La serie de Fourier y la transformada de Fourier son herramientas matemáticas desarrolladas por Joseph Fourier a principios del siglo XIX que permiten descomponer funciones en ondas sinusoidales elementales. La serie de Fourier representa funciones periódicas como una suma infinita de senos y cosenos, mientras que la transformada de Fourier transforma funciones entre los dominios del tiempo y la frecuencia. Estas herramientas tienen numerosas aplicaciones en áreas como las telecomunicaciones, el procesamiento de señales, y el análisis de sistemas.

1. SERIES DE FOURIER
Fue el matemático francés Joseph Fourier, a principios del siglo XIX, quien encontró que
una función periódica se puede representar como una suma infinita ponderada de
términos en senos y cosenos(la serie de Fourier), mientras que en el caso de funciones
no periódicas la representación se da por medio de una integral (la transformada de
Fourier).Esto dio origen al Análisis Armónico, rama de la Matemática que estudia la
representación de funciones o señales como superposición de ondas de base (los
armónicos). En el caso de las series de Fourier estos son sinusoidales y por tanto las
series son trigonométricas. A partir de la segunda mitad del siglo XIX se aplica esta teoría
a datos de fenómenos relacionados con el sonido, la imagen, el clima, la mecánica
cuántica o las neurociencias. Existen también versiones discretas de la serie y de la
transformada de Fourier. Polinomios trigonométricos Una función se dice periódica de
período si La función es periódica con período para cualquier entero, y lo mismo la función
que se denomina polinomio trigonométrico de grado inferior o igual a N. Este polinomio
puede escribirse como combinación lineal de senos y cosenos.
Por tanto la serie de Fourier solo contiene términos cosenos si la función es par: Si la
función es impar la serie de Fourier solo tendrá términos senos
SERIE DE FOURIER
Sea una función f (t) una función periódica de periodo T, la cual se puede representar por
la serie trigonométrica
Donde w 0=2p /T.
Una serie como la representada se llama serie trigonométrica de Fourier. Esta serie
también se puede representar así:
¿Para qué sirven?
Una onda es de la forma Acos(wt) (o también Asen(wt)) donde w es la frecuencia
de la onda, A su amplitud y f su fase.
La serie de Fourier descompone una función como suma de ondas. Lo cual implica
que cualquier función la podemos descomponer en ondas simples.
En telecomunicaciones es fundamental. Podemos recrear cualquier señal por
medio de ondas simples, es decir, dada una señal (por muy compleja que sea) la
podemos descomponer en ondas simples.

2. Las series de Fourier se utilizan, en ingeniería, en todo lo que tenga que ver con el
análisis de señales en circuitos eléctricos, el análisis de señales en el dominio del tiempo
se realiza a través de las series de Fourier
Aplicaciones
 Generación de formas de onda de corriente o tensión eléctrica por medio de
la superposición de senoides generados por osciladores electrónicos de
amplitud variable cuyas frecuencias ya están determinadas.
 Análisis en el comportamiento armónico de una señal
 Reforzamiento de señales.
 Estudio de la respuesta en el tiempo de una variable circuital eléctrica donde
la señal de entrada no es senoidal o cosenoidal, mediante el uso de transformadas
de Laplace y/o Solución en régimen permanente senoidal en el dominio de la
frecuencia.
 Aplicación en procesamiento digital de señales
 Aplicaciones en la medicina
Diagnóstico automático: La ecografía permite registrar la vibración de cada una de las
membranas del corazón, proporcionando una curva periódica. Un programa de
ordenador calcula los primeros términos de las sucesiones (coeficientes de
Fourier).
 El problema isoperimétrico
 Temperatura de la tierra
 Evaluación de series no triviales
 La desigualdad de Wirtinger
 Solución de ecuaciones diferenciales
 Flujo del calor
 Ecuación de ondas
 Formula de Poisson
 Identidad de Jacobi
La transformada de Fourier
Una transformada de Fourier es una operación matemática que transforma una señal
de dominio de tiempo a dominio de frecuencia y viceversa.
Denominada así por Joseph Fourier, es una transformación matemática empleada para
transformar señales entre el dominio del tiempo(o espacial) y el dominio de la frecuencia,
que tiene muchas aplicaciones en la física y la ingeniería. Es reversible, siendo capaz de
transformaciones de cualquiera de los dominios al otro. El propio término se refiere tanto a
la operación de transformación como a la función que produce.

