números reales.
Propiedades geométricas de las funciones Polinomiales de 4°
Se debe tener presente que se trata de una función polinomial y que su trazo es continuo.
La función de cuarto grado tiene un gran parecido con una función cuadrática, en cuanto a
que sus ramas se extienden hacia arriba del plano cartesiano.
En el caso de que el coeficiente principal sea negativo, entonces sus ramas se extienden
hacia la parte inferior del plano cartesiano.
El dominio de la función de cuarto grado son todos los números reales y su rango no.
Método de solución de tercer grado Es importante que se establezcan los puntos de
intersección de la gráfica con el eje horizontal (ceros de la función), para ello hay que
proceder a descomponer el polinomio en sus factores lineales.
Esto se logra comúnmente aplicando el teorema del factor:
Si r es una raíz de la ecuación polinomial f(x) = 0, es decir, f(r) = 0, entonces [x - r] es un
factor de f(x).
La función cúbica tiene al menos un cero real, es decir, corta al menos una vez al eje
horizontal.
Presenta como máximo tres raíces reales. En caso de presentar una raíz compleja, ésta viene
acompañada de su conjugado, es decir mientras una raíz tiene la forma a + bi, la otra tiene la
forma - bi.
La intersección con el eje vertical se obtiene fácilmente evaluando la función con f(0).
Para saber cuántos ceros reales positivos tiene la función aplicamos la regla de Descartes en
la función f(x) = a3x3 +a2x2+a1x+a0, identificando los cambios de signo en términos
consecutivos.
Para saber cuántos ceros reales negativos tiene la función aplicamos la regla de Descartes en
la función f(x) = a3x3 +a2x2+a1x+a0, identificando los cambios de signo en términos
consecutivos.
Existe la posibilidad de acotar (delimitar) la raíces reales de una función cúbica, utilizando la
división sintética. Es decir, se puede localizar la cota superior y la cota inferior del intervalo en
dónde buscar las raíces de la función. Para encontrar la cota superior, el residuo de la división
sintética debe ser mayor que 0 y todos los números del renglón del cociente deben ser no
negativos. Para la cota inferior el residuo debe ser un valor menor que 0 y todos los números
del renglón del cociente deben ser con signos alternados.
Para obtener las raíces racionales de un polinomio, podemos aplicar el criterio siguiente: si el
polinomio f(x) = a3x3 +a2x2+a1x+a0, tiene coeficientes enteros y p/q es un cero racional,
entonces p es un factor del término constante 𝑎0. Y q es un factor de 𝑎3.

Métodos de Solución en funciones de cuarto grado Es importante que se establezcan los
puntos de intersección de la gráfica con el eje horizontal (ceros de la función), para ello hay
que proceder a descomponer el polinomio en sus factores lineales. Esto se logra comúnmente
aplicando el teorema de factor: si r es una raíz de la ecuación polinomial f(x) = 0; es
decir, f(r) = 0, entonces x - r es un factor de f(x).
La función de cuarto grado puede carecer de ceros reales. En el mejor de los casos puede
llegar a tener hasta cuatro ceros reales.
La función cúbica tiene al menos un cero real, es decir, corta al menos una vez al eje
horizontal.
Presenta como máximo tres raíces reales. En caso de presentar una raíz compleja, ésta viene
acompañada de su conjugado, es decir mientras una raíz tiene la forma a + bi, la otra tiene la
formaa - bi.
La intersección con el eje vertical se obtiene fácilmente evaluando la función con f(0).
Para saber cuántos ceros reales positivos tiene la función aplicamos la regla de Descartes en
la función f(x) = a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0, identificando los cambios de signo en términos
consecutivos.
Para saber cuántos ceros reales negativos tiene la función aplicamos la regla de Descartes en
la función f(x) = a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0, identificando los cambios de signo en términos
consecutivos.
Existe la posibilidad de acotar (delimitar) la raíces reales de una función cúbica, utilizando la
división sintética. Es decir, se puede localizar la cota superior y la cota inferior del intervalo en
dónde buscar las raíces de la función.
Para encontrar la cota superior, el residuo de la división sintética debe ser mayor que 0 y
todos los números del renglón del cociente deben ser no negativos.
Para la cota inferior el residuo debe ser un valor menor que 0 y todos los números del
renglón del cociente deben ser con signos alternados.
Para obtener las raíces racionales de un polinomio, podemos aplicar el criterio siguiente: si el
polinomio f(x) = a4x4 + a3x3 +a2x2+a1x+a0, tiene coeficientes enteros y p/q es un cero racional,
entonces p es un factor del término constante 𝑎0. y q es un factor de 𝑎3

