Este documento presenta conceptos básicos de álgebra lineal, incluyendo diferentes tipos de matrices como triangulares, cuadradas, diagonales, escalares, identidad, transpuesta, simétrica, antisimétrica. También explica operaciones con matrices como suma, producto de un escalar por una matriz, y producto entre matrices.

1. ESCUELA POLITÉCNICA
NACIONAL
“El bienestar del hombre proviene de la Ciencia”
Algebra Lineal

2. Matriz triangular Matriz triangular
Superior Inferior
Sea la Matriz Sea la Matriz
ssi: ssi:

3. Cuadrada Diagonal
Es aquella matriz que tiene igual Es una matriz cuadrada que
número de filas que de columnas; tiene todos sus elementos nulos
m=n diciéndose que es de orden n. excepto los de la diagonal
Diagonal principal: son los principal.
elementos Sea la matriz , ssi:
Traza: es la suma de los elementos
de la diagonal principal, notada por
Tr(A).

4. Escalar Identidad
Es una matriz cuadrada que tiene También se denomina matriz
todos sus elementos nulos excepto unidad.
los de la diagonal principal que son Es una matriz cuadrada que
iguales. Sea la matriz tiene todos sus elementos nulos
excepto los de la diagonal
principal que son iguales a 1.
Sea la matriz

5. Transpuesta Simétrica
Dada una matriz A, se llama Es una matriz cuadrada que es
traspuesta de A a la matriz que se igual a su traspuesta.
obtiene cambiando ordenadamente A = At , a ij = a ji
las filas por las columnas.
Se representa por At ó AT

6. Antisimétrica
Es una matriz cuadrada que es
igual a la opuesta de su
traspuesta.
A = -At , aij = -aji
Necesariamente aii = 0

7. Suma de matrices
Producto de un escalar por una
matriz
Producto entre matrices

8. Suma de Matrices
Si las matrices A= (aij) y B= (bij) tienen el mismo orden, la matriz suma es:
A+B= (aij+bij).
La matriz suma se obtiene sumando los elementos de las dos matrices que
ocupan la misma posición y la matriz resultante tiene el mismo orden de las
matrices iníciales, o sea A y B.
Propiedades
Interna: La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz
dimensión m x n.
Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C
Elemento neutro: A + 0 = A, Donde O es la matriz nula de la misma
dimensión que la matriz A.
Elemento opuesto: A + (−A) = O La matriz opuesta es aquella en que
todos los elementos están cambiados de signo.
Conmutativa: A + B = B + A
Ejemplo:

9. Producto de un escalar por una matriz
Dada una matriz y un número real( ),
se define el producto de un número real por una matriz: a la
matriz del mismo orden que A, en la que cada elemento está
multiplicado por .
Propiedades:

10. Producto de un escalar por una matriz(ejemplo)

11. Producto de matrices
Dos matrices A y B son multiplicables; si y solo si, el
número de columnas de A coincide con el número de
columnas de filas de B. La matriz producto se obtiene
multiplicando cada elemento de la fila i de la fila A por cada
elemento de la columna j de la matriz B.
Nº de columnas de A = Nº de filas de B
Recordar verificar:
Nº de filas de AB= Nº de filas de A
Nº de columnas de AB = Nº de columnas de B
Propiedades:

12. Producto de matrices (ejemplo)
-2 0 -1
3 5 5
0 8 4
-1 3 4 (-1*-2)+(3*3)+(4*0) (-1*0)+(3*5)+(4*8) (-1*-1)+(2*5)+(4*4)
0 5 -2 (0*-2)+(5*3)+(-2*0) (0*8)+(5*5)+(-2*8) (0*-1)+(5*5)+(-2*4)