3. En el caso de una función periódica en el tiempo (por ejemplo, un sonido musical continuo
pero no necesariamente sinusoidal), la transformada de Fourier se puede simplificar para
el cálculo de un conjunto discreto de amplitudes complejas, llamado coeficientes de
las series de Fourier. Ellos representan el espectro de frecuencia de la señal del dominio-
tiempo original.
La transformada de Fourier es básicamente el espectro de frecuencias de una función. Un
buen ejemplo de eso es lo que hace el oído humano, ya que recibe una onda auditiva y la
transforma en una descomposición en distintas frecuencias (que es lo que finalmente se
escucha). El oído humano va percibiendo distintas frecuencias a medida que pasa el
tiempo, sin embargo, la transformada de Fourier contiene todas las frecuencias del tiempo
durante el cual existió la señal; es decir, en la transformada de Fourier se obtiene un sólo
espectro de frecuencias para toda la función.
Sea una función Lebesgue integrable:
La transformada de Fourier de es la función
Esta integral tiene sentido, pues el integrando es una función integrable. Una
estimativa simple demuestra que la transformada de Fourier es una función
acotada. Además por medio del teorema de convergencia dominada puede
demostrarse que es continua.
La transformada de Fourier inversa de una función integrable está definida por:
Nótese que la única diferencia entre la transformada de Fourier y la transformada
de Fourier inversa es el signo negativo en el exponente del integrando. El teorema
de inversión de Fourier formulado abajo justifica el nombre de transformada de
Fourier inversa dado a esta transformada. El signo negativo en el exponente del
integrado indica la traspolación de complementos yuxtapuestos. Estos
complementos pueden ser analizados a través de la aplicación de la varianza para
cada función.
La transformada de Fourier sirve en la ingeniería, especialmente para la caracterización
frecuencial de señales y sistemas lineales. Es decir, la transformada de Fourier se utiliza
para conocer las características frecuenciales de las señales y el comportamiento de los
sistemas lineales ante estas señales.

4. Aplicaciones
=EN LAS COMUNICACIONES=
1. CONVOLUCIÓN DE DOS SEÑALES.- Hace referencia a un operador matemático
expresado con el símbolo del asterisco (*) y la cual nos permite que dos funciones f y
g generen una tercera función, es decir, nos permite relacionar tres señales: la señal
de entrada, la respuesta al impulso y la señal de salida.
2. TEORÍA DEL MUESTREO.- Esta teoría busca convertir una señal analógica en una
secuencia de números separados uniformemente en el tiempo además reconstruir
exactamente una señal periódica a partir de sus muestras.
3. MODULACIÓN DE AMPLITUD.-La modulación es un método para obtener una
transmisión más eficiente, en el caso de la modulación por amplitud consiste en varias
la amplitud de la onda portadora de forma que esta cambie de acuerdo con las
variaciones de la señal moduladora, la cual contiene la información que se quiere
transmitir.
4. MODULACIÓN ANGULAR.-Una señal analógica puede ser variada en:
 Amplitud.
 Fase
 Frecuencia
La modulación en fase (PM) y la modulación en Frecuencia (FM), son formas de
modulación angular Ventajas de la modulación angular respecto a la modulación por
amplitud:
 Reducción de ruido.
 Fidelidad mejorada del sistema.
 Uso más eficiente de la potencia.
5. MODULACIÓN POR AMPLITUD DE PULSO (MAP)
En la modulación por amplitud, se puede modular:
 La amplitud.
 La duración del pulso.
 La posición del pulso.