Estos ejercicios estarán aplicados a las carreras Económicas y
de Ingeniería.
Ejercicios de Funciones Polinomiales13

Ejercicios Aplicados a la
Economía
14

Ejercicios aplicados a Economía
15
EJERCICIO 1: Una empresa en un 1 año hace 4 gastos fijos uno cada tres meses y recibe dinero
de accionistas tres veces al año, cabe destacar también que en su presupuesto anual aparecen
dos compras de su mayores proveedores realizadas cada 4 meses dejando 4 de por medio para
recuperar parte del capital invertido, pero así mismo reconoce que tiene diferentes gastos al año
y considera una ganancia del 6 sobre el capital a ganar.
Se pide:
Cree la función que muestre los gastos anuales mas el dinero recibido por sus accionistas, así
como las compras realizadas y los gastos de la empresa y el incremento sobre el capital.
Desarrolle la función y grafíquela, sin olvidar encontrar el dominio y el rango de la función.
F(x)= 12x4 + x3 − 8x2 − x + 6 = 0
Las soluciones son: x = 1, x = − 1, x = −2 y x = 3/2
12𝑥4
+ 𝑥3
+ 8𝑥2
+ 𝑥 + 6 = 0

La empresa Pavito Criollo en su cuarto trimestre muestra su capital de trabajo, asi mismo
muestra su plan trimestral para el siguiente año donde incluye los gastso a largo plazo de
años y 4 meses para los siguientes dos periodos consecutivos.
Elabore:
la función creada
el desarrollo de la función y su respectiva gráfica.
Encuentre el dominio y el rango de la función.
2) F(X) =

La empresa “Concha y Toro” S.A de C.V muestra sus resultados de los dos años presupuestados
de ventas en el periodo pasado con una ganancia de la tercera parte del total vendido,
tomando encuesta los gastos ocasionados a la empresa en concepto por sus siete proveedores
durante los dos periodos o años y considerando los ingresos de sus ocho salas de venta, así
como los gastos transcurridos en cada trimestre del año dos.
Elabore:
la función creada
el desarrollo de la función y su respectiva grafica
el dominio y el rango de dicha función.
F(x) = 2x3 − 7x2 + 8x − 3 = 0
P(1) = 2 · 13 − 7 · 12 + 8 · 1 − 3 = 0
(x −1 ) · (2x2 − 5x + 3 ) = 0
P(1) = 2 · 1 2 −5 · 1 + 3 = 0
(x −1 )2 · (2x −3 ) = 0
Las raíces son: x = 3/2 y x = 1
x P(x) Y
-1 -20 -1, -20
0 0 0, 0
1 20 1, 20

Una empresa de Call Center clasifica las llamadas recibidas durante el día de las
siguientes maneras o parámetros:
* si un operador contesta mas de tres veces se considera como atención al cliente directa.
* si un operador contesta dos veces se considera se considera llamada base de datos.
* si un operador contesta menos de cuatro llamadas entonces se considera como de
atención al cliente.
Elabore:
la función creada.
El desarrollo de la función con su grafica y dominio y rango.
F(x) = x3 − x2 − 4 = 0
{±1, ±2, ±4 }
P(1) = 1 3 − 1 2 − 4 ≠ 0
P(−1) = (−1) 3 − (−1) 2 − 4 ≠ 0
P(2) = 2 3 − 2 2 − 4 = 8 − 4 − 4 = 0
(x − 2) · (x2+ x + 2 ) = 0
x2+ x + 2 = 0
(x − 2) · (x2+ x + 2 ) = 0
Raíz: x = 2.
x P(x) X, Y
-1 -6 -1, -6
0 0 0, 0
1 -4 1, -4
2 0 2, 0
3 14 3, 14

