1) El método de la doble integración se usa para determinar la curva elástica de una viga sometida a flexión. Esto implica integrar dos veces la ecuación M(x)/EI para obtener la ecuación de la elástica. 2) El método de las funciones de singularidad permite plantear una sola ecuación de momento flector para varios tramos de carga, representando cada tramo con funciones especiales. 3) El principio de superposición establece que para una estructura elástica, las re

1. RESISTENCIA DE MATERIALES 2
UNIDAD 1: DEFORMACIÓN EN VIGAS
MÉTODO DE LA DOBLE INTEGRACIÓN
Si tenemos una viga inicialmente recto sin carga, al ser sometido a un sistema de
cargas, la viga adopta una forma curva llamado curva elástica o elástica de la viga.
Fig 1
Fig 2
Obsérvese enla fig 1 (en el apoyo empotrado), la elástica forma un ángulo de cero
grados con el eje sin deformar de la viga (es tangente al eje de la viga). En el extremo
derecho ese ángulo es diferente de cero.
En la figura 2, el ángulo que forma la elástica con el eje sin deformar de la viga en los
Apoyos, los ángulos son diferentes de cero. También se puede observar que los ángu-
Los en el apoyo derecho, antes y después del apoyo son opuestos por el vértice y por
lo tanto son iguales.
En el curso anterior se vio que para vigas prismáticas sometidas a flexión y dentro del
rango elástico, el valor de la curvatura de la superficie neutra ρ es.
1/ρ = M(x)/EI
Donde: M(x) es el momento flector, E es el módulo de Elasticidad del material e I es el

2. Momento de Inercia de la sección transversal con respecto a su eje neutro.
También se sabe de los cursos de cálculo que: 1 = [ d2y/ dx2 ]
Ρ [ 1 + (dy/dx)2 ]3/2
Como la pendiente de la elástica tiene valores muy pequeños, entonces (dy/dx)2 tendrá
un valor despreciable, por tanto
1/ρ = d2y/ dx2 = M(x)/EI
Integrando 2 veces se obtiene la ecuación de la elástica
Convención de signos
El valor de y en un punto específico se llama deflexión
Fig 3
La convención de signos para los ángulos es la misma de trigonometría (antihorario
positivo y horario negativo), donde se cumple que para ángulos pequeños dy/dx = tgƟ
= Ɵ en radianes.
Fig 4
Funciones de singularidad
Cuando se tiene varios tramos de carga, el método anterior resulta demasiado compli-
cado para poder seraplicado, porque se debe aplicar una ecuación de momentos para
cada tramo, luego se debe hallar las constantes de integración usando las condiciones

3. de frontera ( y1 = y2; Ɵ1 = Ɵ2 ). En lugar de eso se puede aplicar las funciones de sin-
gularidad donde sólo se planteará una sola ecuación de Momento flector.
Aplicación de funciones de singularidad
1) Definición de función de singularidad
< x - a >n = (x – a)n, cuando x ≥ a
0 , cuando x < a
2) Comenzando de derecha a izquierda, se calculará la ecuación de momento flector
Flector sólo del último tramo, donde estarán considerados todas las cargas.
3) Las cargas del primer tramo irán todos en paréntesis normales (x – a)n, las cargas
del segundo y demás tramos se plantearán con paréntesis angulares < x - a >n
4) Para el caso de Momento (Mo) aplicados en un punto de la viga, se planteará:
Mo< x - a >0, respetando la ley de signos. El valor de “a” corresponde al punto de
aplicación del momento puntual.
5) Para el caso de cargas distribuidas, éste método es válido sólo si la carga distribui-
da termina en el último tramo, de no serasí se tendría que aplicar un sistema equiva-
lente.
Principio de superposición
Este principio se aplica a estructuras cuyo comportamiento está en el rango elástico,
donde la carga total es igual a la suma de cargas totales.
Fig 3
Se cumple:
Reacciones I = Reacciones II + Reacciones III
Deflexiones I = Deflexiones II + Deflexiones III
Elástica I = Elástica II + Elástica III
Giros I = Giros II + Giros III

4. DMF I = DMF II + DMF III
DFC I = DFC II + DFC III
DFN I = DFN II + DFN III
MÉTODO DE ÁREA DE MOMENTO
Teorema 1 El ángulo entre las tangentes en dos puntos cualesquiera en la curva
elástica es igual al área bajo el diagrama M/EI entre esos dos puntos
Se sabe que: EI d2y = M = EI d ( dy ) ; pero dy/dx = Tg(Ɵ) ~ Ɵ en radianes
dx2 dx dx
reemplazando EI dƟ = M ; dƟ = M dx/ EI
dx
ƟB/A = ƟB – ƟA = ∫ 𝑴(𝒅𝒙)/𝑬𝑰
𝑩
𝑨

5. Teorema 2 La desviación vertical de la tangente en un punto A sobre la curva elástica,
con respecto a la tangente prolongada desde otro punto B es igual al momento del
área bajo el diagrama M/EI entre esos 2 puntos A y B
tA/B = ∫ 𝒙𝑴/𝑬𝑰(𝒅𝒙)
𝑩
𝑨
= XG ( Área bajo la curva M/EI )
donde XG siempre positivo, si el área está por encima del eje X es positiva, si el área
está por debajo del eje X es negativa.
Interpretación de signos de tA/B
Si TA/B es positivo significa que el punto A de la elástica se encuentra por encima de la
tangente que pasa por B.
Si TA/B es negativo significa que el punto A de la elástica se encuentra por debajo de la
tangente que pasa por B.

6. OTRO CASO TB/A
La interpretación del signo de TB/A es similar al caso anterior.

7. CONCLUSIÓN La desviación del punto B con respecto a la tangente que pasa por A
es diferente a la desviación del punto A con respecto a la tangente que pasa por B.
TA/B ≠ TB/A
MÉTODO DE LA VIGA CONJUGADA
Se sabe del primer teorema de Área de Momentos: Ɵ = ∫ 𝑴(𝒅𝒙)/𝑬𝑰, si integramos la
expresión anterior tenemos
Y = ∬
𝑴( 𝒅𝒙)
𝑬𝑰
Supóngase que a otra viga (llamada viga conjugada) de igual longitud, se le aplica
como carga w = M/EI, entonces tendríamos:
Vconj = ∫ 𝒘 𝒅𝒙 = ∫ 𝑴 (𝒅𝒙)/𝑬𝑰 = Ɵ
Mconj = ∫ 𝑽 (𝒅𝒙) = ∬ 𝑴(𝒅𝒙)/𝑬𝑰 = Y
CONCLUSIÓN La rotación Ɵ en la viga real es igual a la fuerza cortante en la viga
conjugada. La deflexión Y en la viga real es igual al momento flexionante en la viga
Conjugada (La carga en la viga conjugada es M/EI)
Convención de signos.
Un diagrama de momento positivo en la viga real debe producir una carga en la viga
Conjugada M/EI también positiva, o sea dirigida hacia arriba.
Si el diagrama de fuerza cortante en la viga conjugada es positiva significa que los
giros en la viga real son positivos.