La primera oración resume los tipos de vigas simple apoyadas y las cargas que se pueden aplicar, incluyendo cargas puntuales, uniformes y variables. La segunda oración resume las ecuaciones fundamentales para calcular la deflexión, pendiente, momento y cortante. La tercera oración indica que el documento proporciona ejemplos detallados para cada caso de carga aplicada a una viga simple apoyada.
Los elementos estructurales sujetos a flexión, son principalmente las vigas y losas. La flexión puede presentarse acompañada de fuerza cortante. Sin embargo, la resistencia a flexión puede estimarse despreciando el efecto de la fuerza cortante.
Para el diseño de secciones a flexión, se usa el Estado Límite de Agotamiento Resistente, donde la resistencia de agotamiento se minora multiplicando por un factor correspondiente; Comparando luego con la demanda o carga real modificada por los factores de mayoración. La norma usada es la COVENIN 1753.
Los elementos estructurales sujetos a flexión, son principalmente las vigas y losas. La flexión puede presentarse acompañada de fuerza cortante. Sin embargo, la resistencia a flexión puede estimarse despreciando el efecto de la fuerza cortante.
Para el diseño de secciones a flexión, se usa el Estado Límite de Agotamiento Resistente, donde la resistencia de agotamiento se minora multiplicando por un factor correspondiente; Comparando luego con la demanda o carga real modificada por los factores de mayoración. La norma usada es la COVENIN 1753.
Se aplica el método de doble integración usando funciones de singularidad y el método de superposición para realizar el análsiis de deformaciones en vigas. Se resuelven vigas estáticaticamente por medio de estos métodos
Control de deflexiones en estructuras de concreto armadomoralesgaloc
A deflexiones mayores que L/250 generalmente son apreciables a simple vista
Por deflexiones excesivas de los elementos estructurales se pueden dañar los elementos no estructurales, suelen fijar la deflexión máxima permisible en: ∆≤L/480
Las deflexiones excesivas pueden interferir con el funcionamiento de la estructura.
Todas las estructuras de retención como los muros de retención ( de gravedad, anclados, clavados, etc.) y muros de sótanos soportan el empuje de masas de tierra.
Los muros de retención proporcionan soporte lateral permanente a taludes verticales o casi verticales de suelo.
Se aplica el método de doble integración usando funciones de singularidad y el método de superposición para realizar el análsiis de deformaciones en vigas. Se resuelven vigas estáticaticamente por medio de estos métodos
Control de deflexiones en estructuras de concreto armadomoralesgaloc
A deflexiones mayores que L/250 generalmente son apreciables a simple vista
Por deflexiones excesivas de los elementos estructurales se pueden dañar los elementos no estructurales, suelen fijar la deflexión máxima permisible en: ∆≤L/480
Las deflexiones excesivas pueden interferir con el funcionamiento de la estructura.
Todas las estructuras de retención como los muros de retención ( de gravedad, anclados, clavados, etc.) y muros de sótanos soportan el empuje de masas de tierra.
Los muros de retención proporcionan soporte lateral permanente a taludes verticales o casi verticales de suelo.
Prontuario para cálculo de vigas sencillas en acero, con esquemas para vigas simples y de 2 y 3 vanos, y tablas-prontuario de perfiles de acero (Fuente: Univ. Alicante)
Arquitectura Ecléctica e Historicista en Latinoaméricaimariagsg
La arquitectura ecléctica e historicista en Latinoamérica tuvo un impacto significativo y dejó un legado duradero en la región. Surgida entre finales del siglo XIX y principios del XX, esta corriente arquitectónica se caracteriza por la combinación de diversos estilos históricos europeos, adaptados a los contextos locales.
El movimiento moderno en la arquitectura venezolana tuvo sus inicios a mediados del siglo XX, influenciado por la corriente internacional del modernismo. Aunque inicialmente fue resistido por la sociedad conservadora y los arquitectos tradicionalistas, poco a poco se fue abriendo camino y dejando una huella importante en el país.
Uno de los arquitectos más destacados de la época fue Carlos Raúl Villanueva, quien dejó un legado significativo en la arquitectura venezolana con obras como la Ciudad Universitaria de Caracas, considerada Patrimonio de la Humanidad por la UNESCO. Su enfoque en la integración de la arquitectura con el entorno natural y la creación de espacios que favorecen la interacción social, marcaron un punto de inflexión en la arquitectura venezolana.
Otro arquitecto importante en la evolución del movimiento moderno en Venezuela fue Tomás Sanabria, quien también abogó por la integración de la arquitectura con el paisaje y la creación de espacios abiertos y funcionales. Su obra más conocida es el Parque Central, un complejo urbanístico que se convirtió en un ícono de la modernidad en Caracas.
En la actualidad, el movimiento moderno sigue teniendo influencia en la arquitectura venezolana, aunque se ha visto enriquecido por nuevas corrientes y enfoques que buscan combinar la modernidad con la identidad cultural del país. Proyectos como el Centro Simón Bolívar, diseñado por el arquitecto Fruto Vivas, son ejemplos de cómo la arquitectura contemporánea en Venezuela sigue evolucionando y adaptándose a las necesidades actuales.