El restaurante Laca Laca ofrece 6 tipos de platos diferentes con tres nuevas especialidades,
además ofrece siete entradas de degustaciones con dos nuevas opciones de preparación, así mismo
da a conocer a sus clientes las 9 bebidas menos consumidas por sus clientes y sugiere consumir las
dos bebidas mas preferidas.
Elabore:
la función creada.
El desarrollo de la función con su respectiva grafica.
5)F(x) = 6x3 + 7x2 − 9x + 2 = 0
{±1, ±2}
P(1) = 6 · 13 + 7 · 12 − 9 · 1 + 2 ≠ 0
P(−1) = 6 · (−1)3 + 7 · (−1)2 − 9 · (−1) + 2 ≠ 0
P(2) = 6 · 2 3 + 7 · 2 2 − 9 · 2 + 2 ≠ 0
P(−2) = 6 · (−2)3 + 7 · (−2)2 − 9 · (−2) + 2 = − 48 + 28 + 18 + 2 = 0
(x+2) · (6x2 −5x +1) = 0
6x2 −5x +1 = 0
6 (x + 2) · (x − 1/2) · (x − 1/3) = 0
Raíces: x = − 2, x = 1/2 y x= 1/3
x P(x) X, Y
-1 12 -1, 12
0 0 0,0
1 6 1, 6

cable tv clasifica su programación con base a los siguientes criterios:
• el canal visto más de tres por sus clientes.
• Los tres canales más vistos de noticias pero solo vistos dos veces al día.
• Los cuatro canales menos vistos por los usuarios.
• Los doce canales que sus clientes nunca anexan a su paquete de servicio de cable.
Con los siguientes datos realice:
la función creada.
El desarrollo de la función y su respectiva gráfica.
F(x) = x3 + 3x2 − 4x − 12 = 0
{±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 }
P(1) = 13 + 3 · 12 − 4 · 1 − 12 ≠ 0
P(−1) = (−1)3 + 3 · (−1)2 − 4 · (−1) − 12 ≠ 0
P(2) = 23 + 3 · 22 − 4 · 2 − 12 =
= 8 + 12 − 8 − 12 = 0
(x − 2) · (x2 − 5x +6) = 0
x2 − 5x +6 = 0
(x − 2) ·(x + 2) ·(x +3) = 0
Las soluciones son : x = 2, x = − 2, x = − 3.
x P (x) X, y
-1 -6 -1,-6
0 0 0, 0
1 -12 1, -12
2 0 2,0
3 30 3, 30

Ejercicios aplicados a la
Ingeniería
21

Ejercicio 7
En un día determinado los registros de temperatura en una zona rural entre la hora 0 y la
hora 24 se ajustan a la función:𝑪 𝒕 = 𝟒𝒕 𝟑
+ 𝟐𝒕 𝟐
− 𝟐𝒕 − 𝟒
- Determine los valores de cada variable de forma dependiente
-¿Qué temperatura se registró a la 1 de la mañana?
𝐶 𝑡
= 𝑡 − 1 (4𝑡2
+ 6𝑡
+ 4)
Valores de cada
variable:
𝐶(𝑡)
=
−6 ± (6)2−4(4)(4
2(4)
𝐶(𝑡) =
−6 ± −28
8
𝑡1 = 1
𝑡2 =
−6 + −28
8
𝑡2 =
−6 − −28
8
No hay solución en los
reales, sus valores son
imaginarios
𝐶 𝑡 = 𝑡 − 1 (
−6 ± −28
8
)
SOLUCION:
Ct=4t3 +2t2 -2t-4 Divisores de la función:
±1, ±2, ±4
𝐶 𝑡 = 4𝑡3
+ 2𝑡2
− 2𝑡 − 4
𝐶 8 = 4(8)3
+ 2(8)2
−2(8) − 4
𝐶 1 = 4(1)3
+ 2(1)2
−2(1) − 4
𝐶 1 = 0
R/ A la una de la mañana se registró una temperatura de 0 grados centígrados

