1. Matriz inversa
Erik Raymundo García Leal

2. MATRIZ INVERSA
• Dada la matriz cuadrada A=(aij) de orden n, se llama matriz inversa de A
aquella que cumple, si es que existe :
• A . A – 1 = A – 1. A = I , siendo I la matriz identidad.
• PROPIEDADES
• La inversa de la inversa es la matriz dada.
• La inversa de un producto (si existe) es el producto de las inversas (si
existen).
• La transpuesta de una matriz inversa es la inversa (si existe) de la matriz
transpuesta.
• Si A.X = B, siendo A y B matrices …
•
•
•
•
X = B / A, pero como no se pueden dividir matrices …
1
X = ----. B
, donde 1 / A = A-1 es la matriz inversa.
A

3. CALCULO MATRIZ INVERSA
• MÉTODO DIRECTO
• Dada la matriz de orden 2:
3 4
-1
x y
•
A=
, hay que hallar A =
•
5 6
z t
•
-1
• Como A . A = I , efectuamos el producto de matrices e identificamos
elementos, quedándonos un sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas que
hay que resolver.
•
•
•
•
3.x + 4.z = 1
3.y + 4.t = 0
5.x + 6.z = 0
5.y + 6.t = 1
3.x
5.x
+ 4.z
=1
3.y
+ 4.t = 0
+ 6.z
=0
5.y
+ 6.t = 1
• Si el sistema es incompatible, entonces no existe la matriz inversa.

4. • ... MÉTODO DIRECTO
• Resolviéndolo:
•
•
•
•
15.x + 20.z = 5
15.y + 20.t = 0
15.x + 18.z = 0
15.y + 18.t = 3
2.z = 5
x = - 45 / 15
2.t = - 3
y = 30 / 15




z=5/2
x = -3
t=-3/2
y=2
• Podemos comprobar que A.A-1=A-1.A = I
•
•
3 4
5 6 .
-3 2
5/2 -3/2 =
•
•
-3 2
5/2 -3/2 .
3
5
4
6 =
-9+10 6-6
-15+15 10-9 =
1
0
0
1
-9+10
-12+12
15/2-15/2 10-9 =
1
0
0
1

5. Calculo matriz inversa
• MÉTODO DE GAUSS-JORDAN
• Se coloca la matriz A y a su lado la matriz I separadas por una raya
vertical de puntos. A continuación se procede a efectuar sobre las
filas de A una serie de operaciones elementales, las mismas y al
mismo tiempo que sobre las filas de la matriz I.
• Cuando, actuando así, hemos logrado transformar la matriz A en la I,
la matriz de la derecha, que es la I transformada, será la inversa de
A.
•
• Es decir: (A | I) las mismas operaciones en ambas  ( I | A – 1 )

6. Ejemplo:
Dada la matriz de orden 2:
3 4
A=
-1
, hay que hallar A
x y
=
-1
5 6
Como A . A = I , aplicamos el método de Gauss.Jordan:
3
•
•
•
•
•
•
•
•
4
1
0
5
6
0
1
Divido la primera fila entre 3 . Queda:
1
4/3
1/3
0
5
6
0
que es ( A | I )
1
A la segunda fila la resto 5 veces la primera. Queda:
1
4/3
1/3
0
0
-2/3
-5/3
1
z
t

7. • A la primera fila la sumo dos veces la segunda. Queda:
•
•
•
1
•
•
•
•
•
•
•
•
-3
2
0
•
0
-2/3
-5/3
1
Finalmente divido la segunda fila por -2/3. Queda:
1
0
-3
2
0
1
5/2
-3/2
Queda:
-1
A
- 3
5/2
Que es la matriz inversa.
2
- 3/2

8. •Otro Ejemplo:
•Dada la matriz de orden 3:
•
•
•
•
•
3
-2
5
4
1
0
0
-1
6
3 4 0
A = -2 1 -1
5 0 6
1
0
0
0
1
0
0
0
1
-1
, hay que hallar A
que es ( A | I )
•Divido la primera fila entre 3. Queda:
•
1 4/3 0
1/3 0 0
•
-2 1 -1
0
1 0
•
5 0 6
0
0 1
•
•A la F2 la sumo 2xF1 y a la F3 le resto 5xF1. Queda:
•
•
•
1
0
0
4/3
0
11/3 -1
-20/3 6
1/3 0
2/3 1
-5/3 0
0
0
1

9. •
•
•
•
A la F3 la sumo 2xF2. Queda:
1 4/3 0
1/3 0
0 11/3 -1
2/3 1
0
0
4
-1/3 2
•
•
•
•
A la F3 la divido entre 4 y a la F2 la sumo la nueva F3. Queda:
1 4/3 0
1/3 0
0
0 11/3 0
7/12 3/2 1/4
0
0
1
-1/12 1/2 1/4
•
•
•
•
•
•
•
•
•
A F1 le resto 4/11 de F2. Queda:
1 0
0
4/33 -6/11
0 11/3 0
7/12
3/2
0
0
1
-1/12 1/2
0
0
1
-1/11
1/4
1/4
Y por último divido F2 entre 11/3. Queda:
1 0
0
4/33 -6/11
-1/11
0 1
0
7/44
9/22
3/44
0
0
1
-1/12 1/2
1/4

10. •
•
•
•
A la F3 la sumo 2xF2. Queda:
1 4/3 0
1/3 0
0 11/3 -1
2/3 1
0
0
4
-1/3 2
•
•
•
•
A la F3 la divido entre 4 y a la F2 la sumo la nueva F3. Queda:
1 4/3 0
1/3 0
0
0 11/3 0
7/12 3/2 1/4
0
0
1
-1/12 1/2 1/4
•
•
•
•
•
•
•
•
•
A F1 le resto 4/11 de F2. Queda:
1 0
0
4/33 -6/11
0 11/3 0
7/12
3/2
0
0
1
-1/12 1/2
0
0
1
-1/11
1/4
1/4
Y por último divido F2 entre 11/3. Queda:
1 0
0
4/33 -6/11
-1/11
0 1
0
7/44
9/22
3/44
0
0
1
-1/12 1/2
1/4