El documento describe 3 métodos para calcular giros y deflexiones en estructuras: 1) El método de doble integración usa sucesivas integraciones de la ecuación de la curva elástica para determinar deflexiones y rotaciones. 2) El método del área de momento relaciona los momentos con las deformaciones calculando rotaciones y deflexiones a partir del diagrama de momento. 3) El método de la viga conjugada representa la viga real como una viga ficticia estáticamente determinada donde la carga es el diagrama de

1. CALCULO DE GIROS Y DEFLEXIONES
1. Método de Doble Integración
El método de la doble Integración consiste en encontrar la ecuación de la curva
elástica (
𝑑2
𝑣
𝑑𝑥2 =
𝑀
𝐸𝐼
) por medio de una serie de integraciones sucesivas para
determinar las deflexiones y rotaciones.
Para cada integración es necesario introducir una constante, estas constantes se
resuelven por unas condiciones conocidas como condiciones de frontera.
 Primera Integración:
∫
𝑑2
𝑣
𝑑𝑥2
𝑑𝑥 = ∫
𝑀
𝐸𝐼
𝑑𝑥
𝑑𝑣
𝑑𝑥
=
𝑀𝑥
𝐸𝐼
+ 𝐶1 = 𝜃
 Segunda Integración:
∫
𝑑𝑣
𝑑𝑥
𝑑𝑥 = ∫[
𝑀𝑥
𝐸𝐼
+ 𝐶1]𝑑𝑥
𝑣 =
𝑀𝑥2
2𝐸𝐼
+ 𝐶1𝑥 + 𝐶2 = ∆
Donde,
Δ=Ecuación de la deflexión de la viga
EI= constante a lo largo de la viga
Las condiciones de frontera son los valores de las deformaciones que dependen
de las condiciones de apoyo de la viga, y de condiciones de continuidad de la viga.
Ejemplo 1: Deformaciones en un voladizo por el método de integración
Datos:
Curva Elástica

2. 𝜃𝐴 = 0
𝛾𝐴 = 0
Diagrama de momentos flexionantes
6 ton
𝑀( 𝑥) = −9 + 6𝑥 −
𝑤𝑥2
2
= −9 + 6𝑥 − 𝑥2
Cálculo de Rotaciones y Deflexiones
𝜃 = ∫
𝑀
𝐸𝐼
𝑑𝑥 =
1
𝐸𝐼
∫(−9 + 6𝑥 − 𝑥2
)𝑑𝑥 =
1
𝐸𝐼
(−9𝑥 +
6𝑥2
2
−
𝑥3
3
+ 𝐶1)
𝛾 = ∬
𝑀
𝐸𝐼
𝑑𝑥 =
1
𝐸𝐼
∫(−9𝑥 + 3𝑥2
−
𝑥3
3
+ 𝐶1)𝑑𝑥
𝛾 =
1
𝐸𝐼
(
9
2
𝑥2
+
3
3
𝑥3
−
1
12
𝑥4
+ 𝐶1 𝑥 + 𝐶2)
𝑆𝑖 𝜃𝐴 = 0, 𝜃 = 0 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 0, ∴ 𝐶1 = 0
𝑆𝑖 𝛾𝐴 = 0, 𝛾 = 0 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 0, ∴ 𝐶2 = 0
Deflexión máxima: x=3m
𝜃 =
1
𝐸𝐼
(−9𝑥 + 3𝑥2
−
𝑥
3
3
)
𝛾 =
1
𝐸𝐼
(−
9
2
𝑥2
+ 𝑥3
−
𝑥
12
4
)
(-)
9 ton/m y

3. 𝛾 𝐵 =
1
𝐸𝐼
(−
81
2
+ 27 −
81
12
) =
1
𝐸𝐼
(
−486+(27)(12)−81
12
) = −
81
4𝐸𝐼
Rotación a la mitad del claro: x=1.5 m
𝜃 =
1
𝐸𝐼
[−9(1.5) + 3(1.5)2
−
1.52
3
] = −
7.87
𝐸𝐼
2. Metodo Área de Momento
Este método también conocido como teorema de Mohr o teorema de Green fue
planteado desde un principio por Otto Mohr y posteriormente en 1872
establecido por Charles E. Green.
Conceptualmente este método está basado en la relación que existe entre los
momentos flectores generados por un sistema de cargas y las deformaciones
que se generan en la estructura, logrando calcular las rotaciones y deflexiones
a partir del diagrama de momento.
El método de área de momento está definido por los siguientes teoremas:
a. Teorema de las variaciones angulares
Este teorema es aplicable en aquellas partes de la curva elástica donde no se
presentan discontinuidades.
𝜃 𝐵 − 𝜃𝐴 = ∫
𝑀( 𝑥)
𝐸𝐼
𝑥 𝐵
𝑥 𝐴
𝑑𝑥
b. Teorema del primer momento de área
∆ 𝐵
𝐴
= − ∫
𝑀( 𝑥)
𝐸𝐼
(𝑥 − 𝑥̅
𝑥 𝐵
𝑥 𝐴
)𝑑𝑥
El momento estático se puede calcular de forma muy simple multiplicando el área
bajo la curva del diagrama de momentos comprendido entre los puntos A y B por
la distancia desde su centroide hasta el punto donde se desea calcular la
deflexión.
Ejemplo 2. Cálculo de la rotación y la deflexión en el extremo de un voladizo con
momento de inercia variable.

