Este documento presenta los conceptos fundamentales para analizar estructuras estáticamente indeterminadas (hiperestáticas). Explica que este tipo de estructuras tienen más incógnitas que ecuaciones, por lo que se debe eliminar la causa de indeterminación para obtener un sistema isostático fundamental. Luego, se plantean ecuaciones de compatibilidad de deformaciones igualando los desplazamientos en el sistema fundamental e hiperestático original. Esto permite establecer un sistema de ecuaciones para resolver las incógnitas hiperestáticas.

1. Hiperestáticos
Método de las Fuerzas
Curso de Estabilidad IIb
Ing. Gabriel Pujol
Para las carreas de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica de la
Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

2. Analicemos una estructura
sometida a un determinado
estado de carga:
Consideraciones Preliminares
• Si el número de incógnitas, (I), es menor que el número de ecuaciones, (E), la estructura
es inestable, (sistema hipostático). Constituye un sistema incompatible.
• Si el número de incógnitas, (I), es igual al número de ecuaciones, (E), la estructura es
estáticamente determinada, (sistema isostático).
• Si el número de incógnitas, (I), es mayor que el número de ecuaciones, (E), la estructura
es estáticamente indeterminada, (sistema hiperestático).

3. El criterio de resolución es el
siguiente:
Consideraciones Preliminares
• Se hace desaparecer la causa de la indeterminación estática y se obtiene un sistema
isostático fundamental o principal.
• El sistema fundamental no cumplirá las condiciones impuestas al sistema hiperestático,
por esta razón, han de aplicársele fuerzas o momentos que constituirán las incógnitas
hiperestáticas.
• Las condiciones suprimidas pueden pertenecer a la sustentación o ser condiciones internas
del sistema.

4. Para la misma estructura existen
varios sistemas fundamentales
posibles:
Consideraciones Preliminares
• El sistema fundamental más conveniente será aquel en el cual los diagramas debidos a las
incógnitas y a las cargas exteriores resulten simples y donde haya la menor cantidad
posible de coeficientes δij suplementarios, distintos de cero.

5. Por el Principio de
Superposición…
Consideraciones Preliminares
…las solicitaciones y desplazamientos en el sistema fundamental bajo la acción de las cargas
exteriores y de las incógnitas hiperestáticas actuando conjuntamente, deben ser iguales a
las solicitaciones y deformaciones en la estructura hiperestática planteada, bajo la acción de
las cargas exteriores.
= + + +
X1
X3X2
Los efectos el momento flector total en una sección genérica C de la estructura hiperestática
original valdrán:
C C0 C1 C2 C3
CM 0CM 1CM 2CM 3CM  
Estructura original Estado 0 Estado 1 Estado 2 Estado 3

6. Pero se desconocen los
valores verdaderos de X1, X2
y X3
Consideraciones Preliminares
…luego, no pueden obtenerse M1C, M2C ni M3C.
• Sin embargo, la forma del diagrama de
solicitaciones es única para cualquier
valor de la carga que lo produzca.
• Así por ejemplo los diagramas de
momentos de un par de 1 tm y el de
5 tm son idénticos, sólo varía la escala
de referencia de los mismos.

7. Siguiendo el razonamiento…
Consideraciones Preliminares
…puede escribirse: CC MXM 111
 en la cual:
• X1 - valor (adimensional) de la incógnita
hiperestática verdadera.
• M’1C - valor del momento flector en C
originado por una carga unitaria en el
punto de actuación de la incógnita X1.
y generalizando, la expresión del momento en C en la estructura hiperestática será:
CCCCC MXMXMXMM 3322110

y en general:


n
i
iiC MXMM
1
0

8. Veamos las ecuaciones de
compatibilidad…
Consideraciones Preliminares
…debemos plantear ahora tantas ecuaciones de compatibilidad de las deformaciones
como incógnitas hiperestáticas existan.
Si en las secciones de la estructura
hiperestática donde se consideraron las
incógnitas hiperestáticas (X1, X2 y X3) los
enlaces son rígidos, los desplazamientos
relativos de dichas secciones serán nulos.
Por lo tanto, en el sistema fundamental la suma de los desplazamientos en las secciones
en cuestión, originados por las cargas exteriores y las incógnitas hiperestáticas actuando
conjuntamente, debe ser nula. Por lo tanto:
00 133122111101   XXX
X1
X2
X3


9. Donde:
Consideraciones Preliminares
00 133122111101   XXX
• δ’1 - desplazamiento relativo entre las secciones en el punto de aplicación de la
incógnita hiperestática X1, en la estructura fundamental.
• δ11 - desplazamiento que sufre el punto de aplicación de la incógnita X1 en la
estructura fundamental en la dirección y sentido de esta fuerza, originado por un
valor unitario de X1 actuando en A. (etc.)
• δ10 - desplazamiento que sufre el punto de aplicación de la incógnita X1 en la
estructura fundamental en la dirección y sentido de esta fuerza, originado por las
cargas exteriores.
• X1 - verdadero valor de la incógnita hiperestática 1 (adimensional).
y en general: δij - desplazamiento del punto de aplicación de la incógnita hiperestática
Xi en la estructura fundamental, en la dirección y sentido de esta fuerza,
por acción de Xj = 1 [t o tm] (según sea fuerza o par).

10. La expresión de los
desplazamientos δ’ij la
obtenemos…
Consideraciones Preliminares
…aplicando el Principio de los Trabajos Virtuales:
   mtótdl
IE
MM i
ij 


 
• M’i - momentos en la estructura fundamental originados por X1 = 1 [t] ó [tm]
donde:
• M - momentos finales en la estructura fundamental (iguales a los momentos verdaderos
en la estructura hiperestática).
Sustituyendo los valores de δij e igualando a cero resulta la ecuación de δ’1 :
013
3
12
2
2
1
1
10












 dl
IE
MM
Xdl
IE
MM
Xdl
IE
M
Xdl
IE
MM

11. Planteando la nulidad de
desplazamientos para las otras dos
incógnitas hiperestáticas obtenemos…
Consideraciones Preliminares
…un sistema de tres ecuaciones con tres
incógnitas X1; X2 y X3:








0
0
0
33332231130
23322221120
13312211110



XXX
XXX
XXX
















































0
0
0
2
3
3
32
2
31
1
30
23
3
2
2
2
21
1
20
13
3
12
2
2
1
1
10
dl
IE
M
Xdl
IE
MM
Xdl
IE
MM
Xdl
IE
MM
dl
IE
MM
Xdl
IE
M
Xdl
IE
MM
Xdl
IE
MM
dl
IE
MM
Xdl
IE
MM
Xdl
IE
M
Xdl
IE
MM
o bien:

12. Planteando la nulidad de
desplazamientos para las otras dos
incógnitas hiperestáticas obtenemos…
Consideraciones Preliminares
…un sistema que puede representarse como sigue:       0 TXF
dónde:
• F representa la matriz de coeficientes del sistema, o matriz de flexibilidad, ya
que sus términos miden deformaciones de la estructura bajo la acción de
cargas unitarias.
• X representa la matriz columna de las incógnitas hiperestáticas Xi.
• T representa la matriz columna de los términos independientes.











30
20
10



T;
333231
232221
131211














F ;
3
2
1











X
X
X
X
Resuelto el sistema obtenemos los valores de las incógnitas hiperestáticas (X1, X2 y X3).

13. Bibliografía
Estabilidad II - E. Fliess
Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo
Mecánica de materiales - F. Beer y otros
Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez
Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana
Resistencia de materiales - V. Feodosiev
Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer
Resistencia de materiales - S. Timoshenko

14. Muchas Gracias