Este documento describe la geometría analítica del espacio tridimensional (R3). Introduce un sistema de coordenadas rectangulares en R3 con tres ejes perpendiculares (x, y, z) y ocho octantes. Explica cómo graficar un punto en R3 usando sus coordenadas y cómo calcular la distancia entre dos puntos usando el teorema de Pitágoras. También muestra cómo dividir un segmento en una razón dada encontrando las coordenadas del punto resultante.

1. EL ESPACIO
TRIDIMENSIONAL
Geometría Analítica del espacio
Curso: CÁLCULO VECTORIAL
Rafael D. Méndez A.

2. Espacio R 3
En la geometría analítica plana se consideran los
puntos en un solo plano, al que llamamos plano
cartesiano. Con el fin de poder estudiar las figuras en
tres dimensiones, se debe desarrollar un sistema de
coordenadas que considere que cada punto puede
ocupar cualquier posición en el espacio.
Es por eso que ahora además de las coordenadas ya
conocidas x y y, aparece una nueva coordenada z, que
permite analizar los problemas en tres dimensiones.

3. Sistema de coordenadas
rectangulares en R 3
• El sistema de coordenadas en el espacio está
z formado por tres planos perpendiculares
mutuamente llamados planos coordenados.
• El punto donde se cortan los planos
coordenados o el punto 0 es llamado
origen.
• Las rectas de intersección de los
planos coordenados se llaman ejes
y
0 coordenados, y se nombran como se
muestra en figura: eje x, eje y y eje z
según la regla de la mano derecha. El
sentido positivo de cada eje se indica
por una flecha.
x
• Los tres planos coordenados dividen el espacio en ocho
regiones llamadas octantes. El octante formado por las partes
positivas de los ejes coordenados se llama primer octante.

4. Localización de puntos en R 3
Tomaremos el punto (2;4;2) para mostrar el procedimiento para
graficar un punto en el espacio, en coordenadas rectangulares.
z
Se ubica la coordenada en x en el
1 eje x, y se traza a partir de este
punto una línea paralela al eje y.
y
x

5. z
2 Se ubica la coordenada en y en el
eje y, y se traza a partir de este
punto una línea paralela al eje x.
y
z
x
A partir del punto de 3
intersección de las rectas z=2
trazadas en el paso 1 y 2, se
sube o se baja dependiendo y
del sentido de la coordenada
en z, tantas unidades esta
indique, en este caso se x
suben 2 unidades.

6. Distancia entre dos puntos
A continuación se describe el proceso para demostrar la ecuación que
permite calcular la distancia entre dos puntos en el espacio:
z
Construimos un paralelepípedo
en el cual los vértices opuestos
sean los puntos A y B, entre los
cuales se hallará la distancia.
Considerando un punto
C, como se muestra en la
y figura, con las mismas
coordenadas en x y y del punto
B, pero a la altura del punto A.
x

7. Con el triángulo ABC y utilizando el
teorema de Pitágoras, tenemos:
1
Realizamos la misma relación para el
triángulo ACD, tenemos:
2
Reemplazando la ecuación 2 en la ecuación 1 , nos queda:

8. Teniendo en cuenta que:
Entonces,
Finalmente, la ecuación para hallar la distancia entre dos puntos en el
espacio es:

9. División de un segmento
en una razón dada
Si y son los extremos de un
segmento dirigido , las coordenadas (x,y,z) de un
punto P que divide a este segmento en la razón:
son:

10. Demostración
z
y Finalmente,
x Esta demostración para la coordenada en z se realiza igual
para x y y, arrojando resultados análogos, como se nota en
las fórmulas de la página anterior.

11. Si la razón es 1, quiere decir que el punto P divide el
segmento en dos partes iguales, en otras palabras en
ese caso P sería el punto medio. Entonces, las
coordenadas del punto medio de una recta son:
www.calculovectorialutb.jimdo.com