1. Fórmulas de deformación de vigas www.vaxasoftware.com
Simbolo Magnitud Unidades
E·I Rigidez a flexión N·m2
, Pa·m4
y Deflexión, deformación, flecha m
θ Pendiente, giro -
x Posición del punto de estudio (distancia desde el origen) m
L Longitud de la viga (sin vano lateral) m
M Momento flector, flector, momento aplicado N·m
P Carga puntual, carga concentrada N
w Carga distribuida N/m
R Reacción N
V Esfuerzo cortante, cortante N
Viga simple apoyada - Carga uniforme en todo el vano
Deflexión )2(
24
3230
AB xLxL
EI
xw
y +−
−
=
EI
Lw
y
384
5 4
0
MAX
−
= para
2
L
x =
Pendiente )46(
24
3230
AB xLxL
EI
w
+−
−
=θ
EI
Lw
24
3
0
BA
−
=−= θθ
Momento )(
2
0
AB xL
xw
M −=
8
2
0
MAX
Lw
M = para
2
L
x =
Cortante )2(
2
0
AB xL
w
V −=
Reacciones
2
0
BA
Lw
RR ==
2. Viga simple apoyada - Carga uniforme en la mitad del vano
Deflexión )16249(
384
3230
AC xLxL
EI
xw
y +−
−
=
)17248(
384
32230
CB LxLLxx
EI
Lw
y −+−
−
=
Pendiente )64729(
384
3230
AC xLxL
EI
w
+−
−
=θ
)174824(
384
220
CB LLxx
EI
Lw
+−
−
=θ
EI
wL
128
3 3
A
−
=θ
EI
wL
384
7 3
B =θ
Momento )43(
8
20
AC xLx
w
M −= )(
8
20
CB LxL
w
M −=
Cortante )83(
8
0
AC xL
w
V −=
8
0
CB
Lw
V
−
=
AA RV = BB RV −=
Reacciones
8
3 0
A
Lw
R =
8
0
B
Lw
R =
Viga simple apoyada - Carga uniforme parcial en un lado
Deflexión:
)4244(
24
322222340
AC LxaLxxaLaLaa
LEI
xw
y +−++−
−
=
)264(
24
32222
2
0
CB xLxxaxLLa
LEI
aw
y +−++−
−
=
Pendiente:
)412644(
24
322222340
AC LxaLxxaLaLaa
LEI
w
+−++−
−
=θ
)6124(
24
222
2
0
CB xLxaL
LEI
aw
+−+
−
=θ
Momento:
)2(
2
220
AC LxaLxxa
L
w
M +−
−
= )(
2
2
0
CB xL
L
aw
M −=
Cortante:
)22(
2
20
AC LxaLa
L
w
V +−
−
=
L
aw
VVV
2
2
0
BCCB
−
===
Reacciones )2(
2
0
A aL
L
aw
R −=
L
aw
R
2
2
0
B =
3. Viga simple apoyada - Carga uniforme parcial
Deflexión x
EI
xR
y α+=
6
3
A
AC xax
EI
w
EI
xR
y α+−−= 40
3
A
CD )(
246
L
xL
EI
xLR
y
)(
6
)( 3
B
DB
−
+
−
=
β
Pendiente: αθ +=
EI
xR
2
2
A
AC αθ +−−= 30
2
A
CD )(
62
ax
EI
w
EI
xR
LEI
xLR β
θ −
−−
=
2
)( 2
B
DB
Momento xRM AAC = 20
ACD )(
2
ax
w
xRM −−=
)(BDB xLRM −=
Cortante ACAAC RVVV === )(0ACD axwRV −−=
BBDDB RVVV −===
Reacciones )2(
2
0
A bc
L
bw
R += )2(
2
0
B ba
L
bw
R +=
Siendo:
LEI
baLRLcREILbw
6
)(336 2
A
2
B
3
0 +−−−
=
β
α
EI
cRLcRbaRbwabw
24
812)(834 3
B
2
B
3
A
4
0
3
0 +−+−+
=β
Viga simple apoyada - Cargas uniformes parciales distintas a cada lado
Momento
2
2
1
AAC
xw
xRM −=
)2(
2
1
ACD ax
aw
xRM −−=
2
)(
)(
2
2
BDB
xLw
xLRM
−
−−=
Cortante:
xwRV 1AAC −= awRV 1ACD −= )(2BDB xLwRV −+−=
Reacciones:
L
cwaLaw
R
2
)2( 2
21
A
+−
=
L
awcLcw
R
2
)2( 2
12
B
+−
=
4. Viga simple apoyada - Carga uniformemente creciente en todo el vano
Deflexión )3107(
360
42240
AB xxLL
LEI
xw
y +−
−
=
EI
Lw
y
4
0
MAX 00652,0−= para x = 0,5193L
Pendiente )15307(
360
42240
AB xxLL
LEI
w
+−
−
=θ
EI
Lw
360
7 3
0
A
−
=θ
EI
Lw
45
3
0
B =θ
Momento )(
6
320
AB xxL
L
w
M −=
Cortante )3(
6
220
AB xL
L
w
V −=
Reacciones
6
0
A
Lw
R =
6
2 0
B
Lw
R =
Viga simple apoyada - Carga uniformemente creciente hacia el centro
Deflexión 2220
AC )45(
960
xL
LEI
xw
y −
−
=
2220
CB ))(45(
960
)(
xLL
LEI
xLw
y −−
−−
=
EI
Lw
y
120
4
0
MAX
−
= para
2
L
x =
Pendiente )4)(45(
