El documento habla sobre las series de Fourier. Explica que son series infinitas que descomponen funciones periódicas en funciones senoidales más simples. También resume la biografía de Jean-Baptiste Joseph Fourier, el matemático francés que desarrolló la teoría de las series de Fourier. Finalmente, da ejemplos de cómo calcular los coeficientes de Fourier de una señal y aplicar un filtro de frecuencias.

1. . Serie de Fourier Docente: Wuilmer Colmenares Bachilleres: Ronny Arias 18.237.120 Eric Camacho 18.561.588 Edgar Guevara 18.828.208 Miguel Rivas 13.156.905 Ciudad bolívar 21 de abril del 2010

2. Contenido Desarrollo Reseña histórica Biografía Concepto Propiedades Ejercicio de serie fourier

3. Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función continua y periódica. Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinitesimal de funciones senoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras). El nombre se debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier que desarrolló la teoría cuando estudiaba la ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y publicando sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama algunas veces Análisis armónico. Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Áreas de aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de un sistema para la señal portadora del mismo. Refierase al uso de un analizador de espectros. Las series de Fourier tienen la forma: Donde y se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la función Desarrollo

4. Jean-Baptiste-Joseph Fourier (21 de marzo de 1768 en Auxerre - 16 de mayo de 1830 en París), matemático y físico francés conocido por sus trabajos sobre la descomposición de funciones periódicas en series trigonométricas convergentes llamadas Serie de Fourier, método con el cual consiguió resolver la ecuación del calor. La transformada de Fourier recibe su nombre en su honor. Fue el primero en dar una explicación científica al efecto invernadero en un tratado. Se le dedicó un asteroide que lleva su nombre y que fue descubierto en 1992. Reseña hitorica de serie de fourier

5. Auxerre, Francia, 1768-París, 1830) Ingeniero y matemático francés. Era hijo de un sastre, y fue educado por los benedictinos. Los puestos en el cuerpo científico del ejército estaban reservados para familias de estatus reconocido, así que aceptó una cátedra militar de matemáticas. Tuvo un papel destacado durante la revolución en su propio distrito, y fue recompensado con una candidatura para una cátedra en la École Polytechnique. Fourier acompañó a Napoleón en su expedición oriental de 1798, y fue nombrado gobernador del Bajo Egipto. Aislado de Francia por la flota británica, organizó los talleres con los que el ejército francés debía contar para sus suministros de munición. También aportó numerosos escritos sobre matemáticas al Instituto Egipcio que Napoleón fundó en El Cairo. Tras las victorias británicas y la capitulación de los franceses al mando del general Menou en 1801, Fourier volvió a Francia, donde fue nombrado prefecto del departamento de Isère, y empezó sus experimentos sobre la propagación del calor. Se trasladó a París en 1816, y en 1822 publicó Teoría analítica del calor, basándose en parte en la ley del enfriamiento de Newton. A partir de esta teoría desarrolló la denominada «serie de Fourier», de notable importancia en el posterior desarrollo del análisis matemático, y con interesantes aplicaciones a la resolución de numerosos problemas de física (más tarde, Dirichlet consiguió una demostración rigurosa de diversos teoremas que Fourier dejó planteados). Dejó inacabado su trabajo sobre resolución de ecuaciones, que se publicó en 1831 y que contenía una demostración de su teorema sobre el cálculo de las raíces de una ecuación algebraica. Biografia

6. Si es una función (o señal) periódica y su período es 2 T , la serie de Fourier asociada a es: Donde y son los coeficientes de Fourier que toman los valores: Por la identidad de Euler, las fórmulas de arriba pueden expresarse también en su forma compleja: Los coeficientes ahora serían: Concepto

7. Propiedades

8. En este caso, los coeficientes de Fourier nos dan esto: Si la serie de Fourier converge hacia: ƒ ( x ) de cada punto x donde ƒ es diferenciable : |

9. La representación en serie de Fourier de una señal dada f(t) en un intervalo (0,T) es a.- Determine el valor de T.: De la expresión se ve que T=0.5 seg. b.- Encuentre el promedio de f(t) en el intervalo dado.: El promedio de f(t) viene dado por C0 = 0.79 c.- Dibuje el correspondiente espectro de fase para Cn.: El espectro de fase viene dado por: Fase de Cn = -arctg(4πn) . Ejercicio

10. Se hace pasar la siguiente señal x(t) por un sistema cuya función transferencia viene dada por H(jω)=-j si 0.5 Hz<f<1 Hz, H(jω)=j si -1 Hz<f<-0.5 Hz y H(jω)=0 en el resto. Determine la expresión de la señal de salida y(t). Se observa que el período de esta señal es de 4 segundos, o lo que es lo mismo la frecuencia fundamental es de 0.25 Hz. Por lo tanto el filtro solo deja pasar las componentes correspondientes a n=2,3,4. Para calcular los coeficientes Cn es preferible derivar la Señal Así: Ejercicio