Clase N°1 de matemáticas propiedades de las potencias

1. MATEMÁTICAMATEMÁTICA
Clase 1
Propiedades de las potencias

2. APRENDIZAJ
ES
ESPERADOS
• Interpretar la
potencia de 10 y la
notación científica
en situaciones
cotidianas.
• Aplicar propiedades y operatoria
de potencias (multiplicación,
división, potencia de potencia) en
la resolución de problemas.
• Transformar
números
decimales y
enteros múltiplos
de 10 a
potencias de 10.
• Comprender la
definición de potencias
de base racional y
exponente entero

3. Contenidos
1. Definición de potencias
• Base entera y exponente entero
• Base racional y exponente entero
2. Signos de una potencia
• Exponente par
• Exponente impar
3. Propiedades
• Operaciones
• Exponentes de una potencia
4. Potencia de 10
• Definición
• Notación científica

4. 1. Definición de potencias
Una potencia es una multiplicación reiterada de términos o números
iguales. El término o número que se va multiplicando, se llama base;
la cantidad de veces que se multiplica dicha base se llama exponente.
an
= a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ …a ∙ ∙ a
n veces
44
= 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙4 =
(– 5)2
= (– 5)∙ (– 5) = 25
256
Ejemplo:
Nota: – 52
≠ (– 5)2,
ya que: – 52
= (–1)·(5 ∙ 5) = – 25 y
(– 5)2
= (– 5) · (– 5) = 25
.00
≠n
atal que,
1.1 Base entera y exponente entero

5. 1.1 Base racional y exponente entero
1. Definición de potencias
En las potencias de base racional, el exponente entero eleva tanto al
denominador como al numerador.
2) 2
5
4
=
16
625
=
2
5
2
5
2
5
2
5
∙ ∙ ∙– – – – –
Ejemplos:
1) 8
3
2
=
64
9
=
8 8
3 3
∙
3
=
8
2
2
∙

6. 2.1 Exponente par
2. Signos de una potencia
Las potencias con exponente par, son siempre positivas.
(– 13) ∙ (– 13) = 1691) (– 13)2
=
2) 3
7
4
=
3
7
∙ ∙– –
Ejemplos:
7
–3
7
∙–
7
–3 3
2.401
81
=

7. En las potencias con exponente impar, la potencia conserva el signo de
la base.
Ejemplos:
1) (– 9)3
= (– 9) ∙ (– 9) ∙ (– 9) = – 729
2) 2
3
5
= =
32
243
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
∙ ∙ ∙ ∙
2.2 Exponente impar
2. Signos de una potencia

8. 3.1 Operatoria
3. Propiedades de potencias
1) De igual base
Se conserva la base y se suman los exponentes.
an+m
an
∙ am
=
62 + 362
∙ 63
= = 65
2) De igual exponente:
Ejemplos:
Se multiplican las bases, conservando el exponente.
(a ∙ b)n
an
∙ bn
=
67
∙ 24
∙ 34
= 67
∙ (2 ∙ 3)4
= 67
∙ 64
= 611
• Multiplicación

9. 1) De igual base
Se conserva la base y se restan los exponentes.
an – m
an
: am
=
2) De igual exponente:
Ejemplos:
Se dividen las bases, conservando el exponente.
(a : b)n
an
: bn
=
532
54
= = 528
532 – 4
(Con a distinto de cero)
(Con b distinto de cero)
87
:
24
164
= 87
: (16 : 2)4
= 87
: 84
= 83
3.1 Operatoria
3. Propiedades de potencias
• División

10. Se multiplican los exponentes.
(an
)m
= an ∙ m
(1112
)3
= 1112 ∙ 3
= 11 36
Ejemplo
3. Propiedades de potencias
3.1 Operatoria
• Potencia de una potencia
 Propongan un ejemplo para el caso de base racional

11. =
2
3
3 23
3
ya que:
y =23
3
= 2∙2∙2
3
8
3
2
3
3
= = 8
27
2
3
2
3
2
3
∙ ∙
Nota: No existe una regla para sumar o restar potencias, sin embargo
cuando se tiene suma o resta de potencias exactamente iguales, se
pueden reducir como términos semejantes.
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
+ + + + =
m m m m m
5 ·
2
3
m
Ejemplo
3. Propiedades de potencias
3.1 Operatoria
• Operaciones entre potencias
FACTORIZAR!

12. a0
= 1 (Para todo a distinto de cero)
Ejemplo
1
5
– 3,8
9 – (16 – 7)
=
1
5
– 3,8
0
= 1
00
: indefinido
3. Propiedades de potencias
3.2 Exponentes de una potencia
• Exponente 0

13. Ejemplo
Se invierte la base y se eleva al exponente positivo.
1) Potencia de exponente negativo y base entera:
(Con a distinto de cero)
1a– n
=
a
n
=
1
an
3–3
∙ 12
4
3
= ∙ (3)3
3
3
1
=
3
1∙ 3
3
= 1
3
= 1
3. Propiedades de potencias
3.2 Exponentes de una potencia
• Exponente negativo

14. Ejemplo
2) Potencia de exponente negativo y base fraccionaria:
a
b
– n
=
b
a
n
(Con a distinto de cero
y b distinto de cero)
23
=
332
3
– 3
=
3
3
2
=
27
8
__
3. Propiedades de potencias
3.2 Exponentes de una potencia
• Exponente negativo

15. 4. Potencia de 10
1) Con exponente positivo:
101
= 10
102
= 100
103
= 1.000
32.000.000 = 32 ∙ 1.000.000
= 32 ∙ 106
.
.
.
Ejemplo
4.1 Definición
Si la base de una potencia es 10, el exponente indicará la
cantidad de ceros que acompañarán al 1 inicial.
Si el exponente tiene
valor 1, entonces solo un
cero acompaña a uno, si
es 2 entonces dos ceros
lo acompañan, y así
sucesivamente.

16. 2) Con exponente negativo:
Ejemplo
0,1
100
=1 0,01
10–3
=
1
1.000
= 0,001
10–1
=
10–2
=
.
.
.
10
=
1
5
1072
100.000
72
0,00072 −
⋅==
4. Potencia de 10
4.1 Definición
Exponentes negativos
indican el número de
decimales después de
la coma.

17. 4. Potencia de 10
4.2 Notación científica
Existen situaciones que suelen ser descritas a través de números muy
grandes o muy pequeños. ¿Qué hacer en tal caso?
Expresar el número en notación científica
La notación científica corresponde a la escritura de cualquier número
como una potencia de 10 multiplicada por un número entre 1 y 10, sin
incluir a este último.
Ejemplo
5
1040002,3000.10040002,3002.340 ⋅=⋅=

18. Síntesis de la clase
Signos de una potencia
Potencias
an
= a ∙ a ∙ a ∙ …a ∙ ∙ a
n veces
Propiedades Potencias de 10
Exponente par
Exponente impar
(– 2)2
= −2∙ −2 = 4
(– 2)3
= −2∙ −2 ∙ −2 =−8
an+m
an
∙ am
=
(a ∙ b)n
an
∙ bn
=
Multiplicación
División
an – m
an
: am
=
(a : b)n
an
: bn
=
(an
)m
= an ∙ m
Potencia de una
potencia
101
= 10
102
= 100
Exponente positivo
10-1
= 0,1
10-2
= 0,01
Exponente negativo
Notación científica
0,41=4,1* 10-1

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Equipo Editorial Matemática