192
22220
AC xLxL
LEI
w
−−
−
=θ
))(4)()(45(
192
22220
CB xLLxLL
LEI
w
−−−−=θ
EI
Lw
192
5 3
0
BA
−
=−= θθ
Momento )43(
12
320
AC xxL
L
w
M −=
))(43(
12
)( 220
CB xLL
L
xLw
M −−
−
=
Cortante )4(
4
220
AC xL
L
w
V −= ))(4(
4
220
CB xLL
L
w
V −−
−
=
Reacciones
4
0
BA
Lw
RR ==
5. Viga simple apoyada - Carga senoidalmente distribuida
Deflexión
L
x
EI
Lw
y
π
sen
π4
4
0
AB
−
=
EI
Lw
y 4
4
0
MAX
π
−
= para
2
L
x =
Pendiente
L
x
EI
Lw π
cos
π3
3
0
AB
−
=θ
EI
Lw
3
3
0
BA
π
−
=−= θθ
Momento
L
xLw
M
π
sen
π2
2
0
AB =
Cortante
L
xLw
V
π
cos
π
0
AB =
π
0
BA
Lw
VV =−=
Reacciones
π
0
BA
Lw
RR ==
Viga simple apoyada - Carga puntual en el centro
Deflexión )43(
48
22
AC xL
EI
Px
y −
−
=
))(43(
48
)( 22
CB xLL
EI
xLP
y −−
−−
=
EI
PL
yy
48
3
CMAX
−
== para
2
L
x =
Pendiente:
)4(
16
22
AC xL
EI
P
−
−
=θ )384(
16
22
CB LLxx
EI
P
+−
−
=θ
EI
PL
16
2
BA =−= θθ
Momento
2
AC
Px
M =
2
)(
CB
xLP
M
−
=
Cortante
2
AAC
P
VV ==
2
BCB
P
VV
−
==
Reacciones
2
BA
P
RR ==
6. Viga simple apoyada - Carga puntual en cualquier punto
Deflexión )(
6
222
AC xbL
LEI
Pbx
y −−
−
=
[ ]222
CB )(
6
)(
xLaL
LEI
xLPa
y −−−
−−
=
Pendiente:
)3(
6
222
AC xbL
LEI
Pb
−−
−
=θ [ ]222
CB )(3
6
xLaL
LEI
Pa
−−−=θ
LEI
bLPb
6
)( 22
A
−−
=θ )(
6
22
B aL
LEI
Pa
−=θ
Momento
L
Pbx
M =AC
L
xLPa
M
)(
CB
−
=
Cortante
L
Pb
VV == AAC
L
Pa
VV
−
== BCB
Reacciones
L
Pb
R =A
L
Pa
R =B
Viga simple apoyada - Dos cargas puntuales iguales situadas simétricamente
Deflexión )33(
6
22
AC xaaL
EI
Px
y −−
−
=
)33(
6
22
CD axLx
EI
Pa
y −−
−
=
[ ]22
DB )(33
6
)(
xLaaL
EI
xLP
y −−−
−−
=
)43(
24
22
MAX aL
EI
Pa
y −
−
= para
2
L
x =
Pendiente )(
2
22
AC xaaL
EI
P
−−
−
=θ )2(
2
CD xL
EI
Pa
−
−
=θ
[ ]22
DB )(
2
xLaaL
EI
P
−−−=θ
EI
aaLP
2
)( 2
BA
−−
=−= θθ
Momento PxM =AC PaM =CD )(DB xLPM −=
Cortante PV =AC 0CD =V PV −=DB
Reacciones PRR == BA
Viga simple apoyada - Dos cargas puntuales iguales situadas asimétricamente
Momento xRM AAC = )(ACD axPxRM −−=
)(BDB xLRM −=
Cortante AAC RV = PRV −= ACD BDB RV −=
Reacciones
L
baLP
R
)(
A
+−
=
L
abLP
R
)(
B
+−
=
7. Viga simple apoyada - Dos cargas puntuales desiguales situadas asimétricamente
Momento xRM AAC = )(1ACD axPxRM −−=
)(BDB xLRM −=
Cortante AAC RV = 1ACD PRV −= BDB RV −=
Reacciones
L
bPaLP
R 21
A
)( +−
=
L
aPbLP
R 12
B
)( +−
=
Viga simple apoyada - Momento antihorario en el lado derecho
Deflexión )(
6
220
AB xL
LEI
xM
y −
−
=
Pendiente )3(
6
220
AB xL
LEI
M
−
−
=θ
EI
LM
6
0
A
−
=θ
EI
LM
3
0
B =θ
Momento
L
xM
M 0
AB =
Cortante
L
M
V 0
AB =
Reacciones
L
M
R 0
A =
L
M
R 0
B
−
=
Viga simple apoyada - Momento antihorario en el lado izquierdo
Deflexión )32(
6
220
AB xLxL
LEI
xM
y +−=
EI
LM
y
39
2
0
MAX = para Lx ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −
=
3
33
Pendiente )362(
6
220
AB xLxL
LEI
M
+−=θ
EI
LM
3
0
A =θ
EI
LM
6
0
B
−
=θ
Momento )(0
AB xL
L
M
M −
−
=
Cortante
L
M
V 0
AB =
Reacciones
L
M
R 0
A =
L
M
R 0
B
−
=
8. Viga simple apoyada - Momento horario en el extremo izquierdo
Deflexión )32(
6
220
AB xLxL
LEI
xM
y +−
−
=
EI
LM
y
39
2
0
MAX
−
= para Lx ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −
=
3
33
Pendiente )362(
6
220
