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RESISTENCIA DE MATERIALES II
¨ Deformación en vigas estáticamente indeterminadas ¨ Apoyos
redundantes ¨ Método de la doble integración ¨ Método de momento
de área ¨ Método de la viga conjugada ¨ Método de superposición de
efectos ¨ Uso de tablas ¨ Transformación en viga simplemente apoyada
con momentos en los extremos ¨
Michael Huicho Auccatoma
Bachiller en Ingeniería Civil
Elástica Virtual Training Center
Ingeniería Estructural
Resistencia de materiales II (IE - 03)
Ayacucho - Perú
25 de noviembre de 2021

Apoyos redundantes Método de la doble integración Diagramas de momento flector - modelos de cálculo Método de momento de
Michael Huicho (Elástica Virtual) MÓDULO II 25 de noviembre de 2021 2 / 44

Contenido
1 Apoyos redundantes
2 Método de la doble integración
Planteamiento
Forma general para un elemento con EI constante
3 Diagramas de momento flector - modelos de cálculo
4 Método de momento de área
5 Método de la viga conjugada
Diferencias entre viga real y conjugada
Ejercicios resueltos
6 Método de superposición de efectos
Uso de tablas: Pendientes y deflexiones en vigas
7 Transformación a momentos en los extremos
8 Ejercicio de aplicación
9 Contáctanos

Apoyos redundantes

Método de la doble integración

Introducción

Planteamiento

Forma general para un elemento con EI constante

DIAGRAMAS DE MOMENTO FLECTOR
PRIMER MODELO DE CÁLCULO

DIAGRAMAS DE MOMENTO FLECTOR
SEGUNDO MODELO DE CÁLCULO

Figura: Propiedades geométricas y convención de signos.

Método de momento de área

Figura: Ejemplo usando el método de momento de área. Generar diagramas de momentos flectores por partes, y calcular lo
solicitado.

Figura: Solución usando el modelo de cálculo de viga en voladizo.

Método de la viga conjugada

Método de superposición de efectos
En condiciones adecuadas, la deflexión de una viga producida por varias cargas
diferentes que actúan de manera simultánea se puede determinar superponiendo
las deflexiones producidas por las mismas cargas al actuar por separado.

Deflexiones y pendientes
de vigas
G
TABLA G.1 DEFLEXIONES Y PENDIENTES DE VIGAS EN VOLADIZO
v deflexión en la dirección y (positiva hacia arriba)
v dv/dx pendiente de la curva de deflexión
dB v(L) deflexión en el extremo B de la viga (positiva hacia abajo)
uB v (L) ángulo de rotación en el extremo B de la viga (positivo en el
sentido de las manecillas del reloj)
EI constante
1 v
2
q
4
x
E
2
I
(6L2
4Lx x2
) v
6
q
E
x
I
(3L2
3Lx x2
)
dB
8
q
E
L4
I
uB
6
q
E
L3
I
2 v
2
q
4
x
E
2
I
(6a2
4ax x2
) (0 x a)
v
6
q
E
x
I
(3a2
3ax x2
) (0 x a)
v
2
q
4
a
E
3
I
(4x a) v
6
q
E
a3
I
(a x L)
En x a: v
8
q
E
a4
I
v
6
q
E
a3
I
dB
2
q
4
a
E
3
I
(4L a) uB
6
q
E
a3
I
q
a b
q
y
x
A B
uB
dB
L
984

endientes
3 v
1
q
2
b
E
x2
I
(3L 3a 2x) (0 x a)
v
q
2
b
E
x
I
(L a x) (0 x a)
v
24
q
EI
(x4
4Lx3
6L2
x2
4a3
x a4
) (a x L)
v
6
q
EI
(x3
3Lx2
3L2
x a3
) (a x L)
En x a: v
1
q
2
a
E
2
b
I
(3L a) v
q
2
a
E
b
I
L
dB
24
q
EI
(3L4
4a3
L a4
) uB
6
q
EI
(L3
a3
)
4 v
6
P
E
x
I
2
(3L x) v
2
P
E
x
I
(2L x)
dB
P
3E
L
I
3
uB
P
2E
L
I
2
5 v
6
P
E
x
I
2
(3a x) v
2
P
E
x
I
(2a x) (0 x a)
v
6
P
E
a
I
2
(3x a) v
2
P
E
a
I
2
(a x L)
En x a: v
3
P
E
a
I
3
v
2
P
E
a
I
2
dB
6
P
E
a
I
2
(3L a) uB
2
P
E
a
I
2
6 v
M
2E
0 x
I
2
v
M
E
0
I
x
dB
M
2E
0L
I
2
uB
M
E
0
I
L
(Continúa)
M0
P
a b
P
q
a b
(Continúa)
apéndice G Deflexiones y pendientes de vigas 985