8

𝑣 =
1
3
(𝑥2
) 𝑥 − 2 𝑦 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑉 = 25 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒:
25 =
1
3
𝑥2
𝑥 − 2
25 =
1
3
𝑥3
− 2𝑥2
25 3 = 𝑥3
− 2𝑥2
75 = 𝑥3
− 2𝑥2
𝑥3
− 2𝑥2
− 75 = 0
Las soluciones posibles para x son: ±1, ±3, ±5, ± 15, ±25,
±75.
Considerando solo las posibles soluciones positivas para
probar las posibles soluciones de x encontramos que:
P(s)=(5)3
−2 5 2
− 75
Aplicando la división sintética se obtiene:
5
1 -2 0 -75
5 15 75
1 3 15 0
9

El resultado nos dice que x-5 es un factor,
entonces P(x)=(x-5)(𝑥2
+ 3x + 15)
Las soluciones para 𝑥2
+ 3x + 15 = 0 son complejas conjugadas las cuales se descartar
como posibles soluciones del problema.
Por lo tanto, se concluye:
Que la base del molde de la vela debe ser un cuadrado de 5 pulgadas de lado y la altura de
h=5-2= 3 pulgadas.
Ejercicio 10. La posición de una partícula al cabo de t segundos es P(t) = 2t3 – 11t2 + 13t – 1,
y su posición al cabo de 1 segundo es 3. ¿En qué otros instantes la posición es igual a 3?
Solución:
Lo que se pide es en que otros instantes la posición es igual a 3 o sea P(t) = 3, igualando la
función a 3 tenemos:
3 = 2t3 – 11t2 + 13t – 1
Esta es una ecuación de tercer grado que podemos escribir como:
2t3 – 11t2 + 13t – 4 = 0
Se nos dice en el problema que al cabo de 1 segundo la posición es igual a 3, esto quiere
decir que t=1 es una raíz y lo podemos comprobar por medio de la división sintética.

2𝑡3
− 11𝑡2
+ 13𝑡 − 4 = 0
1
2 -11 13 -4
2 -9 4
1 -2 4 0
Residuo= 0, es decir +1=1 es una raíz y (𝑡 − 1) es factor entonces:
2𝑡3
− 11𝑡2
+ 13𝑡 − 4 = 𝑡 − 1 2𝑡2
− 9𝑡 + 4
Hacemos 2𝑡2
− 9𝑡 + 4 = 0 y resolvemos
𝑡1 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
−9 ± 21 − 32
4
=
−9 ± 49
4
=
−9 ± 7
4
=
9+7
4
=
16
4
= 4 =
9−7
4
=
2
4
=
1
2
Los otros instantes donde la posición es igual a 3 son cuando t=0,5 segundo y cuando
t= 4 segundos.

conclusión
Se comenzó buscando la definición de la palabra función. Luego, se profundizo el
tema investigando sobre ciertas funciones matemáticas específicas, tales como la
función cúbica y cuadrática. Para cada una de las funciones se lograron comprender
los modelos de ecuaciones matemáticas, que nos permiten resolver cualquier
situación que se nos presente en la vida diaria.
Se Obtuvo un resultado muy positivo al finalizar el trabajo, debido a que incorporo
gran cantidad de nuevos conocimientos y también descubrimos una nueva manera
de enfrentar problemáticas en campos donde creíamos que la matemática no se
utilizaría.
Se puede afirmar que las funciones matemáticas han facilitado la labor en muchas
ciencias y son sumamente necesarias para obtener resultados precisos para cada
situación y carrera.

Bibliografía
 Pre calculo
Enfoque de resolución de problemas
Prado, Santiago, Aguilar, Rodríguez, Quezada, Gómez, Ruiz y Florido.
Pearson educación, México 2006
 JIMÉNEZ, RENE Funciones, Pearson Educación, México, 2006
 Larson-Hostetler. Algebra, Publicaciones cultural, México, 2001
 Frank S. Budnick, Matemáticas Aplicadas para Administración, Economía y
Ciencias Sociales, Cuarta Edición, Mc Graw Hill, 2007
 J. Stewart, L. Redlin , S.Watson Pre calculo 3 edición

Anexos
Ejemplos de funciones de
cuarto grado
Ejemplos de
funciones de 3°

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