AB xLxL
LEI
M
+−
−
=θ
EI
LM
3
0
A
−
=θ
EI
LM
6
0
B =θ
Momento )(0
AB xL
L
M
M −=
Cortante
L
M
V 0
AB
−
=
Reacciones
L
M
R 0
A
−
=
L
M
R 0
B =
Viga simple apoyada - Momento antihorario en el centro
Deflexión )4(
24
220
AC xL
LEI
xM
y −
−
=
))(4(
24
)( 220
CB xLL
LEI
xLM
y −−
−
=
Pendiente )12(
24
220
AC xL
LEI
M
−
−
=θ
))(12(
24
220
CB LxL
LEI
M
−−=θ
)3(
6
220
A bL
LEI
M
−
−
=θ )3(
6
220
B aL
LEI
M
+−=θ
Momento
L
xM
M 0
AC = )(0
CB xL
L
M
M −
−
=
Cortante
L
M
V 0
AC =
L
M
V 0
CB =
Reacciones
L
M
R 0
A =
L
M
R 0
B
−
=
9. Viga simple apoyada - Momento antihorario en cualquier punto
Deflexión )3(
6
2220
AC xbL
LEI
xM
y −−
−
=
))(3(
6
)( 2220
CB xLaL
LEI
xLM
y −−−
−
=
Pendiente )33(
6
2220
AC xbL
LEI
M
−−
−
=θ
))(33(
6
2220
CB xLaL
LEI
M
−++−=θ
)3(
6
220
A bL
LEI
M
−
−
=θ )3(
6
220
B aL
LEI
M
+−=θ
Momento
L
xM
M 0
AC = )(0
CB xL
L
M
M −
−
=
Cortante
L
M
V 0
AC =
L
M
V 0
CB =
Reacciones
L
M
R 0
A =
L
M
R 0
B
−
=
Viga simple apoyada - Dos momentos distintos antihorario + horario en los extremos
Deflexión [ ]LMMxMM
LEI
xLx
y )2()(
6
)(
2121AB +−−
−−
=
Pendiente:
[ ])2)(2()23)((
6
1 2
21
2
21AB LLxMMLxxMM
LEI
−+−−−=θ
Momento [ ]121AB )(
1
LMxMM
L
M −−=
Cortante
L
MM
V 21
AB
−
=
Reacciones
L
MM
R 21
A
−
=
L
MM
R 12
B
−
=
Viga simple apoyada - Dos momentos distintos antihorario en los extremos
Deflexión [ ]LMMxMM
LEI
xLx
y )2()(
6
)(
2121AB −−+
−−
=
Pendiente:
[ ])2)(2()23)((
6
1 2
21
2
21AB LLxMMLxxMM
LEI
−−−−+=θ
Momento [ ]121AB )(
1
LMxMM
L
M −+=
Cortante
L
MM
V 21
AB
+
=
Reacciones
L
MM
R 21
A
+
=
L
MM
R 21
B
−−
=
10. Viga simple apoyada - Dos momentos iguales horario + antihorario en los extremos
Deflexión )(
2
0
AB xL
EI
xM
y −
−
=
EI
LM
y
8
2
0
MAX
−
= para
2
L
x =
Pendiente )2(
2
0
AB xL
EI
M
−
−
=θ
EI
LM
2
0
BA
−
=−= θθ
Momento 0AB MM =
Cortante 0AB =V
Reacciones 0BA == RR
Viga en voladizo - Carga uniforme en todo el vano
Deflexión )64(
24
22340
AB xLLxx
EI
w
y +−
−
=
EI
Lw
yy
8
4
0
BMAX
−
== para x = L
Pendiente )33(
6
2230
AB xLLxx
EI
w
+−
−
=θ
EI
Lw
6
3
0
B
−
=θ
Momento 20
AB )(
2
xL
w
M −
−
=
2
2
0
AMAX
Lw
MM
−
==
Cortante )(0AB xLwV −=
Reacciones LwR 0A =
Viga en voladizo - Carga uniforme parcial en el lado empotrado
Deflexión )46(
24
43220
AC xaxxa
EI
w
y +−
−
=
)4(
24
3
0
CB ax
EI
aw
y −
−
=
)4(
24
3
0
BMAX aL
EI
aw
yy −
−
==
Pendiente )33(
6
3220
AC xaxxa
EI
w
+−
−
=θ
EI
aw
6
3
0
BCCB
−
=== θθθ
Momento 20
AC )(
2
xa
w
M −
−
= 0BCCB === MMM
2
2
0
AMAX
aw
MM
−
==
Cortante )(0AC xawV −= 0BCCB === VVV
Reacciones awR 0A =
11. Viga en voladizo - Carga uniforme parcial en el lado libre
Deflexión )233(
12
2
0
AC xaL
EI
bxw
y −+
−
=
)464(
24
4322340
CB axaxLLxx
EI
w
y +−+−
−
=
Pendiente )(
2
0
AC xaL
EI
bxw
−+
−
=θ
)33(
6
32230
CB axLLxx
EI
w
−+−
−
=θ
)(
6
330
B aL
EI
w
−
−
=θ
Momento )2(
2
0
AC xaL
bw
M −+
−
= 20
CB )(
2
xL
w
M −
−
=
Cortante bwVVV 0CAAC === )(0CB xLwV −=
Reacciones bwR 0A =
Viga en voladizo - Carga uniforme parcial
Deflexión )236(
12
2
0
AC xba
EI
bxw
y −+
−
=
)4)(6)(4(
24
4322340
CD axaxbaxbax
EI
w
y +−+++−
−
=
))(])([4(
24
44330
DB abaabax
EI
w
y ++−−+
−
=
Pendiente )2(
2
0
AC xba
EI
bxw
−+