7 v
M
2E
0 x
I
2
v
M
E
0
I
x
(0 x a)
v
M
2E
0a
I
(2x a) v
M
E
0
I
a
(a x L)
En x a: v
M
2E
0a
I
2
v
M
E
0
I
a
dB
M
2E
0a
I
(2L a) uB
M
E
0
I
a
8 v
12
q
0
0
L
x2
EI
(10L3
10L2
x 5Lx2
x3
)
v
24
q
L
0 x
EI
(4L3
6L2
x 4Lx2
x3
)
dB
3
q
0
0L
E
4
I
uB
2
q
4
0L
E
3
I
9 v
12
q
0
0
L
x2
EI
(20L3
10L2
x x3
)
v
24
q
L
0 x
EI
(8L3
6L2
x x3
)
dB
1
1
1
2
q
0
0
E
L
I
4
uB
q
8
0
E
L
I
3
10 v
3
q
p
0
4
L
EI
48L3
cos
p
2L
x
48L3
3p3
Lx2
p3
x3
v
p
q
3
0
E
L
I
2p 2
Lx p2
x2
8L2
sin
p
2L
x
dB
3
2
p
q0
4
L
E
4
I
(p3
24) uB
p
q0
3
L
E
3
I
(p2
8)
q = q0 cos x
—
2L
q0
q0
q0
M0
a b
986 apéndice G Deflexiones y pendientes de vigas

TABLA G.2 DEFLEXIONES Y PENDIENTES DE VIGAS SIMPLES
v deflexión en la dirección y (positiva hacia arriba)
v dv/dx pendiente de la curva de deflexión
dC v(L/2) deflexión en el punto medio C de la viga (positiva hacia abajo)
x1 distancia del apoyo A al punto de deflexión máxima
dmáx vmáx deflexión máxima (positiva hacia abajo)
uA v (0) ángulo de rotación en el extremo izquierdo de la viga
(positivo en el sentido de las manecillas del reloj)
uB v (L) ángulo de rotación en el extremo derecho de la viga
(positivo en el sentido de las manecillas del reloj)
EI constante
1 v
24
qx
EI
(L3
2Lx2
x3
)
v
24
q
EI
(L3
6Lx2
4x3
)
dC dmáx
3
5
8
q
4
L
E
4
I
uA uB
2
q
4
L
E
3
I
2 v
38
q
4
x
EI
(9L3
24Lx2
16x3
) 0 x
L
2
v
38
q
4EI
(9L3
72Lx2
64x3
) 0 x
L
2
v
38
q
4
L
EI
(8x3
24Lx2
17L2
x L3
)
L
2
x L
v
38
q
4
L
EI
(24x2
48Lx 17L2
)
L
2
x L
dC
7
5
6
q
8
L
E
4
I
uA
1
3
2
q
8
L
E
3
I
uB
3
7
8
q
4
L
E
3
I
3 v
24
q
L
x
EI
(a4
4a3
L 4a2
L2
2a2
x2
4aLx2
Lx3
) (0 x a)
v
24
q
LEI
(a4
4a3
L 4a2
L2
6a2
x2
12aLx2
4Lx3
) (0 x a)
v
24
q
L
a
E
2
I
( a2
L 4L2
x a2
x 6Lx2
2x3
) (a x L)
v
24
q
L
a
E
2
I
(4L2
a2
12Lx 6x2
) (a x L)
uA
24
q
L
a
E
2
I
(2L a)2
uB
24
q
L
a
E
2
I
(2L2
a2
)
(Continúa)
q
a
q
L
—
2
L
—
2
q
y
x
uA uB
A B
L
(Continúa)

