Este documento describe los pasos para calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada. Explica que primero se debe verificar que la matriz es cuadrada y que su determinante es diferente de cero. Luego, detalla los cuatro pasos para obtener la matriz inversa: 1) calcular la matriz de los menores complementarios, 2) obtener la matriz de los adjuntos, 3) trasponer la matriz de adjuntos, y 4) multiplicar la matriz resultante por el inverso del determinante de la matriz original.

1. Métodos numéricos para ingeniería

2. MATRIZ INVERSA

3. MATRIZ INVERSAEl cálculo de la matriz inversa es una herramienta necesaria para resolver sistemas de ecuaciones lineales y ecuaciones matriciales.De alguna forma la matriz inversa rellena el hueco con el que nos encontramos al no poder realizar la división de matrices.Para su obtención se realizan una serie de pasos que vamos a analizar a continuación.Como ejemplo vamos a obtener la matriz inversa de una matriz de orden 3.

4. 10–1023A =1–11MATRIZ INVERSAVamos a calcular la matriz inversa A-1 de la matriz A.

5. A = 0Paso nº 0: CondicionesPara que una matriz tenga matriz inversa debe reunir dos condiciones:Debe ser unaMATRIZ CUADRADA.Su determinante debe ser diferente de cero.

6. se dice que la matrizSi tiene inversa o que la matriz es una ...se dice que la matrizA = 0A = 0Si no tiene inversa o que la matriz es una ...Paso nº 0: CondicionesDespués de comprobar que la matriz es cuadrada calculamos su determinante. Necesitamos conocer su valor concreto para uno de los próximos pasos. En el caso de que el determinante sea nulo la matriz no tendrá inversa.Matriz regularo invertibleMatriz irregular, singular ono invertible

7. 10–1023A =1–1110–1A = 0023A =1–11Paso nº 0: CondicionesNuestra matriz es cuadrada y su determinante no es nulo.Orden 3= 2 + 0 + 0 + 2 + 3 + 0 = 7

8. 10–1α11α12α13023A =α21α22α23(αij) =1–11α31α32α33Paso nº 1: Matriz de los menores complementariosEste paso es el más largo de todos. Tenemos que encontrar la matriz formada con los menores complementarios de cada elemento, αij.

9. 23= 2 + 3 = 5α11 = –11Paso nº 1: Matriz de los menores complementarios10–1α11α12α135023A =α21α22α23(αij) =1–11α31α32α33Cálculo del menor complementario de a11, α11:

10. 03= 0 – 3 = – 3 α12 = 11Paso nº 1: Matriz de los menores complementarios10–1α11α12α13– 35023A =α21α22α23(αij) =1–11α31α32α33Cálculo del menor complementario de a12, α12:

11. 02= 0 – 2 = – 2 α13 = 1–1Paso nº 1: Matriz de los menores complementarios10–1α11α12α13– 35– 2023A =α21α22α23(αij) =1–11α31α32α33Cálculo del menor complementario de a13, α13:

12. 0–1= 0 – 1 = – 1 α21= –11Paso nº 1: Matriz de los menores complementarios10–1α11α12α13– 35– 2023A =α21α22α23(αij) =– 11–11α31α32α33Cálculo del menor complementario de a21, α21:

13. 1–1= 1 + 1 = 2 α22= 11Paso nº 1: Matriz de los menores complementarios10–1α11α12α13– 35– 2023A =α21α22α23(αij) =– 121–11α31α32α33Cálculo del menor complementario de a22, α22:

14. 10= –1 + 0 = –1 α23= 1–1Paso nº 1: Matriz de los menores complementarios10–1α11α12α13– 35– 2023A =α21α22α23(αij) =– 12–11–11α31α32α33Cálculo del menor complementario de a23, α23:

15. 0–1= 0 + 2 = 2 α31= 23Paso nº 1: Matriz de los menores complementarios10–1α11α12α13– 35– 2023A =α21α22α23(αij) =– 12–11–11α31α32α332Cálculo del menor complementario de a31, α31:

16. 1–1= 3 + 0 = 3 α32= 03Paso nº 1: Matriz de los menores complementarios10–1α11α12α13– 35– 2023A =α21α22α23(αij) =– 12–11–11α31α32α3323Cálculo del menor complementario de a32, α32:

17. 10= 2 + 0 = 2 α33= 02Paso nº 1: Matriz de los menores complementarios10–1α11α12α13– 35– 2023A =α21α22α23(αij) =– 12–11–11α31α32α33232Cálculo del menor complementario de a33, α33:

18. – 35– 235– 2– 112–112(αij) =(Aij) =232–322Posiciones positivas: (–1)i+j = + 1Posiciones negativas: (–1)i+j = – 1Paso nº 2: Matriz de los adjuntosLa obtención de la matriz de los adjuntos es muy sencilla. Dado que Aij = αij (–1)i+j tan sólo habrá que cambiar los signos de los elementos que se encuentran en las posiciones negativas.

19. 35– 235– 2112(Aij) =(Aij)t =–32253– 2Paso nº 3: Matriz de los adjuntos traspuestaEl siguiente paso consiste en trasponer la matriz de los adjuntos obtenida en el paso previo.

20. 21112153– 2Paso nº 3: Matriz de los adjuntos traspuestaEl siguiente paso consiste en trasponer la matriz de los adjuntos obtenida en el paso previo.35– 2112(Aij) =(Aij)t =–322

21. –322122–31253– 2Paso nº 3: Matriz de los adjuntos traspuestaEl siguiente paso consiste en trasponer la matriz de los adjuntos obtenida en el paso previo.35– 2112(Aij) =(Aij)t =–322

22. 122–31253– 2Paso nº 3: Matriz de los adjuntos traspuestaEl siguiente paso consiste en trasponer la matriz de los adjuntos obtenida en el paso previo.35– 2112(Aij) =(Aij)t =–322

23. 1A12(Aij)tA–1 =(Aij)t =2–3125125/72/71/71/75317=32–3- 3/73/72/7– 21– 22- 2/71/72/7Paso nº 4: Producto por inverso de det(A)El último paso es multiplicar la matriz obtenida en el paso anterior por el inverso del determinante de A.A–1 =

24. 10–1023A =1–11A–1 =125/72/71/71/7517=32–3- 3/73/72/7A–1 A = A A –1 = I1– 22- 2/71/72/7Puedes comprobar como se cumple la propiedad fundamental de la matriz inversa.