−
=θ
))(3)(3(
6
32230
CD axbaxbax
EI
w
−+++−
−
=θ
))((
6
330
DB aba
EI
w
−+
−
=θ
Momento )22(
2
0
AC xba
bw
M −+
−
=
20
CD )(
2
xba
w
M −+
−
= 0BDDB === MMM
Cortante bwVVV 0CAAC === )(0CD xbawV −+=
0BDDB === VVV
Reacciones bwR 0A =
12. Viga en voladizo - Carga uniformemente creciente hacia el lado libre en todo el vano
Deflexión )1020(
120
323
2
0
AB xxLL
LEI
xw
y +−
−
=
EI
Lw
y
120
11 4
0
MAX
−
= para x = L
Pendiente )68(
24
3230
AB xxLL
LEI
xw
+−
−
=θ
EI
Lw
8
3
0
B
−
=θ
Momento )32(
6
3230
AB xxLL
L
w
M +−
−
=
Cortante )(
2
220
AB xL
L
w
V −=
Reacciones
2
0
A
Lw
R =
Viga en voladizo - Carga uniformemente creciente hacia el lado empotrado en todo el vano
Deflexión )51010(
120
3223
2
0
AB xLxxLL
LEI
xw
y −+−
−
=
EI
Lw
y
30
4
0
MAX = para x=L
Pendiente )464(
24
32230
AB xLxxLL
LEI
xw
−+−
−
=θ
EI
Lw
24
3
0
B
−
=θ
Momento 30
AB )(
6
xL
L
w
M −
−
=
Cortante 20
AB )(
2
xL
L
w
V −=
Reacciones
2
0
A
Lw
R =
13. Viga en voladizo - Carga cosenoidalmente decreciente hacia el lado libre en todo el vano
Deflexión ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+−
−
= 332333
4
0
AB ππ348
2
π
cos48
π3
xLxL
L
x
L
EI
Lw
y
)24π(
3π
2 3
4
4
0
MAX −
−
=
EI
Lw
y para x = L
Pendiente ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−
−
=
L
x
LxLx
EI
Lw
2
π
sen8ππ2
π
2222
3
0
ABθ
)8π(
π
2
3
3
0
B −
−
=
EI
Lw
θ
Momento ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−
−
=
L
x
LxL
Lw
M
2
π
cos2ππ
π
2
2
0
AB
Cortante ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
L
xLw
V
2
π
sen1
π
2 0
AB
Reacciones
π
2 0
A
Lw
R =
Viga en voladizo - Carga puntual en el extremo libre
Deflexión )3(
6
32
AB xLx
EI
P
y −
−
=
EI
PL
yy
3
3
BMAX
−
==
Pendiente )2(
2
2
AB xLx
EI
P
−
−
=θ
EI
PL
2
2
BMAX
−
==θθ
Momento )(AB xLPM −−= PLMM −== AMAX
Cortante PVVV === BAAB
Reacciones PR =A
Viga en voladizo - Carga puntual en cualquier punto
Deflexión )3(
6
32
AC xax
EI
P
y −
−
= )3(
6
2
CB ax
EI
Pa
y −
−
=
)3(
6
2
BMAX aL
EI
Pa
yy −
−
==
Pendiente )2(
2
2
AC xax
EI
P
−
−
=θ
EI
Pa
2
2
BCCB
−
=== θθθ
Momento )(AC xaPM −−= 0BCCB === MMM
PaMM −== AMAX
Cortante PVVV === CAAC 0BCCB === VVV
Reacciones PR =A
14. Viga en voladizo - Momento horario en el extremo libre
Deflexión
EI
xM
y
2
2
0
AB
−
=
EI
LM
y
2
2
0
MAX
−
= para x = L
Pendiente
EI
xM0
AB
−
=θ
Momento 0BAAB MMMM −===
Cortante 0BAAB === VVV
Reacciones 0A =R
Viga en voladizo - Momento horario en cualquier punto
Deflexión
EI
xM
y
2
2
0
AC
−
= )2(
2
0
CB ax
EI
aM
y −
−
=
)2(
2
0
MAX aL
EI
aM
y −
−
= para x = L
Pendiente
EI
xM0
AC
−
=θ
EI
aM0
BCCB
−
=== θθθ
Momento 0AAC MMM −== 0BCB == MM
Cortante 0CAAC === VVV 0BCCB === VVV
Reacciones 0A =R
Viga empotrada - Carga uniforme en todo el vano
Deflexión 2
2
0
AB )(
24
xL
EI
xw
y −
−
=
Pendiente )23(
12
220
AB xLxL
EI
xw
+−
−
=θ
Momento )66(
12
220
AB xLxL
w
M +−
−
=
Cortante )2(
2
0
AB xL
w
V −=
Reacciones
2
0
BA
Lw
RR ==
15. Viga empotrada - Carga uniforme en la mitad del vano
Deflexión )124(
24
AA
2
0
2
AC MxRxw
EI
x
y −−
−
=
EI
LxLRMLRML
EI
xRxLRM
y
6
)2(3)3(
6
)(3
BBBB
2
3
B
2
BB
CB
+−+
+
+
−+
=
Pendiente )63(
6
AA
2
0AC MxRxw
EI
x
−−
−
=θ
[ ])2()(2