L
—
2
L
—
2
P
4 v
4
P
8E
x
I
(3L2
4x2
) v
16
P
EI
(L2
4x2
) 0 x
L
2
dC dmáx
4
P
8
L
E
3
I
uA uB
1
P
6
L
E
2
I
5 v
6
P
L
b
E
x
I
(L2
b2
x2
) v
6
P
L
b
EI
(L2
b2
3x2
) (0 x a)
uA
Pab
6
(
L
L
EI
b)
uB
Pab
6
(
L
L
EI
a)
Si a b, dC
Pb(3L
48
2
EI
4b2
)
Si a b, dC
Pa(3L
4
2
8EI
4a2
)
Si a b, x1
L2
3
b2
y dmáx
6 v
6
P
E
x
I
(3aL 3a2
x2
) v
2
P
EI
(aL a2
x2
) (0 x a)
v
6
P
E
a
I
(3Lx 3x2
a2
) v
2
P
E
a
I
(L 2x) (a x L a)
dC dmáx
2
P
4E
a
I
(3L2
4a2
) uA uB
Pa(
2
L
EI
a)
7 v
6
M
L
0
E
x
I
(2L2
3Lx x2
) v
6
M
LE
0
I
(2L2
6Lx 3x2
)
dC
M
16
0
E
L
I
2
uA
M
3E
0 L
I
uB
M
6E
0 L
I
x1 L 1
3
3
y dmáx
9
M0
3
L
E
2
I
8 v
2
M
4L
0
E
x
I
(L2
4x2
) v
24
M
L
0
EI
(L2
12x2
) 0 x
L
2
dC 0 uA
2
M
4
0
E
L
I
uB
2
M
4
0
E
L
I
L
—
2
L
—
2
M0
M0
P P
a a
Pb(L2
b2
)3/2
9 3 LEI
P
a b
988 apéndice G Deflexiones y pendientes de vigas

9 v
6
M
L
0
E
x
I
(6aL 3a2
2L2
x2
) (0 x a)
v
6
M
LE
0
I
(6aL 3a2
2L2
3x2
) (0 x a)
En x a: v
M
3L
0a
E
b
I
(2a L) v
3
M
LE
0
I
(3aL 3a2
L2
)
uA
6
M
LE
0
I
(6aL 3a2
2L2
) uB
6
M
LE
0
I
(3a2
L2
)
10 v
M
2E
0 x
I
(L x) v
2
M
E
0
I
(L 2x)
dC dmáx
M
8
0
E
L
I
2
uA uB
M
2E
0 L
I
11 v
36
q
0
0
L
x
EI
(7L4
10L2
x2
3x4
)
v
360
q
L
0
EI
(7L4
30L2
x2
15x4
)
dC
7
5
6
q
8
0 L
E
4
I
uA
3
7
6
q
0
0 L
E
3
I
uB
4
q
5
0 L
E
3
I
x1 0.5193L dmáx 0.00652
q
E
0 L
I
4
12 v
96
q
0
0
L
x
EI
(5L2
4x2
)2
0 x
L
2
v
192
q
L
0
EI
(5L2
4x2
)(L2
4x2
) 0 x
L
2
dC dmáx
1
q
2
0
0
L
E
4
I
uA uB
1
5
9
q
2
0 L
E
3
I
13 v
p
q0
4
L
E
4
I
sen
p
L
x
v
p
q0
3
L
E
3
I
cos
p
L
x
dC dmáx
p
q0
4
L
E
4
I
uA uB
p
q0
3
L
E
3
I
q0
L
—
2
L
—
2
q0
a b
M0
M0
M0
q = q0 sen
x
—
L

Transformación en viga simplemente apoyada con momentos en los
extremos

Ejercicios de aplicación

Ejercicio de aplicación
‚ Determine las reacciones
‚ Exprese la ecuación de cortantes y deter-
mine el valor máximo.
‚ Exprese la ecuación de momentos flectores
y determine el momento máximo
‚ Exprese la ecuación de la pendiente y de-
termine el giro máximo
‚ Exprese la ecuación de la curva elástica (o
curva de deflexión) y determine el valor
máximo de la flecha
‚ Dibuje el diagrama de fuerza cortante y de
momento flector
‚ Grafique la pendiente y curva elástica
Para la viga y la carga que se muestra en la
figura.

‚ Determine las reacciones en A y en B
momento flector
‚ Dibuje la pendiente y curva elástica
figura.

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