El documento explica cómo calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada. Primero, se debe verificar que la matriz sea cuadrada y que su determinante sea distinto de cero. Luego, se calculan los menores complementarios de cada elemento y se forma la matriz de los adjuntos. Finalmente, se transpone la matriz de adjuntos y se multiplica por el inverso del determinante para obtener la matriz inversa.
Esta presentación es el proyecto final de estudiantes de álgebra lineal de la carrera de ingeniera en sistemas de la universidad de mariano Gálvez de Guatemala con el objetivo de dar un material de apoyo para futuros estudiantes de este curso u otros.
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ROMPECABEZAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO OLIMPIADA DE PARÍS 2024. Por JAVIE...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “ROMPECABEZAS DE ECUACIONES DE 1ER. GRADO OLIMPIADA DE PARÍS 2024”. Esta actividad de aprendizaje propone retos de cálculo algebraico mediante ecuaciones de 1er. grado, y viso-espacialidad, lo cual dará la oportunidad de formar un rompecabezas. La intención didáctica de esta actividad de aprendizaje es, promover los pensamientos lógicos (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia, viso-espacialidad. Esta actividad de aprendizaje es de enfoques lúdico y transversal, ya que integra diversas áreas del conocimiento, entre ellas: matemático, artístico, lenguaje, historia, y las neurociencias.
2. El cálculo de la matriz inversa es una herramienta necesaria para resolver sistemas de ecuaciones lineales y ecuaciones matriciales. De alguna forma la matriz inversa rellena el hueco con el que nos encontramos al no poder realizar la división de matrices. Para su obtención se realizan una serie de pasos que vamos a analizar a continuación. Como ejemplo vamos a obtener la matriz inversa de una matriz de orden 3.
3. Vamos a calcular la matriz inversa A -1 de la matriz A. 1 0 – 1 0 2 3 1 – 1 1 A =
4. Para que una matriz tenga matriz inversa debe reunir dos condiciones: Debe ser una MATRIZ CUADRADA . Su determinante debe ser diferente de cero . A = 0
5. Después de comprobar que la matriz es cuadrada calculamos su determinante. Necesitamos conocer su valor concreto para uno de los próximos pasos. En el caso de que el determinante sea nulo la matriz no tendrá inversa. Matriz regular o invertible Matriz irregular, singular o no invertible A = 0 Si se dice que la matriz tiene inversa o que la matriz es una ... A = 0 Si se dice que la matriz no tiene inversa o que la matriz es una ...
6. Nuestra matriz es cuadrada y su determinante no es nulo. Orden 3 = 2 + 0 + 0 + 2 + 3 + 0 = 7 1 0 – 1 0 2 3 1 – 1 1 A = 1 0 – 1 0 2 3 1 – 1 1 A = A = 0
7. Este paso es el más largo de todos. Tenemos que encontrar la matriz formada con los menores complementarios de cada elemento, α ij . 1 0 – 1 0 2 3 1 – 1 1 A = α 11 α 12 α 13 α 21 α 22 α 23 α 31 α 32 α 33 ( α ij ) =
17. La obtención de la matriz de los adjuntos es muy sencilla. Dado que A ij = α ij (–1) i+j tan sólo habrá que cambiar los signos de los elementos que se encuentran en las posiciones negativas . ( α ij ) = – 3 5 – 2 – 1 2 – 1 2 3 2 ( A ij ) = 3 1 1 – 3 5 – 2 2 2 2 Posiciones positivas: (–1) i+j = + 1 Posiciones negativas: (–1) i+j = – 1
18. El siguiente paso consiste en trasponer la matriz de los adjuntos obtenida en el paso previo. ( A ij ) = 3 1 1 – 3 5 – 2 2 2 2 3 5 – 2 3 5 – 2 ( A ij ) t =
19. ( A ij ) = 3 1 1 – 3 5 – 2 2 2 2 ( A ij ) t = El siguiente paso consiste en trasponer la matriz de los adjuntos obtenida en el paso previo. 2 1 1 3 5 – 2 2 1 1
20. ( A ij ) = 3 1 1 – 3 5 – 2 2 2 2 ( A ij ) t = El siguiente paso consiste en trasponer la matriz de los adjuntos obtenida en el paso previo. – 3 2 2 3 5 – 2 2 1 1 – 3 2 2
21. ( A ij ) = 3 1 1 – 3 5 – 2 2 2 2 ( A ij ) t = El siguiente paso consiste en trasponer la matriz de los adjuntos obtenida en el paso previo. 3 5 – 2 2 1 1 – 3 2 2
22. A –1 = El último paso es multiplicar la matriz obtenida en el paso anterior por el inverso del determinante de A. ( A ij ) t = 3 5 – 2 2 1 1 – 3 2 2 1 7 3 5 – 2 2 1 1 – 3 2 2 = - 3 / 7 - 2 / 7 3 / 7 5 / 7 2 / 7 2 / 7 1 / 7 1 / 7 2 / 7 1 / 7 A –1 = 1 A ( A ij ) t
23. Puedes comprobar como se cumple la propiedad fundamental de la matriz inversa. A –1 = 1 7 3 5 – 2 2 1 1 – 3 2 2 = - 3 / 7 - 2 / 7 3 / 7 5 / 7 2 / 7 2 / 7 1 / 7 1 / 7 2 / 7 1 / 7 1 0 – 1 0 2 3 1 – 1 1 A = A –1 A = A A –1 = I