2
1
BBBB
2
BCB LRMLxLRMxR
EI
+++−
−
=θ
Momento
2
2
0
AAAC
xw
MxRM −+= BBCB )( MxLRM +−=
Cortante xwRV 0AAC −= BCB RV −=
Reacciones
L
MMLw
R BA0
A
8
3 −
−=
L
MMLw
R BA0
B
8
−
+=
Siendo
192
11 2
0
A
Lw
M
−
=
192
5 2
0
B
Lw
M
−
=
Viga empotrada - Carga uniforme parcial en un lado
Deflexión )124(
24
AA
2
0
2
AC MxRxw
EI
x
y −−
−
=
EI
LxLRMLRML
EI
xRxLRM
y
6
)2(3)3(
6
)(3
BBBB
2
3
B
2
BB
CB
+−+
+
+
−+
=
Pendiente )63(
6
AA
2
0AC MxRxw
EI
x
−−
−
=θ
[ ])2()(2
2
1
BBBB
2
BCB LRMLxLRMxR
EI
+++−
−
=θ
Momento
2
2
0
AAAC
xw
MxRM −+= BBCB )( MxLRM +−=
Cortante xwRV 0AAC −= BCB RV −=
Reacciones
L
MM
L
abLw
R BA0
A
2
)( −
−
+
=
L
MM
L
aw
R BA
2
0
B
2
−
+=
Siendo )386(
12
22
2
2
0
A aLaL
L
aw
M +−
−
=
)34(
12 2
3
0
B aL
L
aw
M −
−
=
16. Viga empotrada - Carga uniforme parcial
Deflexión )3(
6
AA
2
AC xRM
EI
x
y +=
[ ]2
A
3
A
4
0CD 124)(
24
1
xMxRaxw
EI
y −−−
−
=
EI
LxLRMLRML
EI
xRxLRM
y
6
)2(3)3(
6
)(3
BBBB
2
3
B
2
BB
DB
+−+
+
+
−+
=
Pendiente )2(
2
AAAC xRM
EI
x
+=θ
[ ]xMxRaxw
EI
A
2
A
3
0CD 63)(
6
1
−−−
−
=θ
[ ])2()(2
2
1
BBBB
2
BDB LRMLxLRMxR
EI
+++−
−
=θ
Momento xRMM AAAC +=
2
)( 2
0
AACD
axw
MxRM
−
−+=
)(BBDB xLRMM −+=
Cortante AAC RV = )(0ACD axwRV −−= BDB RV −=
Reacciones
L
MMbbcw
R
2
22)2( BA0
A
+−+
=
L
MMbbaw
R
2
22)2( BA0
B
−++
=
Siendo [ ]22
2
0
A )2)(36()362(
24
bcbabcLb
L
bw
M +++−−
−
=
[ ]22
2
0
B )2)(36()362(
24
babcbaLb
L
bw
M +++−−
−
=
Viga empotrada - Carga puntual en el centro
Deflexión )43(
48
2
AC xL
EI
Px
y −
−
= )4(
48
)( 2
CB Lx
EI
xLP
y −
−−
=
Pendiente )2(
8
AC xL
EI
Px
−
−
=θ )23(
8
22
CB xLxL
EI
P
+−
−
=θ
Momento )4(
8
AC xL
P
M −
−
= )43(
8
CB xL
P
M −=
Cortante
2
AC
P
V =
2
CB
P
V
−
=
Reacciones
2
BA
P
RR ==
17. Viga empotrada - Carga puntual en cualquier punto
Deflexión )33(
6 3
22
AC bxaxaL
EIL
xPb
y −−
−
=
)3(
6
)(
3
22
CB axaLbx
EIL
xLPa
y +−
−−
=
Pendiente )32(
2 3
2
AC bxaxaL
EIL
xPb
−−
−
=θ
[ ]2
3
2
CB )3(
2
)(
Labx
EIL
xLPa
−+
−
=θ
Momento )3(3
2
AC bxaxaL
L
xPb
M −−
−
=
)2( 2
3
2
CB bxLxbLL
L
Pa
M −−+=
Cortante )2(3
2
AC aL
L
Pb
V += )2(3
2
CB bL
L
Pa
V +
−
=
Reacciones )2(3
2
A aL
L
Pb
R += )2(3
2
B bL
L
Pa
R +=
Viga empotrada - Dos cargas puntuales iguales situadas simétricamente
Deflexión )33(
6
2
2
AC LxaaL
EIL
Px
y −−
−
=
)33(
6
2
2
CD aLxLx
EIL
Pa
y −−
−
=
))(33(
6
)( 2
2
DB xLLaaL
EIL
xLP
y −−−
−−
=
Pendiente )22(
2
2
AC LxaaL
EIL
Px
−−
−
=θ )2(
2
2
CD xL
EIL
Pa
−
−
=θ
[ ])(22
2
)( 2
DB xLLaaL
EIL
xLP
−−−
−
=θ
Momento )( 2
AC aaLLx
L
P
M +−=
L
Pa
M
2
CD = )( 22
DB aLaLxL
L
P
M +−−=
Cortante PV =AC 0CD =V PV −=DB
Reacciones PRR == BA
18. Viga empotrada - Momento antihorario en el centro
Deflexión )2(
8
2
0
AC Lx
LEI
xM
y −=
)425(
8
32320
CB LxLxLx
LEI
M
y +−−
−
=
Pendiente )3(
4
0
AC Lx
LEI
xM
−=θ )4610(
8
220
CB LxLx
LEI
M
−−
−
=θ
Momento )6(
4
0
AC Lx
L
M
M −= )65(
4
0
CB xL
L
M
M −
−
=
Cortante
L
M
V
2
3 0
AB =
Reacciones
L
M
R
2
3 0
A =
L
M
R
2
3 0
B
−
=
Viga empotrada - Momento antihorario en cualquier punto
Deflexión:
)22(
2 3
2
0
AC bLaxaL
EIL
bxM
y −−
−
= )2(
2
)(
3
2
0
CB aLbx
EIL
xLaM
y −
−
=
Pendiente:
)32(3
0
AC bLaxaL
EIL
bxM
−−
−
=θ )3(
)( 2
3
0
CB bxL
EIL
xLaM