4. Datos:
Calcular la rotación en C, la deflexión en B y la deflexión en C.
Curva elástica
Diagrama de M y de M/EI
𝐼 𝐵𝐶 = 44537 𝑐𝑚4
𝐼 𝐵𝐶 = 44537+ 2 ∗ 30 ∗ 0,64(23,3 + 0,32)2
= 65960 𝑐𝑚4
2 m 2 m
B CA
10 Ton 5 Ton
𝜃𝐴𝐶 = 𝜃𝐶
𝑡 𝐶𝐴 = ∆ 𝐶
C
B
𝑡 𝐵𝐴 = ∆ 𝐵
𝑡 𝐴𝐵
A
(-)
-
M
10 ton-m
40 ton-m

5. Cálculo de 𝜃𝐶
𝜃𝐴𝐶 = 𝜃𝐶
𝜃𝐴𝐶 = 𝑎𝑟𝑒𝑎1 + 𝑎𝑟𝑒𝑎2+ 𝑎𝑟𝑒𝑎3
= −
1
𝐸
(
200 ∗ 22,4
2
+
60,6 ∗ 200
2
+
15,2 ∗ 200
2
) = −
9820
𝐸
𝑘𝑔/𝑐𝑚2
𝜃𝐴𝐶 = 𝜃𝐶 = −
9820
2 ∗ 106
= −0,00491 𝑟𝑎𝑑 = −0,28°
Cálculo de ∆ 𝐵
𝑡 𝐵𝐴 = ∆ 𝐵= −
1
𝐸
[
60,6 ∗ 200
2
∗
2
3
∗ 200 +
15,2 ∗ 200
2
∗
1
3
∗ 200]
𝑡 𝐵𝐴 = ∆ 𝐵= −
909333
𝐸
= −
909333
2 ∗ 106
= −0,45 𝑐𝑚
Cálculo de ∆ 𝐶
𝑡 𝐶𝐴 = ∆ 𝑐= −
1
𝐸
[
60,6 ∗ 200
2
∗ (200 ∗
2
3
∗ 200) +
15,2 ∗ 200
2
∗ (200 ∗
1
3
∗ 200)
+
22,4 ∗ 200
2
∗
2
3
∗ 200]
𝑡 𝐶𝐴 = ∆ 𝐶 = −
2724000
𝐸
= −
2724000
2 ∗ 106
= −1,36 𝑐𝑚
3. Método de Viga Conjugada
La viga conjugada es una viga ficticia estáticamente determinada de longitud igual
a la viga real y cuya carga es el diagrama de momento flector reducido aplicado al
lado de la comprensión.
2
1
200 cm 200 cm
15,2/E
3
60,6/E
M/EI

6. Desarrollado por Otto Mohr en 1868, básicamente este método se basa en la
analogía que existe entre carga, momento flexionante, fuerza cortante, pendiente y
deflexión, como lo indica:
𝐸𝐼 𝑦 = 𝐷𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖ó𝑛 ( 𝑂𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎)
𝐸𝐼
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑃𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 ( 𝜃)
𝐸𝐼
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
= 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 ( 𝑀)
𝐸𝐼
𝑑3
𝑦
𝑑𝑥3
= 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝐶𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 ( 𝑉) =
𝑑𝑀
𝑑𝑥
𝐸𝐼
𝑑4
𝑦
𝑑𝑥4
= 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 =
𝑑𝑉
𝑑𝑥
Este método consiste en hallar el momento en la viga real y cargarlo a la viga
conjugada. Luego, dando corte y aislando unas de las partes de mejor
conveniencia, se obtiene el cortante que será el giro de la viga real y el momento
en la viga conjugada será el desplazamiento en la misma.
Ejemplo 3: Determine la deflexión máxima para la viga mostrada por el método de
viga conjugada. 𝐸𝐼 = 𝑐𝑡𝑒; 𝐸 = 200𝐺𝑝𝑎; 𝐼 = 700(106
)𝑚𝑚4
Se calcula la reacción en el apoyo A de la viga conjugada aplicando la ecuación
de equilibrio Σ𝑀 𝐶 = 0 y se determina que:
Σ𝑀 𝐶 = 0
𝐴 𝑦(15) = −
1
𝐸𝐼
[
1
2
(400)(10)(
10
3
+ 5) +
1
2
(400)(5)(
10
3
)] = 0
120 k
C
B
A

7. 𝐴 𝑦 =
1333,33 𝐾𝑁 − 𝑚2
𝐸𝐼
La localización del momento flector máximo en la viga conjugada se representa en
el punto D, localizado a una distancia 𝑋 𝑚 del apoyo izquierdo.
Considerando el diagrama de la viga conjugada tenemos que:
𝑆 𝐷 =
1
𝐸𝐼
[−1333,33 +
1
2
(40𝑥 𝑚)( 𝑥 𝑚)] = 0
La deflexión máxima de la viga real al momento flexionante máximo en la viga
conjugada, el cual se puede determinar al considerar 𝑥 𝑚 = 8,16 𝑚. Tenemos que:
Σ𝑀 𝐷 =
1
𝐸𝐼
[−1333,33(8,16)+ 1/2(40)(8,16)2
(
8,16
3
)] =
7244,51 𝑘𝑁− 𝑚3
𝐸𝐼
Por lo tanto, la deflexión de la viga real será:
𝛥 𝐶 = −
7244,51 𝑘𝑁 − 𝑚3
𝐸𝐼
=
7244,51
(200)(700)
= −0,0517 𝑚 = −51,17 𝑚𝑚
Bibliografía: Análisis estructural-Ing. Jorge Buzón Ojeda
A
400/EI
C
B
10 m 5 m
CA
X
B

8. UNIVERSIDAD DE LA COSTA CUC
Taller de estructuras
Calculo de giros y Deflexiones por los métodos;
Doble Integración
Área de momento
Viga conjugada
Presentado por:
Yohana Castillo Almanza
Curso:
Lunes 2:30
Presentado a:
Ing. Andrés Galán
Barranquilla-Atlántico
2015