−
−
=θ
Momento:
)62(3
0
AC bLaxaL
L
bM
M −−
−
= )46(3
0
CB aLbLbx
L
aM
M −−=
Cortante 3
0
AB
6
L
abM
V =
Reacciones 3
0
A
6
L
abM
R = 3
0
B
6
L
abM
R
−
=
Siendo )2(2
0
A ba
L
bM
M −
−
= )2(2
0
B ab
L
aM
M −=
Viga empotrada / apoyada - Carga uniforme en todo el vano
Deflexión )253(
48
22
2
0
AB xLxL
EI
xw
y +−
−
=
Pendiente )8156(
48
220
AB xLxL
EI
xw
+−
−
=θ
Momento )45(
8
220
AB xLxL
w
M +−
−
=
Cortante )85(
8
0
AB xL
w
V −=
Reacciones
8
5 0
A
Lw
R =
8
3 0
B
Lw
R =
19. Viga empotrada / apoyada - Carga uniforme parcial en el lado empotrado
Deflexión:
EIL
bLxLawxaLwxLLR
y
48
)3)(()(2)(8 3
0
4
0
3
B
AC
+−−−−−
=
EIL
bLxLawxLLR
y
48
)3)(()(8 3
0
3
B
CB
+−−−
=
Pendiente:
EIL
bLawxaLwxLLR
48
)3()(8)(24 3
0
3
0
2
B
AC
++−+−−
=θ
EIL
bLawxLLR
48
)3()(24 3
0
2
B
CB
++−−
=θ
Momento
2
)()(2 2
0B
AC
xawxLR
M
−−−
= )(BCB xLRM −=
Cortante )(0BAC xawRV −+−= BCB RV −=
Reacciones
L
MabLw
R
2
2)( A0
A
−+
=
L
Maw
R
2
2 A
2
0
B
+
=
Siendo 2
22
0
A
8
)(
L
abLw
M
+−
=
Viga empotrada / apoyada - Carga uniforme parcial en el lado apoyado
Deflexión )3(
6
AA
2
AC MxR
EI
x
y +=
EIL
aabbLxLbw
EIL
xLLwxLLR
y
48
)63)((
24
)()(4
22
0
4
0
3
B
CB
++−−
+
+
−−−
=
Pendiente )2(
2
AAAC MxR
EI
x
+=θ
EIL
aabbLbw
EIL
xLLwxLLR
48
)63(
6
)()(3 22
0
3
0
2
B
CB
++
+
−+−−
=θ
Momento AAAC MxRM +=
2
)()(2 2
0B
CB
xLwxLR
M
−−−
=
Cortante AAC RV = )(0BCB xLwRV −+−=
Reacciones
L
Mbw
R
2
2 A
2
0
A
−
=
L
Mbbaw
R
2
2)2( A0
B
++
=
Siendo [ ]2
2
2
0
A ))(2(
16
baLbL
L
bw
M −++
−
=
20. Viga empotrada / apoyada - Carga uniforme parcial
Deflexión )3(
6
AA
2
AC MxR
EI
x
y +=
[ ]
EIL
babcbabLbxLbw
EI
cxLwxLR
y
96
)2)(2(3)2(32)(
24
)()(4
222
0
4
0
3
B
CD
++++−−−
+
+
−−−−
=
[ ]
EIL
babcbabLbxLbw
EI
xLR
y
96
)2)(2(3)2(32)(
6
)(
222
0
3
B
DB
++++−−−
+
+
−
=
Pendiente )2(
2
AAAC MxR
EI
x
+=θ
[ ]
EIL
babcbabLbbw
EI
cxLwxLR
96
)2)(2(3)2(32
6
)()(3
222
0
3
0
2
B
CD
++++−
+
+
−−+−−
=θ
[ ]
EIL
babcbabLbbw
EI
xLR
96
)2)(2(3)2(32
2
)(
222
0
2
B
DB
++++−
+
+
−−
=θ
Momento AAAC MxRM +=
2
)()(2 2
0B
CD
cxLwxLR
M
−−−−
= )(BDB xLRM −=
Cortante AAC RV = B0CD )( RcxLwV −−−= BDB RV −=
Reacciones
L
Mbcbw
R
2
2)2( A0
A
−+
=
L
Mbbaw
R
2
2)2( A0
B
++
=
Siendo
[ ]
2
2
0
A
16
)2)(22()2)(2(
L
bbabcLbbabcw
M
−+++++−
=
21. Viga empotrada / apoyada - Carga puntual en el centro
Deflexión:
)119(
96
2
AC xL
EI
Px
y −
−
= ))(53(
96
)( 22
CB xLL
EI
xLP
y −−
−−
=
Pendiente:
)116(
32
AC xL
EI
Px
−
−
=θ )5104(
32
22
CB xLxL
EI
P
+−
−
=θ
Momento )113(
16
AC xL
P
M −
−
= )(
16
5
CB xL
P
M −=
Cortante
16
11
AC
P
V =
16
5
CB
P
V
−
=
Reacciones
16
11
A
P
R =
16
5
B
P
R =
Viga empotrada / apoyada - Carga puntual en cualquier punto
Deflexión )333(
12
2223
3
2
AC xbxLLbL
EIL
Pbx
y +−−
−
=
)))(2(3(
12
)( 22
3
2
CB xLbLbL
EIL
xLPa
y −+−
−−
=
Pendiente )322(
4
2223
3AC xbxLLbL
EIL
Pbx
+−−
−
=θ
)2242(
4
2223
3
2
CB bxLxbLxxLL
EIL
Pa
++−−
−
=θ
Momento:
)3(
2
2223
3AC xbxLLbL
L
Pb
M +−−
−
= )2)((
2 3
2
CB bLxL
L
Pa
M +−=
Cortante )3(
2
22
3AC bL
L
Pb
V −= )2(
2 3
2
CB bL
L
Pa
V +
−
=
Reacciones )3(
2
22
3A bL
L
Pb
R −= )2(
2 3
2
B bL
L
Pa
R +=
22. Viga empotrada / apoyada - Dos cargas puntuales iguales situadas simétricamente
Deflexión:
[ ])33(2))(233(
12
2222
2
2
AC LaLaLxLLaLa
EIL
Px
y +−+−−−=
[ ]
2
222
2
223
CD
12
2))((3
12
))(6))((3(
EIL
aLxLaLLPa
EIL
xLLxLaLPa
y
−−+−
+
+
−−−−−
=
[ ])(3))(233(
12
)( 2222
2DB aLaLxLLaaL
EIL
xLP
y −+−−−
−−
=
Pendiente:
[ ])33(4)32)(233(
12
2222
2AC LaLaLxLLaLa
EIL
Px
+−+−−−=θ
[ ])()(4))((3
4
222
2CD aLLxLLxLaL
EIL
Pa
+−−+−−−
−
=θ
[ ])())(233(
4
2222
2DB aLaLxLLaaL
EIL
P
−+−−−=θ
Momento [ ])332(33
2
2222
2AC aaLLxaLLa
L
P
M −++−=
[ ]2
2CD 2))((3
2
LxLaL
L
Pa
M −−−
−
=
)233(
2
)( 22
2DB LaaL
L
xLP
M −−
−−
=
Cortante )332(
2
22
2AC aaLL
L
P
V −+= 2CD
2
)(3
L
aLPa
V
−
=
)233(
2
22
2DB LaaL
L
P
V −−=
Reacciones )332(
2
22
2A aaLL
L
P
R −+=
)323(
2
22
2B aLLa
L
P
R −+=
23. Viga empotrada / apoyada - Momento horario en cualquier punto
Deflexión: [ ]))((2
4
222
3
2
0
AC bLxLLb
EIL
xM
y −−−
−
=
[ ]))(3)((4
4
)( 223
3
0
CB bLLxLL
EIL
xLaM
y +−−−−
−−
=
Pendiente [ ]))(32(4
4
222
3
0
AC bLxLLb
EIL
xM
−−−
−
=θ
[ ])2)((34
4
23
3
0
CB LxxbLL
EIL
aM
−+−
−
=θ
Momento [ ]))(3(2
2
222
3
0
AC bLxLLb
L
M
M −−−
−
=
))((
2
3
3
0
CB xLbL
L
aM
M −+=
Cortante )(
2
3
3
0
AB bL
L
aM
V +
−
=
Reacciones )(
2
3
3
0
A bL
L
aM
R +
−
= )(
2
3
3
0
B bL
L
aM
R +=
Viga empotrada / apoyada - Momento horario en el lado apoyado
Deflexión
EIL
xLxM
y
4
)(2
0
AB
−
=
Pendiente
EIL
xLxM
4
)32(0
AB
−
=θ
Momento
L
xLM
M
2
)3(0
AB
−
=
Cortante
L
M
V
2
3 0
AB
−
=
Reacciones
L
M
R
2
3 0
A
−
=
L
M
R
2
3 0
B =
24. Viga con vano lateral - Carga uniforme en todo el vano
Deflexión )222(
24
222232240
AB xaLaLxxLL
LEI
xw
y +−+−
−
=
)464(
24
3
1
2
11
23210
BC xaxxaLLa
EI
xw
y +−+−
−
=
Pendiente )6246(
24
222232240
AB xaLaLxxLL
LEI
w
+−+−
−
=θ
)412124(
24
3
1
2
11
2320
BC xaxxaLLa
EI
w
+−+−
−
=θ
Momento )(
2
220
AB aLxL
L
xw
M −−= 2
1
0
BC )(
2
xa
w
M −
−
=
Cortante )2(
2
220
AB aLxL
L
w
V −−= )( 10BC xawV −=
Reacciones )(
2
220
A aL
L
w
R −= 20
B )(
2
aL
L
w
R +=
Siendo Lxx −=1
Viga con vano lateral - Carga uniforme sobre el saliente
Deflexión )(
12
22
2
0
AB xL
LEI
xaw
y −=
)464(
24
3
1
2
11
2210
BC xaxxaLa
EI
xw
y +−+
−
=
Pendiente )3(
12
22
2
0
AB xL
LEI
aw
−=θ
)33(
6
3
1
2
11
220
BC xaxxaLa
EI
w
+−+
−
=θ
Momento
L
xaw
M
2
2
0
AB
−
= 2
1
0
BC )(
2
xa
w
M −
−
=
Cortante
L
aw
V
2
2
0
AB
−
= )( 10BC xawV −=
Reacciones
L
aw
R
2
2
0
A
−
=
L
aaLw
R
2
)2(0
B
+
=
Siendo Lxx −=1
25. Viga con vano lateral - Carga puntual en el extremo saliente
Deflexión )(
6
22
AB xL
LEI
Pax
y −= )32(
6
2
11
1
BC xaxaL
EI
Px
y −+
−
=
Pendiente )3(
6
22
AB xL
LEI
Pa
−=θ )362(
6
2
11BC xaxaL
EI
P
−+
−
=θ
Momento
L
Pax
M
−
=AB )( 1BC xaPM −−=
Cortante
L
Pa
V
−
=AB PV =BC
Reacciones
L
Pa
R
−
=A
L
aLP
R
)(
B
+
=
Siendo Lxx −=1
Viga con vano lateral - Carga puntual entre los apoyos
Deflexión )(
6
222
AC xbL
LEI
Pbx
y −−
−
=
)2(
6
)( 22
CB xaLx
LEI
xLPa
y −−
−−
=
)(
6
1
BD aL
LEI
Pabx
y +=
Pendiente )3(
6
222
AC xbL
LEI
Pb
−−
−
=θ
)362(
6
222
CB xaLxL
LEI
Pa
++−
−
=θ
LEI
aLPab
6
)(
BD
+
=θ
Momento
L
Pbx
M =AC )(CB xL
L
Pa
M −= 0BD =M
Cortante
L
Pb
V =AC
L
Pa
V
−
=CB 0BD =V
Reacciones
L
Pb
R =A
L
Pa
R =B
Siendo Lxx −=1
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